近世代数1

第一章§1.1集合§1.2映射与变换教学内容：集合，子集，集合相等的概念集合关系及运算的定义和性质映射，单射，满射，双射，逆映射的定义及例子变换，置换等的定义及例子映射的象及逆象的定义，映射的乘法教学重点：集合的关系及运算，映射变换的定义，映射的乘法在很多课程中都学过有关集合的知识，一些基本的概念和结论不再重复，这里，只复习一下不太熟悉的知识，并在符号上做一个统一的规定。

1、用Z表示整集合，Z*表示非零整数集，用ψ表示有理数集，ψ*表示非零有理数数集等。

Z+ ，ψ+…R,C…2、AB表示A是B的子集，A=B或ABAB表示A是B的真子集，即B中有不存在A的元素AB表示A不是B的子集AB表示A不是B的真子集A=BAB且BA3、如果集合A含有无穷多个元素，则记为=,如果A含有n个元素，则记为=n。

（A的阶），有+=+4、称集合A-B={aaA, aB}为集合A与B的差集。

易知有A-B=A5、集合A有很多子集，将A的所有子集放在一起（包括空集）也组成一个集合，称为A的幂集，记作P(A)。

=（=n）映射是函数的推广，函数的定义中要求有两个数集，而映射中，是一般的集合6、定义：设A,B是两个集合，如果有一个法则，他对于A中每个元素，在B中都有一个唯一确定的元素y与它对应，则称为从A到B的映射。

这种关系常表示为：AB 或：xy 或y=（x）xy且称y为x在之下的像，称x为y在之下的原像或逆像。

由定义可知，映射必须满足三个条件：①A中每个元素都有像，②A中元素的像是唯一的，③A中元素的像在B里。

例：P6例1-6例1.不是映射，不满足①例2.不是映射，不满足②例3.不是映射，不满足③例4.是映射，不单不满例4.是映射，不单，满例6.是映射，单不满7、映射是函数概念的推广，是对应法则，A是定义域，B包含值域，根据B是否与值域相等，可将映射区分为是否是满射。

A中不同元素的像可能相同，也可能不同，据此可区分映射是否为单射。

定义：设为A到B的一个映射，如果B中每个元素在A中都有逆像，则称为A到B的一个满射。

如果A 中不同的元素在B中的像也不同，则称是从A到B的一个单射。

如果既是满射又是单射，则称是从A到B的一个双射，或一一映射。

例：P7，例 4-8例7，双射，例8，满射，不单。

8、设有映射：AB，A，B.用（）表示中所有元素在之下的像的全体组成的集合，称为在之下的像，（）B。

用（）表示中所有元素在之下的逆像全体组成的集合，称为在之下的逆像，（）A。

易知：是满射（A）=B.9、设：AB是双射，（思考，为什么？），则：BA 也是一个映射,且为双射（为什么？），xy=(x) yx称为的逆映射。

注意：双射才有逆映射。

定理：设A,B是两个有限集合，且=，是A到B的一个映射，则是单射是满射是双射证明：略。

10、设б与都是A到B的映射，如果xA,都有б（x）=(x),则称б与相等，记作б=11、设：AB б：C 则ACx(x) y(y)， x(x)（(x)）是一个A到C的映射，记为，即：AC 并称为与的合成或乘积。

x（(x)）12、集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换，类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变换）等。

将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒等变换，：AB 它是一个一一变换。

xx，例：P9例9-10定理：含有n个元素的集合共有n!个双射变换。

有限集合M={1,2，n}的双射变换称为一个n之置换，且常表示为=例如n=3时, M={1,2，n}有3！=6个3之置换， ,,,,,.要注意每个n之置换都有n!种写法，但习惯上第一行顺序排列，如=====。

§1.3 集合§1.4 运算律教学内容：运算的定义，变换的乘法，运算律的定义及其意义教学重点：运算及运算律的定义1、运算就是通常的运算，加，减，乘，除等的推广，简单说就是由两个东西算出来一个新的来。

下面是“教学”的定义。

定义：设M是一个集合，如果有一个法则，它对M中任意两个有次序的元素a和b，在M中都有唯一一个确定的元素d与他们对应，则称这个法则是M的一个运算。

如果用“。

”表示定义中所说的法则，即运算，由a与b通过“。

”得到的d记为a。

b=d,运算也可以用其他符号表示。

注意d必须属于M有代数运算的集合，称为代数系统例：P12 例1-52、设M是一个集合，用T（M）表示M的全体变换作成的集合，бT（M）,乘积б，即xM，б（x）=б（（x））也是M的一个变换，即бT（M），称之为变换的乘法，是T（M）的一个代数运算。

用表示M上的恒等变换，则бT（M），有xM，б（x）=б（x）=б（x）所以б=б=б用S（M）表示M的全体双射变换组成的集合，即S（M）T(M)可以证明两个双射变换的乘积仍是双射变换，即变换的乘积也是S（M）的一个代数运算，（证明见教材）例：P14例3、对有限集合的代数运算，常列成一个表，如A={，，}上有代数运算。

且。

=，则有这种表称为乘法表例e a b ce e a b ca a e c bb bc e ac c b a e4、设集合M有运算，若a,b,cM有（ab）c=a(bc)则称运算满足结合律。

数，多项式，矩阵，函数等对通常的加法和乘法都满足结合律。

例：P16 例1-3例1、不满足的例子，例2变换的乘法满足结合律n个元素，，相乘时，可以有很多种加括号的方式，若运算满足结合律，可以证明无论怎样叫括号结果都相等，通常这一相等的结果写成，但不能交换次序5、如果集合M的代数式运算。

满足a,bM有ab=ba则称运算满足交换律。

当集合M的运算满足结合律和交换律时，M中任意n个元素相乘时可以任意结合，任意交换次序，结果不变。

6、设集合M有两个代数运算和，如果a,b,cM，有a(bc)=(ab)(ac)则称对满足左分配律。

如果(bc) a=(ba) (ca)则称对满足右分配律。

当满足交换律时，上面两个分配律可为一个。

设集合M有两个代数运算和，满足结合律，而对满足左分配律则a,，,，有a()= (a)(a)(a)对右分配律类似7、近世代数主要研究代数系统，其中的运算一般都满足结合律。

§1.5 同态与同构§1.6 等价关系与集合的分类教学内容：同态，同构的定义与性质等价关系的定义等价关系与集合分类的关系教学重点：同态，同构的定义与性质，等价关系与集合分类1、设集合M与各有代数运算与，且是M到的映射，如果保持运算，即a,bM，总有(ab)= (a)(b)则称为代数系统M到的一个同态映射，若又是满射，则称为同态满射。

如果M到存在同态满射，则称M与同态，记为M例：P20 例12、定理：设集合M与各有代数运算与，且M，则⑴当满足结合律时，也满足结合律⑵当满足交换律时，也满足交换律证明见教材定理：设集合M有代数运算与，有代数运算与，是M到的满射，且对与及与同态，则当对满足左（右）分配律时，对也满足左（右）分配律这两个定理说明两个代数系统同态时，前面的有什么运算律，后面的也有。

3、定义；设是M到的一个（关于代数运算与）同态满射，如果又是单射（即是双射），则称是M到的一个同构映射。

如果集合M到存在同构映射，就称M与同构，记为M，否则称M与不同构。

M到自身的同态映射，称为M的自同态（映射），同样，M到自身的同构映射，称为自同构（映射）。

例： P22 例2-3 注意集合与运算4、对代数系统M，总有M （）若，则（，）若，，则（б，，б）后面会知道同构关系是一种等价关系。

5、若M={a,b,c,}有运算，={，，，}有运算，且M，则a, b, c,,则ab=c=由此可知除去元素本身的性质，代数运算名称，所有符号不同外，从运算的性质看M与并没有什么本质区别。

也正因为如此，在这门课中常把同构的代数系统等同起来，甚至不加区分。

6、设M是一个集合，如果有一个法则R，它对M中任二元素a,b可以确定是或不是符合这个法则，则称此法则为M的元素间的一个关系。

a与b符合这个法则时，记作aRb，否则n为ab例：P24 例1-37、定义：如果集合M有一个关系R满足以下条件⑴对M中任意元素a，都有aRa(反身性)⑵若aRb，则bRa(对称性)⑶若aRb，bRc,则aRc（传递性）则称这个关系是M的一个等价关系等价关系常用符号表示，当ab时，称a与b等价由前面知，同构关系是一种等价关系。

例：P25 例4-58、定义:若把集合M的全体元素分成若干个互不相交的子集（即它们的并是M，它们中任2个不同子集无共同元素），则称每个子集为M的一个分类，类的全体叫做M的一个分类。

例：M={1，2，3，10}有分类{1}，{2}，{10}，{3，4，5，6}，{7，8，9，10}及{1，3，5，7，9}，{2，4，6，8}等系种分类。

9、定理：集合M的一个分类决定M的一个等价关系证明见教材定理：集合M的一个等价关系决定M的一个分类证明见教材例：P27 例6。