连续系统的S域分析法
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第23讲 拉普拉斯反变换的方法
F (s)
K1 K2 s j s j
利用上法，得系数
K1 K1 e j 1 , K 2 K1 e j 1
f (t ) 2 K1 et cos(t 1 )
例 解 其中 所以
设
F (s)
s2 s 2 2s 2
，求f ( t )。
1 ( s ) n 1
所以： f ( t ) t 2 e t t e t e t e 2 t
(t )
s4 2 例 4： F ( s ) 3 s 4s 2 4s 2 【解】 F ( s ) s 4 12s 16s2 2 s( s 2)
例2： F ( s )
s3 s 2s 5
2
【解】 F ( s )
k1
s3 s 1 2j
s 1 2 j
s3 s 1 2j s 1 2j k1 k2 s 1 2j s 1 2j s3 1 j k 2 s 1 2j 2
* k 2 k1 A jB
( j ) t k2 e ( j ) t k1e (t ) * j t e t ( k1e j t k1 e ) ( t )
2 e t ( A cos t B sin t ) ( t )
其中 : k i F ( s )( s pi ) s p
( 2 ) D ( s ) 0 的 根 含 有 m 阶 重 根 p1 时 , 则 ：
F ( s)
k 1( m 1 ) ki kn k 1m k 11 ... ... ... m m 1 s pi s pn （ s p1 ） （ s p1 ） （ s p1 ）
连续时间信号与系统的S域分析课件
VS
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是了解信号特性 的重要手段。通过s域分析，可以将时域 信号转换为频域信号，实现对信号的频谱 分析，了解信号的频率成分和功率分布等 特性。
THANKS.
系统的实现与仿真
控制系统硬件实现
根据系统设计要求，选择合适的硬件设备，如 传感器、执行器、控制器等，搭建控制系统。
控制系统软件实现
编写控制算法程序，实现控制系统的软件部分。
系统仿真
通过仿真软件对控制系统进行模拟实验，验证系统设计的正确性和有效性。
s域分析的用
05
在通信系统中的应用
信号传输
在通信系统中，信号经常需要经过长距离传输。在传输过程中，信号会受到各种 噪声和干扰的影响，导致信号质量下降。通过s域分析，可以对信号进行滤波、 均衡等处理，提高信号的抗干扰能力，保证信号的传输质量。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。
连续系统的S域分析
则
fT t
特例：δT(t)
sT)
2T
3T
t
F s
1
sT e
←→ 1/(1 –e ■
第4-15页
0、引言
5.2
质
5.2 拉普拉斯变换性
质
拉普拉斯变换性
利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换
的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对
f(t) ←→ F(s)
jω
仅当β>α时，其收敛域
为 α<Re[s]<β的一个带
状区域，如图所示。
α
0
β
σ
第4-7页
■
5.1
换
拉普拉斯变
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t)
f2(t)= – e -3t ε(–t) –e - 2t ε(–
t)
- 2t ε(–t)
1
f3(t)=f e(t)-3t
ε(t) –e
F1 (s)
Re[s]= σ > – 2
解
1
f 2 (t) F2 (s)
s 3
21
s
1
s 3 s 1
2
f 3 (t) F3 (s)
1
s 3 s 1
2
Re[s]= σ < – 3
–3 < σ < –2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必
且有实常数t0 0
Re[s]
st0
0
Re[s] σ 0
F(s)
则 f (t t0 )ε (t t ) e
fT t
特例：δT(t)
sT)
2T
3T
t
F s
1
sT e
←→ 1/(1 –e ■
第4-15页
0、引言
5.2
质
5.2 拉普拉斯变换性
质
拉普拉斯变换性
利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换
的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对
f(t) ←→ F(s)
jω
仅当β>α时，其收敛域
为 α<Re[s]<β的一个带
状区域，如图所示。
α
0
β
σ
第4-7页
■
5.1
换
拉普拉斯变
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t)
f2(t)= – e -3t ε(–t) –e - 2t ε(–
t)
- 2t ε(–t)
1
f3(t)=f e(t)-3t
ε(t) –e
F1 (s)
Re[s]= σ > – 2
解
1
f 2 (t) F2 (s)
s 3
21
s
1
s 3 s 1
2
f 3 (t) F3 (s)
1
s 3 s 1
2
Re[s]= σ < – 3
–3 < σ < –2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必
且有实常数t0 0
Re[s]
st0
0
Re[s] σ 0
F(s)
则 f (t t0 )ε (t t ) e
第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
第4章 拉氏变换--1
15
例4-1：求 f (t ) = sin (ωt ) 的拉氏变换 F(s) 解： 由欧拉公式，有：
1 f (t ) = sin (ωt ) = e jωt − e − jωt ) ( 2j
∵
L
e
± jω t
1 = s jω
(σ
> 0)
故由线性叠加性质，得：
L
1 1 1 ω sin ω t = = − ( ) 2 j s − jω s + jω s 2 + ω 2
17
补充例题：
求三角脉冲的拉氏变换。
E
0
f (t )
E f ' ' ( t ) = [δ ( t ) − δ ( t − T )] − Eδ ' ( t − T ) T
两边同时进行拉氏变换，得：
f ′(t )
E T
T
t
E F2 ( s ) = (1 − e − sT ) − Ese − sT T
由时域微分性质，有：
at
− σt
(σ > a )
e −σt u( t ). cos ω1 t
5
拉氏正变换*
F1 (ω ) = F f ( t )u( t ) ⋅ e
因果
[
−σ t
] = [ f (t )u(t ) e ]⋅ e
+∞ −σ t −∞
− jω t
dt
=
+∞
0
f ( t ) ⋅ e − (σ + jω ) t d t = F (σ + jω )
∞
若L[ f ( t )] = F ( s )，则
拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
若f (t)满足以下条件时，才存在付里叶变换 1 狄氏条件：1) f (t)在有限闭区间连续或有有限个第一类间断点； 2) f (t)在有限闭区间只有有限个极值点。
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j
4拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析讲解
求出k1 , k2 , k3 kn ,即可将F s 展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数 3. 第三种情况：有重根存在 4. F(s)两种特殊情况: 含e s的非有理式 非真分式—— 化为真分式＋多项式
收敛坐标 σ0
O
σ
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
一些常用函数的(单边)拉氏变换:P181表4-1
1.阶跃函数: F ( ) F [ f (t )] u(t )e j t dt [ 1 1 sgn( t )]e j t dt π ( ) 1
f (t )e j0t F 0
f (t ) jF ( )
f (t ) eα t F(s α)
sF ( s ) f (0 )
F ( s ) f 1 (0 ) s s
d F ( s) ds
t
f d
F ( ) πF (0) ( ) j
1 j t F F ( ) f ( t ) F ω e dω 2 以傅里叶变换为基础的频域 分析方法的优点和不足： F f (t ) F ω f (t ) e j t d t • 有清楚的物理意义 • 只能处理符合狄利克雷条件的信号-绝对可积条件： s j f t d t
2)求 e α t cos ω0t的拉氏变换.
3)求f (t ) tu(t 1)的拉氏变换 .
π 4)已知f (t ) ＝ 2 cos(t )u(t ), 求F(s)。 4
§ 4.4 拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的方法： (一)部分分式法 (二)利用留数定理——围线积分法
(三)数值计算方法——利用计算机 拉氏逆变换的过程：部分分式法
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s
s
s2 8s 16
1s 2s
3
1
即 Y s 4.5 4 + 2
s 1 s 2 s 3
反变换， y t 4.5et 4e2t 1 e3t t 0
2
已知微分方程的s域分析
例3 描述某LTI系统的微分方程为： y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
且 y(0-)=1，y’(0-)=-1，f(t)=5cost (t)，求系统的全响应y(t)
解 对微分方程取拉氏变换得：
s2Y (s) sy(0 ) y(0) 5 s Y ( s ) y ( 0 ) 6Y(s) 2F (s)
(s2 5s 6)Y(s) 2 F ( s ) sy ( 0 ) y ( 0 ) 5 y ( 0 )
2F (s) Y(s) s 2 5 s 6
1 s
I ( s )
u(0 ) 1 I(s)
s
Cs
+ u(t)
-
Cs
i(t)
+
I(s)
C
1 Cs
U(s)
-
+
U (s)
C u (0-)
-
I(s)
1 Cs +
u(0 )
-s
1 复频域容抗
Cs
u(
0 ) 、 Cu(0
s 内部电源
)
:
电容并联模型（宜于节点分析） 电容串联模型（宜于回路分析）
3) 电感
zi
已知微分方程的s域分析
例2 设有方程y(t) 3y(t) 2 y(t) e3t (t)
y ( 0 ) 1, y(0 ) 2, 求 y(t)。
解 对方程取拉氏变换，得
[s 2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 3[sY (s) y(0 )] 2Y (s)
1 s 3
整理Y
s4 s2 5s 6
Yzs (s)
Yzi (s)
已知微分方程的s域分析
Yzs(s)
2 F(s)
2
5s 4 3 s + 1
s2 5s 6
(s 2)(s 3) s2 1 s 2 s 3 s2 +1 s2 +1
Y zi (s)
s2
s 4 5s 6
2 1 s 2 s 3
-
+ I(s) Ls
U(s) -
+ U (s)
Li(0-)
-+
-
电感串联模型（宜于回路分析）
I(s)
L s ： 复频域感抗
Ls
i(0 )
Li(0
)、i ( 0 s
)
s
内部电源
电感并联模型（宜于节点分析）
已知电路的S域分析
例 4 电路如图所示，us(t) 10(t)V ，uc(0 ) 5V ，iL(0) 4A ，求 i1(t) 。
y(t) 4e2t 3e3t cos t sint
2e2t e3t (t )
yzs (t)
yzi (t)
已知电路的S域分析
1. 电路基尔霍夫定律的S域模型
n
1) KCL: ik ( t ) 0
k 1
m
2) KVL:
uk (t) 0
k1
2. 电路元件的S模型
1) 电阻
n
Ik (s) 0
做出电路的S域模型
根据s域模型，列写网孔方程为：
(0.2
s1)I1 (s)
0.2I2
(s)
5 s
Us(s)
0.2I1(s) (1.2 0.5s)I2 (s) 2
解得 I (s) 79s 180 57 136
1
s2 7s 12 s 3 s 4
取拉氏反变换，得到
i1(t) (57e3t 136e4t ) A,t 0
例 6 电路如图，us (t) 12V ，开关S 在t 0 时闭合，闭合前电路处于稳 定状态。求开关S 闭合后电阻电压u(t) 的零输入响应和零状态响应。
开关S闭合前，电路处于稳定，因此有
uc(0 )
1 2 3 2 1
us
(t)
6V
做出电路的s域模型
iL
(0
)
3
1 2
1
us(t)
2A
列a点的节点方程为
已知微分方程的s域分析
例 1：系统的微分方程为 y (t) 5y(t) 6y(t) 2 f (t) 8 f (t) ，输入信号
为 f (t) et (t) ，初始状态为 y(0 ) 2, y(0 ) 3，求系统的全响应 y(t)
解 对微分方程两边取拉氏变换
s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 5sY (s) y(0 ) 6Y(s) 2sF(s) 8F(s)
U
(s)+
U
(s)-
uc
(0 s
)
Us
(s)+LiL
(0
)-U
(s)
1
s 3
s
整理，得到
U
(s)
U s(s) s3
iL(0 ) s 3
uc(0)
Y(s) 2s 8 F(s) (s 5)y(0) y(0)
s2 5s 6
s2 5s 6
仅由输入信号引起的 零状态响应
仅由初始状态引起的 零输入响应
已知微分方程的s域分析
零状态响应
Y (s) Yzs(s) Yzi(s)
Y (s) 2s 8 1 3 4 1
zs
s2 5s 6 s 1 s 1 s 2 s 3
yzs (t) (3et 4e2t e3t) (t)
零输入响应为
3s 17 11 8
Yzi(s)
s2 5s 6 s 2 s 3
2t
3t
yzi (t) 11e 8e ,t 0
系统的全响应为
y(t) y (t) y (t) (3et 7e2t 7e3t ),t 0
zs
k 1
m
U k (s) 0
k1
u(t)=R·i(t)
U(s)=R·I(s)
2) 电容
i(t ) C du(t ) dt
I ( s) C [sU ( s) u(0 )]
U (s) 1
Cu(0 )
或 u ( t ) 1 t i( ) d C
U ( s )
1 1 C s
0 i( )d
u(t ) L di(t ) dt
U ( s ) L[ sI ( s ) i(0 )] LsI (s) Li(0 )
或 i ( t ) 1 t u ( ) d L
I ( s )
1 1 L s
0
1
u( )d
s U ( s )
i(0 ) U (s)
s
Ls
+ i(t) u(t) L
信号与系统
第24讲 连续系统的S域分析法
连续系统S域分析法的优点
利用拉氏变换求连续系统的响应,复频域分析， 简称s域分析法
s域分析法将描述系统的时域微分方程转换为s域中 的代数方程；或利用电路元器件的s域模型直接象函数方程中，可以一举求得系统的全响应。