连续系统的S域分析

表明 X (s s0)的ROC是将X (s)的ROC平移了
一个Re[s0 ] 。
例. x(t) et (t)
X (s) 1 , 1 s 1
x(t).e2t e 3t (t)
X (S 2) 1 S 3
显然 ROC : 3
4. 时域尺度变换（Time Scaling）:
若 x(t) X (s), ROC: R
例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) •解
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变 换必须标出收敛域。
结论：
• 1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和 收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：
则 x(at) 1 X ( s )
aa
ROC : aR
当 时R X收(s敛) ，
R时e[ s ]收R 敛X ( s )
a
a
Re[s] a R
例.
x(t) et (t) X (s) 1
s 1
1
求
x(
t
)
e
t
2
(t)
的拉氏变换及ROC
2
X
(s)
s
1
1
Байду номын сангаас
2, 2s 1
2
ROC : 1
2
5.1拉普拉斯变换
• 一、从傅里叶到拉普拉斯变换 • 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。
为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度 趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
相应的傅里叶逆变换为
• Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 •二、收敛域
四、常见函数的拉普拉斯变换
• 1、 ’(t) ←→s， Re(S)> -∞ • 2、(t)或1 ←→1/s , Re(S)> 0
• 3、 (t) ←→1， Re(S)> -∞
• 4、 t(t) ←→1/s2 , Re(S)> 0
例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数） f(t)=es0t(t)的象函数
例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。
• 解：
可见，对于反因果信号，仅 当Re[s]=<时，其拉氏变 换存在。收敛域如图所示。
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
求其拉普拉斯变换。
• 解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
仅当> 时，其收敛域 为 <Re[s]<的一个带 状区域，如图所示。
例.
X1(s)
s
1, 1
ROC : R1 1
X
2
(
s)
s
s 2
1
s
3
,
ROC : R2 2
显然有: R1 I R2 1
X1(s)
X
2
(s)
s
1
2
s
3
,
2, ROC扩大
原因是 X1(s)与X2(s)相乘时，发生了零极点相 抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边 界上时，就会使收敛域扩大。
2、不同的信号可以有相同的F(S)，但他们的收敛 域不同； 不同信号如果有相同的收敛域，则他们的F(S)必然 不同！
三、单边拉氏变换
• 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻 为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换 式写为
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
2. 时移性质（Time Shifting）:
若 x(t) X (s), ROC: R
则 x(t t0 ) X (s)est0 , ROC不变
3. S域平移（Shifting in the s-Domain）
: 若 x(t) X (s),
ROC: R 则
x(t)es0t X (s s0 ), ROC : R Re[s0 ]
•只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。
•使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 •下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
例1 因果信号f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯变换。
• 解：
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=> 时，其拉氏变换 存在。收敛域如图所示。
可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的
ROC在S平面上作相反的尺度变换。
特例 x(t) X (s), ROC : R
5. 卷积性质:
若 x1(t) X1(s), ROC : R1 x2 (t) X 2 (s), ROC : R2 则
x1(t) x2 (t) X1(s) X 2 (s) ROC:包括R1 I R2
ROC至少是 R1 I R2
例. x1(t) (t) et (t) x2 (t) et (t)
X1(s)
1
s
1 1
s2 s 1
,
ROC: 1
1
X 2 (s)
s
, 1
ROC: 1
而 x1(t) x2(t) t 1 ROC为整个S平面
• 当 R与1 无R2交集时，表明 不X (存s)在。
e jt (t) 1 , Re[s] 0 s j
§5.2拉氏变换的基本性质
❖ 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的 性质。这里只着重于ROC的讨论。
1. 线性（Linearity ）：
若 x1(t) X1(s), x2 (t) X 2 (s),
ROC : R1
ROC : R2
则 ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
6. 时域微分:（Differentiation in theTime Domain）
若 x(t) X (s), ROC: R
则 dx(t) sX (s), ROC包括 R ,有可能扩大。
dt
7. S域微分:（Differentiation in the s-Domain）
若 x(t) X (s),
• 解： L[es0t (t)] es0test dt e(ss0 )t dt
0
0
s
1 s0
, Re[s]
Re[s0 ]
若s0为实数，令s0＝，则有
et (t) 1 , Re[s] s
et (t) 1 , Re[s] s
若s0为实数，令s0＝j，则有
e jt (t) 1 , Re[s] 0 s j