14__电路的S域分析
电路的s域模型
电路的S 域模型利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出 代数方程，使得分析过程变得更加简单。
电路元件的S 域模型1. 电阻元件的S 域模型电阻元件的伏安特性为V R (t) Ri R (t)(4-5-1)对上式两边取拉氏变换，得V R (S ) RI R (S )(4-5-2)由上式可得电阻元件的 S 域模型如图4-5-1(b)所示2. 电感元件的S 域模型电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为(4-5-3)对上式两边取拉氏变换，得V L (t)LdL(t)dtI R (S ) IV R (S )D R(b)电阻元件的S 域模型(c)图4-5-2电感元件的S 域模型所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示3. 电容元件的S 域模型电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为1 tv c (t) © i c ( )d对上式两边取拉氏变换，得由上式可得电感元件的由式(4-5-4)可以导出I L (S )的表达式为 I L (S )V L (S ) S L1-i L (0 )S(4-5-5)(4-5-6)V C (S )I C (S ) (1)i c (0 )(1)l c (s) 1 i c (0 )sC C S式中肖/1"。
)C 0i C ()dV c (0),所以11V C (S )I C (S ) — y(0)S CS(4-5-7)由上式可得电容元件的 S 域模型如图4-5-3(b)所示i c (t).V c (t)丰 CS 域模型如图4-5-2(b)I C (S )1 sC解:先按前述解题步骤求v c (t)(1)起始状态：t < 0时，电路已进入稳定状态，所以⑵ 画出电路的S 域模型图如图4-5-4(b)所示。
(3)由S 域模型图，列出S 域方程如下:(C)图4-5-3电容元件的S 域模型由式(4-5-7)可以导出l c (s)的表达式为l c (s) sCV c (s) Cv c (0 )(4-5-8)所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示利用S 域模型求电路的响应利用S 域模型求解电路响应的一般步骤如下：(1)求起始状态(0-状态)；(2)画s 域模型图；(3)列s 域方程(代数方程)；(4)解s 域方程， 求出响应的拉氏变换V(s)或I (s) ； (5)利用拉氏逆变换求v(t)或i(t)例4-5-1在图4-5-4所示电路中，t 0时，幵关S 位于“ 1”端，且电路已进入稳定状态，t 0时，幵关转至“图 4-5-4 例 4-5-1的电路及其S 域模型V c (0 ) EV c (t)21 E E l c(s) Rsc s s(4)解s 域方程，求得⑸对V c (s)取拉氏逆变换，得现在求v R (t)。
第二章：线性电路的s域解法
单位冲激信号和单位阶跃信号的定义和性质拉普拉斯变换/反变换定义常用函数的拉氏变换拉氏变换的性质(与傅氏变换性质对比记忆):叠加定理积分和微分的拉氏变换延迟定理位移定理尺度变换部分分式法求解拉氏反变换元件的s域形式零输入响应和零状态响应s域传递函数常参量线性电路的s域解法卷积定理任意信号的响应与单位冲激响应和单位阶跃响应的关系复习主要内容单位冲激（脉冲）信号——δ(t)()00=≠t t δ时当定义：()1=⎰∞∞-dt t δ且性质：)()(t t -=δδ⎰⎰-∞∞-==εεδδ1)()(dt t dt t ()()t f d f t t t f =-=⎰∞∞-τττδδ)()(*)(～在f (t)的连续点成立单位阶跃信号——1(t)或u(t)()⎩⎨⎧><=0,10,0t t t u 定义：()()⎰⎰∞-∞-====t td u t tu t r t u dtdt d t u ττδττδ)()()(,)(,)(Otδ(t -τ)τδ(t -τ)的图示1复习()()[]tste t u tf dt et f s F σ-∞-==⎰)()(0F 拉普拉斯变换拉普拉斯反变换()()()[]s F e ds e s F j t u t f -t j j st 1)(21F σσσπ==⎰∞+∞-拉普拉斯变换及反变换常用拉氏变换()αα+==-s t u e t1()st u 1==()1==t δ22cos ωω+==s st 22sin ωωω+==s t ()11!1+==n n s t u t n 复习()()∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡i i i ii i s F t f ααL 叠加定理()[]()()0'f s sF t f -=L 原函数微分()()[]()τττs e s F t u t f -=--L 延迟定理()[]()αα-=s F e t f t L 位移定理()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛=a s F a at f 1L 尺度变换()ss F dt t f t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰0)(L 原函数积分拉普拉斯变换的基本性质τ>0a >0复习()()()01110111b s b s b s b a s a s a s a s B s A s F n n n n m n m n ++++++++==---- 已知像函数求原函数f(t)()()()nn n n S s S s S s b s B k n k n n n k=++---= 2121,)(21()()()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+=ki n i n i i i i S s C S s C S s C s P s F 12211)()( ()st u 1==()1==t δ()st =='δ()11!1+==n n s t u t n ()()11!1+-==n tn s e t u t n αα复习部分分式分解法求拉氏反变换(),122323+--+-=s s s ss s s F 例：已知像函数求原函数f(t)。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法
60 K1 2. 4 ( s j 3)(s j 3) s 4 K2 K3 60 2127 ( s 4)(s j 3) s j 3 60 2 127 ( s 4)(s j 3) s j 3
i(t ) [2.4e4t 4 cos(3t 127)] (t )
Us s/R I ( s ) H ( s )U ( s ) s s 1 / RC
K1
U S C Us , K2 RC 1 R(1 RC )
16
网络函数的性质
如果N为线性时不变网络，则：
17
§12-5 线性时不变电路的叠加公式
S域下的叠加原理：
Xm(s)为施加于电路的第m个外施独立电压或电流 源激励的拉氏变换；Hem为s的函数，表明第m个 外施激励及其响应的关系，即网络函数；λ(0-)为 电路内部第n个状态变量在t=0时之值，即uc(0-)或 者iL(0-)的值，Hin为s的函数，表明第n个内部初始 状态等效电源及其响应的关系。
(3) I ( s ) K3 K1 K2 ( s 4) ( s j 3) ( s j 3)
i (t ) L1[ I ( s)] (2.4e 4t 2127e j 3t 2 127e j 3t ) (t ) (2.4e 4t 2e j (3t 127) 2e j 3t 127 ) (t ) [2.4e 4t 4 cos(3t 127)] (t )
作业
下册P222 12-7，12-12，12-18
20
动态电路的相量分析法和 s域分析法
第十二章
拉普拉斯变换在电路分析中的应用 （ S域分析法）
1
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
复频域（s域）中的电路定律、电路元件及其模型
复频域（s域）中的电路定律、电路元件及其模型复频域（s域）中的电路定律、电路元件及其模型电路中最重要的两个定律是基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），其表达式为：KCL：， KVL：对两个定律的方程式作拉普拉斯变换，即有：KCL：，KVL：上面两式就是基尔霍夫定律的复频域（s域）形式。
这说明各支路电流的象函数仍遵循KCL；回路中各支路电压的象函数仍遵循KVL。
下面介绍各电路元件的复频域（s域）模型，也称运算电路模型。
一、线性电阻元件图9-4-1（a）表示线性电阻元件的时域模型，当其电压电流参考方向选为一致时，其电压、电流的关系是：经拉普拉斯变换得电压、电流象函数间的关系：（式9-4-1）因此，电阻复频域（s域）模型如图9-4-1（b）所示。
二、线性电感元件图9-4-2图9-4-2（a）表示线性电感元件的时域模型，当其电压电流参考方向一致时，电压电流的时域关系式是：经拉普拉斯变换后得：（式9-4-2）根据（式9-4-2）可以画出电感元件的复频域模型，如图9-4-2(b)所示，其中sL称为电感的运算感抗，取决于电感电流的初始值，称为附加运算电压。
三、线性电容元件图9-4-3图9-4-3(a)表示线性电容元件的时域模型，当其电压电流参考方向一致时，电压电流的时域关系式是：经拉普拉斯变换后得：（式9-4-3）根据（式9-4-3）可以画出电容元件的复频域模型，如图9-4-3(b)所示，其中称为电容的运算容抗，取决于电容电压的初始值，称为附加运算电压。
四、独立电源对于独立电压源、电流源，只需将相应的电压源电压、电流源电流的时域表达式，经过拉普拉斯变换，得到相应的象函数即可。
例如：直流电压源电压变换为；正弦电流源电源变换为。
五、受控电源对于受控电源，如果控制系数为常数，那么复频域电路模型与其时域电路一样，形式不变。
图9-4-4(a)为时域中的VCVS,(b)为其复频域电路模型。
其他形式受控电源的复频域电路模型，同理可得。
四川大学电子信息学院研究生入学复习大纲
四川大学电子信息学院研究生入学复习大纲四川大学电子信息学院各科考研大纲汇总硕士入学《电磁场与微波技术》考试大纲《电磁场与微波技术》要求对电磁场基本理论和微波技术基础具有良好的掌握，能够完成基本的矢量运算，对常用的微波器件和参数有一定的了解。
《电磁场与微波技术》的一些具体要求如下：1.麦克斯韦方程组的数学表达式和物理意义，横电磁平面波的基本特性；2.对称分布的静电场边值问题，高斯定理的应用，坡印亭定理，静电平衡条件等；3.恒定电流产生的磁场分布的计算和分析；4.无耗传输线的基本理论及应用，包括：传输线输入阻抗的计算，阻抗匹配的条件等等；5.史密斯圆图的基本理论和应用；6.两端口和多端口网络的基本理论，包括散射矩阵、阻抗矩阵、导纳矩阵和转移矩阵等的定义和分析；7.矩形波导和圆波导的基本模式分析；8.定向耦合器、功分器、魔T、隔离器等微波器件的基本特性；9.滤波器的主要参数和集总参数滤波器的基本设计方法；10.天线增益和方向图的基本概念，天线辐射电阻的意义。
硕士入学《高级语言程序设计》考试大纲《高级语言程序设计》要求掌握高级语言设计的基本方法，结合实际应用可以设计小程序实现要求的功能，例如：完成测量结果的数据处理，积分和导数的数值计算等等。
对具体的编程语言不做要求，可以使用Fortran、Basic、C、C++等高级语言。
程序设计的一些具体要求如下：1.变量的声明、赋值和基本运算。
2.基本的输入和输出功能，实现键盘数据的输入和计算机屏幕的数据输出。
3.数组的赋值和运算，实现一些矩阵的运算，例如矩阵相乘的运算。
4.单重和多重循环的功能，实现累加、阶乘、排列和组合等的计算。
5.程序条件判断与跳转的功能。
6.子程序或者函数的概念和基本调用方法。
7.递归函数或者子程序的基本概念，可以使用递归函数简化程序的设计。
8.常用数学函数的表示方法，例如绝对值函数、对数函数、正弦函数、开平方等。
硕士入学《大学物理》（电磁学、光学）考试大纲一、电磁学部分：要求对电磁场基本理论和基本应用具有良好的掌握，能够完成基本的矢量运算，对基本电路理论有一定的掌握。
§4.05 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型
电容元件的s 模型
电流源形式
第
二.利用s域模型求响应的步骤 • 求起始状态 (0-状态)；
• 画s域等效模型；
5 页
• 列s域方程（代数方程）；
• 解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)
或 I (s )；
• 拉氏反变换求v(t)或i(t)。
例4-5-1
X
第
电流源形式的s域模型：
6 页
VL ( s) sLI L ( s) LiL (0 )
iC ( t )
vC ( t )
C
1 ( 1 ) 1 0 iC (0 ) iC ( ) d C C vC (0 )
IC ( ) sC s
VC ( s )
1 sC
v (0 ) s
X
4.5 用拉氏变换分析电路
主要内容
• 电路元件的s域模型 • 利用s域模型求电路响应的步骤
第 1 页
X
第
一．电路元件的s域模型(P.211-212)
优点 1. 电阻元件的 s 域模型
2 页
v R (t ) R i R (t )
VR ( s) R I R ( s)
VR ( s ) 或 I R ( s) R
iR (t )
R
v R (t )
I R ( s)
VR ( s )
R
X
第
2.电感元件的s域模型
d i L (t ) v L (t ) L dt
3 页
v L (t )
iL (t )
L
应用原函数微分性质
VL ( s ) LsI L ( s ) i L (0 ) s LI L ( s ) Li L (0 )
用LT法分析电路S域模型教学课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
例：一台机床中的二阶定位系统可用下面的微分方程描述 y(2) (t) 5 y(1) (t) 6 y(t) x(t)
其中x(t)和y(t)是机床控制的位置和得到的位置。对t 0求 解y(t), x(t) u(t),初始条件是y(0 ) 2, y(1) (0 ) 12。
解：由于x(t) u(t) LT 1。利用时域微分定理和 s
第31页
(f)共轭极点在左半平面
j
h(t)
j1
a 0
0
t
j1
H
(s)
(s
1
a)2
12
h(t) eat sin 1tu(t)
第32页
(g)共轭极点在右半平面
j
h(t)
j1
0
a
0
t
j1
H
(s)
(s
1
a)2
12
h(t) eat sin 1tu(t)
第33页
二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
(2)vL
(t )
L
diL (t) dt
(3)vC
(t )
1 C
t
iC ( )d
第5页
s域模型一：
(1)VR (s) RI R (s)
(2)VL (s) L[sI L (s) iL (0 )]
sLI L (s) LiL (0 )
(3)VC (s)
1[ 1 sC
IC
(s)
vC
(0 )]
线性定理，得到方程的拉普拉斯变换为 s2Y (s) sy(0 ) y(1) (0 ) 5[sY (s) y(0 )] 6Y (s) X (s) 把输入信号的拉氏变换和初始条件代入上式并合并， 得到
电路的s域模型
电路的S 域模型利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出S 域代数方程，使得分析过程变得更加简单。
电路元件的S 域模型 1. 电阻元件的S 域模型 电阻元件的伏安特性为)()(t i R t v R R = (4-5-1)对上式两边取拉氏变换，得)()(s I R s V R R = (4-5-2)由上式可得电阻元件的S 域模型如图4-5-1(b)所示。
(a) (b)图4-5-1电阻元件的S 域模型2. 电感元件的S 域模型电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为tt i Lt v L L d )(d )(= (4-5-3) 对上式两边取拉氏变换，得[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s LI s i s sI L s V (4-5-4)由上式可得电感元件的S 域模型如图4-5-2(b)所示。
(a) (b) (c)图4-5-2 电感元件的S 域模型由式(4-5-4)可以导出)(s I L 的表达式为)0(1)()(-+=L L L i sL s s V s I (4-5-5) 所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示。
3. 电容元件的S 域模型电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为⎰∞-=tc C i Ct v ττd )(1)( (4-5-6) 对上式两边取拉氏变换，得式中 )0()(1)0(10)1(-∞---==⎰-C C C v d i C i C ττ, 所以)0(1)(1)(-+=C C C v ss I sC s V (4-5-7)由上式可得电容元件的S 域模型如图4-5-3(b)所示。
(a) (b) (c)图4-5-3 电容元件的S 域模型由式(4-5-7)可以导出)(s I C 的表达式为)0()()(--=C C C v C s CV s s I (4-5-8)所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示。
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i (0 ) s
I (s) U ( s)
Z L ( s ) sL YL ( s ) 1 sL
3、电容C的运算模型
du( t ) i(t ) C dt
i(t )
C
u( t )
1 sC
I ( s) sCU ( s) Cu(0 )
Cu(0 )
I (s)
1 I ( s ) sC
正变换 反变换
拉氏反变换方法：（1）定义法；（2）部分分式法。 备注： 1、原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t)、u(t)。 2、象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)、U(s)。
2、典型函数的拉氏变换
P.350 表14-1
3、拉氏变换的性质 线性性质、微分性质、积分性质、延迟性质、 卷积定理、初值定理与终值定理I2 Nhomakorabea( s)
U2(s)
I 2 (s ) H 1 (s ) U 1 (s )
转移导纳
H 2 (s )
U 2 (s ) I 1 (s )
二、电路元件的运算模型 1、电阻的运算模型
i(t )
电阻的运算电路
电阻的运算阻抗和 运算导纳：
R
I ( s)
R
u( t ) u( t ) Ri ( t )
U ( s)
U ( s ) RI ( s ) Z R ( s ) I ( s )
Z R ( s) R YR ( s ) G
初值定理 终值定理
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s)
s
s 0
t
lim f (t ) f () lim sF ( s)
例 已知
3s 2 4s 5 F(S) s( s 2 2 s 3)
求
f (0 )
解：用初值定理
解
uC ( t ) ￡ H ( s )U S ( s ) h( t ) uS ( t ) 0 uS ( t t )h( t )dt
-1 t
0.6e
0
t
2( t t )
5e dt 3e
t
2 t
t
0
e t dt 3e 2 t (e t 1)
3e t 3e 2 t V
( t 0)
4、若输入和输出是同一端口的电压和电流，则网络函数 为驱动点阻抗和驱动点导纳。
I ( s) H1 ( s ) U ( s)
驱动点导纳 驱动点阻抗
U( s )
I(s)
U ( s) H 2 ( s) I ( s)
I1 ( s) 5、若输入和输出是双口的 电压、电流，则网络函 U1(s) 数又有不同的说法。
uC ( t )
1 t / RC e ( t 0) C
U C (s) s 1 / RC I C (s) 1 1 sC s 1 / RC s 1 / RC
1 t / RC iC ( t ) ( t ) e ( t 0) RC
例 2续
is ( t ), uc (0 ) 0
K1 K 21 K 22 I1 ( s ) s s 200 ( s 200)2
K1 F (s)s
s0
5( S 2 700 S 40000) S 2 400 S 2002
s 200
S 0
5
K 22 F ( s )( s 200 )2
1500
拉氏变换法求解电路过渡过程的步骤：
电路微分方程
拉氏变换
像函数的代数方程
解微分方程
代数运算
时域全响应
拉普拉斯反变换
响应的像函数
时域分析
频域分析
14.1~14.3 拉氏变换与性质
1、拉氏变换与反变换
F ( s ) ￡ f ( t ) f ( t )e st dt 0 1 c j 1 st f ( t ) ￡ F ( s ) F ( s ) e ds c j 2 j
3s 2 4s 5 f (0 ) limsF (s ) lim 2 3 s ( s 2 s 3) s
14.4 运算电路
一、基尔霍夫定律的运算形式 时域形式：
i(t ) 0 u( t ) 0
I ( s) 0 运算形式： U ( s) 0
取拉氏变换
U1 (s) sL1 I1 (s) L1i1 (0 ) sMI 2 (s) Mi2 (0 ) U 2 (s) sL2 I 2 (s) L2 i2 (0 ) sMI1 (s) Mi1 (0 )
耦合电感的运算电路：P.358 图14-5(b)
Z C ( s ) 1 sC YL ( s ) sC
1 u(0 ) U ( s) I ( s) sC s
U ( s)
u(0 ) s
U ( s)
4、耦合电感的运算形式
i1
+ *
M
*
i2
+
u1
–
L1
L2
u2
–
di1 di2 u L M 1 1 dt dt u L di2 M di1 2 2 dt dt
求冲激响应uC(t)和iC(t) 。
is
R
iC
C
+ uc
I s ( s) 1
R
IC ( s) +
Uc(s)
1/sC
解:
1 t / RC uC ( t ) e ( t 0) C
1 C
uc (V)
1 t / RC iC ( t ) ( t ) e ( t 0) RC ic
注意
U L (s) I L (s)sL
30Ω +
UL(s)
+ -
+ IL(s) 0.1s 0.5 V
10Ω
200/s V
100/s V
+
150 30000 U L ( s ) I1 ( s ) sL 0.5 s 200 ( s 200)2
uL ( t ) 150e 200 t 30000te 200 t V
第14章 线性电路S域分析
1、拉氏变换、反变换以及性质； 2、运算电路； 3、线性电路S域分析。
学习目标
1、熟练掌握拉氏变换（反变换）的方法与性质； 2、熟练掌握基尔霍夫定律的S域形式。 3、熟练掌握电阻、电容、电感元件的S域形式 (运算电路)，会画运算电路。 4、熟练掌握应用运算法分析线性动态电路。
2、电感L的运算模型
di ( t ) u( t ) L dt
U (s) L sI (s) i (0 ) sLI (s) Li (0 )
i(t )
L
u( t )
I ( s)
sL
Li (0 )
U ( s)
sL
U (s) i (0 ) I (s) sL s
+ -
I1(s)
3Ω
10/s V
14.6
网络函数
一、网络函数H（s）的定义
在线性网络中，单一激励为e(t) ，零状态响应为r(t)，则 网络函数H(s)定义为：
H ( s) ￡ 零状态响应 ￡ 激励
￡ r (t ) R( s ) ￡ e( t ) E ( s )
零状态响应r(t) —— 输出
(t )
t t
0
1 RC
例3 解
t = 0时打开开关k ,求电流 i1, i2。已知： i1 (0 ) 5 A
10 1.5 25 3.75 s I1 (s) s 5 0.4s s( s 12.5) 2 1.75 s s 12.5
i2 ( 0 ) 0
R( s ) H ( s ) E ( s ) r ( t ) e( t t )h(t )dt
0 t
3、网络函数频域形式 H ( j )
H ( j ) H ( s ) s j ( j ) R E ( j )
例
应用卷积求零状态响应
2 t 图示电路，uC (t )的冲击响应为 h(t ) 5et，当 us (t ) 0.6e 时，求 uC (t ) 。 + 线性无源 C us uc 电阻网络 -
Is( s )
R
IC ( s)
+
UC(s)
1/sC _
UC (s ) R(1 sC ) R 1 1 H 1 (s ) I S (s ) R 1 sC RCs 1 C s 1 RC I C (s ) R RCs s H 2 (s ) I S (s ) R 1 sC RCs 1 s 1 RC
d K 21 ( s 200)2 F ( s ) s 200 0 ds
5 0 1500 I L (s) s (s 200) (s 200)2
iL ( t ) i1 ( t ) (5 1500te 200 t ) A
t0
IC(s) 1000/s UC(s) +
0.1H i 0.3H i 1 2Ω 2 k
3Ω
+ 10V
i1 ( t ) 2 1.75e
12.5 t
A (t 0)
-
i2 ( t ) i1 ( t ) 2 1.75e 12.5 t A ( t 0)
5 i1 3.75 2 0