【数学】2016-2017年福建省龙岩市漳平一中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2016-2017学年福建省龙岩四校联考高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
2016-2017学年福建省龙岩“上杭、武平、漳平、长汀一中”四校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．135°或45°D．135°2．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a6+a7+a8=9，则S13=（）A．38 B．39 C．36 D．153．（5分）不等式x2﹣x﹣2＞0的解集是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣2，1）4．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＜bc，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ac2＜bc2，则a＜b5．（5分）函数y=2x（1﹣x）（其中0＜x＜1）的最大值是（）A．B．C．1 D．26．（5分）数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），a2017=（）A．B．2 C．﹣1 D．17．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若==，则该三角形的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形8．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）10．（5分）数列{a n}前n项和为S n，若a1=2，a n=2a n﹣1﹣1（n≥2，n∈N*），则S10=（）A．513 B．1023 C．1026 D．103311．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足c=，a2+b2=c2+ab 的△ABC有两个，则边长BC的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则+++…+=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为．14．（5分）如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC=120°；从B处攀登4千米到达D 处，回头看索道AC，发现张角∠ADC=150°；从D处再攀登8千米方到达C处，索道AC的长为千米．15．（5分）若x，y满足，且z=2x+y的最大值为6，则k的值为．16．（5分）已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=．若不等式≤对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a2+a8=14，S5=25．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}前n项和T n．19．（12分）（1）已知不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，解不等式cx2﹣2x+a＜0．（2）已知当x＞0时，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，求m的取值范围．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求周长P的取值范围．21．（12分）某人为增加家庭收入，年初用49万元购买了一辆货车用于长途运输，第一年各种费用支出为6万元，以后每年都增加2万元，而每年的运输收益为25万元；（1）求车主前n年的利润f（n）关于年数n的函数关系式，并判断他第几年开始获利超过15万元；（注：利润=总收入﹣总成本）（2）若干年后，车主准备处理这辆货车，有两种方案：方案一：利润f（n）最多时，以4万元出售这辆车；方案二：年平均利润最大时，以13万元出售这辆车；请你利用所学知识帮他做出决策．22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有2S n=n2+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b1=1，2b n+1﹣b n=0（n∈N*），若c n=a n b n，求数列{c n}的前n 项和为T n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问是否存在整数m，使得对任意的正整数n，都有m ﹣2＜T n＜m+2，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省龙岩“上杭、武平、漳平、长汀一中”四校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．135°或45°D．135°【解答】解：由正弦定理知：，∵a=，b=，∠B=60°，代入上式，∴，故可解得：sinA=，从而A=45°或135°，∵a＜b，∴A＜B，∴A=45°．故选：B．2．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a6+a7+a8=9，则S13=（）A．38 B．39 C．36 D．15【解答】解：∵a6+a7+a8=9，由等差数列的性质可得：3a7=9，解得a7=3．则S13==13a7=39．故选：B．3．（5分）不等式x2﹣x﹣2＞0的解集是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣2，1）【解答】解：∵x2﹣x﹣2＞0，即（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），故选：B．4．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＜bc，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ac2＜bc2，则a＜b【解答】解：对于A：若a＞0，b，c，d均小于0，则A不成立，对于B，若c＜0，则不成立，对于C，若a=2，c=1，c=2，d=﹣1，则不成立．对于D，根据不等式的基本性质，两边同除以c2，则成立，故选：D．5．（5分）函数y=2x（1﹣x）（其中0＜x＜1）的最大值是（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴y=2x（1﹣x）≤2×（）2=，当且仅当x=取等号，故选：B．6．（5分）数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），a2017=（）A．B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），可得a2=2，a3=﹣1，a4=a5=2，…数列的周期为4．a2017=a2016+1=a1=．故选：A．7．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若==，则该三角形的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：∵=，可得：acosA=bcosB，∴由余弦定理可得：a×=b×，整理可得：a2（b2+c2﹣a2）=b2（a2+c2﹣b2），①∵=，可得：b2=2a2，②∴由①②解得：c2=3a2=a2+b2，∴该三角形的形状是直角三角形．故选：A．8．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，由得，即A（1，），由得，即C（，），则OA的斜率k=，OC的斜率k==，即的取值范围是[，]，故选：A．9．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=1，∴S3=a1+a2+a3=a2（1+q+），∵公比q＞0时，S3=1+q+≥1+2=3．当且仅当q=1时上式等号成立．∴前3项的和S3的取值范围是[3，+∞）．故选：B．10．（5分）数列{a n}前n项和为S n，若a1=2，a n=2a n﹣1﹣1（n≥2，n∈N*），则S10=（）A．513 B．1023 C．1026 D．1033【解答】解：∵数列{a n}前n项和为S n，a1=2，a n=2a n﹣1﹣1（n≥2，n∈N*），∴a n﹣1=2（a n﹣1），﹣1又a1﹣1=2﹣1=1，∴{a n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列，∴，∴a n=2n﹣1+1，∴S10=20+2+22+…+29+1×10==1033．故选：D．11．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足c=，a2+b2=c2+ab 的△ABC有两个，则边长BC的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a2+b2=c2+ab，∴cosC===，∵C∈（0，π），∴C=，∵c=，∴由正弦定理可得：a===2sinA，∵A∈（0，），且满足条件的△ABC有两个，可得sinA∈（，1），∴BC=a=2sinA∈（，2）．故选：C．12．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则+++…+=（）A．B．C．D．=a m+a n+mn对任意的m，n∈N*都成立【解答】解：因为a n+m所以a n=a n+a1+n=1+n+1﹣a n=1+n即a n+1所以a2﹣a1=2a3﹣a2=3…a n﹣a n﹣1=n把上面n﹣1个式子相加可得，a n﹣a1=2+3+4+…+n所以an=1+2+3+…+n=，从而有==2（，所以+++…+=2（1﹣）=．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为4．【解答】解：∵a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+，当且仅当，即a=b=时，取等号．故答案为：4．14．（5分）如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC=120°；从B处攀登4千米到达D 处，回头看索道AC，发现张角∠ADC=150°；从D处再攀登8千米方到达C处，索道AC的长为千米．【解答】解：在△ABD中，BD=4千米，∠ABD=120°，∵∠ADB=180°﹣∠ADC=30°∴∠DAB=180°﹣120°﹣30°=30°得△ABD中，AB=BD=4千米，AD=4（千米）在△ADC中，DC=8千米，∠ADC=150°∴AC2=AD2+DC2﹣2 AD•DC•cos∠ADC=42×3+82﹣2×4×8×cos150°=208（千米）∴AC=千米．故答案为．15．（5分）若x，y满足，且z=2x+y的最大值为6，则k的值为1．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大为6．由，解得，即A（k，k+3），此时2k+k+3=6，即3k=3，则k=1，故答案为：1．16．（5分）已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=．若不等式≤对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为9．【解答】解：，⇒a n=2n﹣1，n∈N*．就是．在n≥1时单调递增，其最小为9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9．故答案为：9．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC18．（12分）已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a2+a8=14，S5=25．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}前n项和T n．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a2+a8=14，2a1+6d=14，①S5=25，即5a1+10d=25，②∴联立解得：，…（3分）∴{a n}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，∴a n=2n﹣1；…（5分）（2）由（1）知，…（7分）∴，=，数列{b n}前n项和T n，T n=．…（12分）19．（12分）（1）已知不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，解不等式cx2﹣2x+a＜0．（2）已知当x＞0时，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题意：不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，可知：a＜0，且方程ax2+2x+c=0的两根为，由根与系数的关系得：，解得：a=﹣12，c=2．则：不等式cx2﹣2x+a＜0可化为x2﹣x﹣6＜0，解得：﹣2＜x＜3．所以不等式的解集为：{x|﹣2＜x＜3}（2）解：依题意，当x＞0时，x2﹣mx+4＞0恒成立等价于不等式恒成立，设只需m＜f（x）min又，当且仅当即x=2时f（x）min=4．从而m的取值范围为（﹣∞，4）．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求周长P的取值范围．【解答】解：（1）由及正弦定理知：，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴=sinAcosC+cosAsinC，即，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）解法一：由余弦定理得，∴b+c≤2，又b+c＞2﹣1=1，∴1＜b+c≤2，即周长P=b+c+1∈（2，3]．解法二：由正弦定理得，∴，∴周长，∵，∴，从而周长P=b+c+1∈（2，3]．21．（12分）某人为增加家庭收入，年初用49万元购买了一辆货车用于长途运输，第一年各种费用支出为6万元，以后每年都增加2万元，而每年的运输收益为25万元；（1）求车主前n年的利润f（n）关于年数n的函数关系式，并判断他第几年开始获利超过15万元；（注：利润=总收入﹣总成本）（2）若干年后，车主准备处理这辆货车，有两种方案：方案一：利润f（n）最多时，以4万元出售这辆车；方案二：年平均利润最大时，以13万元出售这辆车；请你利用所学知识帮他做出决策．【解答】（本题满分12分）解：（1）每年的费用支出是以6为首项，2为公差的等差数列，…（1分）依题意…（3分）令f（n）＞15得n2﹣20n+64＜0，解得4＜n＜16…（5分）故车主第5年开始获利超过25万元；…（6分）（2）对方案一：利润f（n）=﹣（n﹣10）2+51所以当n=10时，利润取得最大值，为51万元此时出售货车，共获利51+4=55万元…（8分）对方案二：年平均获利万元所以当即n=7时，年平均获利最大，…（10分）此时出售货车，共获利6×7+13=55万元…（11分）这两种方案车主均获利55万元，但方案一用时10年，而方案二只需7年，用时较少，故建议车主采用方案二处理这条货车…（12分）22．（12分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有2S n=n2+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b1=1，2b n+1﹣b n=0（n∈N*），若c n=a n b n，求数列{c n}的前n 项和为T n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问是否存在整数m，使得对任意的正整数n，都有m ﹣2＜T n＜m+2，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由2a1=2得a1=1，当n≥2时，由得，两式相减得a n=n，∵a1=1也满足此式，∴．（Ⅱ）由b1=1，2b n+1﹣b n=0知数列{b n}是等比数列，，∴，∵∴T n，两式相减得，∴．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的n∈N*，都有T n＜4，∵，∴T n＞T n，+1∴T n≥T1=1，从而1≤T n＜4．要使得对任意的正整数n，都有m﹣2＜T n＜m+2，只需，即2≤m＜3．故存在整数m=2，使得对任意的正整数n，都有m﹣2＜T n＜m+2．。
福建省永安、连城、华安、漳平一中等四地六校2017届高三上学期第二次(12月)月考数学(理)试题Word版含答
“华安、连城、泉港、永安、漳平一中，龙海二中”六校联考2016-2017学年上学期第二次月考高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设集合{}(){}()20,ln 10,M x x x N x x MN =-==-<=则[]A 0,1 (]0,1B [)01C ， (],1∞D2. 已知等差数列{}n a 前9项和为27，()1099=8=a a ，则A ． 100 B. 99 C. 98 D. 973. 已知12a =，123b =，3log 2c =，则（ ）A ．b a c >> B.c b a >> C.b c a >> D.a b c >>4. 已知4cos()25πθ+=，22ππθ-<<，则sin 2θ的值等于（ ） A ．2425-B. 2425C. 1225-D. 12255. 设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的（ ）A ． 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D.充要条件6.若函数()ln f x t x =与函数2()1g x x =-在点(1 , 0)处有共同的切线l ，则t 的值是（ ）A ． 12t = B. 1t = C. 2t = D. 3t = 7. 若非零向量a 与b 满足：||2a =，()0a b a +⋅=，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2C.2D.8. 在ABC ∆中，若ABC ∆的面积为3B π=，则AB BC ⋅=( )A ．4 B. 4- C. 2 D.2-9. 定义域为R 的奇函数)(x f 满足(4)()0f x f x -+=，当20x -<<时，x x f 2)(=，则2(log 20)f =（ ）A ．54-B.54C.45D. 45-10. ()()()()121212,,0p x x R f x f x x x ∃∈--≥已知命题:,,2,11q x y R x y x y p q ∈+>>>∧命题:实数若则 或 ；若为假命题，则（ ）A ． 函数()f x 为R 上增函数 B. 函数()f x 为R 上减函数 C. 函数()f x 在R 上单调性不确定 D. 命题q 为假命题 11. 函数cos ln ||xy x -=的图象大致是（ ）12. 已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数2x ()21x x ≠，使得()()21x f x f =.当)()4f f b =成立时，则实数=+b a （ ）A ．3 B. 5 C.3 D. 1二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。
福建省龙岩市五校高三上学期期中联考数学(文)试题 Word版含答案
“上杭、武平、漳平、长汀、永安一中”五校联考2016—2017学年第一学期半期考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
)1.设集合A ={x |﹣2＜x ＜4}，B ={﹣2，1，2，4}，则A ∩B =（ ） A ．{1，2} B ．{﹣1，4}C ．{﹣1，2}D ．{2，4}2.“1sin 2α=”是“30α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.复数)2,0(),sin(23cos πθθπθπ∈++⎪⎭⎫⎝⎛-=i z 的对应点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，则它的一个对称中心是（ ） A ．)0,24(πB ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．)0,12(π5.已知数列{}n a 是等比数列前n 项和是n s ，若232,4a a ==-，则5S 等于（ ） A ．8B ．-8C ．11D ．-116.函数()y f x =在[]31，上单调递减，且函数()3+x f 是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A ．()()()52f f f <<πB ．()()()52f f f <<πC ． ()()()πf f <<52fD ．()()()25f f f <<π7.若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x ＋4y 的最小值是( )A ．6B ．-6C ．4D ．28.已知向量a 与b 的夹角为60,2,6a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49.如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm ），则此几何体的表面积是（ ）A ．82cm B ． 2cmC ．122cm D ． 4+2cm10.已知()f x 为偶函数，且f (x +2)=-f (x )，当20x -≤≤时，()2xf x =；若()*,n n N a f n ∈=，则2017a 等于（ ） A ．2017B ．-8C ．14D ．21 11.已知函数()3cos(2)3f x x π=-，则下列结论正确的是（ ）A ．导函数为'()3sin(2)3f x x π=--B ．函数)(x f 的图象关于直线23x π=对称C ．函数)(x f 在区间)125,12(ππ-上是增函数 D ．函数)(x f 的图象可由函数3s 2y co x =的图象向右平移3π个单位长度得到 12.已知函数()m +-=mx xe x f x，若()0<x f 的解集为（a ,b ）,其中b <0;不等式在（a ,b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中。
(全优试卷)版福建省四校高一上学期期中联考数学试卷 Word版含答案
“上杭、武平、漳平、长汀一中”四校联考2016－2017学年第一学期半期考高一数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合{}ln(1)A x y x ==-，集合{}2xB y y ==，则B A ⋃( )A . ),0(+∞B . ),1(+∞C . )1,0(D . )2,1(2. 函数x x f x+=3)(的零点所在的一个区间是( ) A . )2,3(--B . )1,2(--C . )0,1(-D . )1,0(3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间()+∞,0上单调递减的是（ ） A . 12y x = B . 2y x = C .y x x=-D .2y x -=4. 函数1()2xf x -=的值域是（ ）A .()0,+∞B . (],2-∞C . (]0,2D .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 10)f f -+=（ ）A .11B .8C .5D .26.已知a ＝5.06，b ＝65.0，c ＝6log 5.0，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a7. 函数3log 1y x =-的图象是( )A .B .C .D .8. 已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,1)3()(x a x x a x f x，若函数R x f 是)(上的增函数，则a 的取值范围是( ) A .)3,1(B . )2,1(C . [)3,2D . (]21，9. 函数12()log (||4)f x x =-的单调递减区间为( ) A .(,4)-∞- B . (0,)+∞ C . (,0)-∞ D . (4,)+∞10. 函数122)(-+-=x x x f x的零点个数为( ) A .0B .1C .2D .311. 定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：,0)()(212211<--x x x f x x f x 且4)2(=f ，则不等式08)(>-xx f 的解集为（ ) A .()2,+∞B .()0,2C .()0,4D .()4,+∞12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：223,(1,0]()3,(0,1]x x f x x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩且()(2)f x f x =+，37()2x g x x -=-，则函数()()()h x f x g x =-在区间[3,7]-上的所有零点之和为（ ） A ．12B .11C ．10D ．9二、填空题（每题5分，共20分） 13．7log 203log lg25lg47(9.8)+---=_____________.14． 函数()f x x =-的值域为_____________.15．若函数x x f a log )(=（其中a 为常数，且1,0≠>a a ）满足),3()2(f f >则)2()12(x f x f -<-的解集是_____________.16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=)0(,log )0(1)(21x x x kx x f ，则关于函数))(()(x f f x F =的零点个数，正确的结论是_____________.（写出你认为正确的所有结论的序号）①0=k 时，)(x F 恰有一个零点. ②0<k 时，)(x F 恰有2个零点. ③0>k 时，)(x F 恰有3个零点. ④0>k 时，)(x F 恰有4个零点.三、解答题（共70分）17．（本题满分10分）已知集合{}31<<=x x A ，集合{}m x m x B -<<=12. （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围. （2）若φ=⋂B A ，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）已知函数21(0)()|1|1(0)x x f x x x ⎧-≤=⎨-->⎩.（1）画出)(x f y =的图像，并指出函数的单调递增区间和递减区间; (2)解不等式21)1(-≤-x f .19．（本题满分12分）设0a >，2()2x x af x a =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）用定义法证明()f x 在(0,)+∞上是增函数.20．（本题满分12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按5log (21)A +进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员小江获得2.3万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？21．（本题满分12分）已知33()log (1)log (1).f x x x =+--)1(判断函数)(x f 的奇偶性，并加以证明;(2)已知函数()1x g x k +=，当11[,]32x ∈时，不等式 ()()f x g x ≥有解，求k 的取值范围.22．（本题满分12分）已知函数R a a a x f x x ∈++⋅-=+,124)(1.⑴当1a =时，解方程()10f x -=；⑵当10<<x 时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；⑶若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围.“上杭、武平、漳平、长汀一中”四校联考2016－2017学年第一学期半期考(高一数学答案)一、选择题 1-5 ACDCB 6-12 ABCDC BB二、填空题 13、1214、(,1]-∞ 15、(1,2) 16、 ②④17．解析：（1）由B A ⊆，知,311221⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤>-m m m m 解得2-≤m ,则m 的取值范围为{}2-≤m m ……4分（2）由φ=⋂B A 得①若21m m ≥-,即13m ≥时，φ=B ，符合题意………………6分 ②若31,112<-<-m m m 即时，需⎪⎩⎪⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧≤-<32311131m m m m 或， 解得310<≤m ………9分 综上可知实数m 的取值范围为{}0≥m m ……………10分18.解: (1)()f x 单调增区间是(,0)-∞和(1,)+∞,单调减区间是(0,1);…………6分(2)由已知可得 11110112|2|122x x x x --≤->⎧⎧⎪⎪⎨⎨-1≤---≤-⎪⎪⎩⎩或所以0x ≤或3522x ≤≤…………12分 19.解: (1)因()f x 是R 上的偶函数，则()()f x f x -=恒成立，即22022x x x x a aa a --+--=，(2分)所以11()(2)02x x a a --=，（4分）故10a a-=，（5分）又0a >，所以1a =。
【真题】2017年福建省龙岩市连城三中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2016-2017学年福建省龙岩市连城三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（5×12=60）1．（5分）已知复数z满足|z|=1，则|z﹣（4+3i）|的最大、最小值为（）A．5，3 B．6，4 C．7，5 D．6，52．（5分）记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S6=18，则等于（）A．﹣3 B．5 C．﹣31 D．333．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．（5分）a，b，c依次表示方程2x+x=1，2x+x=2，3x+x=2的根，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＜c＜b B．a＞b＞c C．a＜b＜c D．b＞a＞c5．（5分）展开式的各项系数和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是（）A．B．C．D．或6．（5分）函数图象上的动点P到直线y=2x的距离为d1，点P到y轴的距离为d2，则d1d2=（）A．5 B．C．D．不确定的正数7．（5分）已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且x∈[﹣3，﹣1]时n≤f（x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值是（）A．B．C．1 D．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱DD1和BC中点G为棱A1B1上任意一点，则直线AE与直线FG所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列{a n}定义：，若，则事件S4＞0的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）抛物线x2=ay（a＞0）的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）函数f（x）=x3+bx2+cx+d图象如图，则函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣2）B．[3，+∞）C．[﹣2，3]D．[）12．（5分）若关于x的方程x2﹣（a2+b2﹣6b）x+a2+b2+2a﹣4b+1=0的两个实数根x1，x2满足x1≤0≤x2≤1，则a2+b2+4a的最小值和最大值分别为（）A．和5+4B．﹣和5+4C．﹣和12 D．﹣和15﹣4二、填空题（4×4=16）13．（4分）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足：．则函数y=f（x）的表达式．14．（4分）如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要小时到达B处．15．（4分）已知a，b∈R，且，则数列{an+b}前100项的和为．16．（4分）已知函数f（x）=x2﹣|x|，若，则实数m的取值范围是．三、解答题（5×12+14=74）17．（12分）在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）18．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象，求ab的值；（Ⅲ）求函数f（x）在上的值域．19．（12分）如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，．（1）求多面体ABCDS的体积；（2）求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．20．（12分）已知函数，其中a为实数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，试求a的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足（g是常数，且（q＞0，q≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当时，试证明；（Ⅲ）设函数．f（x）=log q x，b n=f（a1）+f（a2）+…+f（a n），使对n∈N*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2，AB=2．（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；（2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ 与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角．试判断曲线E的形状并说明理由；（3）在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点．以B为圆心，BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点．当Q点在曲线段CG上运动时，试求圆半径r的范围及V P的范围．﹣BMN2016-2017学年福建省龙岩市连城三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60）1．（5分）已知复数z满足|z|=1，则|z﹣（4+3i）|的最大、最小值为（）A．5，3 B．6，4 C．7，5 D．6，5【解答】解：复数z满足|z|=1，点z表示以原点为圆心，1为半径的圆，则|z﹣（4+3i）||表示z点对应的复数与点（4，3）之间的距离，∴d=．∴|z﹣（4+3i）|的最大值为5+1=6，最小值为5﹣1=4．故选：B．2．（5分）记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S6=18，则等于（）A．﹣3 B．5 C．﹣31 D．33【解答】解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；∵S3=2，S6=18，∴，∴q=2．∴==．故选：D．3．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0} C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选：D．4．（5分）a，b，c依次表示方程2x+x=1，2x+x=2，3x+x=2的根，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＜c＜b B．a＞b＞c C．a＜b＜c D．b＞a＞c【解答】解：不难看出，对于2x+x=1，x=0对于2x+x=2的根，可以看作y=2x和y=2﹣x的交点横坐标的大小．同理，3x+x=2的根可以看作是y=3x和y=2﹣x的交点横坐标的大小．由图形可得，a＜c＜b．故选：A．5．（5分）展开式的各项系数和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是（）A．B．C．D．或【解答】解：令x=1，展开式的各项系数和为2n，因为展开式的各项系数和大于8且小于32，所以8＜2n＜32，所以n=4，展开式中间项的系数最大，即第3项二项式系数最大，=．故选：A．6．（5分）函数图象上的动点P到直线y=2x的距离为d1，点P到y 轴的距离为d2，则d1d2=（）A．5 B．C．D．不确定的正数【解答】解：在函数图象上任取一点P（x，2x+），P到直线y=2x的距离为d1 ==，点P到y轴的距离为d2 =|x|，∴d1d2 =×|x|=，故选：B．7．（5分）已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且x∈[﹣3，﹣1]时n≤f（x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值是（）A．B．C．1 D．【解答】解：由题意，∵y=f（x）是偶函数，x∈[﹣3，﹣1]，所以考虑对称区间[1，3]，f（x）=x+，f（x）=4，当且仅当x=2时，取得最小值4，而f（1）=5，f（3）=．所以f（x）在[1，3]上的值域为[4，5]，由于x∈[﹣3，﹣1]时n≤f（x）≤m恒成立，则n≤4，且m≥5，所以最小值为m﹣n=5﹣4=1，故选：C．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱DD1和BC中点G为棱A1B1上任意一点，则直线AE与直线FG所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨时棱长AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，1），F（1，2，0），G（2，t，2），t∈[0，2]．=（﹣2，0，1），=（1，t﹣2，2），则•=﹣2+2=0，∴⊥，∴直线AE与直线FG所成的角为90°．故选：D．9．（5分）抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列{a n}定义：，若，则事件S4＞0的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：事件S4＞0表示反复抛掷4次硬币，其中出现正面的次数是三次或四次，其概率p=•+=，故选：C．10．（5分）抛物线x2=ay（a＞0）的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据抛物线的方程x2=ay，得到p=，所以此抛物线的准线方程为y=﹣，P坐标为（0，﹣），令恒过P点的直线y=kx﹣与抛物线相切，联立直线与抛物线得，消去y得：﹣kx+=0，得到△=k2﹣1=0，即k2=1，解得：k=1或k=﹣1，由直线l绕点P逆时针旋转，k=﹣1不合题意，舍去，则k=1，此时直线的倾斜角为，又P的角速度为每秒弧度，所以直线l恰与抛物线第一次相切，则t==3．故选：C．11．（5分）函数f（x）=x3+bx2+cx+d图象如图，则函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣2）B．[3，+∞）C．[﹣2，3]D．[）【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d∴f'（x）=3x2+2bx+c由函数f（x）的图象知，f'（﹣2）=0，f'（3）=0∴b=﹣，c=﹣18∴=log2（x2﹣x﹣6）的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）令z=x2﹣5x﹣6，在（﹣∞，﹣2）上递减，在（3，+∞）上递增，且y=log2z根据复合函数的单调性知，函数的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）故选：A．12．（5分）若关于x的方程x2﹣（a2+b2﹣6b）x+a2+b2+2a﹣4b+1=0的两个实数根x1，x2满足x1≤0≤x2≤1，则a2+b2+4a的最小值和最大值分别为（）A．和5+4B．﹣和5+4C．﹣和12 D．﹣和15﹣4【解答】解：令f（x）=x2﹣（a2+b2﹣6b）x+a2+b2+2a﹣4b+1，函数开口向上，又关于的方程x2﹣（a2+b2﹣6b）x+a2+b2+2a﹣4b+1=0的两个实数根x1，x2满足x1≤0≤x2≤1，得，即a2+b2+2a﹣4b+1≤0且a+b+1≥0即（a+1）2+（b﹣2）2≤4且a+b+1≥0表示以（﹣1，2）为圆心，半径小于等于2的圆平面与a+b+1=0右上部分平面区域的重叠部分又a2+b2+4a=（a+2）2+b2﹣4只要在满足条件区域中求点（a，b）到点（﹣2，0）距离最大最小即可1）求最小最小值为（﹣2，0）到a+b+1=0距离的平方减去4，得﹣2）求最大最大值为（﹣2，0）与（﹣1，2）距离原式最大=（+2）2﹣4=5+4故选：B．二、填空题（4×4=16）13．（4分）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足：．则函数y=f（x）的表达式f（x）=ln（x+1）．【解答】解：∵A、B、C是直线l上的三点，向量满足：=[y+2f′（1）]﹣ln（x+1），∴y+2 f′（1）﹣ln（x+1）=1 ①，对①求导数得y′﹣=0，∴f′（1）=，代入①式得：f（x）=ln（x+1），故答案为：f（x）=ln（x+1）．14．（4分）如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要小时到达B处．【解答】解：由题意，对于CB的长度可用余弦定理求解，得CB2=CO2+OB2﹣|CO||OB|cos120°=100+400+200=700，因此|CB|=10，因此甲船需要的时间为=（小时）．故答案为：15．（4分）已知a，b∈R，且，则数列{an+b}前100项的和为﹣910．【解答】解：∵，∴+=，∴+=，即++i=+，∴+=，=，解得a=﹣，b=1．∴an+b=n+1．∴数列{an+b}为等差数列．∴数列{an+b}前100项的和S100==﹣910．故答案为：﹣910．16．（4分）已知函数f（x）=x2﹣|x|，若，则实数m的取值范围是．【解答】解：易知函数f（x）=x2﹣|x|为偶函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）=x2﹣x，在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，作出f（x）图象如图所示：因此不等式等价于解这个不等式得故答案为三、解答题（5×12+14=74）17．（12分）在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）【解答】解：（I）设命中油罐的次数为X，则当X=0或X=1时，油罐不能被引爆．，，∴（II）射击次数ξ的取值为2，3，4，5．，，，P（ξ=5）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）﹣P（ξ=4）=．因此，ξ的分布列为：∴18．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象，求ab的值；（Ⅲ）求函数f（x）在上的值域．【解答】解：（I）===．函数f（x）的最小正周期是；（II）由（I）得，，可知，．则．（Ⅲ）∵，∴，∴，∴f（x）的值域为．19．（12分）如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，．（1）求多面体ABCDS的体积；（2）求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）多面体ABCCDS的体积即四棱锥S﹣ABCD的体积．所以…（4分）（Ⅱ）以D为原点，DS，DA，DC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），S（），B（0，a，2a），A（0，a，0），B（0，a，2a），，，设面SBD的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，﹣2，1），又∵，∴设面SAB的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得，…（11分）设二面角A﹣SB﹣D的平面角为θ，则cosθ==，所以二面角A﹣SB﹣D的余弦值为．…（12分）20．（12分）已知函数，其中a为实数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣时，，f（1）=e﹣1，，．故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣e+1=（x﹣1），即；（2）由f（x）≥0，得，∵，∴．令，则=．令h（x）=，则h′（x）=x（e x﹣1）．∵x，∴h′（x）＞0，即h（x）在[）上单调递增．∴h（x）≥h（）=．∴g′（x）＞0．故g（x）在[）上单调递增．则g（x）≥．∴a的取值范围是．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足（g是常数，且（q＞0，q≠1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当时，试证明；（Ⅲ）设函数．f（x）=log q x，b n=f（a1）+f（a2）+…+f（a n），使对n∈N*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I ）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1﹣1），∴，又由S1=a1=（a1﹣1）得a1=q，∴数列a n是首项a1=q、公比为q的等比数列，∴a n=q•q n﹣1=q n（II）（III）b n=log q a1+log q a2+…+log q a n=log q（a1a2…a n）=∴，∴即∵n=1时，，∴m≤3，∵m是正整数，∴m的值为1，2，322．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2，AB=2．（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；（2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角．试判断曲线E的形状并说明理由；（3）在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点．以B为圆心，BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点．当Q点在曲线段CG的范围．上运动时，试求圆半径r的范围及V P﹣BMN【解答】解：（1）如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．于是有P（0，0，2），，D（0，1，0）．则有，又．则异面直线PC与AD所成角θ满足，所以异面直线PC与AD所成角的大小为．（2）设点Q（x，y，0），点P（0，0，2）、点D（0，1，0）、点A（0，0，0），则，，则，，化简整理得到3y2﹣x2=4，则曲线E是平面ABCD内的双曲线．（3）在如图所示的xOy的坐标系中，因为D（0，1）、、，设G（x 1，y1）．则有，故DC的方程为，代入双曲线E：3y2﹣x2=4的方程可得，3y2﹣8（y﹣1）2=4⇒5y2﹣16y+12=0，其中．因为直线DC与双曲线E交于点C，故．进而可得，即．故双曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的区域满足，．又设Q（x，y）为双曲线CG上的动点，．所以，因为，所以当时，；当时，．而要使圆B与AB、BC都有交点，则|BQ|≤2．故满足题意的圆的半径取值范围是．因为PA⊥DMN，所以P﹣DMN体积为．故问题可以转化为研究△BMN的面积．又因为∠MBN为直角，所以△BMN必为等腰直角三角形．由前述，设，则|BM|=|BN|=r，故其面积，所以．于是，．（当Q点运动到与点C重合时，体积取得最大值；当Q点运动到横坐标时，即|BQ|长度最小时，体积取得最小值）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
福建省龙岩市漳平一中2016-2017学年高二(上)第二次数学试卷(理科)
2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题p：∀x∈R，，则（）A．﹁p：∃x∈R，sin B．﹁p：∃x∈R，C．﹁p：∀x∈R D．﹁p：∀x∈R，2．设实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=26，c=15，C=28°，则△ABC有（）A．一解B．二解C．无解D．不能确定4．数列{a n}的前n项和S n=n2﹣5n（n∈N*），若p﹣q=4，则a p﹣a q=（）A．20 B．16 C．12 D．85．下列命题中，真命题的个数有（）①∀x∈R，x2﹣x+≥0；②∃x＞0，lnx+≤2；③“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件；④f（x）=3x﹣3﹣x是奇函数．A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，则m的值为（）A．±4 B．±2C．±2D．±57．今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是（）A．212﹣57 B．211﹣47 C．210﹣38 D．29﹣308．若双曲线=1与椭圆=1（m＞b＞0）的离心率之积等于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若a=3bsinC且cosA=3cosBcosC，则tanA的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．310．已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n是方程x2﹣b n x+3n=0的两根，则b8等于+1（）A．54 B．108 C．162 D．32411．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos2A+cos2C=2cos2B，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．﹣12．直线l与抛物线y2=6x交于A，B两点，圆（x﹣6）2+y2=r2与直线l相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（，2）B．（，3）C．（3，）D．（3，3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13．命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题是．14．方程x2+（m+3）x﹣m=0有两个正实根，则m的取值范围是．15．已知直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点，则斜率k的取值范围为．16．已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆第一象限的点．若∠F1PF2=60°，则P的坐标为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知M是关于x的不等式x2+（a﹣4）x﹣（a+1）（2a﹣3）＜0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出M．18．已知双曲线C：x2﹣y2=1及直线l：y=kx+1．（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．19．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．20．已知动圆过定点P（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点（2，0）的直线l与C相交于A，B两点．求证：是一个定值．21．如图，长为2，宽为的矩形ABCD，以A、B为焦点的椭圆M：=1恰好过C、D两点．（1）求椭圆M的标准方程的最大值．（2）若直线l：y=kx+3与椭圆M相交于P、Q两点，求S△POQ22．已知数列{a n}满足a n+1=﹣，其中a1=0．（1）求证是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=a n+a n+1+…+a2n﹣1．若T n≤p﹣n对任意的n∈N*恒成立，求p的最小值．2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中、连城一中高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题p：∀x∈R，，则（）A．﹁p：∃x∈R，sin B．﹁p：∃x∈R，C．﹁p：∀x∈R D．﹁p：∀x∈R，【考点】命题的否定．【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题的否定方法，可得答案．【解答】解：∵命题p：∀x∈R，，∴命题﹁p：∃x∈R，sin，故选：A2．设实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．令z=x+y，化为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故选：C．3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=26，c=15，C=28°，则△ABC有（）A．一解B．二解C．无解D．不能确定【考点】解三角形．【分析】利用正弦定理，即可得出结论．【解答】解：由正弦定理可得，∴sinB=＜1，∵b＞c，∴B有两解．故选B．4．数列{a n}的前n项和S n=n2﹣5n（n∈N*），若p﹣q=4，则a p﹣a q=（）A．20 B．16 C．12 D．8【考点】等差数列的性质．可得a n是等差数列，可得答案．【分析】根据a n=S n﹣S n﹣1【解答】解：S n=n2﹣5n（n∈N*），可得a1=S n=﹣4=（n﹣1）2﹣5（n﹣1）=n2+7n+6．当n≥2时，则S n﹣1∵a n=S n﹣S n﹣1∴a n=2n﹣6，当n=1，可得a1=﹣4=2常数，∴a n是等差数列，首项为﹣4，公差d=2．∵a n﹣a n﹣1∵p﹣q=4，令q=1，则p=5，那么a5﹣a1=8．故选D5．下列命题中，真命题的个数有（）①∀x∈R，x2﹣x+≥0；②∃x＞0，lnx+≤2；③“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件；④f（x）=3x﹣3﹣x是奇函数．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，∵，∴∀x∈R，x2﹣x+≥0正确；②，∵lnx∈R，∴∃x＞0，lnx+≤2正确；③，“a＞b”⇒“ac2≥bc2”，故错；④，∵f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），且定义域为R，是奇函数，故正确．【解答】解：对于①，∵，∴∀x∈R，x2﹣x+≥0正确；对于②，∵lnx∈R，∴∃x＞0，lnx+≤2正确；对于③，“a＞b”⇒“ac2≥bc2”，故错；对于④，∵f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），且定义域为R，是奇函数，故正确．故选：C6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，则m的值为（）A．±4 B．±2C．±2D．±5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质，求出抛物线的焦点坐标，转化求解即可．【解答】解：抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2），可知抛物线的开口向下，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，可得准线方程为：y=3，焦点坐标（0，﹣3），则：=5，解得m=±2．故选：C．7．今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是（）A．212﹣57 B．211﹣47 C．210﹣38 D．29﹣30【考点】归纳推理．【分析】先设每个30分钟进去的人数构成数列{a n}，确定求数列{a n}的通项公式，由于从早晨6时30分到上午11时，共有10个30分钟，故需求数列{a n}的前10项和，再由等比数列前n项和公式即可得上午11时园内的人数．【解答】解：设每个30分钟进去的人数构成数列{a n}，则a1=2=2﹣0，a2=4﹣1，a3=8﹣2，a4=16﹣3，a5=32﹣4，…，a n=2n﹣（n﹣1）设数列{a n}的前n项和为S n，依题意，只需求S10=（2﹣0）+（22﹣1）+（23﹣2）+…+=（2+22+23+…+210）﹣（1+2+…+9）=211﹣47故选B．8．若双曲线=1与椭圆=1（m＞b＞0）的离心率之积等于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出a，b，m的关系，判断三角形的形状．【解答】解：∵双曲线=1的离心率e1==，椭圆=1的离心率e2==，由e1•e2=1，即•=1，∴a2m2=（a2+b2）（m2﹣b2）∴a2+b2=m2故选D．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若a=3bsinC且cosA=3cosBcosC，则tanA的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3【考点】正弦定理．【分析】运用正弦定理，把边化成角得到sinA=3sinBsinC，再与条件cosA=3cosBcosC 相减，运用两角和的余弦公式，再用诱导公式转化为cosA，由同角公式，即可求出tanA．【解答】解：∵a=3bsinC，由正弦定理得：sinA=3sinBsinC①，又cosA=3cosBcosC②，②﹣①得，cosA﹣sinA=3（cosBcosC﹣sinBsinC）=3cos（B+C）=﹣3cosA，∴sinA=4cosA，∴tanA==4．故选：A．10．已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n是方程x2﹣b n x+3n=0的两根，则b8等于+1（）A．54 B．108 C．162 D．324【考点】数列与函数的综合．【分析】利用韦达定理推出关系式，然后逐步求解即可．【解答】解：数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n+1是方程x2﹣b n x+3n=0的两根，可得：a n+a n+1=b n．a n a n+1=3n；a1=1，则a2=3，a3=3，a4=9，a5=9，a6=27，a7=27，a8=81，a9=81，∴b8=a8+a9=162．故选：C．11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos2A+cos2C=2cos2B，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角公式化简为sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理可得a2+b2=2c2，由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2，结合基本不等式可得答案．【解答】解：由cos2A+cos2B=2cos2C，得1﹣2sin2A+1﹣2sin2B=2（1﹣2sin2C），即sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理可得a2+b2=2c2，由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2，∴cosC=，（当且仅当a=b时取等号）∴cosC的最小值为，故选A．12．直线l与抛物线y2=6x交于A，B两点，圆（x﹣6）2+y2=r2与直线l相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（，2）B．（，3）C．（3，）D．（3，3）【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±3，利用M在圆上，（x0﹣6）2+y02=r2，r2=y02+9≤18+9=27，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=6x1，y22=6x2，相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=6（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=3，因为直线与圆相切，所以，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=6x，得y2=18，∴﹣3＜y0＜3，∵M在圆上，∴（x0﹣6）2+y02=r2，∴r2=y02+9≤18+9=27，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴9＜r2＜27，故3＜r＜3时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，3＜r＜3，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13．命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题是若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0．【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】利用原命题和否命题之间的关系，准确的写出原命题的否命题．注意复合命题否定的表述形式．【解答】解：原命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题只需将条件和结论分别否定即可：因此命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0的否命题为：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0．故答案为：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠014．方程x2+（m+3）x﹣m=0有两个正实根，则m的取值范围是（﹣∞，﹣9﹣∞，﹣9．15．已知直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点，则斜率k 的取值范围为（﹣，）．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】法一、由题意画出图形，求出双曲线的渐近线方程，结合对任意实数m，直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点即可得到k的取值范围；法二、联立直线方程和双曲线方程，由二次项系数不为0，且判别式大于0恒成立即可求得k的范围．【解答】解：法一、由双曲线=1，得a2=9，b2=4，∴a=3，b=2．∴双曲线的渐近线方程为y=，如图，∵直线l：y=kx+m（m为常数）和双曲线=1恒有两个公共点，∴＜k＜．法二、联立，得（4﹣9k2）x2﹣18kmx﹣9m2﹣36=0．∴，即，∴．故答案为：（﹣，）．16．已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆第一象限的点．若∠F1PF2=60°，则P的坐标为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程，设P点坐标，利用余弦定理求得|F1P|•|PF2|，根据三角形的面积公式求得面积S，利用三角形面积相等，即=丨F1F2|•y0，即可求得y0，代入椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：由椭圆=1，a=4，b=3，c=，又∵P是椭圆第一象限的点（x0，y0），y0＞0，∠F1PF2=60°，F1、F2为左右焦点，∴|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2c=2，∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|F1P|•|PF2|cos60°，=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°，=64﹣3|F1P|•|PF2|，∴64﹣3|F1P|•|PF2|=28，∴|F1P|•|PF2|=12．∴=|F1P|•|PF2|sin60°=3，由=丨F1F2|•y0=3，解得：y0=，将y0=，代入椭圆方程，解得：x0=，∴P点坐标为：，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知M是关于x的不等式x2+（a﹣4）x﹣（a+1）（2a﹣3）＜0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出M．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】原不等式化为（x﹣a﹣1）（x+2a﹣3）＜0，由x=0是不等式的解，得（a+1）（2a﹣3）＞0，求出a的取值范围；再讨论a的取值，写出原不等式的解集．【解答】解：原不等式可化为（x﹣a﹣1）（x+2a﹣3）＜0，由x=0适合不等式得（a+1）（2a﹣3）＞0，所以a＜﹣1或a＞；若a＜﹣1，则3﹣2a＞a+1，此时不等式的解集是（a+1，3﹣2a）；若a＞，由﹣2a+3﹣（a+1）=﹣3a+2＜0，所以3﹣2a＜a+1，此时不等式的解集是（3﹣2a，a+1）；综上，当a＜﹣1时，M为（a+1，3﹣2a），当a＞时，M为（3﹣2a，a+1）．18．已知双曲线C：x2﹣y2=1及直线l：y=kx+1．（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式区间即可．【解答】解：（1）双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得（1﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0．∴，解得﹣＜k＜且k≠±1．双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）．（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得，即，解得：．∵﹣＜k＜且k≠±1．∴∴△=﹣4k2+8=6．∴19．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADC，利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAD的值．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD，在△ABC中，由余弦定理即可解得AC的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ADC中，因为cos∠ADC=，所以sin∠ADC=．所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcos B﹣cos∠ADCsin B=×﹣×=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==．在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos B=．所以AC=7．20．已知动圆过定点P（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点（2，0）的直线l与C相交于A，B两点．求证：是一个定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为T，则|MT|==4．然后求解动圆圆心C的轨迹方程．（2）设直线l的方程为x=ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理最后求解•，推出结果即可．【解答】解：（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为T，则|MT|==4．依题意，得|CP|2=|CM|2=|MT|2+|TC|2，∴y2+（x﹣4）2=42+x2，∴y2=8x为动圆圆心C的轨迹方程．（2）证明：设直线l的方程为x=ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2）由，得y2﹣8ky﹣16=0．∴△=64k2+64＞0．∴y1+y2=8k，y1y2=﹣16，=（x1，y1），=（x2，y2）．∵•=x1x2+y1y2=（ky1+2）（ky2+2）+y1y2=k2y1y2+2k（y1+y2）+4+y1y2=﹣16k2+16k2+4﹣16=﹣12．∴•是一个定值．21．如图，长为2，宽为的矩形ABCD，以A、B为焦点的椭圆M：=1恰好过C、D两点．（1）求椭圆M的标准方程的最大值．（2）若直线l：y=kx+3与椭圆M相交于P、Q两点，求S△POQ【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设B（c，0），推出C（c，）利用已知条件列出方程组即可求解M 的方程．（2）将l：y=kx+3代入+y2=1，利用韦达定理以及弦长公式，点到平面的距离的距离，表示三角形的面积，利用基本不等式求解即可．【解答】（1）设B（c，0），由条件知，C（c，）．∴，解得a=2，b=故M的方程为+y2=1．（2）将l：y=kx+3代入+y2=1（1+4k2）x2+24kx+32=0．当△=64（k2﹣2）＞0，即k2＞2时，从而|PQ|=|x1﹣x2|=．又点O到直线PQ的距离d=，所以△POQ的面积S△OPQ=d|PQ|=．设=t，则t＞0，S△OPQ=．当且仅当t=时等号成立，且满足△＞0，所以，△POQ的面积最大值为122．已知数列{a n}满足a n+1=﹣，其中a1=0．（1）求证是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设T n=a n+a n+1+…+a2n﹣1．若T n≤p﹣n对任意的n∈N*恒成立，求p的最小值．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）a n+1=﹣，可得a n+1+1=，取倒数化简即可证明．（2）T n=a n+a n+1+…+a2n﹣1≤p﹣n，可得n+a n+a n+1+…+a2n﹣1≤p，即（1+a n）+（1+a n+1）+（1+a n+2）+…+（1+a2n﹣1）≤p，对任意n∈N*恒成立，而1+a n=，设H（n）=（1+a n）+（1+a n+1）+…+（1+a2n﹣1），考虑其单调性即可得出．【解答】（1）证明：∵a n+1=﹣，∴a n+1+1=﹣+1==，由于a n+1≠0，∴==1+，∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列．=1+（n﹣1）=n，∴a n=﹣1．（2）∵T n=a n+a n+1+…+a2n﹣1≤p﹣n，∴n+a n+a n+1+…+a2n﹣1≤p，即（1+a n）+（1+a n+1）+（1+a n+2）+…+（1+a2n﹣1）≤p，对任意n∈N*恒成立，而1+a n=，设H（n）=（1+a n）+（1+a n+1）+…+（1+a2n﹣1），8 分∴H（n）=++…+，H（n+1）=++…+++，∴H（n+1）﹣H（n）=+﹣=﹣＜0，∴数列{H（n）}单调递减，∴n∈N*时，H（n）≤H（1）=1，故p≥1．∴p的最小值为1．2017年4月24日。
福建龙岩2016-2017高二数学上学期期中联考试题理科有答案
福建龙岩2016-2017高二数学上学期期中联考试题（理科有答案）“上杭、武平、漳平、长汀一中”四校联考2016-2017学年第一学期半期考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题有且仅有一个选项是正确的1.的否定是（）A.不存在，使B.C.D.2．不等式的解集是（）A．B.C．D．3．已知等差数列中，，，则的值是（）A．B．C．D．4.在中，，则（）A.B.C.或D.5．已知等比数列的公比为正数，且，=1，则=() A．B．2C．D．6．已知，“函数在上为减函数”是“函数有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱8.设满足线性约束条件，若取得最大值的最优解有无数多个，则实数的值为（）A.B.C.D.9．设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．2B．8C．9D．1010．数列满足表示前n项之积，则的值为()A.B.C.D.11．在中，角所对的边分别为，若，，且的面积的最大值为，则此时的形状为()A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形12.数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.若满足线性约束条件，则的最大值为14.函数的最小值为15.一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东，这时船与灯塔相距为海里.16．已知数列的前项和为,，若对于任意，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2017年福建省龙岩市连城三中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2016-2017学年福建省龙岩市连城三中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．2．（5分）函数y=是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶数3．（5分）记等差数列的前n项和为S n，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．74．（5分）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）过圆x2+y2=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．36．（5分）对于正实数α，Mα为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）Mα2，则f（x）•g（x）∈Mα1•α2B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且g（x）≠0，则C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈Mα1+α2D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈Mα1﹣α2 7．（5分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）≥1，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）9．（5分）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm210．（5分）设动直线x=a与函数f（x）=2sin2（+x）和g（x）=cos2x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（）A．B．C．2 D．311．（5分）设O在△ABC的内部，且，△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：112．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1 C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）命题p：∀x∈R，f（x）≥m，则命题p的否定￢p是．14．（4分）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为．15．（4分）某中学高一、高二、高三学生人数之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出一个样本空量为n的样本，样本中高三学生有150人，那么n的值等于．16．（4分）按下图所示的程序框图运算，若输入x=8，则输出k=．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．18．（12分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，a n+1=2S n+1（n∈N*）．（1）当t为何值时，数列{a n}为等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{b n}的前n项和T n有最大值，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．19．（12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）设（i，j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜．你认为此游戏是否公平？请说明你的理由．20．（12分）如图，多面体P﹣ABCD的直观图及三视图如图所示，E，F分别为PC、BD的中点（1）求证：EF∥平面PAD（2）求证：平面PDC⊥平面PAD（3）求V P﹣ABCD21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x．（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．（Ⅱ）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．22．（14分）已知直线x+y﹣1=0与椭圆（a＞b＞0）相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，=﹣，且点M在直线l：y=上，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程．2016-2017学年福建省龙岩市连城三中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．2．（5分）函数y=是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶数【解答】解：由函数的形式得解得x∈[﹣1，0）∪（0，1]，定义域关于原点对称又y（﹣x）===y（x）故函数是偶函数故选：B．3．（5分）记等差数列的前n项和为S n，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（）A．2 B．3 C．6 D．7【解答】解：由2a1+d=4且4a1+6d=20；解得d=3故选：B．4．（5分）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB 是△ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选：A．5．（5分）过圆x2+y2=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：设切线方程为（a＞0，b＞0），即bx+ay﹣ab=0，由圆心到直线的距离等于半径得=1，所以ab=，令t=，则有t2﹣2t≥0，t≥2，故t的最小值为2．由题意知t=|AB|，故选：C．6．（5分）对于正实数α，Mα为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）Mα2，则f（x）•g（x）∈Mα1•α2B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且g（x）≠0，则C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈Mα1+α2D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈Mα1﹣α2【解答】解：对于﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1），即有，令，有﹣α＜k＜α，不妨设f（x）∈Mα1，g（x））∈Mα2，即有﹣α1＜k f＜α1，﹣α2＜k g＜α2，因此有﹣α1﹣α2＜k f+k g＜α1+α2，因此有f（x）+g（x）∈Mα1．+α2故选：C．7．（5分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）≥1，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f（x）≥1成立，所以将原不等式转化为：或，从而得x≥1或x≤﹣1．故选D．9．（5分）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm2【解答】解：由几何体的三视图，我们可得：底面直径为6，底面半径为3圆锥的母线长为5，故几何体的表面积S=S底面积+S侧面积=32•π+3•π•5=24π故选：C．10．（5分）设动直线x=a与函数f（x）=2sin2（+x）和g（x）=cos2x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：，=．故选：D．11．（5分）设O在△ABC的内部，且，△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1【解答】解：如图，令D是AB的中点，则有又∴，即C，O，D三点共线，且OC=OD∴O到AC的距离是点D到AC的距离的，∴O到AC的距离是点B到AC的距离的，∴△ABC的面积与△AOC的面积之比为4故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1 C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1【解答】解：∵函数f（x）=log a（2x+b﹣1）是增函数，令t=2x+b﹣1，必有t=2x+b﹣1＞0，t=2x+b﹣1为增函数．∴a＞1，∴0＜＜1，∵当x=0时，f（0）=log a b＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）=log a b＞﹣1=log a，∴b＞，∴0＜a﹣1＜b＜1．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）命题p：∀x∈R，f（x）≥m，则命题p的否定￢p是∃x∈R，f（x）＜m．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈R，f（x）≥m，的否定是：∃x∈R，f（x）＜m．故答案为：∃x∈R，f（x）＜m．14．（4分）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为0．【解答】解：由题意知==2×4×4cos120°+42=0．故答案为0．15．（4分）某中学高一、高二、高三学生人数之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出一个样本空量为n的样本，样本中高三学生有150人，那么n的值等于300．【解答】解：∵高一、高二、高三学生人数之比依次为2：3：5∴解得n=300故答案为：30016．（4分）按下图所示的程序框图运算，若输入x=8，则输出k=4．【解答】解：输入x=8，根据执行的顺序，x的值依次为8，17，35，71，143，故程序只能执行4次，故k的值由0变化为4，故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）=sin+cos=2sin，∴f（x）的最小正周期T==4π．当sin=﹣1时，f（x）取得最小值﹣2；当sin=1时，f（x）取得最大值2．（2）g（x）是偶函数．理由如下：由（1）知f（x）=2sin，又g（x）=f，∴g（x）=2sin=2sin=2cos．∵g（﹣x）=2cos=2cos=g（x），∴函数g（x）是偶函数．18．（12分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，a n+1=2S n+1（n∈N*）．（1）当t为何值时，数列{a n}为等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{b n}的前n项和T n有最大值，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．=2S n+1 ①可得a n=2s n﹣1+1 （n≥2）②【解答】解：（1）由a n+1两式作差得a n+1﹣a n=2a n⇒a n+1=3a n．因为数列{a n}为等比数列⇒a2=2s1+1=2a1+1=3a1⇒a1=t=1．所以数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列∴a n=3n﹣1．（2）设等差数列{b n}的公差为d，由T3=15⇒b1+b2+b3=15⇒b2=5，所以可设b1=5﹣d，b3=5+d．又a1=1，a2=3，a3=9．由题得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2．⇒d=﹣10，d=2．因为等差数列{b n}的前n项和T n有最大值，且b2=5，所以d=﹣10．解得b1=15，所以T n=15n+=20n﹣5n2．19．（12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）设（i，j）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜．你认为此游戏是否公平？请说明你的理由．【解答】解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况为（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4），共12种不同情况（4分）（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为．（8分）（3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2），（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），共5种甲获胜的概率，乙获胜的概率为∵∴此游戏不公平..（13分）20．（12分）如图，多面体P﹣ABCD的直观图及三视图如图所示，E，F分别为PC、BD的中点（1）求证：EF∥平面PAD（2）求证：平面PDC⊥平面PAD（3）求V P﹣ABCD【解答】证明：由多面体P﹣ABCD的三视图知，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD是等腰三角形，PA=PD=，且平面PAD⊥平面ABCD（3分）（1）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD（6分）（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，其交线为AD，CD⊂平面ABCD又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD⊄平面PAD∴平面PAD⊥平面PDC（9分）=×2×2×1=（12（3）由（1）知点P到平面ABCD的距离为1，则V P﹣ABCD分）21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x．（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．（Ⅱ）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f'（x）=3x2﹣2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，…（3分）所以f'（x）=3x2﹣10x+3=0的根为x=3或（舍去），当1＜x＜3时，f'（x）＜0，当3＜x＜5时，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，3]上单调递减，在x∈[3，5]上单调递增又f（1）=﹣1，f（3）=﹣9，f（5）=15，∴f（x）在x∈[1，5]上的最小值是f（3）=﹣9，最大值是f（5）=15．…（7分）（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x2﹣2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，即在x∈[1，+∞）内恒成立又（当且仅当x=1时取等号），所以a≤3…（13分）22．（14分）已知直线x+y﹣1=0与椭圆（a＞b＞0）相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，=﹣，且点M在直线l：y=上，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程．【解答】解：设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），（1）由=﹣，可得M是AB的中点，…（1分）由消去y，得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0…（4分）∴x1+x2=，可得y1+y2=2﹣（x1+x2）=2﹣=…（5分）因此，点M的坐标为（，）又∵点M 在直线l ：y=上，∴=×…（6分）化简得a 2=2b 2=2（a 2﹣c 2），可得a=，所以椭圆的离心率e==…（7分）（2）由（1）得b=c ，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F （b ，0） 设F （b ，0）关于直线 l ：y=的对称点为Q （x 0，y 0），…（8分）则，解之得：…（11分）结合已知=1，可得，解之得b=1（舍负）…（13分）因此，所求的椭圆的方程为…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
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2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）1．（5分）设集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{﹣1，4}C．{﹣1，2}D．{2，4}2．（5分）“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件3．（5分）复数z=cos（﹣θ}）+isin（π+θ），θ∈（0，）的对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}是等比数列前n项和是S n，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（）A．8 B．﹣8 C．11 D．﹣116．（5分）函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（2）＜f（π）＜f（5） B．f（π）＜f（2）＜f（5） C．f（2）＜f（5）＜f （π）D．f（5）＜f（π）＜f（2）7．（5分）若实数x，y满足不等式组则2x+4y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．28．（5分）已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（）A．8cm2B．cm2C．12 cm2D．cm210．（5分）已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，a n=f（n），则a2017等于（）A．2017 B．﹣8 C．D．11．（5分）已知函数f（x）=3cos（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．导函数为B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度得到12．（5分）已知函数f（x）=xe x﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中．）13．（5分）在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=．14．（5分）递增数列{a n}满足2a n=a n﹣1+a n+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为S n，a2+a8=6，a4a6=8，则S10=．15．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．三、解答题（本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程．）17．（12分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（1）求函数f（x）的递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．18．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4=7，S4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA﹣sinC（cosB+sinB）=0．（1）求角C的大小；（2）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b的值．20．（12分）已知数列{a n}的首项a1=2，且满足a n+1=2a n+3•2n+1，（n∈N*）．（1）设b n=，证明数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．（1）试探究函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．请考生从第22、23题中任选一题作答，多答按所答的第一题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C1：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0．（1）求圆C1的直角坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年福建省龙岩市漳平一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）1．（5分）设集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{﹣1，4}C．{﹣1，2}D．{2，4}【解答】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}．故选：A．2．（5分）“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：“A=30°”⇒“”，反之不成立．故选：B．3．（5分）复数z=cos（﹣θ}）+isin（π+θ），θ∈（0，）的对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z=cos（﹣θ}）+isin（π+θ）=﹣cosθ﹣isinθ，复数z=cos（﹣θ}）+isin（π+θ），θ∈（0，）的对应点（﹣cosθ，﹣sinθ）在第三象限．故选：C．4．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2×﹣）=0；∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．故选：D．5．（5分）已知数列{a n}是等比数列前n项和是S n，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（）A．8 B．﹣8 C．11 D．﹣11【解答】解：设{a n}是等比数列的公比为q，因为a2=2，a3=﹣4，所以q===﹣2，所以a1=﹣1，根据S5==﹣11．故选：D．6．（5分）函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（2）＜f（π）＜f（5） B．f（π）＜f（2）＜f（5） C．f（2）＜f（5）＜f （π）D．f（5）＜f（π）＜f（2）【解答】解：∵函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，∴f（π）=f（6﹣π），f（5）=f（1），∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），∴f（π）＜f（2）＜f（5）故选：B．7．（5分）若实数x，y满足不等式组则2x+4y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C时，直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（3，﹣3），此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6．故选：B．8．（5分）已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，∴（2﹣）•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2，∴2﹣在方向上的投影为=．故选：A．9．（5分）如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（）A．8cm2B．cm2C．12 cm2D．cm2【解答】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，侧高和底面的棱长均为2，故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm2，故选：C．10．（5分）已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，a n=f（n），则a2017等于（）A．2017 B．﹣8 C．D．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，∴f（1）=f（﹣1）=，∴a2017=f（1）=，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=3cos（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．导函数为B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度得到【解答】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣）•2=﹣6sin（2x﹣），A 错误；对于B，当x=时，f（）=3cos（2×﹣）=﹣3取得最小值，所以函数f（x）的图象关于直线对称，B正确；对于C，当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y=3co s2（x﹣）=3co s（2x﹣）的图象，这不是函数f（x）的图象，D错误．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=xe x﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，由题设原不等式有唯一整数解，即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，g′（x）=（x+1）e x，g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），结合函数图象得K PA≤m＜K PB，即≤m＜，，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中．）13．（5分）在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=4．【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案为：4．14．（5分）递增数列{a n}满足2a n=a n﹣1+a n+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为S n，a2+a8=6，a4a6=8，则S10=35．【解答】解：∵2a n=a n﹣1+a n+1，（n∈N*，n＞1），∴数列{a n}为等差数列，又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3，又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8，∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去）∴a n=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2．∴a1=﹣1，∴S10=10a1+=35．故答案为：35．15．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为（0，1）．16．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为5．【解答】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，∵CD⊥BC，∴CD∥AE，∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，在RT△ACE，CE===，由得BC=2CE=5，在RT△BCD中，BD===10，则AD=5，故答案为：5．三、解答题（本大题6个小题，共70分，要求在答题卷中写出解答过程．）17．（12分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（1）求函数f（x）的递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．【解答】解：（1）…（2分）令解得…（5分）f（x）的递增区间为…（6分）（2）∵，∴…（8分）∴，∴…（10分）∴f（x）的值域是…（12分）18．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4=7，S4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…（5分）（2）由①得…（7分）∴…（11分）∴…（12分）19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA﹣sinC（cosB+sinB）=0．（1）求角C的大小；（2）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C），∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣sinBsinC=0，…（2分）即sinB（cosC﹣sinC）=0，∵sinB≠0，∴tanC=，故C=．…（6分）（2）∵ab×=，∴ab=4，①又c=2，…（8分）∴a2+b2﹣2ab×=4，∴a2+b2=8．②∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）20．（12分）已知数列{a n}的首项a1=2，且满足a n+1=2a n+3•2n+1，（n∈N*）．（1）设b n=，证明数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵=，∴数列{b n}是以为首项，3为公差的等差数列．（2）由（1）可知，∴①②①﹣②得：，∴．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．（1）试探究函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．【解答】解：（1），令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．∴f（x）在x=a时取得最大值，即①当，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→﹣∞∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）即f（x）有2个零点；②当，即a=1时，f（x）有1个零点；③当，即a＞1时f（x）没有零点；（2）由得（0＜x 1＜x2），=，令，设，t∈（0，1）且h（1）=0则，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h （1）=0即，又，∴f'（x0）=＜0．请考生从第22、23题中任选一题作答，多答按所答的第一题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C1：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0．（1）求圆C1的直角坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．【解答】解：（1）∵，将其代入C1得：，∴圆C1的直角坐标方程为：．由直线l1：（t为参数），消去参数可得：y=x，可得（ρ∈R）．∴直线l1的极坐标方程为：（ρ∈R）．（2），可得⇒，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6}…（5分）（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x ﹣a ，﹣a 表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2； ∴当﹣a ≥2，即a ≤﹣2时成立；…（8分）当﹣a ＜2，即a ＞﹣2时，令﹣x +4=x ﹣a ，得x=2+， ∴a ≥2+，即a ≥4时成立， 综上a ≤﹣2或a ≥4．…（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。