合肥市2019届高三调研性检测数学试题-理科含答案
数学分类汇编(12)三角函数的化简与求值(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。
【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。
《高考真题》专题14 等差数列-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ．专题14 等差数列【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力,以及考生对函数与方程思想的应用.要求： 1．熟练掌握等差的通项公式、前n 项和公式． 2．掌握与等差数列有关的数列的求和的常见方法． 3．了解等差数列与一次函数的关系．【命题规律】等差数列是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等差数列通项形如关于n 的一次函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【知识总结】1．等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n =a m +（n –m ）d （n ，m ∈N *）．（2）若{a n }是等差数列，且k+l=m+n （k ，l ，m ，n ∈N *），则a k +a l =a m +a n ；反之，不一定成立． （3）若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． （4）若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n +qb n }（p ，q ∈N *）也是等差数列．（5）若{a n }是等差数列，则a k ，a k+m ，a k+2m ，…（k ，m ∈N *）组成公差为md 的等差数列． 2．与等差数列各项的和有关的性质（1）若S m =n ，S n =m ，则S m+n =–（m+n ）；若S m =S n ，则S m+n =0． （2）若{a n }是等差数列，则{n S n}也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12．（3）若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m –S m ，S 3m –S 2m 成等差数列．（4）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶–S 奇=nd ，S S 奇偶=1nn a a +； ②若项数为2n –1，则S 偶=（n –1）a n ，S 奇=na n ，S 奇–S 偶=a n ，S S 奇偶=-1nn ．（5）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为2-12-1n n S T =nna b ． 【方法总结】 （一）等差数列1．等差数列的判定与证明方法有以下四种：（1）定义法：a n+1–a n =d （常数）（n ∈N *）或a n –a n –1=d （n ∈N *，n ≥2）⇔{a n }为等差数列． （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2（n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （3）通项公式法：a n =an+b （a ，b 是常数，n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （4）前n 项和公式法：S n =an 2+bn （a ，b 为常数）⇔{a n }为等差数列．若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n+1，a n+2，使得这三项不满足2a n+1=a n +a n+2即可．判断一个数列是否为等差数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般优先考虑定义法，即先表示出a n +1–a n ，然后验证其是否为一个与n 无关的常数．也可根据已知条件求出一些项，根据求解过程寻找具体的解题思路．注意常数列{a n }的通项公式为a n =a （a 为常数），它是一个首项为a ，公差为0的等差数列．2．等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n ．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解，或利用等差中项间接求解． 3．求数列前n 项和的最值的方法：（1）通项法：①若a 1>0，d<0，则S n 必有最大值，其n 可用不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，来确定；②若a 1<0，d>0，则S n 必有最小值，其n 可用不等式组100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，来确定．（2）二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n =na 1+–12n n （）d=2d n 2+（a 1–2d）n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值． （3）不等式组法：借助S n 最大时，有–11n n nn S S S S +≥⎧⎨≥⎩，（n ≥2，n ∈N *），解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值（即S n 的最值）． （二）其他数列1．求数列前n 项和的常用方法 （1）分组求和法分组转化法求和的常见类型①若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．②通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项． 如：是公差为的等差数列，求解：由∴ （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．{}n a d 111nk k k a a =+∑()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭相加2．数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 3．数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法（作差作商）、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解； 5．以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在数列{}n a 中，35a =，()120n n a a n ++--=∈N ，若25n S =，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()120n n a a n ++--=∈N ，所以1=2n n a a +-=d ，所以数列{}n a 是等差数列，121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……所以()11145 ,1,512252a a n n n na +=⎧⎪∴==⎨-+⋅=⎪⎩．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的判定，考查等差数列的通项和前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，则4a = A ．11 B ．13 C ．15 D ．17【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，62423744,a a d d d =+⇒=+⇒= 根据等差数列的通项公式得到42215.a a d =+=故选C ．【名师点睛】这个题目考查了等差数列的概念以及通项公式的应用属于基础题． 3．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】等差数列{}n a 中，若46131520a a a a +++=，则101215a a -的值是A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A【解析】∵()461315415220a a a a a a +++=+=，∴41510a a +=， ∴()1012101211555a a a a -=-()891011121215a a a a a a =++++- ()89101115a a a a =+++()41525a a =+4=．故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列中下标和性质的应用，解题的关键是进行适当的变形，以得到能运用性质的形式．本题也可转化为等差数列的首项和公差后进行求解，属于基础题．4．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若21016a a +=，714S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．3C ．6D ．2【答案】B【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1777()142a a S +==，得174a a +=①， 因为21016a a +=，所以11116a a +=②，②–①得，11712a a -=，即412d =，所以3d =，故选B ．方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21016a a +=，714S =，所以112101672114a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得173a d =-⎧⎨=⎩，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列基本量求解，属于基础题．等差数列基本量求解的通法是方程组法，利用等差数列的通项公式、求和公式将条件转化为关于1a 和d 的方程组，进而求解；另外也可以运用性质法，即利用等差数列的相关性质公式以及通项公式、求和公式直接求出基本量．5．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132 C ．–66 D ．–132【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D ．【名师点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题．6．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且728S =，则4a = A ．4 B ．7 C ．8 D ．14【答案】A 【解析】()177477282a a S a +===，故44a =，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基础题． 7．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且86a =，828S =，则其公差为A ．47 B ．57 C ．47-D ．57-【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由86a =，828S =，则1176878282a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得57d =，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知等差数列{}n a ，12018a =-，其前n 项和为n S ，20192018120192018S S -=，则2019S = A ．0 B ．1 C ．2018 D ．2019【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d -=+， 所以2019110092019S a d =+，20181201720182S a d =+，代入20192018120192018S S -=，得2d =． 所以()20192019201820192018202S ⨯=⨯-+⨯=．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于中档题．9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学】等差数列{}n a 的前7项和为28，108a =，则7a = A ．6B ．7【答案】A【解析】由题得11717672822,2,,26623398a d a d a a d ⨯⎧+⨯=⎪∴==∴=+⨯=⎨⎪+=⎩．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．10．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一）数学】已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，则公差d = A ．6 B ．6- C ．2- D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5<a 6，∴a 5=–2，a 6=4，∴d =a 6–a 5=6，故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的构造及解法，是基础的计算题． 11．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于A ．9B ．7C ．6D ．5【答案】B【解析】因为35791155a a a a a ++++=，所以5a 7=55，所以711a =， 因为33S =，所以21a =，所以公差7225a a d -＝＝，所以5237a a d =+=．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．12．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若357911355,3a a a a a s ++++==，则5a 等于A ．5B ．6【答案】C【解析】在等差数列{}n a 中，因为35791155a a a a a ++++=，所以7755511a a =⇒=， 又33S =，123223331a a a a a ∴++=⇒=⇒=，又因为7252a a d d =+⇒=，5237a a d ∴=+=，故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质．13．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在数列{}n a 中，已知121n n n n a a a a +++-=-，10101a =，则该数列前2019项的和2019S =A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040【答案】A 【解析】121n n n n a a a a +++-=-，122n n n a a a ++∴=+，{}n a ∴为等差数列，10101a =，()1201910102019201920192201922a a a S +⨯∴===．【名师点睛】本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题．14．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在等差数列{}n a 中，已知10101a =，则该数列前2019项的和2019S = A ．2018 B ．2019 C ．4036 D ．4038【答案】B【解析】由题得2019S =1201910102019)201920192a a a +==（．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】等差数列{}n a 中，2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，则12345a a a a a ++++=A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】∵2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，∴2a +4a ＝4＝1a +532a a =， 则1234510a a a a a ++++=．故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题． 16．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】若等差数列{}n a 的前n 项和为258,2,8n S a a S +=-=，则n S =A ．22n n -B ．27n n -C ．251n n ++D ．27n n -+【答案】B【解析】令()11n a a n d =+-，则1114287882a d a d a d +++=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩162a d =-⎧⇒⎨=⎩ 所以()216272n n n S n n n ⨯-=-⨯+⨯=-，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列基本量的计算，关键在于能够将已知条件转化为关于基本量的方程，属于基础题．17．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，912162a a =+，24a =，若数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为1011，则k =A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11118116,24,a d a d a d ⎧+=++⎪⎨⎪+=⎩解得12a d ==．()21222n n n S n n n-∴=+⨯=+，()111111nS n n n n ∴==-++， 1211111111110112231111k S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10k =．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查裂项相消法，考查计算能力与推理能力，属于中档题．18．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a = A ．0 B ．2 C ．3 D ．6【答案】C【解析】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==，故本题选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质．考查了运算能力． 19．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知等差数列{}n a 满足711a =，2810a a +=，则11=SA ．176B ．88C ．44D ．22【答案】B【解析】因为数列{}n a 是等差数列，由2810a a +=，得55a =，又711a =， 则()()111571*********a a a a S ++===，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．20．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，34222S a S =+，则8a =A ．8B ．9C ．16D ．15【答案】D【解析】由题意，因为11a =，34222S a S =+， 即111322(3)2(3)22a d a d a d ⨯⨯+=+++，解得2d =， 所以81717215a a d =+=+⨯=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和2n S n bn c =++，等比数列{}n b 的前n 项和3nn T d =+，则向量(,)c d =a 的模为A ．1 BCD ．无法确定【答案】A【解析】等差数列{}n a 前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即常数项为0的二次式， 而根据已知2n S n bn c =++，故可得0c =，等比数列{}n b 的前n 项()1111111n n n b q b bT q qq q-==----， 而根据已知3nn T d =+，可得11111b d q b q⎧=⎪-⎪⎨⎪-=⎪-⎩，即1d =-，因此向量()0,1=-a ，则1=a ，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列求和公式的性质，属于中档题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．31-【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，()51555164022S a a ∴=+=⨯=，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．23．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，8566S S -=，则33a =A ．82B ．97C ．100D ．115【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，所以39d =，解得3d =， 又由8566S S -=，所以11875483536622a a ⨯⨯+⨯--⨯=，解得14a =， 所以331324323100a a d =+=+⨯=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．24．【四川省凉山州2019届高中毕业班第二次诊断性检测数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =，11a =（2m ≥，且m ∈N ），则m 的值是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =， ∴19m m m a S S -=-=，又25m S =，11a =，∴()15252m m a a m S m +===，∴5m =，故选B ．【名师点睛】本题考查等差数列前n 项和公式，考查前n 项和与通项的关系，考查计算能力．25．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =，621S =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2【答案】A【解析】∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝3，S 6＝21，∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得a 1＝1，d ＝1．∴数列{a n }的公差为1．故选A ． 【名师点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．【四川省成都市2019届高三毕业班第一次诊断性检测数学】设n S 为等差数列的前n 项和，且3652a a a +=+，则7S =A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B【解析】因为563542a a a a a +=+=+，所以42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于中档题．求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系．27．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，则9S =__________． 【答案】63【解析】因为57a =，所以()199599632a a S a +===．故答案为：63． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型． 28．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211n n n n a a a a +++-=-，12a =，38a =，则4S =__________．【答案】26【解析】因为211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则8232d -==，所以443423262S ⨯=⨯+⨯=．故答案为：26． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题．29．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】设等差数列{}n a 满足：127a a +=，136a a -=-，则5a =__________．【答案】14【解析】∵等差数列{a n }满足：a 1+a 2＝7，a 1–a 3＝–6．∴1111726a a d a a d ++=⎧⎨--=-⎩，解得a 1＝2，d ＝3，∴5a ＝a 1+4d ＝2+4×3＝14．故答案为：14． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质等基础知识，属于基础题． 30．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为__________． 【答案】120【解析】由题意，男子每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S ．根据题意可知，91471260,390S a a a =++=，法一：()199********,1402a a S a a +===∴=，147443390,130a a a a a ++==∴=， 5410d a a ∴=-=，34120a a d ∴=-=．故答案为：120．法二：91471260390S a a a =⎧⎨++=⎩，11119891260236390a d a a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩， 所以312120a a d =+=．故答案为：120．【名师点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题．。
《高考真题》专题14 函数的奇偶性的应用-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题14 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-．若(l n2)8f =，则a =______________． 【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=， 因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=， 因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想． 【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”． 【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法 （1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性． 【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 3．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 4．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．5．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 6．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 7．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 8．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 9．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 10．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 12．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中 ，故不是奇函数，B 选项中 ，故不是奇函数，C 选项中 ，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果． 【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-， 故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质 求出 ，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当 时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则 ， ， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有 ．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果． 【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++， 因此()()1f x f x -+=； 又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知 是定义在 上的周期为4的奇函数，当 时， ，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得： ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x =C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数， 在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减． 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =， 且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -= A ．2- B ．1- C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解．【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数，是偶函数，当 时， ，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出 的值．【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 则奇函数 是以4为周期的周期函数， 又当 时， ，所以 ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-， 则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=， 又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=， 故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到 ，进而根据奇函数可得 ，根据 可得 ，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数， 是奇函数，∴设 ， 则 ，即 ，∵ 是奇函数，∴ ，即 ， ， 则 ， ，∴ ， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<， 又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称， 则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-， 即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数， 当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===， 又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===． 故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数 ，当时， ，当 时， ，则 A ．B ．C ．D ．【分析】由当 时， ，可得，根据奇偶性求出 即可． 【解析】定义域为R 的奇函数 ，当 时， ，则， 则 ．．．， 又当 时， ， — ， 故． 故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增， 且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<， 所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时，，则 ______________． 【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________． 【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ． 【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________． 【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可． 【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -． 【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-， 又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】 【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()233f ===， ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________． 【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解． 【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数 为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数 为偶函数，则 ， 即 恒成立， ．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________． 【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1x f x a =--是奇函数，则常数 等于______________． 【答案】【分析】由奇函数满足 ，代入函数求值即可． 【解析】 对一切 且 恒成立．恒成立，恒成立．， ．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数 是定义在 上的周期为 的奇函数，当时， ，则______________． 【答案】【分析】根据 是周期为4的奇函数即可得到 ＝f (﹣8 )＝f ( )＝﹣f ()，利用当0＜x ＜2时，＝4x，求出，再求出 ，即可求得答案．【解析】∵ 是定义在R 上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④，为非奇非偶函数；故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断与的关系．29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知，．若偶函数满足（其中，为常数），且最小值为1，则______________．【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定，利用基本不等式求最值，确定的值，即可得到结论．【解析】由题意，，，为偶函数，，，，，， ，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________． 【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果． 【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-， 又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=， 所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 ， 上单调递增，则不等式 的解集为______________． 【答案】 ， ，【分析】利用偶函数关于 轴对称， 在 ， 上单调递增，将不等式 转化为 ，即可解得 的解集． 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数，可转化为 ， 又 在 ， 上单调递增，，两边平方解得 ， ， ， 故 的解集为 ， ， ．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+， 设2t x =+，则(2)()f t f t +=-， 变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数， 又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称， 则(1)(3)0f f +=且(2)0f =， 则有(2)(0)0f f =-=， 可得(4)0f =，则20191(1)(2)(019))(2i f i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f =+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f ++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数 与 都是定义在 上的奇函数，当 时， ，则的值为______________． 【答案】2【分析】根据题意，由 是定义在R 上的奇函数可得 ，结合函数为奇函数，分析可得 ，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得 的值，相加即可得答案． 【解析】根据题意 是定义在R 上的奇函数，则 的图象关于点（﹣1，0）对称， 则有 ，又由 是R 上的奇函数，则 ，且 ，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。
安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题(含答案与解析)_5559
1号卷·A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题巢湖一中 合肥八中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵盟中学 宿城一中 合肥六中 太和中学 合肥七中 科大附中 野寨中学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2N 250A x x x =∈-≤，则A 的子集个数为（ ）A. 4B. 7C. 8D. 162. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，若点54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，则OAF △的面积为（ ）A.B.C. 4D. 83. 已知()0,m n ∈+∞,，14n m +=，则9m n+的最小值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 64. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种C. 48种D. 60种5. 已知12ln22a =+，1ln93b =+，12ec =+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b <<B. c b a <<C. a c b <<D. a b c <<6. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =（ ）A.π3B.2π3C.3π4D.5π67. 已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（ ） A. 0B. -2C. -4D. -8. 若定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8D. 方差为3735010. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数()()41sin 2121i i x f x i =⎡⎤-⎣⎦=-∑的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的图象关于点()2π,0对称C. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 D. π是()f x 的一个周期11. 已知双曲线C ：2213y x -=左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()1x my m =-∈R 与C 的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上，点Q 在直线2NF 上，且12QF PF ∥，则（ ）A. C 的离心率为3B.当m =时，MN =为的C. 22PF M NF P ∠=∠D. 2QF 为定值第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数()()45i z a a =+-+在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是__________. 13. 若关于x 方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为__________. 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，且()1101C E C B λλ=<<，则当AE EC +取得最小值时，三棱锥11B ECD -的外接球体积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()2131e 2x f x x mx -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线l 与直线50x y -=垂直，求l 的方程； （2）若函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，求实数m 的取值范围.16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，45CAB CBA ∠=∠=︒，1A AC ACB ∠=∠，1160CC B ∠=︒，1BC CC =，P 为线段1BB 的中点，点N 为线段11A B 上靠近1B 的三等分点.（1）求证：1BB AP ⊥；（2）求平面NCP 与平面ACP 夹角的余弦值.17. 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n 个问题，每个问题小明回答正确的概率均为12；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为()01p p <<. ②教师：回答n 个问题，每个问题唐老师回答正确概率均为23.的的假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若3n =，25p =，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望：（2）若2n =，且小明同学获胜的概率不小于51144，求p 的最小值. 18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为4，过右焦点F 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，点A ，B在x 轴上的投影分别为A '，B '（A '在B '的左侧）；当直线l 的倾斜角为135 时，线段AB 的中点坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求C 的方程；（2）若圆C '：228x y +=，判断以线段AF 为直径的圆C ''与圆C '的位置关系，并说明理由；（3）若直线AB '与直线A B '交于点M ，MAB △面积为43，求直线l 的方程. 19. 在不大于()*,,2nkk n k ∈≥N 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()kF n .（1）求()24F ，()33F 的值；（2）对于*,,m n p ∈N ，m n p <<，是否存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=?若存在，求出m ，n ，p 的值；若不存在，请说明理由； （3）记[]x 表示不超过x 的最大整数，且()1651nn i S F i ==-∑，求[][][][]123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2N 250A x x x =∈-≤，则A 的子集个数为（ ）A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 中元素，进而求出集合A 的子集个数．的【详解】由题意得，{}5N |00,1,22A x x ⎧⎫=∈≤≤=⎨⎬⎩⎭， 则A 的子集个数为328=， 故选：C ．2. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，若点54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，则OAF △的面积为（ ）A. B.C. 4D. 8【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，将A 点坐标代入抛物线方程，求得4p =，求出524,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可求得OAF △的面积.【详解】将54,A p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入C 的方程，得5222p p =，故4p =，所以524,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OAF △的面积521222S =⨯⨯=故选：A.3. 已知()0,m n ∈+∞,，14n m +=，则9m n+的最小值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.【详解】(),0,m n ∀∈+∞，919119110104444m m n mn n n m mn ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时等号成立. 故选：B.4. 学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种【答案】B 【解析】【分析】把5位老师按3:1:1和2:2:1分组，再把分成的3组安排到3所学校，列式计算得解. 【详解】把5位老师按3:1:1和2:2:1分组，且唐老师和李老师在一起的不同分组方法数为1233C C +， 所以不同的安排方法有313332(C C )(33)636A +=+⨯=（种）. 故选：B 5. 已知12ln22a =+，1ln93b =+，12ec =+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b << B. c b a <<C. a c b <<D. a b c <<【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数1()2ln ,1f x x x x=+>，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数1()2ln ,1f x x x x =+>，求导得221221()0x f x x x x -'=-+=>， 因此函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(2)(e)(3)f f f <<，1112ln222ln32e 3+<+<+，所以a c b <<故选：C6. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =.（ ） A.π3B.2π3C.3π4D.5π6【答案】D 【解析】【分析】由已知等式结合正弦定理可得()2221b a B =+，再由余弦定理可得()22222cos 21cos b a c ac B a B =+-=-，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可【详解】由()22sin 21sin B B A =及正弦定理得()2221b B a=+，即()2221b a B =+， 由a c =及余弦定理可得()22222cos 21cos b a c ac B a B =+-=-，∴()()222121cos a B a B =-cos B B =-，∴tan B =. 又0πB <<，∴5π6B =. 故选：D.7. 已知AB 是圆O ：222x y +=直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（ ） A. 0 B. -2C. -4D. -【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则30OC =°=∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，的∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8. 若定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 0B. -1C. 2D. 1【答案】D 【解析】【分析】利用赋值法，先后求出()01f =，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再令12y x =-，得到()()10f x f x +-=，即可求解.【详解】令12x y ==，则有()()()()21011f f f f =+， 又()11f =-，∴()01f =.令12x =，0y =.则有()()1121011022f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12y x =-，则有()()122221212f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()()2210f x f x +-=，∴()()10f x f x +-=， ∴()()()()0122024f f f f +++⋅⋅⋅+.()()()()()012202320241101201f f f f f =+++⋅⋅⋅++=+⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ） A. 平均数为9.6 B. 众数为10 C. 第80百分位数为9.8 D. 方差为37350【答案】ABD 【解析】【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解. 【详解】对于A ，平均数()19.19.39.49.69.810109.67=++++++=，故A 正确； 对于B ，出现次数最多的数为10，故B 正确；对于C ，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C 错误； 对于D ，方差为()()()()()()2222221379.19.69.39.69.49.69.69.69.89.62109.67350⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.10. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数()()41sin 2121i i x f x i =⎡⎤-⎣⎦=-∑的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的图象关于点()2π,0对称C. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 D. π是()f x 的一个周期【答案】BC 【解析】【分析】对A ，根据奇偶函数得定义判断；对B ，计算()()4πf x f x -=-可判断；对C ，计算()()πf x f x -=可判断；对D ，根据周期函数的定义判断.【详解】由题意得，()111sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x =+++， 对于A ，x ∈R ，()()()()()111sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x -=-+-+-+-()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴函数()f x 是奇函数，故A 错误；对于B ，()()()()()1114πsin 4πsin 34πsin 54πsin 74π357f x x x x x -=-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴()f x 的图象关于点()2π,0对称，故B 正确； 对于C ，()()()()()111πsin πsin 3πsin 5πsin 7π357f x x x x x -=-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =+++=，∴()f x 的图象关于直线π2x =对称，故C 正确； 对于D ，()()()()()111πsin πsin 3πsin 5πsin 7π357f x x x x x +=+++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()111sin sin 3sin 5sin 7357x x x x f x =----=-，∴π不是()f x 的周期，故D 错误. 故选：BC.11. 已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()1x my m =-∈R 与C 的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点01,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，点Q 在直线2NF 上，且12QF PF ∥，则（ ）A. C 的离心率为3B. 当m =时，MN =C. 22PF M NF P ∠=∠D. 2QF 为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据离心率的公式即可求解A ，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B ，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C ，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D.【详解】由题意得，1,a b ==2c e a ===，故A 错误；联立22113x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，得2803y -=，解得0y =或y =，则0MN =-=，故B 正确；由直线l ：()1x my m =-∈R 可知()1,0M -，又1,2a b c ===，01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭，故P 在线段2MF 的中垂线上，设PM ，2PF 的斜率分别为k ，k -，()1,0M -，故直线MP 的方程为()1y k x =+，联立()22113y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，得()22223230k x k x k ----=，设()11,N x y ，则212213k x k -+=-，21233k x k +=-，故22236,33k k N k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭. 当2NF x ⊥轴时，2223b MF a c NF a=+===，2MF N 是等腰直角三角形，且易知2245PF M NF P ∠=∠=︒；当2NF 不垂直于x 轴时，直线2NF 的斜率为22226233123k k k k k k-=+---，故222tan 1k NF M k ∠=--， 因为2tan PF M k ∠=，所以2222tan 2tan 1kPF M NF M k∠==∠-，所以222PF M NF M ∠=∠，22PF M NF P ∠=∠，故C 正确；因为12QF PF ∥，故212221F FQ PF M NF P F QF ∠=∠=∠=∠，故2124QF F F ==，故D 正确.故选:BCD.第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数()()45i z a a =+-+在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()5,4-- 【解析】【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.【详解】由题意得，()4050a a +<⎧⎨-+<⎩，解得54a -<<-，∴实数a 的取值范围是()5,4--. 故答案为：()5,4--.13. 若关于x 的方程()eln e ln e xxm m x x +=+-有解，则实数m 的最大值为__________. 【答案】1e##1e - 【解析】【分析】根据题意，由条件可得()ln ln eeln e e ln mx x m x x -+=+-，构造函数()e e x f x x =+，即可得到()()ln ln f m f x x =-，然后利用导数求得函数()ln g x x x =-的值域即可得到结果.【详解】由题意得，()ln ln eeln e e ln mx x m x x -+=+-，令()e e xf x x =+，则()()ln ln f m f x x =-， 易知()f x 单调递增，所以ln ln m x x =-. 令()lng x x x =-，()1xg x x-'=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()ln 11m g ≤=-，得10em <≤. 所以m 的最大值为1e. 故答案为：1e14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，且()1101C E C B λλ=<<，则当AE EC +取得最小值时，三棱锥11B ECD -的外接球体积为______. 【答案】32π3##32π3【解析】【分析】首先将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面，确定点E 的位置，再建立空间直角坐标系，确定球心的位置，根据球体积公式计算即可．【详解】由题意得，12,B AB C ==，将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面， 当点,,A E C 共线时，此时AE EC +最小， 在展开图中作CN AB ⊥，垂足为N ，因为1BCC 为等腰直角三角形，所以12BC CC ==，BN CN ==由ABE ANC 得，BE AB CN AN =⇒=2BE =-，在正方体1111ABCD A B C D -，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，则2EF BF ==如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()2,0,0,2,2,0A B ，()0,2,0C ，2,2E-，()()()1112,2,2,0,2,2,0,0,2B C D ，则()()()11112,2,2,2,0,2,2,2,0AC B C B D =-=--=--， 因为111110,0AC B C AC B D ⋅=⋅= ，所以11111,AC B C AC B D ⊥⊥ ，又因为111,B C B D ⊂平面11B CD ，且1111B C B D B ⋂=， 所以1AC ⊥平面11CB D ，因为1111111,AD AB AC C D C B C C ====， 所以三棱锥11B ECD -外接球的球心在1AC 上，设球心为O ，设()()12,2,20AO k AC k k k k ==-≠，则()22,2,2O k k k -，因为OC OE =，所以()()()(()(22222222222222222k k k k k k -+-+=-+-+-+，解得1k =，即()0,2,2O ，所以外接球2R OC ==， 所以三棱锥11B ECD -外接球的体积3432ππ33V R ==， 故答案为：32π3. 【点睛】方法点睛：立体图形中求线段和最小值，将线段所在平面展开在同一平面，即可确定最小值；确定立体图形的外接球，可先确定球心所在直线，建立空间直角坐标系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()2131e 2x f x x mx -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线l 与直线50x y -=垂直，求l 的方程； （2）若函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10230x y +-=（2）4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）令()0f x '=，分离参数可得212e 3x m x -=，由题意可得方程212e3x m x-=在()0,∞+上有2个根，构造函数()212e 3x g x x-=，()0,x ∈+∞，利用导数求出其极值和单调区间即可得解.【小问1详解】 由题意得，()()21212212e 21e 32e 3x x x f x x mx x mx ---'=+--=-，故131524f m ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭，解得8m =， 而112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故所求切线方程为1152y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即10230x y +-=； 【小问2详解】 令()0f x '=，则2122e3x x mx -=，故212e 3x m x-=， 因为函数()f x 在()0,∞+上有2个极值点，所以方程212e 3x m x-=在()0,∞+上有2个根，令()212e 3x g x x -=，()0,x ∈+∞，则()()21221e23x x g x x --'=⋅，令()0g x '=，解得12x =，故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 且1423g ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0x →时，()g x ∞→+，当x →+∞，()g x ∞→+， 故实数m 的取值范围为4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，45CAB CBA ∠=∠=︒，1A AC ACB ∠=∠，1160CC B ∠=︒，1BC CC =，P 为线段1BB 的中点，点N 为线段11A B 上靠近1B 的三等分点.（1）求证：1BB AP ⊥；（2）求平面NCP 与平面ACP 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）先得到1AC CC ⊥，ACBC ⊥，得到线面垂直，故1AC B B ⊥，再得到1B C BC =，由三线合一得到1BB CP ⊥，得到线面垂直，得到结论；（2）先证明出面面垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值. 【小问1详解】因为45CAB CBA ∠=∠=︒，故90ACB ∠=︒， 又1A AC ACB ∠=∠，所以190A AC ∠=︒， 故侧面11AAC C 为矩形，故1AC CC ⊥， 又ACBC ⊥，1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂11CC B B ，所以AC ⊥平面11CC B B ，而1B B ⊂平面11CC B B ，故1AC B B ⊥，又1BC CC =，11160B BC CC B ∠=∠=︒，故1BCB △为等边三角形， 所以1B C BC =，因为P 是线段1BB 的中点，故1BB CP ⊥，且AC CP C ⋂=，,AC CP ⊂平面ACP ，故1BB ⊥平面ACP ， 因为AP ⊂平面ACP ，故1BB AP ⊥.【小问2详解】由（1）知，AC ⊥平面11CC B B ，又AC ⊂平面ABC ， 故平面11CC B B ⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴， 过点C 在平面11CC B B 内作垂直CB 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，不妨设2AC =，则()2,0,0A ，()0,2,0B，(1B，(10,C -，30,2P ⎛ ⎝，(12,A -，设(),,N a b c ，则11123A N AB =，即(()22,1,2,2,03a b c -+-=-，解得21,,33a b c ===故21,33N ⎛⎝， 易得平面ACP的一个法向量为(10,BB =-，设平面NCP 的法向量(),,n x y z =，则2033302x y n CN n CP y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ ，令1y =，则(4,1,n =.记平面NCP 与平面ACP 夹角为θ，故cos cos ,n θ==， 即平面NCP 与平面ACP .17. 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下： ①学生：回答n 个问题，每个问题小明回答正确的概率均为12；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为()01p p <<. ②教师：回答n 个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为23. 假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜. （1）若3n =，25p =，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望：（2）若2n =，且小明同学获胜的概率不小于51144，求p 的最小值. 【答案】（1）分布列见解析，2110； （2）12. 【解析】【分析】（1）求出小明答每个问题，回答正确的概率，再利用二项分布求出分布列及期望.（2）求出小明答对1个、2个试题的概率，唐老师答对0个、1个试题的概率，再把小明获胜的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率. 【小问1详解】小明同学答每个问题，回答正确的概率112722510P =+⨯=， X 的所有可能取值为0,1,2,3，显然7~(3,10X B ， 则3327(0)(101000P X ===，1230()37189(1)C 1010100P X =⋅==，22337441(2)C 10101000(P X =⋅==⋅，3337343(3)C ()101000P X ===，则X 的分布列为X0 1 2 3P271000 1891000 4411000 3431000数学期望721()31010E X =⨯=. 【小问2详解】记事件i A 为小明同学答对了i 道题，事件j B 为唐老师答对了j 道题，1,2i =，0,1j =，其中小明同学答对某道题的概率为111(1)222p p +=+，答错某道题的概率为1(1)2p -，则1212111(C (1)(1)(12)22)P A p p p =⋅+⋅-=-，=+=+22211()[(1)](1)24P A p p ，==2011()()39P B ，112214(C 39)3P B =⋅⋅=， 所以小明同学获胜概率为102120102120)()()(()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++2222111411151(1(1)(1)(3107)29494936144)p p p p p =-⋅++⋅++⋅=++≥，解得112p ≤<，所以p 的最小值为12.18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为4，过右焦点F 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，点A ，B在x 轴上的投影分别为A '，B '（A '在B '的左侧）；当直线l 的倾斜角为135 时，线段AB 的中点坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求C 的方程；（2）若圆C '：228x y +=，判断以线段AF 为直径的圆C ''与圆C '的位置关系，并说明理由；（3）若直线AB '与直线A B '交于点M ，MAB △的面积为43，求直线l 的方程. 【答案】（1）22184x y +=（2）圆C ''与圆C '内切，理由见解析（3）20x y --=或20x y +-=【解析】【分析】（1）利用点差法，结合中点坐标，以及直线的斜率，求椭圆方程； （2）根据椭圆的定义，表示圆心距和两圆半径的关系，即可判断两圆的位置关系；（3）首先设直线l 的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点M 的坐标，并利用坐标表示MAB △的面积，即可求解直线方程. 【小问1详解】 易知24b =，则2b =.的.设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，故22231043b a -⋅=，解得2212b a =，则28a =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】设2AF r =，圆C '的半径为椭圆C 的左焦点为F '，则1r ⎤∈-+⎦，2AF r '=-，设D 为线段AF的中点，则12OD AF r '==-， 故圆C ''与圆C '内切. 【小问3详解】当直线l 斜率为0时，不符合题意，舍去.当直线l 斜率不为0时，设直线l 方程为()20x my m =+≠，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=，易知()22161620m m =++> ，则12242m y y m +=-+，12242y y m ⋅=-+. 易知()1,0A x '，()2,0B x '， 所以直线AB '：()1212y y x x x x =--①，直线A B '：()2121yy x x x x =--②，联立①②()()122112211212121222224M my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++，所以12121211142222MAB M S BB x x y x y my y =⋅-=-=-'⋅ ， 因为12121my y y y =+，所以()212121142223MABS y y y y y =-+=-===，解得1m =±，故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立方程求出点M 的坐标，并利用坐标表示面积公式. 19. 在不大于()*,,2nkk n k ∈≥N 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为()kF n .（1）求()24F ，()33F 的值；（2）对于*,,m n p ∈N ，m n p <<，是否存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=?若存在，求出m ，n ，p 的值；若不存在，请说明理由； （3）记[]x 表示不超过x 的最大整数，且()1651nn i S F i ==-∑，求[][][][]123100S S S S +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）()245F =，()339F =（2）不存在，理由见解析（3）500 【解析】【分析】（1）由()k F n 的定义，分别求出()24F ，()33F ；（2）若()()()666F m F n F p +=成立，可转化为666m n p +=，即166n m p m --+=，即可判断； （3）根据题意可知[]15S =，当2n ≥时，可证5 5.6n S <<，即[]5n S =，得解. 【小问1详解】在不大于42的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以()245F =.在不大于33的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以()339F =. 【小问2详解】因为在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n个，能被6整除的数有66n个， 所以()1666666262363n n n nnn F n -=--+==⨯.若()()()666F m F n F p +=，则666333m n p+=，即666m n p +=， 因为m n p <<，所以166n m p m --+=，易知16n m -+是奇数，6p m -是偶数，上式不成立， 故不存在m ，n ，p ，使得()()()666F m F n F p +=. 【小问3详解】由（2）知，当1n =时，()165551121S F ===--，所以[]15S =，当2n ≥时，()111165561631261261266n n n n F n -----==<=-⋅-⋅-⋅，（上式变换注意用到不等式，若0,0a b c >>>，则b bc a a c+<+.） 所以当2n ≥时，()211165111315351166656nn n n i S F i --=⎛⎫⎛⎫=<+++⋅⋅⋅+=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，所以当2n ≥时，5 5.6n S <<，[]5n S =， 所以[][][][]1231005100500S S S S +++⋅⋅⋅+=⨯=.【点睛】关键点点睛：本题第二问，关键是根据()k F n 的定义分析在不大于6n 的所有正整数中，能被2整除的数有62n 个，能被3整除的数有63n 个，能被6整除的数有66n个，进而可得()1666666262363n n n nnn F n -=--+==⨯.第三问，关键是分析得到当2n ≥时，()1165631266n n F n --<=-⋅成立，此处用到糖水不等式放缩.。
安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科数学试题
合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。
故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。
专题04 二项式定理-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r rr r r T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，专题04 二项式定理由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-，可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=．故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查二项式定理的通项公式及其应用，要求同学们熟练掌握并灵活应用二项式定理的通项公式，考查分类讨论的数学思想．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用通项公式求解指定的项；一种利用通项公式考查系数、指数问题，如常数项、2x 项的系数等．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用题意写出通项公式是关键，通项公式是解决本类问题的核心与灵魂． 【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下两步： 第一步：考查()na b +的展开式的通项公式其通项公式为1C r n r rr n T a b -+=，通项公式是后面进行讨论和计算的基础；第二步：结合代数式的整体进行考查结合题意，考查r 的某个值的特殊情形，据此分类讨论即可求得的系数． 【方法总结】 1．二项式()()na b n *+∈N 展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现以下几个特点： （1）()na b +完全展开后的项数为()1n +；（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点．指数和为n ；（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列．如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开；（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）．2．二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n ；二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项．对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种．所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题．而二项式系数便是这个组合问题的结果． 3．系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数．注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数．二项式系数是展开式通项公式中的C rn ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定．而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数．例如：()521x +展开式中第三项为()32235C 21T x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()322335C 2180T x x =⋅⋅=，化简后的结果80为该项的系数．（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同．例如()51x + 展开式的第三项为()32235C 1T x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为10．4．有理项：系数为有理数，次数为整数的项，比如212,5x x就不是有理项． 5．()na b +与()na b -的联系 首先观察他们的通项公式，()na b +：1r n r r r n T C a b -+=；()n a b -：()()'11r rr n r r n r rr n n T C a b C a b --+=-=-．两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数．其绝对值相等．所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题．1．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】23(1)(31)x x -+的展开式中4x 的系数是 A ．27 B ．–27 C ．26 D ．–26【答案】B【解析】()()32131x x -+展开式中4x 的系数，1x -中的x 与()3231x +展开式中3x 项相乘，但()3231x +展开式中没有3x 项，1x -中的1-与()3231x +展开式中4x 项相乘，()21243C 327xx =，所以4x 的系数是27-，故选B ．【名师点睛】本题考查二项式的展开式与多项式相乘，得到项的系数，属于简单题．2．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】在102()x x-的二项展开式中，6x 的系数等于 A ．–180 B ．53- C ．53D ．180【答案】D【解析】102()x x-的二项展开式的通项公式为102110C (2)r r r r T x -+=-⋅⋅， 令1026r -=，求得2r =，可得6x 的系数为2210(21C )80-⋅=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的求法，属于基础题．3．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于–80，则a = A ．–2 B ．2 C ．–4 D ．4【答案】A【解析】由题意3325C (1)80a ⨯-=-，解得2a =-．故选A ．【名师点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则． 4．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．–80 B ．–40 C ．40 D ．80【答案】C【解析】要求()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数，则x y +中x 与()52x y -展开式中23x y 相乘，以及x y +中y 与()52x y -展开式中32x y 相乘，而()52x y -展开式中，23x y 项为()()233235C 240x y x y -=-，32x y 项为()()322325C 280x y x y -=．所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的项为333333408040x y x y x y -+=，故选C ．【名师点睛】本题考查二项式展开式与多项式相乘，其中某一项的系数，属于基础题．5．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ．15 D ．1【答案】C【解析】二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为66316621C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令630r -=，求得2r =，故展开式中的常数项为26C 15=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．6．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】设0sin d x a x π=⎰，则6a x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为__________．（用数字填写） 【答案】60【解析】0sin d x a x π=⎰cos πcos02=-+=，则662a x x ⎛⎛= ⎝⎝，展开式的通项为(6162rrr r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =时得到常数项为(2446260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为60．【名师点睛】本题考查了定积分的计算，考查了二项式定理的运用，考查了计算能力，属于基础题．7．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】二项式63x⎛⎝的展开式中4x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】15【解析】因为二项式63x⎛ ⎝的展开式的通项为()()()1718632216611kk kkk k kk T C x x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令71842k -=得4k =， 所以展开式中4x 的系数为()446115C -=．故答案为：15．【名师点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 8．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】11【解析】()()5211x x +-=()()55211x x x -+-而()51x -展开式的通项为()515C 1rr r r T x -+=-取3r =和5r =，得()51x -展开式中含3x 和5x 项的系数分别为10和1， 所以()()5211x x +-的展开式中的含5x 的系数为10+1=11．【名师点睛】本题考查了等价转化的数学思想，以及利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式指定项的系数问题，属于基础题．9．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________． 【答案】15．【解析】通项公式T r +16C r =（x 2）6–r1()r x-=（–1）r 6C r x 12–3r，令12–3r ＝0，解得r ＝4．∴展开式中的常数项为46C =15．故答案为：15．【名师点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】()()341212x x +-展开式中4x 的系数为__________． 【答案】48【解析】因为()()()()()()333342221212141214214x x x x x x x+-=--=---，又()3214x-展开式的通项为()2134kk kk TC x +=-，令24k =得2k =，所以原式展开式中4x 的系数为()223448C -=．故答案为：48．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于基础题型． 11．【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考数学】若6x ⎛+ ⎝⎭的展开式的常数项是45，则常数a 的值为__________． 【答案】3【解析】6a x ⎛+ ⎝⎭展开式的通项公式为6316·C r r r r T x -+=，令630r -=，求得2r =， 可得它的常数项为26C ·45a =，1545a ∴=，3a ∴= 故答案为：3．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12．【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷数学】若二项式2nm x ⎫+⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为__________． 【答案】2【解析】根据题意，2nm x ⎫⎪⎭展开式中二项式系数之和是32，有2n＝32，则n ＝5，则2nm x ⎫⎪⎭展开式的通项为T r +1＝5C r •）5–r•（2m x ）r ＝m r •5C r •552r x -，令552r-=0，可得r ＝1，则2nm x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为T 2＝m •15C ，则有m •15C ＝10，即m ＝2，故答案为：2．【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n ，并得到该二项式的通项．13．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知(12)n x +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式()211()nx x x++展开式中的常数项为__________． 【答案】35【解析】由()12nx +的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =．多项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式：662166C C r r r r rr T x x x ---+==，其中0,1,2,,6r =．考虑61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项和含2x -的项： （1）令622r -=-，则4r =； （2）令620r -=，则3r =．故常数项为4366C C 152035+=+=．故答案为：35．【名师点睛】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】()()27231x x --的展开式中，3x 的系数为__________．【答案】–455【解析】依题意，3x 的系数为332217774C (1)12C (1)9C (1)455⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=-．故答案为：–455．【点睛】本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题．15．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学】1(2)n x x-（n 为正整数）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x 项的系数是__________． 【答案】560-【解析】依题意可知2128n =，解得7n =，()712x x --展开式的通项公式为()()()717727721C C 2rrrr r rr x x x ----⋅-=-⋅⋅⋅，当721r -=时3r =，故含x 项的系数为()3437C 12560-⨯⨯=-．故答案为：560-．【点睛】本小题主要考查二项式系数和，考查二项式展开式的通项公式以及二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题．。
棉城中学2019-2020学年高三第二学期第一次月考考试数学试题(理科)
A．{x|10＜x＜1}
B．{x|x＞1}
C．{x|x≥2}
D．{x|1＜x＜2}
2．复数 2＋i 等于( ) 1－2i
A．i
B．－i
C．4＋3i
D．4－3i
3.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的
概率为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
5
5
5
5
13．定积分 1(2x ex )dx ＝____. 0
14．已知 a＞0，且二项式(a x－ 1 )6 展开式中含1项的系数是 135，则 a＝______.
x
x
y x
15．设
m
1，变量
x,
y
在约束条件
y
mx
下，目标函数 z x my 的最大值为 2 ，
x y 1
则 m ________.
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A． 2
3
B．
2
2
C．
3
1
D．
2
x2 11.双曲线 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左右焦点为 F1，F2，P 是双曲线上一点，满足|PF2|=|F1F2|，
直线 PF1 与圆 x2+y2=a2 相切，则双曲线的离心率为（ ）
5
A．
4
B. 3
23
C.
3
5
D.
3
12．设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a＜1，若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)＜0，则 a 的取值
(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)△ABC 中边 a，b，c 所对的角为 A，B，C，若 acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝ 3，当 f(B)
安徽省合肥市2021届高三一模数学试题及答案(理科)
合肥市2021年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（解析版） （考试时间：120 分钟满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数2i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A.33i 22+ B.33i 22-C.13i 22+ D.13i 22- 【答案】C 【详解】()()()()=-+--=+-=i i i i i i z 111212i 2321-，所以i z 2321+=， 故选：C.2.已知集合{}2xA y y ==，{B x y ==，则A B ⋂=（ ）A.∅B.[]0,1C.()0,1D.(]0,1【答案】D 【详解】{}x y y A 2==()∞+=，0，{}(]1,1∞-=-==x y x B ，所以(]1,0=B A ， 故选;D.3.某商场2020年部分月份销售金额如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为6.171.38ˆ-=x y，则a =（ ） A.198.2 B.205 C.211 D.213.5 【答案】B 【详解】 由题意知，5108642++++=x 6=，5850536828613264aa y +=++++=， 因为样本中心点()y x ,在回归直线方程6.171.38ˆ-=x y上， 所以6.1761.385850-⨯=+a，解得205=a ， 故选：B.4.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足321n n S a =-，则5a =（ ）A.32B.321C.116- D.16- 【答案】D 【详解】当1=n 时，12311-=a a ，11-=a ，当2≥n 时，12311--=-n n a S ，又123-=n n a S ，两式相减，得1-223n n n a a a -=， 即1-2n n a a -=()2≥n ，所以数列{}n a 为以1-为首项，以2-为公比的等比数列， 所以()()162145-=-⨯-=a ，故选：D.5.已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆E 上一点()2,1P 关于原点的对称点为Q ，若PQF △的周长为则a b -=（ ）B.2【答案】A 【详解】取椭圆E 的右焦点F '，连接F P '，F Q '，则四边形F QFP '为平行四边形，则QF F P ='，因为PQF ∆的周长为5224+，所以5224+=++PQ QF PF ，所以52242+=+'+PO F P PF ，由椭圆定义知，a F P PF 2='+，因为()1,2P ，所以51222=+=PO ，所以5224522+=+a ，解得22=a ， 又点()1,2P 在椭圆E 上，所以11422=+ba ， 解得2=b ，所以2222=-=-b a ，故选：A.6.自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额=应纳税所得额⨯税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（）A.5712元B.8232元 C.11712元 D.33000元【答案】A 【详解】由题意知，应纳税所得额为()-%20-12496008232060000456052800=--， (]144000,3600082320∈，所以税率为%10，则此人全年应缴纳个人所得税应该为57122520%1082320=-⨯， 故选：A.7.在ABC △中，2AB =，3AC =，2BD DC =，AE EB =，则AD CE ⋅=（ ）A.76-B.76C.163- D.163【答案】C 【详解】+=+=AB BD AB AD ()AC AB AB AC AB BC 32313232+=-+=+，AC AB AC AE CE -=-=21， 所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅AC AB AC AB CE AD 21323131633226132612222-=⨯-⨯=-AC AB ，故选：C. 【点睛】关键点睛：⑴用向量AB ，AC 作基底表示向量AD ，CE ；⑵用平面向量的数量积运算公式计算CE AD ⋅的值.8.设函数()21log 20,0x x f x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩.若14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()1f x k +=有唯一解，则实数k 的取值范围为（ ）A.(B.⎡⎣C.()0,2D.[)1,2【答案】B 【详解】因为⎪⎩⎪⎨⎧≤->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0,0,21log )(2x x x x x f ，所以()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1,11,23log )1(2x x x x x f ， 方程k x f =+)1(在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一解，即函数)1(+=x f y 与函数k y =的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一交点，画出)1(+=x f y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4的图象，如图所示，由图象可知31<≤k ，故选：B.【点睛】关键点睛：⑴准确画出函数)1(+=x f y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4的图象；⑵方程k x f =+)1(在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一解，即函数)1(+=x f y 与函数k y =的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一交点.9.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P ABCD -，PA AB AD ==，E ，F 分别为棱PB ，PD 的中点.以下四个结论：①PB ⊥平面AEF ；②EF ⊥平面PAC ；③平面PBD ⊥平面AEF ：④平面AEF ⊥平面PCD .其中正确的是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】D 【详解】因为AD AB =，四边形ABCD 为矩形，所以四边形ABCD 为正方形， 因为四棱锥ABCD P -有一条侧棱与底面垂直，且AB PA =AD =， 所以⊥PA 平面ABCD ，所以AP AD AB ,,两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系xyz A -，则()0,0,0A ，()0,0,2B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,0,1E ，()1,1,0F ，对①：因为()2,0,2-=PB ，()1,1,0=AF ，()0212-1002≠-=⨯+⨯+⨯=⋅AF PB ， 所以PB 和AF 不垂直，所以PB 与平面AEF 不垂直，故①错误； 对②：()0,1,1-=EF ，()2,0,0=AP ，()0,2,2=AC ，因为()200101⨯+⨯+⨯-=⋅AP EF 0=，()0002121=⨯+⨯+⨯-=⋅AC EF ， 所以AP EF ⊥，AC EF ⊥，A AC AP = ，所以⊥EF 平面PAC ，故②正确； 对③：()2,0,2-=PB ，()0,2,2-=BD ，()1,1,0=AF ，()0,1,1-=EF ，设平面PBD 的法向量为()z y x m ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BD m PB m ，得⎩⎨⎧=+-=-022022y x z x ，令1=x ，则()1,1,1=m，设平面AEF 的法向量为()z y x n ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0EF n AF n ，得⎩⎨⎧=+-=+00y x z y ，令1=x ，则()1,1,1-=n，因为01≠=⋅n m，所以平面PBD 与平面AEF 不垂直，故③错误；对④：()2,2,0-=PD ，()0,0,2-=CD ，设平面PCD 的法向量为()z y x a ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0CD a PD a ，得⎩⎨⎧=-=-02022x z y ，令1=y ，则()1,1,0=a ， 又平面AEF 的法向量为()1,1,1-=n，且()0111110=-⨯+⨯+⨯=⋅n a，所以平面⊥AEF 平面PCD ，故④正确； 故②④正确， 故选：D.10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin 2sin 2sin cos a A c C b C A +=，则角A 的最大值为（ ）A.6π B.4π C.3πD.23π 【答案】A【详解】由正弦定理和余弦定理得R a A 2sin =，R b B 2sin =，RcC 2sin =，bc a c b A 2cos 222-+=，由A C b C c A a cos sin 2sin 2sin =+，得⋅⋅=⋅+⋅R c b R c c R a a 22222bc a c b 2222-+， 化简得2222b c a =+，即2222c b a -=，代入bca cb A 2cos 222-+=，得bcc b c b A 22cos 2222--+=234324322=⋅⋅≥+=bc c b bc c b ，当且仅当c b 3=时等号成立，所以⎥⎦⎤⎝⎛∈30π，A ，所以A 的最大值为3π， 故选：A.11.设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，曲线C 上一点P到x 轴的距离为2a ，12120F PF ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）B.1+C.2+D.4【答案】C 【详解】因为双曲线C 上一点P 到x 轴的距离为a 2， 由等面积法得，212121sin 21221PF F PF PF a F F ∠⋅⋅⋅=⋅⋅， 即︒⋅⋅⋅=⋅⋅120sin 21222121PF PF a c ，所以ac PF PF 3821=， 由余弦定理得，+=21221PF F F ︒-120cos 22122PF PF PF ，即()()22122PF PF c -=213PF PF +，即()2122122212PF PF PF PF PF PF +-=+，即()()2222a c =ac 383⨯+，整理得-+ac c 232032=a ， 两边同时除以2a ，得03232=-+e e ，解得23+=e 或23-=e （舍），故选：C.12.若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ） A.516 B.14 C.524D.16【答案】D 【详解】如图，在正方体中作出两个四面体，结合立体图形可知，两个四面体的公共部分是以正方体六个面的中心为顶点的正八面体， 将该正八面体分为上、下两个完全相同的正四棱锥，且每个正四棱锥的棱长均为22，高为21，所以该正八面体的体积21223122⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=V61=，故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查空间几何体的特征、多面体体积的求解.解题关键是：⑴在正方体中作出两个正四面体；⑵结合立体图形知，两个四面体的公共部分是以正方体六个面的中心为顶点的正八面体.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.若实数x，y满足条件10,10,220,x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则32x y-的最小值为 .【答案】2-【详解】由线性约束条件画出可行域，如图中阴影部分，设yxz23-=，则223zxy-=，画出直线23xy=，平移直线，当直线经过()1,0A时，直线的纵截距最大，则yxz23-=取得最小值，所以()2120323min -=⨯-⨯=-y x . 故答案为：2-. 14.若函数()ln a xf x x=的图象在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=垂直，则a 的值等于 . 【答案】 4 【详解】2ln )(x x a a x f -='，因为直线014=-+y x 的斜率为41-， 所以4)1(='f ，即4=a . 故答案为：4.15.在521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的偶次项系数之和是 .【答案】16- 【详解】521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的第1+r 项为()rr r rr r r x C x x C T 355255111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以当5,3,1=r 时，对应的项为偶次项，所以x 的偶次项系数之和为16553515-=---C C C .故答案为：16-.16. 百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年1月1日（星期五）是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】27【详解】 2021年共有365天，记2021年1月1日为第一天，大张三天休息一天，小张每周一或周五休息，他俩同时在2021年1月1日休息， 记集合{}3651,,14≤≤∈+==x Z k k x x A ，{}3651,4717≤≤∈+=+==y Z k k y k y y B ，或，则集合B A 中的元素的个数即为他们约定的“家庭日”的个数.①当171421+=+k k ，则2174k k =()Z k k ∈21,，所以()Z k k k ∈=3317， 因为3651411≤+≤k ，所以9101≤≤k ，则91703≤≤k ，即()Z k k ∈≤≤33130， 所以符合条件的3k 有14个；②当471421+=+k k ，则37421+=k k ()Z k k ∈21,，所以()()134221+=-k k k ， 所以()132+k 是4的倍数，所以()Z k k k ∈=+33241，所以()Z k k k ∈-=33214，因为3654712≤+≤k ，所以7361732≤≤-k ，则736114733≤-≤-k ，即()Z k k ∈≤≤3379271，所以符合条件的3k 有13个. 综上，2021年“家庭日”的个数为271314=+. 故答案为：27【点睛】本题考查等差数列的通项、集合的运算.关键点睛：⑴将大张和小张的休息日用等差数列的通项公式表示并用集合的形式表示；⑵集合B A 中的元素的个数即为他们约定的“家庭日”的个数；⑶利用3651411≤+≤k 和3654712≤+≤k ，得到3k 的范围.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A 、B 、C 三道工序，三道工序相互独立.工序A 的加工成本为70元/件，合格率为78，合格品进入工序B ；工序B 的加工成本为60元/件，合格率为67，合格品进入工序C ：工序C 的加工成本为30元/件，合格率为56.每道工序后产生的不合格品均为废品.（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；（2）已知坯件加工成本为A 、B 、C 三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望.【答案】（1）83；（2）答案见解析 【详解】⑴ 每道工序生产的都是合格品的概率为85657687=⨯⨯， 则一个坯件在加工过程中成为废品的概率83851=-=P ； ⑵设每个坯件的加工成本为ξ元，则ξ的可能取值为70，130，160()8187170=-==ξP ；()8176187130=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==ξP ；()437687160=⨯==ξPξ∴的分布列为14543160811308170=⨯+⨯+⨯=∴ξE ,所以每个坯件加工成本的期望为145. 18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角ϕ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：223x y +=与x 轴正半轴的交点是0P .若圆C 上一动点从0P 开始，以rad /s π的角速度逆时针做圆周运动，t 秒后到达点P .设()2f t AP =.（1）若3πϕ=且()0,2t ∈，求函数()f t 的单调递增区间；（2）若123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，536ππϕ<<，求56f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,31；（2）22-4【详解】由已知条件和三角函数的定义得，()ϕϕsin ,cos A ，()t t Pππsin 3,cos 3，则()()222sin 3sin cos 3cos )(t tAP t f πϕπϕ-+-==t t πϕπϕsin sin 32cos cos 324--=()ϕπ--=t cos 324⑴若3πϕ=，则⎪⎭⎫⎝⎛--=3cos 324)(ππt t f 令()Z k k t k ∈+≤-≤πππππ232，解得()Z k k t k ∈+≤≤+234231 又()2,0∈t ，)(t f ∴的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,31. ⑵由2)31(=f ，653πϕπ<<，得23cos 324=⎪⎭⎫ ⎝⎛--ϕπ 即333cos =⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ， 032<-<-ϕππ ， 所以 363sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ 2243sin 32465cos 324)65(-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ϕπϕπf . 19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB BC ==AD =E ，F 分别是线段AD ，CD 的中点.以EF 为折痕把DEF △折起，使点D 到达点P 的位置，G 为线段PB 的中点.（I ）证明：平面//GAC 平面PEF ；（2）若平面PEF ⊥平面ABCFE ，求直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（I ）答案见解析；（2）105【详解】⑴连接BE 交AC 于点M ，连接GM ，CE由已知可得，四边形ABCE 是正方形，M ∴是线段BE 的中点，G 为线段PB 的中点，GM PE ∥∴⊂GM 平面GAC ，⊄PE 平面GAC ，∥PE ∴平面GAC ，F E , 分别为线段CD AD ,的中点，AC EF ∥∴,⊂AC 平面GAC ，⊄EF 平面GAC ，∥EF ∴平面GAC ，又E EF PE = ，⊂EF PE ,平面PEF ，∴平面∥GAC 平面PEF .⑵ 平面⊥PEF 平面ABCFE ，平面 PEF 平面EF ABCFE =，EF PF ⊥，⊥∴PF 平面ABCFE ，FP FC FE ,,∴两两垂直.以点F 为原点，FP FC FE ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0P ，()0,1,0C ，()0,2,1B ，()0,1,2A ，⎪⎭⎫⎝⎛21,1,21G ， ⎪⎭⎫⎝⎛-=∴21,0,23AG ，()1,1,0-=CP ，()0,0,2=CA设平面PAC 的法向量()z y x n ,,=由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CA n CP n ，得⎩⎨⎧==+-020x z y ，令1=y ， 则()1,1,0=n， 设直线AG 与平面PAC 所成角为θ，则10522521cos sin =⨯===nθ 所以直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值为105. 20.（本小题满分12分）已知F 是抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l ：()()0y k x m m =->与抛物线E 交于A ，B 两点，与抛物线E 的准线交于点N .（1）若1k =时，AB =求抛物线E 的方程；（2）是否存在常数k ，对于任意的正数m ，都有2FA FB FN =⋅？若存在，求出k 的值：若不存在，说明理由.【答案】（1）x y 42=；（2）1±=k 【详解】⑴设()11,y x A ，()22,y x B由()⎩⎨⎧-==m x k y px y 22，消去y 得，()0222222=++-m k x p m k x k ， l 与抛物线E 交于两点，0≠∴k ，又0,0>>p m ，04822>+=∆∴p mp k 恒成立，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴22122122m x x k p m x x ，当1=k 时，22122421p mp x x k AB +=-+=， 因为224+=m AB ，所以2242422+=+m p mp ， 整理得，()()0222=-++p m p ，0,0>>p m ，2=∴p ，所以抛物线E 的方程为x y 42=； ⑵假设存在常数k 满足题意.抛物线E 的方程为px y 22=，其焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，准线方程为2p x -=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∴2,2p m k p N ，从而22222⎪⎭⎫ ⎝⎛++=p m k p FN 由抛物线的定义得，21p x FA +=，22px FB += ， ()222221212124222k p p m p x x p x x p x p x FB FA +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴由2FN FB FA =得，22222222⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+p m k p k p p m ，即()0212222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k p p m k因为022>⎪⎭⎫ ⎝⎛+p m ，022>k p ，012=-∴k ，即1±=k .所以存在1±=k ，使得2FN FB FA =对于任意的正数m 都成立. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln 1af x x x=++有两个零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）记()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，求证：1241e x x <（e为自然对数的底数）. 【答案】（1）20-<<e a ；（2）答案见解析 【详解】⑴)(x f 的定义域为()∞+，0，2)(xax x f -=' ①当0≤a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 在()∞+，0上单调递增，)(x f 至多有一个零点，不符合题意；②当0>a 时，0)(='a f ，且当()a x ,0∈时，0)(<'x f ；当()+∞∈,a x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在()a ，0上单调递减，在()+∞,a 上单调递增，从而)(x f 的最小值为2ln )(+=a a f .（i ）若0)(≥a f ，即2-≥e a ，此时)(x f 至多有一个零点，不符合题意；（ii ）（ii ）若0)(<a f ，即20-<<e a ，)(x f 在()+∞,a 上单调递增，0)(<a f ，01)1(>+=a f ，根据零点存在性定理得，)(x f 在()+∞,a 内有且只有一个零点.又 )(x f 在()a ，0上单调递减，且0)(<a f ，考虑11ln 2)(2++=a a a f 的正负. 令11ln 2)(++=xx x g ，()2,0-∈e x ， 则012)(2<-='xx x g ，)(x g ∴在()2,0-e 上单调递减， 03)()(22>-=>∴-e e g x g ，即011ln 2)(2>++=aa a f ， a a <<20 ，0)(2>∴a f ，0)(<a f ，根据零点存在性定理得，)(x f 在()a ，0内有且只有一个零点.所以，当20-<<e a 时，)(x f 恰有两个零点，符合题意.综上得，20-<<e a .⑵由条件得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++01ln 01ln 2211x a x x a x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∴2121212111ln ln 211ln ln x x a x x x x a x x()2ln 112ln ln 21111ln ln ln ln 12121212212121121221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=---+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 要证421-<e x x ，即证4ln ln 21-<+x x ，即证42ln 11121212-<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ， 即证2ln 11121212-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ，即证2ln 11121212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ①，设12x x t =，不妨设21x x <，由2210x e x <<<-知，1>t 证①式，即转化为证明：当1>t 时，2ln 11>-+t t t ， 设112ln )(+-⋅-=t t t t h ，则()()()22211141)(+-=+-='t t t t t t h ， ∴当1>t 时，0)(>'t h 恒成立，即)(t h 在()+∞,1上单调递增， ∴当1>t 时，0)1()(=>h t h ，所以4211e x x <成立. 解法二：不妨设21x x <，由⑴可知，()2,0-∈ea ，()a x ,01∈，()+∞∈,2a x ，)(x f 在()+∞,a 上单调递增，要证4211e x x <，即证4121e x x <，即证()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<4121e x f x f ， 即证03ln 141>+--x ae x ，即证0-3ln 141<+x ae x由01ln )(111=++=x ax x f ，得()1ln 11+-=x x a ， ∴只需证()01ln 3ln 12141<+++x x e x ①，令()1ln 3ln )(24+++=x x e x x h ，则()3ln 21)(4++='x x e xx h ， 令()3ln 21)(4++=x x e x x ϕ，则()()5ln 215ln 21)(42442++-=++-='x e xe x e x x ϕ， 由20-<<e x ，得2ln -<x ，241xe <，0)(<'∴x ϕ，)(x ϕ∴在(]2,0-e 上单调递减，且0)(2=-e ϕ， (]2,0-∈∴e x ，0)(>x ϕ，即0)(>'x h ，)(x h ∴在(]2,0-e 上单调递增，且0)(2=-e h ，而21-<<e a x ， 0)()(2=<∴-e h x h ，即①式得证，所以4211ex x <成立. 【点睛】方法点睛：⑴研究函数)(x f 零点问题，方法一：令0)(=x f ，参变分离，得到)(x g a =的形式，借助数形结合（几何法）求解；方法二：整体含参通过求导讨论)(x f 的单调性、极值的符号，由数形结合可知函数)(x f 的图象与x 轴的交点情况即函数)(x f 的零点情况. ⑵处理极值点偏移问题的基本策略是利用极值点满足的等式构建不等式，再利用导数讨论不等式对应的函数的单调性即可.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2tan 1tan x y βββ=⎧⎪⎨=⎪+⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程：（2）若点M ，N 为曲线C 上两点，且满足3MON π∠=，求2211OMON-的最大值.【答案】（1）()Z k k ∈+≠+=,2sin 31122ππθθρ；（2）233 【详解】⑴化简曲线C 的参数方程得，⎪⎩⎪⎨⎧==ββ2sin 212cos y x （β为参数，且ππβk +≠2，Z k ∈） 消去参数β得曲线C 的普通方程()11422-≠=+x y x .化成极坐标方程为()()()Z k k p ∈+≠=+,21sin 4cos 22ππθθθρ，θρ22sin 311+=∴()Z k k ∈+≠,2ππθ.⑵ 不妨设()θρ，1M ，⎪⎭⎫⎝⎛+32πθρ，N ，则1ρ=OM ，2ρ=ON , - ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+∴3sin 31sin 31112222πθθON OM⎪⎭⎫⎝⎛+-=--=32sin 2332cos 492sin 433πθθθ 当且仅当()Z k k ∈+=ππθ127时，2211ONOM +取得最大值为233. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22f x x a x a =--+. （1）若()11f ≥，求实数a 的取值范围；（2）若对任意x R ∈，()20f x ≤恒成立，求a 的最小值.【答案】⑴⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,；（2）0【详解】⑴由1)1(≥f ，得11212≥+--a a ，()⎩⎨⎧≥++--≤∴112211a a a 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≤<-11221211a a a 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->1121221a a a 解得1-≤a 或211-≤<-a ， a ∴的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,.⑵ 设t x =2()0≥t ，由已知得，对任意0≥t ，使得0)(≤t f 成立，0)(≤t f ，则a t a t +≤-22，即()()2242a t a t +≤-，即01232≥+at t ，当0=t ，R a ∈；当0>t ，04≥+a t 恒成立，即0≥a ，0≥∴a ，即a 的最小值为0.。
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合肥市2019届高三调研性检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{}12M x x =-<<，{}13N x x =≤≤，则M N =(A)(]1,3- (B)(]1,2- (C)[)1,2 (D)(]2,3 (2)已知复数122iz i-=-(i 为虚数单位)，则||z = (A)15 (B)35 (C)45(D)1(3)右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为2和3.若从右图内随机取一点，则该点取自阴影区域的概率为(A)23 (B)89(C)1213 (D)2425(4)已知实数x y ，满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的取值范围是(A)26 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， (B)20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， (C)[)6 -+∞，(D)[)0 +∞， (5)已知直线:50l x y +-=与圆222:(2)(1)(0)C x y r r -+-=>相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r =(A)2 (B)2 (C)22 (D)4(6)执行右面的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是 (A)4?i < (B)5?i < (C)6?i < (D)7?i <(7)已知tan 3α=，则sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为(A)310 (B)310- (C)35(D)35-(8)已知双曲线2222:1(00)x y M a b a b-=>>，的焦距为4，两条渐近线的夹角为60o ，则双曲线M 的标准方程是(A)2213x y -= (B)2213x y -=或2213y x -=(C)221124x y -= (D)221124x y -=或221412x y -=(9)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于(A)488π+ (B)484π+ (C)648π+ (D)644π+(10)若将函数()()()2cos 1cos 1cos f x x x x =+-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递减区间为(A)()2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， (B)() 2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，(C)()11 844k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， (D)()11 484k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，(11)已知函数()2cos x x f x e e x -=++，其中e 为自然对数的底数，则对任意a R ∈，下列不等式一定成立的是(A)()()212f a f a +≥ (B)()()212f a f a +≤ (C)()()211f a f a +≥+ (D)()()21f a f a +≤ (12)在ABC ∆中，90o CAB ∠=，1AC =，3AB =.将ABC ∆绕BC 旋转至另一位置P (点A 转到点P )，如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点. 若32AE =，则AB 与平面ADE 所成角的正弦值是(A)38 (B)36 (C)34(D)33第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上相应的位置.(13)若a 与b 的夹角为135o ，1a =，2b =，则a b +=__________.(14)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*12n n S S n N +=∈，则10a = .(15)将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在33⨯方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有___________种.(16)已知()241x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，，(其中0a <，e 为自然对数的底数)，若()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦在R 上有三个不同的零点，则a 的取值范围是___________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 各项都是正数，其中3234 a a a a +，，成等差数列，532a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .(18)(本小题满分12分)已知：在ABC ∆中，a b c ，，分别是角A B C ，，所对的边长，()0cos cos a bA C A+=+.(Ⅰ)判断ABC ∆的形状；(Ⅱ)若6C π=，62c =-，求ABC ∆的面积.(19)(本小题满分12分)统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月与2017年6月相比.同比是指本期数据与历史同时期比较，如2017年7月与2016年7月相比.=100%⨯数数环长数本期－上期比增率上期，=100%⨯数数长数本期－同期同比增率同期.下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统计数据：序号x 12345678时间2017年 1月 2017年 2月 2017年 3月 2017年 4月 2017年 5月 2017年 6月 2017年 7月 2017年8月消费者信心指数y107.2108.6 108.4 109.2 112.6 111 113.4 112 910111213141516172017年 9月 2017年 10月 2017年 11月 2017年 12月 2018年 1月 2018年 2月 2018年 3月 2018年 4月 2018年 5月 113.3114.6114.7118.6123.9121.3122.6122.3124(Ⅰ)(ⅰ)求该地区2018年5月消费者信心指数的同比增长率(百分比形式下保留整数)； (ⅱ)除2017年1月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？(Ⅱ)由以上数据可判断，序号x 与该地区消费者信心指数y 具有线性相关关系，写出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+(ˆˆa b ，保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月的消费者信心指数(结果保留1位小数，参考数据与公式：17118068i i i x y =≈∑，17211785ii x==∑，9115x y =≈，，1221ˆni i i ni i x y n x yx nx b ==--∑=∑)(20)(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 中点.(Ⅰ)求证：平面ACG ⊥平面BCE ；(Ⅱ)若3AB BC =，求二面角B CA G --的余弦值.(21)(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)经过点M(2，1)，且离心率32e =.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设A 、B 分别是椭圆C 的上顶点与右顶点，点P 是椭圆C 在第三象限内的一点，直线AP 、BP 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，求四边形AMNB 的面积.(22)(本小题满分12分)已知()()21axx f x e +=(其中a R ∈，e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若12x x ，分别是()f x 的极大值点和极小值点，且12x x >，求证：()()1212f x f x x x +>+.合肥市2019届高三调研性检测数学试题(理科)参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 答案CDCABCBBDAAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)1 (14)256 (15)24 (16))2⎡-⎣，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得233452()32a a a a a +=+⎧⎨=⎩，，，即2311141232.a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∵0n a >，∴0q >，解得12,2.q a =⎧⎨=⎩∴2n n a =. ……………………5分(Ⅱ)由已知得，21222(1)log log log 2n n n n S a a a +=+++=， ∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1111122122311n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦.…………………10分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)()00cos cos cos cos cos cos a b a ba Ab B A C A B A+=⇒+=⇒=+-，∴sin2sin2A B =.∵A B ，是ABC ∆的内角，∴A B =，或2A B π+=，∴ABC ∆为等腰三角形或直角三角形. ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)及6C π=知，ABC ∆为等腰三角形，a b =.根据余弦定理2222cos a b ab C c +-=，得(223843a =-，解得24a =，∴2a =，∴ABC ∆的面积111sin 221222S ab C ==⨯⨯⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)(ⅰ)该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为124112.6100%10%112.6-⨯≈；(ⅱ)由已知环比增长率为负数，即本期数＜上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的环比增长率为负数. ……………………5分(Ⅱ)由已知计算得：17117221ˆ 1.16i ii ii x yn xy bxn x ==-=≈-⋅∑∑，ˆˆ104.56ay bx =-=，∴线性回归方程为ˆ 1.16104.56yx =+. 当18x =时，ˆ125.4y=，即预测该地区2018年6月份消费者信心指数约为125.4. ……………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ，∴CB AG ⊥. 在菱形ABEF 中，60ABE ∠=，可知ABE ∆为等边三角形，G 为BE 中点，∴AG BE ⊥.∵BE CB B =，∴AG ⊥平面BCE .∵AG ⊂平面ACG ，∴平面ACG ⊥平面BCE .…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG AF AD ，，两两垂直，以A 为原点，如图建立空间直角坐标系.设2AB =，则233BC =，()()()230 0 03 0 03131 03A G C B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，. 设()m x y z =，，为平面ABC 的法向量，由00m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3023303x y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取()1 3 0m =，，，同理可求平面ACG 的法向量()0 2 3n =，，， ∴2321cos 727m n m n m n⋅===⨯，，即二面角B CA G --的余弦值等于217.……………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)由椭圆的离心率为32得，32c a =，∴2a b =. 又∵椭圆C 经过点(2，1)，∴224114b b+=，解得22b =，∴椭圆C 的方程为22182x y+=. ……………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，A (0 2，)，B (22 0，).设()00P x y ，，则 直线002:2y AP y x x -=+ ，从而002 02x M y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，； 直线00:(22)22y BP y x x =--，从而00220 22y N x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，. ∴四边形AMNB 的面积00002221122222222y x S AN BM x y ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()222000000000000022244428282224222x y x y x y x y x y x y xy+-++--+==--+--.∵2200182x y +=，∴00000000844282842224x y x y S x y x y +--+==--+. …………………12分(22)(本小题满分12分)(Ⅰ)⑴当0a =时，()()21f x x =+，()f x 的单调增区间是(1)-+∞，，单调减区间是(1)-∞-，；⑵当0a ≠时，()()211axa x x a f x e ⎡⎤⎛⎫-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=.①当0a <时，由()0f x '>解得1x >-或21x a <-；由()0f x '<解得211x a-<<-，∴()f x 的单调增区间是2 1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，和(1)-+∞，，单调减区间是21 1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，； ②当0a >时，由()0f x '>解得211x a-<<-；由()0f x '<解得21x a >-或1x <-，∴()f x 的单调增区间是21 1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，单调减区间是(1)-∞-，和21a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.………5分(Ⅱ)由已知和(Ⅰ)得，当0a >时满足题意，此时121x a=-，21x =-.()()1212f x f x x x +>+22422a e a a-⇔>-22422a e a a -⇔>-2220a e a a -⇔+->.令()222a g a e a a -=+-(0a >)，则()2221a g a e a -'=+-.令()2221a h a e a -=+-(0a >)，则()2220a h a e -'=+>恒成立， ∴()2221a h a e a -=+-(0a >)在(0 )+∞，上单调递增.∵()222132823212110102084422h h e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-<=->-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，， ∴030 8a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使()00h a =，即()020212 a e a -=-*.从而，当0(0)a a ∈，时，()0g a '<；当0()a a ∈+∞，时，()0g a '>，∴()g a 在0(0)a ，上单调递减，在0( )a +∞，上单调递增，∴()022000()2a g a g a e a a -≥=+-，将 (*)式代入得2000()()31g a g a a a ≥=-+.∵20031y a a =-+在30 8⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴2200331313108864a a ⎛⎫-+>-⋅+=> ⎪⎝⎭，∴0()()0g a g a ≥> ，即2220a e a a --+>，∴1212()()f x f x x x +>+. ……………………12分合肥市2019届高三调研性检测数学试题(文科)参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDCDCDBABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)3 (14)2或-1 (15)(] 1-∞，(16)163π三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由36a =，420S =得11262310a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,2.d a =⎧⎨=⎩∴2n a n =. …………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，()()2212n n n S n n +==+，从而()111111n S n n n n ==-++， ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………10分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)由已知得 cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得 sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=， 即()sin 2sin cos A C B B +=.∵A C B π+=-，∴()sin sin A C B +=，∴sin 2sin cos B B B =. 由于sin 0B >，∴1cos 2B =. ∵B ∈(0π，)，∴3B π=. ………………………5分(Ⅱ)由3ABC S B ∆=得1sin 32ac B B =， 由(Ⅰ)知，3B π=，代入上式得2ac =.由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-=，∴()2339a c ac +=+=，∴3a c +=，∴ABC ∆的周长为33………………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)(ⅰ)月销售额在[14 16)，内的频率为()120.030.120.180.070.020.020.12-⨯+++++=； (ⅱ)若70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标.根据频率分布直方图知，[)12 14，和[)14 16，两组频率之和为0.18，月销售额目标应定为0.12162170.24+⨯=(万元)； ………………………5分(Ⅱ)根据直方图可知，销售额为[)22 24，和[]24 26，的频率之和为0.08， 由500.084⨯=可知待选的推销员一共有4人，设这4人分别为1212A A B B ，，，，则4人依次有以下不同的选择：121112A A A B A B ，，；2122A B A B ，；12B B ，一共有6种不同的情况，每一种结果都是等可能的，而4人来自同一组的情况有2种，∴选定的推销员来自同一个小组的概率是2163P ==. ………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，DA AB ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴DA ⊥平面ABEF ，∴DA EG ⊥.在菱形ABEF 中，60AFE ∠=︒，可知AEF ∆为等边三角形，G 为AF中点，∴AF EG ⊥. ∵DA AF A =， ∴EG ⊥平面DAF . ……………………5分(Ⅱ)如图，取AB 的中点为H ，连接EH ，易证EH AB ⊥.由面面垂直的性质可知，EH ⊥平面ABCD ，由(Ⅰ)知，EG ⊥平面DAF ，∴()1339363322BCE ADF E ABCD E ADF V V V ---=+=⨯⨯+=. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)由椭圆的离心率为32得，32c a =，∴2a b =.又∵椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)经过点13 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴2231144b b+=，解得21b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………5分(Ⅱ)设点()()000020 10P x y x y -<<-<<，，.由(Ⅰ)知，()()0 12 0A B ，，，， ∴直线AP 的方程为0011y y x x -=+. 令0y =得，001M xx y =-. 直线BP 的方程为()0022y y x x =--.令0x =得，0022N yy x =-. ∴00000222122y x y AN x x --=-=--，0000022211x x y BM y y --=-=--， ∴()()()200000000002222222121x y x y x y AN BM x y x y ------⋅=⋅=----()220000000000000000004224448442222x y x y x y x y x y x y x y x y x y --+++--+===--+--+，是一个确定的定值.…………………12分(22)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()()2322ln 13f x x x ax =--，∴()24ln 2f x x x ax '=-.由()126f a '=-=-，解得3a =. ………………………5分(Ⅱ)∵12x x ≠，不妨设12x x >，()()()()()()()121212112212202022f x f x f x f x x x f x x f x x x x -+<⇔-+-<⇔+<+-.设()()2g x f x x =+，则()g x 在()1+∞，单调递减，∴()0g x '≤在()1+∞，恒成立. 由(Ⅰ)知，()24ln 2f x x x ax '=-，()24ln 22g x x x ax '=-+，HGFED CB A∴22ln 1x a x x≥+在()1+∞，恒成立. 令()22ln 1x h x x x=+，则()()32ln 1x x x h x x --'=， 令()ln 1F x x x x =--，()ln F x x '=-，∴当()1 x ∈+∞，时，()0F x '<，即()F x 在()1+∞，单调递减，且()()10F x F <=， ∴()0h x '<在()1+∞，恒成立， ∴()h x 在()1+∞，单调递减，且()()11h x h <=， ∴1a ≥． ……………………12分。