第五章 连续系统的s域分析
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连续时间系统的s域分析讲解
1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
1Ω
1F + V1(s) I1(s)
第5章-连续系统的s域分析
L[ f (t )] F[ f (t )e t ]
if , t 0, f (t ) 0
单边拉氏变换
s j
f (t )(0 t )
傅立叶变换和单边拉氏变换是双边拉氏变换的特殊情况
23
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
对于单边拉氏变换 讨论：①有界的非周期 信号的拉氏变换一定存 在 满足
1 st e s
例：求L[ (t )]
0
1 s
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
0
例：求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt
0
-(- s)e- st
t 0
s
18
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
f (t )
1 2
j
j
j
Fb ( s )e st ds
1 对比：f (t ) 2
F ( j )e jt d
Laplace变换重新选取函数空间的基底，以 衰减振荡函数集 e ( j )t 为基底构成函数空 间，用来展开信号。
7
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
1 e (t ) , Re[s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X b ( s) s b s b
b Re[s] b
当 b 0 时，ROC 无公共部分，表明
12
X b ( s) 不存在。
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
连续系统的S域分析及拉普拉斯变换性质
t
0
( j ) t
dt
j
b
1 s
b0
不定 无界
b
反因果信号的收敛域为某直线的左半平面
X
第
3、双边信号
8 页
f 3 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t )
b a时，收敛域如图
Fb 3 ( s ) Fb1 ( s ) Fb 2 ( s )
j
a
b
b a时， Fb1(s)与Fb2(s)没有共同的收敛域，Fb3（s）不存在
双边信号的收敛域为带状区域
X
第
4、时间有限信号 如：
9 页
f 4 ( t ) et
Fb 4 ( s )
T1 t T2
e t e st dt
T2
T1
T2
T1
f 4 ( t )e st dt
F ' (s)
t
s
f ( )d
lim f ( t ) f (0 ) lim SF ( s )
s
终值定理
lim f ( t ) f ( ) lim SF ( s )
t s 0
卷积 定理
f1 ( t ) * f 2 ( t )
f1 ( t ). f 2 ( t )
F1 ( )
t
5 页
s j
f ( t )e ( j ) t dt
象函数 正LT 原函数 逆LT
Fb ( s )
f ( t )e st dt
双边拉氏变换
0
( j ) t
dt
j
b
1 s
b0
不定 无界
b
反因果信号的收敛域为某直线的左半平面
X
第
3、双边信号
8 页
f 3 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t )
b a时，收敛域如图
Fb 3 ( s ) Fb1 ( s ) Fb 2 ( s )
j
a
b
b a时， Fb1(s)与Fb2(s)没有共同的收敛域，Fb3（s）不存在
双边信号的收敛域为带状区域
X
第
4、时间有限信号 如：
9 页
f 4 ( t ) et
Fb 4 ( s )
T1 t T2
e t e st dt
T2
T1
T2
T1
f 4 ( t )e st dt
F ' (s)
t
s
f ( )d
lim f ( t ) f (0 ) lim SF ( s )
s
终值定理
lim f ( t ) f ( ) lim SF ( s )
t s 0
卷积 定理
f1 ( t ) * f 2 ( t )
f1 ( t ). f 2 ( t )
F1 ( )
t
5 页
s j
f ( t )e ( j ) t dt
象函数 正LT 原函数 逆LT
Fb ( s )
f ( t )e st dt
双边拉氏变换
信号与系统教案第5章连续系统的s域分析
04
连续系统的s域响应分析
初始状态下的s域响应
01
初始状态下的s域响应是指系统 在输入信号和初始状态共同作 用下的输出信号。
02
在s域中，系统的初始状态可以 表示为s的函数，即系统的初始 值。
03
通过求解线性常微分方程或传 递函数，可以得到系统在初始 状态下的s域响应。
零输入响应和零状态响应
零输入响应是指系统在没有输入信号作用下的自由响应，由系统的内部动 态特性决定。
通过分析极点和零点，可以预测系统在不同输入信号 下的行为，从而对系统进行优化和控制。
05
连续系统的s域设计方法
系统函数的合成与分解
线性时不变系统函数的合成
通过组合简单系统函数，构建复杂系统函数。
系统函数的分解
将复杂系统函数分解为简单系统函数的组合， 便于理解和分析。
传递函数表示法
利用传递函数表示系统函数，便于分析系统 的性能和稳定性。
硬件实现
根据系统函数的数学表达式，选择合适的硬件 平台实现系统函数。
软件实现
利用编程语言或仿真软件实现系统函数，并进 行仿真验证。
实验验证
通过实验测试，验证系统函数的正确性和性能指标的符合程度。
THANK YOU
感谢聆听
02
连续系统的s域分析基础
s域的基本概念
80%
s域
复平面上的一个区域，用于描述 线性时不变系统的传递函数。
100%
传递函数
描述系统输入与输出之间关系的 复数函数。
80%
系统函数
描述系统对不同频率输入信号的 响应。
s域分析的优点
方便数学处理
s域中的传递函数可以进行代 数运算和微积分，便于分析和 设计系统。
连续系统的S域分析
相应的傅里叶逆变换为
于是
f(t)e t2 1 F b( j )ejtd
f(t)2 1 F b(j)e(j)td
令s = + j, d=ds/j，有
双边拉普拉斯变换对
Fb(s)
f(t)est
dt,
f(t)21j jj Fb(s)estds
象函数
第5-3页
原函数
■ 连续系统的S域分析
51拉普拉斯变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换二收敛域三单边拉普拉斯变换52拉普拉斯变换的性质53拉普拉斯变换逆变换54复频域分析一微分方程的变换解二系统函数三系统的s域框图四电路的s域模型有些函数不满足绝对可积条件求解傅里叶变换困难
信号与系统
第五章 连续系统的s域分析
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换
0
f(t)d ef21j jj F(s)estds(t)
简记பைடு நூலகம்F(s)= £[f(t)] f(t)= £-1[F(s)]
或
f(t) ←→ F(s)
第5-9页
■ 连续系统的S域分析
信号与系统
5.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→ 1， ’(t) ←→ s， > -∞
2、(t) 或 1 ←→1/s ，> 0
3、t (t) 或 1 ←→1/s2 ，> 0
4、指数函数 es0t(t) 1 ,
s s0
> Re[s0]
若 s0 为实数，则
若 s0 为虚数，则
et(t) s 1,Re[s]
ejt(t) s1j,Re[s]0
et(t) s 1,R e[s] ejt(t) s1j,Re[s]0
信号与线性系统分析_第五章__连续系统的S域分析5-4
待求
back
第
二、系统函数
• 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 叫系统函数 Y ( s) B( s )
H (s)
f
7 页
F (s)
A( s )
f(t) F(s)
h(t) LT[h(t)]
y(t)
f
Y(s)
f
y f t f t h t
Y f ( s ) F ( s ) L T [ h ( t )]
+
U s (s)
uC (0 ) s
1 sC
1 )Y ( s ) Li L ( 0 ) sL R 1
-
Y (s)
R2
(
1 s3
s 1 )Y ( s )
8 (s 2)
2
2 s3
6
6 (s 2)
1 s3
2
12 s
3 s 3 s 2 (s 2)
a
F (s)
F1 ( s ) F2 ( s )
f
数乘器
f1 (t )
a
aF ( s )
F1 ( s ) F 2 ( s )
加法器
f2 (t )
f1 (t ) f 2 (t )
( 1)
积分器 积分器
f (t )
t
(0 )
F (s) f
( 1)
f ( x ) dx
s
(0 )
§5.4 连续系统的复频域分析
物电学院
黎小琴
第
主要内容：
2 页
微分方程的s域求解 系统函数 框图的S域模型 电路的S域模型
连续系统的S域分析
则
fT t
特例：δT(t)
sT)
2T
3T
t
F s
1
sT e
←→ 1/(1 –e ■
第4-15页
0、引言
5.2
质
5.2 拉普拉斯变换性
质
拉普拉斯变换性
利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换
的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对
f(t) ←→ F(s)
jω
仅当β>α时，其收敛域
为 α<Re[s]<β的一个带
状区域，如图所示。
α
0
β
σ
第4-7页
■
5.1
换
拉普拉斯变
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t)
f2(t)= – e -3t ε(–t) –e - 2t ε(–
t)
- 2t ε(–t)
1
f3(t)=f e(t)-3t
ε(t) –e
F1 (s)
Re[s]= σ > – 2
解
1
f 2 (t) F2 (s)
s 3
21
s
1
s 3 s 1
2
f 3 (t) F3 (s)
1
s 3 s 1
2
Re[s]= σ < – 3
–3 < σ < –2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必
且有实常数t0 0
Re[s]
st0
0
Re[s] σ 0
F(s)
则 f (t t0 )ε (t t ) e
fT t
特例：δT(t)
sT)
2T
3T
t
F s
1
sT e
←→ 1/(1 –e ■
第4-15页
0、引言
5.2
质
5.2 拉普拉斯变换性
质
拉普拉斯变换性
利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换
的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对
f(t) ←→ F(s)
jω
仅当β>α时，其收敛域
为 α<Re[s]<β的一个带
状区域，如图所示。
α
0
β
σ
第4-7页
■
5.1
换
拉普拉斯变
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t)
f2(t)= – e -3t ε(–t) –e - 2t ε(–
t)
- 2t ε(–t)
1
f3(t)=f e(t)-3t
ε(t) –e
F1 (s)
Re[s]= σ > – 2
解
1
f 2 (t) F2 (s)
s 3
21
s
1
s 3 s 1
2
f 3 (t) F3 (s)
1
s 3 s 1
2
Re[s]= σ < – 3
–3 < σ < –2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必
且有实常数t0 0
Re[s]
st0
0
Re[s] σ 0
F(s)
则 f (t t0 )ε (t t ) e
第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
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jω
, Re[s] . 无界 不定 ， 1 (s ) ，
对于反因果信号，当Re[s]=< 时， 其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
0
β
σ
5.1 拉普拉斯变换
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
e t , t 0 f 3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) t e , t 0
三、时移（延时）特性 若f(t) <--->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则f(t-t0)(t-t0)<--->e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合 f(at-t0)(at-t0)←→
1 e a
t0 s a
s F a
0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
jω
仅当>时，其收敛域为 <Re[s]< 的一个带状区域。
α 0 β σ
5.1 拉普拉斯变换
例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
5.2 拉普拉斯变换的性质
二、尺度变换
若L f t F s
Re[s ] 0 a 0, Re[s ] a 0
则L[ f ( at)]
e s s s ( 1 e s e ) 例2：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = 2 s f(t )
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
jω
0
α
σ
5.1 拉普拉斯变换
例2 反因果信号f2(t)= e t(-t) ，求其拉普拉斯变换。
解
e ( s )t F2b (s) e e d t (s )
0
t st
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例1、求L[cos(t ) (t )]
1 1 解：L[cos t (t )] L[ e jt (t ) e jt (t )] 2 2 1 1 1 1 1 1 s L[e jt (t )] L[e jt (t )] 2 2 2 2 s j 2 s j s 2 1 L[sin(t ) (t )] L[ (e jt (t ) e jt (t ))] 2j 1 1 1 1 2 2 j s j 2 j s j s 2
1 s F( ) a a
1 0 1 y(t ) 2 4 t
y(t)= 4f(0.5t) 解： Y(s) = 4×2 F(2s)
8 e 2 s
2s
2
(1 e
2 s
2s e
2 s
)
0
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
2
4
t
5.2 拉普拉斯变换的性质
由复频移性质得
e-tf(3t-2) ←→
s 1 ( s 1) 2 9
2 ( s 1) e 3
5.2 拉普拉斯变换性质
五、时域的微分特性（微分定理）
若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0 , 则 f’(t) ←→ sF(s) – f(0-) f’’(t) ←→ s2F(s) – sf(0-) –f’(0-)
n 1
f(n)(t) ←→ snF(s) –
m 0
n 1 m ( m ) s f (0 )
若f(t)为因果信号，则 f(n)(t) ←→ snF(s)
5.2 拉普拉斯变换性质
例9 已知 cos t (t ) S 求 sin t ( t )的 LT 2 S 1 f ' ( t ) ( t ) sin t ( t ) 设 f ( t ) cos t ( t )
则f (t )e t 满足绝对可积条件，它 的付里叶变换为： F[ f (t )e
t
]
f (t )e
t
e
jt
dt
f (t )e ( j )t dt F ( j )
— —衰减因子 — —振荡因子
令s j , 则上式为 Fb ( s)
为基底构成函数空间， 用来展开信号。
5.1 拉普拉斯变换
二、收敛域
收敛区：使f (t )e t 满足绝对可积条件的值的范围称为收敛区， 在收敛区内，f (t )拉氏变换存在，在收敛 区外，f (t )拉氏变换不存在。
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解
F1b (s) e e
解： L[ (t )]
lim[ (t )e t ] 0
t
0
(t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
0
1 s
0， 收敛区为 s平面的右半平面。
例6、求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
t
0 st
e ( s )t dt (s )
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
1 s , Re[s ] 不定 ， 无界 ， 对于因果信号，当Re[s]=>时，
0 0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 2 -1 4 t t
例5:求f(t)= e-2(t-1)ε(t) ←→ F (s)=?
5.2 拉普拉斯变换性质 四、复频移（s域平移）特性 若f(t) ←→F(s) , Re[s]>1 , 且有复常数s0=0+j0, 则f(t)es0t ←→ F(s-s0) , Re[s]>1+0 例6：求 L[e– t sin t (t) ] , L[e– tcos t (t) ]
1 f (t ) 2j
j
j
F ( s )e st ds
t0
①积分下线定为 0 ，是为了包括 (t )。
②f (t )拉氏变换存在的充分条 件：f (t )在t 0时分段连续， 且满足下式 f (t )e t dt
0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[ (t )]
5.2 拉普拉斯变换性质
六、时域积分特性
若 f (t) ←→ F( S），Re [s] >s0
1 F (S ) n 0 S t 1 1 ( 1) 则 f (t ) f ( x)dx F ( S ) f ( 1) (0 ) S S n 1 1 (n) f ( t ) n F ( S ) n i 1 f ( i ) (0 ) S i 1 S f
解：由L[sin( t ) (t )]
s
2 2
，得
Re S > 1 + 0 =
e– t sint (t)
由L[cos(t ) (t )]
2
, 2 2 (S )
s
2
其中 1 0
Re S > 1 + 0 =
s
，得
e– tcost (t)
S , 2 2 (S )
其中 1 0
5.2 拉普拉斯变换性质
s 例7:已知因果信号f(t)的象函数F(s)= 2 s 1 求e-tf(3t-2)的象函数。 解： 由时移性质得
s f (t 2) 2 e 2 s s 1 由尺度变换得 s 2 2 s s 1 s 3 e 3 3 f (3t 2) e 3 ( s )2 1 s2 9 3
0
有界的非周期信号的拉 氏变换一定存在，其收 敛坐标为
0 ，收敛区为全部 s平面。
本书主要讨论单边拉氏 变换，其收敛区必定存 在，故不再讨论 是否收敛的问题。
5.2 拉普拉斯变换的性质
properties of laplace transform
一、线性性质 若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2
f (t )e jt dt 收敛。
当 lim f (t ) 0时，f (t )不存在付里叶变换
t 或t
但若 lim f (t )e t (为实数)收敛。
t 或t
即
f (t )e t dt , e t — 收敛因子
5.1 拉普拉斯变换
例3:求如图信号的单边拉氏变换。
解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1)
1 (1 e s ) F1(s)= s
F2(s)= F1(s)
-1
0
1
t
5.2 拉普拉斯变换的性质
例4:已知f1(t) ←→ F1(s),求f2(t)←→ F2(s)
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s) f1 [0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
, Re[s] . 无界 不定 ， 1 (s ) ，
对于反因果信号，当Re[s]=< 时， 其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
0
β
σ
5.1 拉普拉斯变换
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
e t , t 0 f 3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) t e , t 0
三、时移（延时）特性 若f(t) <--->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则f(t-t0)(t-t0)<--->e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合 f(at-t0)(at-t0)←→
1 e a
t0 s a
s F a
0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
jω
仅当>时，其收敛域为 <Re[s]< 的一个带状区域。
α 0 β σ
5.1 拉普拉斯变换
例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
5.2 拉普拉斯变换的性质
二、尺度变换
若L f t F s
Re[s ] 0 a 0, Re[s ] a 0
则L[ f ( at)]
e s s s ( 1 e s e ) 例2：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = 2 s f(t )
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
jω
0
α
σ
5.1 拉普拉斯变换
例2 反因果信号f2(t)= e t(-t) ，求其拉普拉斯变换。
解
e ( s )t F2b (s) e e d t (s )
0
t st
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例1、求L[cos(t ) (t )]
1 1 解：L[cos t (t )] L[ e jt (t ) e jt (t )] 2 2 1 1 1 1 1 1 s L[e jt (t )] L[e jt (t )] 2 2 2 2 s j 2 s j s 2 1 L[sin(t ) (t )] L[ (e jt (t ) e jt (t ))] 2j 1 1 1 1 2 2 j s j 2 j s j s 2
1 s F( ) a a
1 0 1 y(t ) 2 4 t
y(t)= 4f(0.5t) 解： Y(s) = 4×2 F(2s)
8 e 2 s
2s
2
(1 e
2 s
2s e
2 s
)
0
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
2
4
t
5.2 拉普拉斯变换的性质
由复频移性质得
e-tf(3t-2) ←→
s 1 ( s 1) 2 9
2 ( s 1) e 3
5.2 拉普拉斯变换性质
五、时域的微分特性（微分定理）
若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0 , 则 f’(t) ←→ sF(s) – f(0-) f’’(t) ←→ s2F(s) – sf(0-) –f’(0-)
n 1
f(n)(t) ←→ snF(s) –
m 0
n 1 m ( m ) s f (0 )
若f(t)为因果信号，则 f(n)(t) ←→ snF(s)
5.2 拉普拉斯变换性质
例9 已知 cos t (t ) S 求 sin t ( t )的 LT 2 S 1 f ' ( t ) ( t ) sin t ( t ) 设 f ( t ) cos t ( t )
则f (t )e t 满足绝对可积条件，它 的付里叶变换为： F[ f (t )e
t
]
f (t )e
t
e
jt
dt
f (t )e ( j )t dt F ( j )
— —衰减因子 — —振荡因子
令s j , 则上式为 Fb ( s)
为基底构成函数空间， 用来展开信号。
5.1 拉普拉斯变换
二、收敛域
收敛区：使f (t )e t 满足绝对可积条件的值的范围称为收敛区， 在收敛区内，f (t )拉氏变换存在，在收敛 区外，f (t )拉氏变换不存在。
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解
F1b (s) e e
解： L[ (t )]
lim[ (t )e t ] 0
t
0
(t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
0
1 s
0， 收敛区为 s平面的右半平面。
例6、求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
t
0 st
e ( s )t dt (s )
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
1 s , Re[s ] 不定 ， 无界 ， 对于因果信号，当Re[s]=>时，
0 0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 2 -1 4 t t
例5:求f(t)= e-2(t-1)ε(t) ←→ F (s)=?
5.2 拉普拉斯变换性质 四、复频移（s域平移）特性 若f(t) ←→F(s) , Re[s]>1 , 且有复常数s0=0+j0, 则f(t)es0t ←→ F(s-s0) , Re[s]>1+0 例6：求 L[e– t sin t (t) ] , L[e– tcos t (t) ]
1 f (t ) 2j
j
j
F ( s )e st ds
t0
①积分下线定为 0 ，是为了包括 (t )。
②f (t )拉氏变换存在的充分条 件：f (t )在t 0时分段连续， 且满足下式 f (t )e t dt
0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[ (t )]
5.2 拉普拉斯变换性质
六、时域积分特性
若 f (t) ←→ F( S），Re [s] >s0
1 F (S ) n 0 S t 1 1 ( 1) 则 f (t ) f ( x)dx F ( S ) f ( 1) (0 ) S S n 1 1 (n) f ( t ) n F ( S ) n i 1 f ( i ) (0 ) S i 1 S f
解：由L[sin( t ) (t )]
s
2 2
，得
Re S > 1 + 0 =
e– t sint (t)
由L[cos(t ) (t )]
2
, 2 2 (S )
s
2
其中 1 0
Re S > 1 + 0 =
s
，得
e– tcost (t)
S , 2 2 (S )
其中 1 0
5.2 拉普拉斯变换性质
s 例7:已知因果信号f(t)的象函数F(s)= 2 s 1 求e-tf(3t-2)的象函数。 解： 由时移性质得
s f (t 2) 2 e 2 s s 1 由尺度变换得 s 2 2 s s 1 s 3 e 3 3 f (3t 2) e 3 ( s )2 1 s2 9 3
0
有界的非周期信号的拉 氏变换一定存在，其收 敛坐标为
0 ，收敛区为全部 s平面。
本书主要讨论单边拉氏 变换，其收敛区必定存 在，故不再讨论 是否收敛的问题。
5.2 拉普拉斯变换的性质
properties of laplace transform
一、线性性质 若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2
f (t )e jt dt 收敛。
当 lim f (t ) 0时，f (t )不存在付里叶变换
t 或t
但若 lim f (t )e t (为实数)收敛。
t 或t
即
f (t )e t dt , e t — 收敛因子
5.1 拉普拉斯变换
例3:求如图信号的单边拉氏变换。
解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1)
1 (1 e s ) F1(s)= s
F2(s)= F1(s)
-1
0
1
t
5.2 拉普拉斯变换的性质
例4:已知f1(t) ←→ F1(s),求f2(t)←→ F2(s)
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s) f1 [0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)