连续系统的s域分析知识讲解
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第四章——连续时间系统的S域分析
第4章 连续时间系统的S 域分析4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域（一） 定义拉氏正变换：()()()0stf t F s f t e dt ∞-==⎡⎤⎣⎦⎰拉氏逆变换：()()112j st j F s F s e ds j σσπ+∞--∞=⎡⎤⎣⎦⎰ （二） 常用函数的拉氏变换[1] 阶跃函数()01stste u t e dt ss∞-∞-==-=⎡⎤⎣⎦⎰ [2] 指数函数()01a s tatat ste ee e dt a sa s∞-+∞---⎡⎤==-=⎣⎦++⎰ （σ>a -） [3] n t 函数[]21t s =232t s ⎡⎤=⎣⎦1!nn n t s +⎡⎤=⎣⎦[4] 冲激函数()()01stt t e dt δδ-∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0000st stt t t t e dt e δδ-∞---=-=⎡⎤⎣⎦⎰4.2拉普拉斯逆变换（一） 部分分式分解[1]极点为实数，无重根例 求下示函数的逆变换()()()3259712s s s F s s s +++=++ 解 用分子除以分母（长除法）可得()()()()()()322222222225971232277323232232332323221212s s s F s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s +++=++++++=++++++++++=++++++++=++-++ 故有()()()222t t f t t t e e δδ--'=++- ()0t ≥[2]包含共轭复数极点()()12cos sin tA jB A jB e A t B t s j s j αββαβαβ--⎡⎤+-+=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-++⎣⎦例 求下面函数的逆变换()()()223252s F s s s s +=+++ 解()()()()()()()()2222220123252312231212221212s F s s s s s s s s s j s j s k k k s s j s j +=++++=⎡⎤+++⎣⎦+=+++-+=++++-++下面分别求系数012,,k k k()()02725s k s F s =-=+=()()21123121225s j s j k s j s =-++-+==+++ 也即12,55A B =-=，故而可以得到其逆变换的函数表达式 ()()()27122cos 2sin 2555t t f t e e t t --⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()0t ≥ [3]多重极点设有()()()()()()()()()()1111121111k kkk A s A s F s B s s p D s E S K K K s p D S s p s p -==-=++⋅⋅⋅++---现记()()()11kF S s p F s =-则个系数的计算公式为：()()1111111!i i i s p d K F s i ds --==-例 求下示函数的逆变换()()321s F s s s -=+解 将()F s 写成展开式()()()131112232111K K K K F s s ss s =++++++ 容易求得：()202s K sF s ===-为求出与重根有关的个系数，令()()()3121s F s s F s s-=+=故有11123S s K s=--==12122S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭213211222S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭于是有()()()323222111F s s ss s =++-+++ 所求逆变换为()232222t t t f t t e te e ---=++- ()0t ≥4.3微分方程的S 域求解对于二阶连续时间LTI 系统，描述系统的微分方程为()()()()()1010,0y t a y t a y t b x t b x t t ''''++=+≥()()0,0y y --'为系统的初始状态。
连续时间系统的s域分析讲解
思考题
|什么是拉普拉斯变换及其逆变换? |拉普拉斯变换存在的条件?
常用函数的拉氏变换(阶跃函数、指|
数函数等
北京工业大学信号与信息处理研究室
43
§4.3拉氏变换的基本性质|主要内容
z线性(叠加
z原函数的微分与积分
z延时、s域平移
z尺度变换
z初值、终值、卷积定理|重点:拉氏变换的基本性质|难点:基本性质公式的推导北京工业大学信号与信息处理研究室
求极限方法的傅里叶变换
——含有冲激函数,使分析计算较为麻烦。北京工业大学信号与信息处理研究室
一些信号不存在傅里叶变换
——傅里叶变换有一定限制傅里叶逆变换比较困难
傅里叶变换分析法
——只能确定零状态响应寻求更有效而简便的方法——拉普拉斯变换(LT: Laplace Transform p
北京工业大学信号与信息处理研究室
拉普拉斯变换、
第四章
连续时间系统的s域分析学习内容
1.拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收敛。
2.常用函数的拉氏变换:阶跃函数、指数函数、冲激函数。
3.拉氏变换的性质。
4.拉氏逆变换。
4.拉氏逆变换。
5.利用拉氏变换法分析电路、s域元件模型。
6.系统函数的定义及物理意义。
北京工业大学信号与信息处理研究室
思考题| 1.拉氏变换的基本性质及其变换公式？北京工业大学信号与信息处理研究室
⋅=∫复频率。具有频率的量纲令⇒=+, j :s ωσ单边拉普((∫∞−=0d e t t f s F t
s则拉斯变换
0-系统和0+系统
北京工业大学信号与信息处理研究室
二.拉氏变换的收敛
收敛因子e -σt
可能满足绝对可积的条件
|什么是拉普拉斯变换及其逆变换? |拉普拉斯变换存在的条件?
常用函数的拉氏变换(阶跃函数、指|
数函数等
北京工业大学信号与信息处理研究室
43
§4.3拉氏变换的基本性质|主要内容
z线性(叠加
z原函数的微分与积分
z延时、s域平移
z尺度变换
z初值、终值、卷积定理|重点:拉氏变换的基本性质|难点:基本性质公式的推导北京工业大学信号与信息处理研究室
求极限方法的傅里叶变换
——含有冲激函数,使分析计算较为麻烦。北京工业大学信号与信息处理研究室
一些信号不存在傅里叶变换
——傅里叶变换有一定限制傅里叶逆变换比较困难
傅里叶变换分析法
——只能确定零状态响应寻求更有效而简便的方法——拉普拉斯变换(LT: Laplace Transform p
北京工业大学信号与信息处理研究室
拉普拉斯变换、
第四章
连续时间系统的s域分析学习内容
1.拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收敛。
2.常用函数的拉氏变换:阶跃函数、指数函数、冲激函数。
3.拉氏变换的性质。
4.拉氏逆变换。
4.拉氏逆变换。
5.利用拉氏变换法分析电路、s域元件模型。
6.系统函数的定义及物理意义。
北京工业大学信号与信息处理研究室
思考题| 1.拉氏变换的基本性质及其变换公式？北京工业大学信号与信息处理研究室
⋅=∫复频率。具有频率的量纲令⇒=+, j :s ωσ单边拉普((∫∞−=0d e t t f s F t
s则拉斯变换
0-系统和0+系统
北京工业大学信号与信息处理研究室
二.拉氏变换的收敛
收敛因子e -σt
可能满足绝对可积的条件
连续时间系统S域分析小结.
幅频特性：偶函数 相频特性：奇函数 几何法绘制频率响应特性曲线 系统稳态响应的求解 系统通频特性的判断 全通网络和最小相移网络 无失真传输条件和理想低通、带通、高通滤波器
几何法绘制频率响应特性曲线
s H (s) s 1/ Rc
几何法绘制频率响应特性曲线
1 1 H (s) Rc s 1/ Rc
几何法绘制频率响应特性曲线
1 1 R1C1 R2C2
几何法绘制频率响应特性曲线
j j3
|H(j)|
-2
-1
0
σ
2
0
3
10
-j3
系统稳态响应的求解
正 H (e j0 ) Am cos[n0 (0 )]
例题：
如图所示电路中，R=5Ω，L=2H，C＝0.1F， 电路初始状态为零；
L
+ e(t) － R + C
r(t) －
(1)求系统函数H(s)；画出S平面极零点分布图 并判断系统的稳定性；分析系统的通频特性；
(2)若输入激励e(t)=u(t)，求系统的零状态响应。
1.4
1.2
1
0.8
|H(jw)|
y(t ) [1 e (cos2t 0.5 sin 2t )]u(t )
t
熟练掌握拉氏变换的性质，利用典型信号的变 换求解信号变换 初值、终值定理和卷积定理
拉氏逆变换的求解方法：1.部分分式分解法； 2.围线积分法（留数法） 利用拉氏变换求解微分方程
系统函数H(s)
系统函数的定义： 利用冲激响应确定 由微分方程写出系统函数 由系统的S域电路模型写出系统函数 由系统的模拟框图写出系统函数 由系统函数的极零点图写出 系统函数的应用：
几何法绘制频率响应特性曲线
s H (s) s 1/ Rc
几何法绘制频率响应特性曲线
1 1 H (s) Rc s 1/ Rc
几何法绘制频率响应特性曲线
1 1 R1C1 R2C2
几何法绘制频率响应特性曲线
j j3
|H(j)|
-2
-1
0
σ
2
0
3
10
-j3
系统稳态响应的求解
正 H (e j0 ) Am cos[n0 (0 )]
例题：
如图所示电路中，R=5Ω，L=2H，C＝0.1F， 电路初始状态为零；
L
+ e(t) － R + C
r(t) －
(1)求系统函数H(s)；画出S平面极零点分布图 并判断系统的稳定性；分析系统的通频特性；
(2)若输入激励e(t)=u(t)，求系统的零状态响应。
1.4
1.2
1
0.8
|H(jw)|
y(t ) [1 e (cos2t 0.5 sin 2t )]u(t )
t
熟练掌握拉氏变换的性质，利用典型信号的变 换求解信号变换 初值、终值定理和卷积定理
拉氏逆变换的求解方法：1.部分分式分解法； 2.围线积分法（留数法） 利用拉氏变换求解微分方程
系统函数H(s)
系统函数的定义： 利用冲激响应确定 由微分方程写出系统函数 由系统的S域电路模型写出系统函数 由系统的模拟框图写出系统函数 由系统函数的极零点图写出 系统函数的应用：
连续时间系统的s域分析讲解
1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
1Ω
1F + V1(s) I1(s)
第5章-连续系统的s域分析
L[ f (t )] F[ f (t )e t ]
if , t 0, f (t ) 0
单边拉氏变换
s j
f (t )(0 t )
傅立叶变换和单边拉氏变换是双边拉氏变换的特殊情况
23
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
对于单边拉氏变换 讨论：①有界的非周期 信号的拉氏变换一定存 在 满足
1 st e s
例：求L[ (t )]
0
1 s
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
0
例：求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt
0
-(- s)e- st
t 0
s
18
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
f (t )
1 2
j
j
j
Fb ( s )e st ds
1 对比：f (t ) 2
F ( j )e jt d
Laplace变换重新选取函数空间的基底，以 衰减振荡函数集 e ( j )t 为基底构成函数空 间，用来展开信号。
7
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
1 e (t ) , Re[s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X b ( s) s b s b
b Re[s] b
当 b 0 时，ROC 无公共部分，表明
12
X b ( s) 不存在。
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
连续时间信号与系统的S域分析课件
VS
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是了解信号特性 的重要手段。通过s域分析，可以将时域 信号转换为频域信号，实现对信号的频谱 分析，了解信号的频率成分和功率分布等 特性。
THANKS.
系统的实现与仿真
控制系统硬件实现
根据系统设计要求，选择合适的硬件设备，如 传感器、执行器、控制器等，搭建控制系统。
控制系统软件实现
编写控制算法程序，实现控制系统的软件部分。
系统仿真
通过仿真软件对控制系统进行模拟实验，验证系统设计的正确性和有效性。
s域分析的用
05
在通信系统中的应用
信号传输
在通信系统中，信号经常需要经过长距离传输。在传输过程中，信号会受到各种 噪声和干扰的影响，导致信号质量下降。通过s域分析，可以对信号进行滤波、 均衡等处理，提高信号的抗干扰能力，保证信号的传输质量。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。
§6 连续时间系统的s域分析
H (s)
系统也是稳定的。
的全部极点都在S平面的左半边。
例3.
X (s)
1 ( s 1) ( s 2 )
第
6
页
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
s 极点：
j
1,
s 2
j
j
2 1
2 1
2 1
右边信号
左边信号
双边信号
判断因果性和稳定性！
第
Y (s) X (s) H (s)
其中 H ( s ) 是 h ( t ) 的拉氏变换，称为系统函数
或转移函数。
如果 X ( s )的ROC包括 j 轴，则 X ( s ) 和H ( s ) 的
第
3
页
ROC必定包括 j 轴，以 s j 代入，即有
Y ( j ) X ( j ) H ( j )
2 t
u( t )
6.3 由系统函数的零极点分布确定频率特性
H jω H s s jω K
s z
j j 1
m
jω z
j s jω
m
s P
i i 1
n
K
j 1
jω p
i i 1
n
可见H j ω的特性与零极点的位置 有关。
h( t ) e
at at
1
a 0, 在左实轴上 ,
u( t ), 指数衰减
a 0, 在右实轴上 , h( t ) e u( t ), a 0, 指数增加 ω H ( s) 2 , p1 jω, 在虚轴上 2 s ω h( t ) sinωtu( t )，等幅振荡
系统也是稳定的。
的全部极点都在S平面的左半边。
例3.
X (s)
1 ( s 1) ( s 2 )
第
6
页
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
s 极点：
j
1,
s 2
j
j
2 1
2 1
2 1
右边信号
左边信号
双边信号
判断因果性和稳定性！
第
Y (s) X (s) H (s)
其中 H ( s ) 是 h ( t ) 的拉氏变换，称为系统函数
或转移函数。
如果 X ( s )的ROC包括 j 轴，则 X ( s ) 和H ( s ) 的
第
3
页
ROC必定包括 j 轴，以 s j 代入，即有
Y ( j ) X ( j ) H ( j )
2 t
u( t )
6.3 由系统函数的零极点分布确定频率特性
H jω H s s jω K
s z
j j 1
m
jω z
j s jω
m
s P
i i 1
n
K
j 1
jω p
i i 1
n
可见H j ω的特性与零极点的位置 有关。
h( t ) e
at at
1
a 0, 在左实轴上 ,
u( t ), 指数衰减
a 0, 在右实轴上 , h( t ) e u( t ), a 0, 指数增加 ω H ( s) 2 , p1 jω, 在虚轴上 2 s ω h( t ) sinωtu( t )，等幅振荡
信号与系统教案第5章连续系统的s域分析
04
连续系统的s域响应分析
初始状态下的s域响应
01
初始状态下的s域响应是指系统 在输入信号和初始状态共同作 用下的输出信号。
02
在s域中，系统的初始状态可以 表示为s的函数，即系统的初始 值。
03
通过求解线性常微分方程或传 递函数，可以得到系统在初始 状态下的s域响应。
零输入响应和零状态响应
零输入响应是指系统在没有输入信号作用下的自由响应，由系统的内部动 态特性决定。
通过分析极点和零点，可以预测系统在不同输入信号 下的行为，从而对系统进行优化和控制。
05
连续系统的s域设计方法
系统函数的合成与分解
线性时不变系统函数的合成
通过组合简单系统函数，构建复杂系统函数。
系统函数的分解
将复杂系统函数分解为简单系统函数的组合， 便于理解和分析。
传递函数表示法
利用传递函数表示系统函数，便于分析系统 的性能和稳定性。
硬件实现
根据系统函数的数学表达式，选择合适的硬件 平台实现系统函数。
软件实现
利用编程语言或仿真软件实现系统函数，并进 行仿真验证。
实验验证
通过实验测试，验证系统函数的正确性和性能指标的符合程度。
THANK YOU
感谢聆听
02
连续系统的s域分析基础
s域的基本概念
80%
s域
复平面上的一个区域，用于描述 线性时不变系统的传递函数。
100%
传递函数
描述系统输入与输出之间关系的 复数函数。
80%
系统函数
描述系统对不同频率输入信号的 响应。
s域分析的优点
方便数学处理
s域中的传递函数可以进行代 数运算和微积分，便于分析和 设计系统。
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或 f(t)←→ F(s)
▲
■
第 11 页
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
连续系统的s域分析
▲
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第1页
§5.1 拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 收敛域 • (单边)拉普拉斯变换 • 常见函数的拉普拉斯变换 • 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
▲
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第2页
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适 当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋 近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
F(s) f(t)estdt 0
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
▲
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第 10 页
三、单边拉氏变换
F(s)deff(t)estdt 0
f(t)def21j jj F(s)esd t s(t)
简记为F(s)=£ [f(t)] f(t)=£-1[F(s)]
f1[0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
▲
■
第5页
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。
解 F 1 b ( s ) 0 e te sd tt e ( s ( s ) t)0 ( s 1) [ 1 l t ie ( m ) te j t]
1
不s 定
, Re[s] ，
0
s2
2 0
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第 12 页
§5.2 拉普拉斯变换性质
• 线性性质 • 尺度变换 • 时移特性 • 复频移特性 • 时域微分 • 时域积分
• 卷积定理 • s域微分 • s域积分 • 初值定理 • 终值定理
■ 第 13 页
一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2) 例1 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
解
11 f1(t)F 1(s)s3s2
Re[s]= > – 2
f2(t)F 2(s)s 13s 12 f3(t)F 3(s)s 13s 12
Re[s]= < – 3 –3<<–2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。
▲
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第9页
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为
jω
仅当>时，其收敛域 为 <Re[s]<的一个带 状区域，如图所示。
α0
βσ
▲
■
第8页
例4 求下列信号的双边拉普拉斯变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
例1:求如图信号的单边拉氏变换。
0
1t
解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1)
f2(t)
F1(s)=
1 s
(1
es
)
1
-1 0
1t
▲
■
第 16 页
例2:已知f1(t) ←→ F1(s),求f2(t)←→ F2(s)
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1[0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s)
jω
无界 ，
0α
σ
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
收敛边界
收敛域
▲
■
第6页
例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
解F 2 b ( s ) 0 e te sd t t e ( s ( s ) t)0 ( s 1 ) [ 1 t l ie m ( ) te j t]
无界 , Re[s] .
不定
，
jω
1
(s )
，
可见，对于反因果信号，仅当
0
Re[s]=<时，其拉氏变换存在。
收敛域如图所示。
βσ
▲
■
第7页
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
f3(t)f1(t)f2(t) ee tt,,
t0 t0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
f(t)e te jtd t f(t)e ( j )td t
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-t= 21 Fb(j)ejtd
f(t)2 1 F b( j )e(j)td 令s = + j,d =ds/j，有
▲
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第3页
定义
1 F(s) aa
▲
■
第 15 页
三、时移特性
若f(t) <----->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合
f(at-t0)(at-tห้องสมุดไป่ตู้)←→
1
t0 s
ea
F
s
a
a
f1(t) 1
▲
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二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
则f(at) ←→ 1 F ( s )
证明：
aa
Lf(a)tf(a)tesd t t 0
令τ a， t 则
Lf(a)t f(τ)easτdτ1
0
a a
sτ
f(τ)e a dτ
0
1 a
F
s a
Fb(s) f(t)estdt
f(t)21j jj Fb(s)estds
双边拉普拉斯变换对
Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
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二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
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四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
连续系统的s域分析
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§5.1 拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 收敛域 • (单边)拉普拉斯变换 • 常见函数的拉普拉斯变换 • 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
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一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适 当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋 近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
F(s) f(t)estdt 0
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
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三、单边拉氏变换
F(s)deff(t)estdt 0
f(t)def21j jj F(s)esd t s(t)
简记为F(s)=£ [f(t)] f(t)=£-1[F(s)]
f1[0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
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例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。
解 F 1 b ( s ) 0 e te sd tt e ( s ( s ) t)0 ( s 1) [ 1 l t ie ( m ) te j t]
1
不s 定
, Re[s] ，
0
s2
2 0
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§5.2 拉普拉斯变换性质
• 线性性质 • 尺度变换 • 时移特性 • 复频移特性 • 时域微分 • 时域积分
• 卷积定理 • s域微分 • s域积分 • 初值定理 • 终值定理
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一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2) 例1 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
解
11 f1(t)F 1(s)s3s2
Re[s]= > – 2
f2(t)F 2(s)s 13s 12 f3(t)F 3(s)s 13s 12
Re[s]= < – 3 –3<<–2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。
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通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为
jω
仅当>时，其收敛域 为 <Re[s]<的一个带 状区域，如图所示。
α0
βσ
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例4 求下列信号的双边拉普拉斯变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
例1:求如图信号的单边拉氏变换。
0
1t
解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1)
f2(t)
F1(s)=
1 s
(1
es
)
1
-1 0
1t
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例2:已知f1(t) ←→ F1(s),求f2(t)←→ F2(s)
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1[0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s)
jω
无界 ，
0α
σ
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
收敛边界
收敛域
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例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
解F 2 b ( s ) 0 e te sd t t e ( s ( s ) t)0 ( s 1 ) [ 1 t l ie m ( ) te j t]
无界 , Re[s] .
不定
，
jω
1
(s )
，
可见，对于反因果信号，仅当
0
Re[s]=<时，其拉氏变换存在。
收敛域如图所示。
βσ
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例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
f3(t)f1(t)f2(t) ee tt,,
t0 t0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
f(t)e te jtd t f(t)e ( j )td t
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-t= 21 Fb(j)ejtd
f(t)2 1 F b( j )e(j)td 令s = + j,d =ds/j，有
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定义
1 F(s) aa
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三、时移特性
若f(t) <----->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合
f(at-t0)(at-tห้องสมุดไป่ตู้)←→
1
t0 s
ea
F
s
a
a
f1(t) 1
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二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
则f(at) ←→ 1 F ( s )
证明：
aa
Lf(a)tf(a)tesd t t 0
令τ a， t 则
Lf(a)t f(τ)easτdτ1
0
a a
sτ
f(τ)e a dτ
0
1 a
F
s a
Fb(s) f(t)estdt
f(t)21j jj Fb(s)estds
双边拉普拉斯变换对
Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
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二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。