2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第十章 4 第4讲 随机事件与古典概型 含解析
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版刷好题练能力：第四章 第4讲 简单的三角恒等变换
2019年4月[基础达标]1．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于( ) A ．34B ．38 C.18 D ．14详细分析：选C.原式＝12sin 15°cos 15°＝14×2sin 15°cos 15° ＝14sin 30°＝18. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．4 3 B ．833C ．4D ．8详细分析：选D.因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎫tan x ＋cos x sin x ＝2×⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8. 3．若sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α等于( ) A ．429B ．－429C ．79D ．－79详细分析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13， cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α－1＝－79. 4．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4详细分析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.因为0<α，β<π2，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.5．(2019·台州质检)4sin 80°－cos 10°sin 10°等于( )A ． 3B ．－ 3C ． 2D ．22－3详细分析：选B.依题意，因为sin 80°＝cos 10°， 所以4sin 80°－cos 10°sin 10°＝4sin 10°cos 10°－cos 10°sin 10°＝2sin 20°－cos 10°sin 10°＝2sin （30°－10°）－cos 10°sin 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°－cos 10°sin 10°＝－3sin 10°sin 10°＝－3，选B.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋sin θ＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋7π6的值是( ) A ．45B ．435C ．－45D ．－435详细分析：选 C.因为cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋sin θ＝435，所以32cos θ＋32sin θ＝435，即3⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝435，即3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝－45.故选C. 7.11－tan 15°－11＋tan 15°＝________． 详细分析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33.答案：33 8．(2019·温州中学高三模考)已知向量a ＝(sin α＋cos α，1)，b ＝(1，－2cos α)，a ·b ＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α＝________，cos α＝________． 详细分析：由题设可得sin α＋cos α－2cos α＝15，即sin α－cos α＝15，联立sin 2α＋cos 2α＝1，由此可得sin α＝45，cos α＝35.答案：45 359．已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________．详细分析：因为sin αcos α1－cos 2α＝12，所以sin αcos α2sin 2α＝12，cos αsin α＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝12，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝1－121＋1×12＝13.答案：1310．(2019·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________________________．详细分析：两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为：S ＝(cos α＋cos β)(sin α＋sin β)＝sin(α＋β)＋sin αcos α＋sin βcos β，减去四个小直角三角形的面积得S 1＝S －sin αcos α－sin βcos β＝sin(α＋β)，题图2中阴影部分面积为S 2＝sin αcos β＋cos αsin β.答案：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.12．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：原式＝cos θ－sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ， 又⎝⎛⎭⎫π4－θ＋⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝π2，所以原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ.因为tan 2θ＝2 tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝－12或tan θ＝2， 又π<2θ<2π，所以π2<θ<π，所以tan θ＝－12，所以原式＝1＋121－12＝3＋2 2.[能力提升]1．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731详细分析：选D.由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以tan 2α＝－247，所以tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1详细分析：选C.因为m ＝2sin 18°， 若m 2＋n ＝4，则n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n2cos 227°－1＝2sin18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2sin 36°sin 36°＝2. 3．(2019·台州市书生中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知a －b ＝2，c ＝4，sin A ＝2sin B ，则△ABC 的面积为________，sin(2A －B )＝________．详细分析：由sin A ＝2sin B 得，a ＝2b ，结合已知可知，a ＝c ＝4，b ＝2，则cos A ＝14，sin A ＝154， S ＝12bc sin A ＝15， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝78，sin B ＝158， sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝2sin A cos A cos B －(cos 2A －sin 2A )sin B ＝2×154×14×78－⎝⎛⎭⎫116－1516×158＝71532. 答案：15715324．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________．详细分析：由53sin α＋5cos α＝8，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又β∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，β＋π3∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，由已知得 sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝22. 所以cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝－22. 所以cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋（α＋β） ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋⎝⎛⎭⎫β＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3 ＝－210.答案：－2105．已知sin β＝m sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－m ·tan α.证明：因为sin β＝m sin(2α＋β)， 所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]， 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，所以(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝1＋m1－m·tan α，所以原式成立．6．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m 的扇形AOB 和三角区域BCO 构成，其中C ，O ，A 在一条直线上，∠ACB ＝π4，记该设施平面图的面积为S (x )m 2，∠AOB ＝x rad ，其中π2<x <π.(1)写出S (x )关于x 的函数关系式．(2)如何设计∠AOB ，使得S (x )有最大值？解：(1)因为扇形AOB 的半径为2 m ，∠AOB ＝x rad ， 所以S 扇形＝12x ·22＝2x ，过点B 作边AC 的垂线，垂足为点D ，如图所示：则∠BOD ＝π－x ，所以BD ＝2sin (π－x )＝2sin x ， OD ＝2cos (π－x )＝－2cos x ，因为∠ACB ＝π4，所以CD ＝BD ＝2sin x ，所以S △BOC ＝12CO ·BD ＝12(2sin x －2cos x )×2sin x ＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin2x ，所以S (x )＝1－cos 2x －sin 2x ＋2x .(2)根据(1)，得到S (x )＝1－cos 2x －sin 2x ＋2x ， 所以S ′(x )＝2sin 2x －2cos 2x ＋2，令S ′(x )＝0， 所以22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－22， 所以2x －π4＝5π4，所以x ＝3π4，根据实际意义知，当x ＝3π4时，该函数取得最大值，故设计∠AOB ＝3π4时，S (x )有最大值．。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第四章第3讲第2课时简单的三角恒等变换含解析
[基础题组练]1．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( ) A ．－35B.335C.319D.37解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan （α＋80°）－tan 60°1＋tan （α＋80°）tan 60°＝23－31＋23×3＝37.故选D.2．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选A.cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，又sin 2α＝23，所以原式＝1－232＝16，故选A.3．(2019·郑州模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32B. 3C.12D.33 解析：选D.cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＋cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6cos π6＝33，故选D. 4．(2019·临川模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为( )A.13 B ．－13C.23D ．－23解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫332－1＝－13.故选B. 5．(2019·安徽淮南一模)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且tan α＝1＋sin 2βcos 2β，则下列结论中正确的是( )A ．α－β＝π4B ．α＋β＝π4C ．2α－β＝π4D ．2α＋β＝π4解析：选 A.tan α＝1＋sin 2βcos 2β＝（sin β＋cos β）2cos 2β－sin 2β＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫β＋π4.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以α＝β＋π4，即α－β＝π4.6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118B.118 C ．－1718D.1718解析：选C.由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin α·cos α＝118，故sin 2α＝－1718.故选C. 7．(2019·平顶山模拟)已知sin α＝－45⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin （α＋β）cos β＝2，则tan(α＋β)＝( )A.613 B.136 C ．－613D ．－136解析：选A.因为sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，所以cos α＝35.由sin （α＋β）cos β＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝613.8.cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°的值为________．解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 29．设α是第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．解析：sin 3αsin α＝sin （α＋2α）sin α＝sin αcos 2α＋cos αsin 2αsin α＝cos 2α＋2cos 2α＝4cos 2α－1＝135，解得cos 2α＝910.因为α是第四象限角，所以cos α＝31010，sin α＝－1010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－35，cos 2α＝2cos 2α－1＝45，所以tan 2α＝－34.答案：－3410．若sin αcos β＝34，则cos αsin β的取值范围为________．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝34＋cos αsin β∈[－1，1]，所以－74≤cos αsin β≤14. 同理sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝34－cos αsin β∈[－1，1]，所以－14≤cos αsinβ≤74.综上可得，－14≤cos αsin β≤14.答案：⎣⎡⎦⎤－14，14 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求：(1)cos α的值； (2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，即sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，化简得sin α＋cos α＝15，①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②解得cos α＝－35或cos α＝45，因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.所以cos α＝－35.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝45，则cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250.12．(一题多解)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)法一：因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.法二：因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.所以4α＋π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以α＝π16＋k π2，k ∈Z .又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以当k ＝1，即α＝9π16时，符合题意．故α＝9π16.[综合题组练]1．(2019·六安模拟)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：选A.因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π.又0<sin 2α＝55<12，所以2α∈⎝⎛⎭⎫5π6，π，即α∈⎝⎛⎭⎫5π12，π2，所以β－α∈⎝⎛⎭⎫π2，13π12，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－255.又sin(β－α)＝1010，所以cos(β－α)＝－1－sin 2（β－α）＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又α∈⎝⎛⎭⎫5π12，π2，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫17π12，2π， 所以α＋β＝7π4，故选A.2．(创新型)(2019·河南中原名校质检)已知a 24＋b 2＝1，则|a cos θ＋2b sin θ|的最大值为( )A ．1 B.233C ．2D ．2 3解析：选C.由a 24＋b 2＝1得a 2＋4b 2＝4.由辅助角公式可得|a cos θ＋2b sin θ|＝a 2＋4b 2|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.3．(应用型)在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tanC 的值为________．解析：由题意知cos A ，cos B ，cos C 均不为0，由sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，得tan A ＝tan B tan C ．又因为cos A ＝13cos B cos C ，且cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ，所以sin B sin C ＝14cos B cos C ，所以tan B tan C ＝14.又tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B tan C )＝－tan A (1－tan B tan C )，所以tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝196.答案：1964．(应用型)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P (－3，3)， 所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ， 所以g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤76π，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1，所以g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域为[－2，1]．。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第二章 4 第4讲 二次函数与幂函数 含解析
[基础题组练]1．幂函数y＝x m2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C.因为y＝x m2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即0<m<4.又因为函数的图象关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－4m为偶数，因此m＝2.2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2 D．1或2解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.3．对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()解析：选A.当0<a<1时，y＝log a x为减函数，y＝(a－1)x2－x开口向下，其对称轴为x＝12（a－1）<0，排除C，D；当a>1时，y＝log a x为增函数，y＝(a－1)x2－x开口向上，其对称轴为x＝12（a－1）>0，排除B.故选A.4．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为() A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)解析：选A.二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( )A ．(－4，2)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C.依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x <－4.6．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选A.根据题意，m －1＝1， 所以m ＝2，所以2n ＝8， 所以n ＝3，所以f (x )＝x 3.因为f (x )＝x 3是定义在R 上的增函数，又－12<0<⎝⎛⎭⎫1312<⎝⎛⎭⎫130＝1<ln π， 所以c <a <b .7．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (1)＝f (3)>f (4)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析：选B.若a ＝0，f (x )不满足题意，所以a ≠0，f (x )为二次函数． 因为f (1)＝f (3)，则x ＝2为对称轴，故－b2a ＝2，则4a ＋b ＝0，又f (3)>f (4)，在(2，＋∞)上f (x )为减函数，所以开口向下，a <0. 故选B.8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时f (x )为减函数， 又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. 答案：(3，5)9．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)， 所以3＝9a ，即a ＝13.所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.答案：y ＝13x 2－2x ＋310．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在[1，2]上是减函数，所以a >0，所以0<a ≤1.答案：(0，1]11．已知函数f (x )＝bx 2－2ax ＋a (a ，b ∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14. (1)当a ＝2时，求函数y ＝log 12f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0时，求使函数f (x )的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a 值． 解：因为f (x )＝bx 2－2ax ＋a 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14， 所以b ＝1，(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－4x ＋2， 令f (x )＞0可得， x ＞2＋2或x ＜2－2，所以f (x )在(2＋2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2－2)上单调递减， y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝log 12f (x )的单调增区间为(－∞，2－2)．(2)当a ＜0时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴x ＝a ＜0， ①a ≤－1时，函数f (x )在[－1，1]上单调递增， 当x ＝－1时，函数有最小值f (－1)＝1＋3a ＝－2， 当x ＝1时，函数有最大值f (1)＝1－a ＝2， 解得a ＝－1，②0＞a ＞－1时，函数在[－1，1]上先减后增，当x ＝a 时，函数有最小值f (a )＝a －a 2＝－2， 解得，a ＝2(舍)或a ＝－1(舍)， 综上可得，a ＝－1.12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.[综合题组练]1．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C.由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0，2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4，故选C.2．(应用型)已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关解析：选C.该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0， 所以当x 1，x 2在对称轴的两侧时， 14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时， 由单调性知f (x 1)<f (x 2)． 综上，f (x 1)<f (x 2)．3．(创新型)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点． 答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版：第十章 1 第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理 含解析
[基础题组练]1．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数的个数是( )A ．30B ．42C ．36D ．35解析：选C.因为a ＋b i 为虚数，所以b ≠0，即b 有6种取法，a 有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．2．已知两条异面直线a ，b 上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A ．40B ．16C ．13D ．10解析：选C.分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．3．已知集合P ＝{x ，1}，Q ＝{y ，1，2}，其中x ，y ∈{1，2，3，…，9}，且P ⊆Q .把满足上述条件的一对有序整数对(x ，y )作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A ．9B ．14C ．15D ．21解析：选B.因为P ＝{x ，1}，Q ＝{y ，1，2}，且P ⊆Q ， 所以x ∈{y ，2}．所以当x ＝2时，y ＝3，4，5，6，7，8，9，共7种情况； 当x ＝y 时，x ＝3，4，5，6，7，8，9，共7种情况． 故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.4．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选D.当公比为2时，等比数列可为1，2，4或2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为32时，等比数列可为4，6，9.同理公比为12，13，23时，也有4个．故共有8个等比数列．5．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A ．32个B ．34个C ．36个D ．38个解析：选A.将和等于11的数放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个子集．故选A.6．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B ，C ，D 中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )A ．180种B ．360种C ．720种D ．960种解析：选D.按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．7．直线l ：x a ＋yb ＝1中，a ∈{1，3，5，7}，b ∈{2，4，6，8}．若l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( )A ．6B ．7C ．8D ．16解析：选B.l 与坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12ab ≥10，即ab ≥20. 当a ＝1时，不满足；当a ＝3时，b ＝8，即1条．当a ∈{5，7}时，b ∈{4，6，8}，此时a 的取法有2种，b 的取法有3种，则直线l 的条数为2×3＝6.故满足条件的直线的条数为1＋6＝7.故选B.8．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P 点处进，Q 点处出，沿图中线路游览A ，B ，C 三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O 外)的不同游览线路有( )A ．6种B ．8种C ．12种D ．48种解析：选D.从P 点处进入结点O 以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A 景点，再进入另外两个景点，最后从Q 点处出有(4＋4)×2＝16种不同的方法；同理，若先游览B 景点，有16种不同的方法；若先游览C 景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48(种)．9．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A．72种B．48种C．24种D．12种解析：选A.法一：首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B 有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．10．(2019·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013 是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B.依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成3个数分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数分别为310，301，130，103，013，031；由2、2、0组成3个数分别为220，202，022；由2，1，1组成3个数分别为211，121，112.共计：3＋6＋3＋3＝15(个)．11．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10解析：选B.当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)．综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.12．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()3 4A.6种种C．18种D．24种解析：选A.根据数字的大小关系可知，1，2，9的位置是固定的，如图所示，则剩余5，6，7，8这4个数字，而8只能放在A或B处，若8放在B处，则可以从5，6，7这3个数字中选一个放在C处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A处，也有3种方法，所以共有6种方法.12D34AC B 913.把3封信投到4种．解析：第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43＝64种投法．答案：6414．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学生委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人担任文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．答案：3615．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝25，则符合条件的三角形共有________个．解析：根据三边构成三角形的条件可知，c<25＋a.第一类：当a＝1，b＝25时，c可取25，共1个值；第二类，当a＝2，b＝25时，c可取25，26，共2个值；……当a＝25，b＝25时，c可取25，26，…，49，共25个值；所以三角形的个数为1＋2＋…＋25＝325.答案：32516．在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排．故安排方式有4×3×2＝24(种)．第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种)．答案：2 880[综合题组练]1．(2019·湖南郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A ．4 320种B ．2 880种C ．1 440种D ．720种解析：选A.分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320种不同的涂色方法，故选A. 2．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．6种B ．12种C ．18种D ．20种解析：选D.分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2×3＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2×4×32＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．故选D.3．(创新型)(2019·湖南十二校联考)若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m ，n )为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n )的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式； 第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式； 第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300. 答案：3004．x ＋y ＋z ＝10的正整数解的组数为________． 解析：可按x 的值分类： 当x ＝1时，y ＋z ＝9，共有8组； 当x ＝2时，y ＋z ＝8，共有7组； 当x ＝3时，y ＋z ＝7，共有6组； 当x ＝4时，y ＋z ＝6，共有5组；当x ＝5时，y ＋z ＝5，共有4组； 当x ＝6时，y ＋x ＝4，共有3组； 当x ＝7时，y ＋z ＝3，共有2组； 当x ＝8时，y ＋z ＝2，共有1组．由分类加法计数原理可知：共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝8×92＝36(组)．答案：365．已知集合M ＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a ，b ，c ∈M ，则： (1)y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示多少个不同的二次函数？ (2)y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解：(1)y ＝ax 2＋bx ＋c 表示二次函数时，a 的取值有5种情况，b 的取值有6种情况，c 的取值有6种情况，因此y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．(2)当y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上时，a 的取值有2种情况，b ，c 的取值均有6种情况，因此y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数．6．(综合型)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．解：法一：按所用颜色种数分类．第一类：5种颜色全用，共有A 55种不同的方法；第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A 与C ，或B 与D )，共有2×A 45种不同的方法；第三类：只用3种颜色，则A 与C ，B 与D 必定同色，共有A 35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为A 55＋2×A 45＋A 35＝420(种)．法二：以S ，A ，B ，C ，D 顺序分步染色． 第一步：S 点染色，有5种方法；第二步：A 点染色，与S 在同一条棱上，有4种方法； 第三步：B 点染色，与S ，A 分别在同一条棱上，有3种方法；第四步：C 点染色，也有3种方法，但考虑到D 点与S ，A ，C 相邻，需要针对A 与C 是否同色进行分类，当A 与C 同色时，D 点有3种染色方法；当A 与C 不同色时，因为C 与S ，B 也不同色，所以C 点有2种染色方法，D 点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第四章第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式
[基础题组练]1．(2019·辽宁五校联考)sin 1 470°＝( ) A.32B.12 C ．－12D ．－32解析：选B.sin 1 470°＝sin(1 440°＋30°)＝sin(360°×4＋30°)＝sin 30°＝12，故选B.2．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B.因为α是第三象限角，故sin α<0，cos α<0，所以原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3.3．(一题多解)(2019·惠州模拟)已知tan α＝12，且α∈(π，3π2)，则cos(α－π2)＝( )A ．－55B.55C.255D ．－255解析：选A.法一：cos(α－π2)＝sin α，由α∈(π，3π2)知α为第三象限角，由tan α＝12可设点P (－2，－1)为α终边上一点，则|OP |＝（－2）2＋（－1）2＝5(O 为坐标原点)，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55，选A. 法二：cos(α－π2)＝sin α，由α∈(π，3π2)知α为第三象限角，联立得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得5sin 2α＝1，故sin α＝－55，选A. 4．若sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝12，则tan θ＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D.因为sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2019·黄冈模拟)已知sin(π＋α)＝－13，则tan(π2－α)的值为( )A ．2 2B ．－2 2 C.24D ．±2 2解析：选 D.因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，则cos α＝±223，所以tan(π2－α)＝sin （π2－α）cos （π2－α）＝cos αsin α＝±2 2.故选D.6．(2019·山西晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝233，则sin 4θ＋cos 4θ＝( ) A.56 B.1718 C.89D.23解析：选B.|sin θ|＋|cos θ|＝233，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝43，所以|sin 2θ|＝13，所以sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 2 2θ＝1－12×⎝⎛⎭⎫132＝1718，故选B.7．(2019·安徽皖南八校第二次联考)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且12sin θ＋12cos θ＝35，则tan θ＝( )A.34 B.43 C ．±34D.34或43解析：选 D.依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t ，因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以t >0，则原式化为12t ＝35·t 2－12，解得t ＝75⎝⎛⎭⎫t ＝－57舍去，故sin θ＋cos θ＝75，则sin θcos θ＝1225，即sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1225，即tan θ1＋tan 2θ＝1225，12tan 2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝34或43.8．(2019·惠州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝________．解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213，所以cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213.答案：12139．(2019·福建厦门质检)已知sin 2α＝34，π4<α<π2，则sin α－cos α的值是________．解析：因为π4<α<π2，所以sin α>cos α>0，所以sin α－cos α>0.又sin 2α＝34，所以(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－sin 2α＝14，则sin α－cos α＝12.答案：1210．(2019·河南安阳一模)若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α＝________．解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α>0，即cos α＝3sin α－1，则cos 2α＝1－sin 2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝35，所以cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－25. 答案：－2511．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13，所以原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 12．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值； (2)求tan A 的值．解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝125，即1＋2sin A cos A ＝125，故sin A cos A ＝－1225.(2)在△ABC 中，sin A >0，又sin A cos A <0，所以cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝（sin A －cos A ）2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝75，① 又sin A ＋cos A ＝15，②由①②知，sin A ＝45，cos A ＝－35，因此tan A ＝sin A cos A ＝－43.[综合题组练]1．(创新型)(2019·河北衡水模拟)已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C. 13D ．－14解析：选D.由题意知tan θ＝3，k AB ＝5cos θ－sin θ－sin θ2cos θ＋sin θ－cos θ＝5－2tan θ1＋tan θ＝－14.故选D.2．(创新型)(2019·湖北部分重点中学联考)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝m ，m ∈(0，1)，则tan θ的可能取值为( )A ．－3B ．3C ．－13D.13解析：选A.由m ∈(0，1)，得sin θ＋cos θ>0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4.又因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝m 2，m ∈(0，1)，从而得2sin θcos θ<0，得θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.综上可得θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，则tan θ<－1，所以可能的取值为－3，故选A.3．(应用型)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎤0，π2内有解，则a 的取值范围是________．解析：方程cos 2x －sin x ＋a ＝0，即sin 2x ＋sin x －a －1＝0.由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以0<sin x ≤1.设sin x ＝t ∈(0，1]，则问题转化为方程t 2＋t －a －1＝0在(0，1]上有解．设f (t )＝t 2＋t －1－a ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12在区间(0，1]的左侧，图象如图所示．因此f (t )＝0在(0，1]上有解，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <0，1－a ≥0， 解得－1<a ≤1，故a 的取值范围是(－1，1]． 答案：(－1，1]4．(应用型)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12， sin θcos θ＝m2，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0，2π)，故θ＝π3或θ＝π6.。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第十章 2 第2讲 排列与组合 含解析
[基础题组练]1．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为()A．12 B．18C．24 D．36解析：选C.从1，3，5中取两个数有C23种方法，从2，4中取一个数有C12种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C23C12A12A22＝3×2×2×2×1＝24.2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．所以由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．3．(2019·山西太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1 800 B．3 600C．4 320 D．5 040解析：选B.先排出舞蹈节目以外的5个节目，共A55种排法，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种插法，所以共有A55A26＝3 600(种)．4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B.第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．5．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即C38－C35－C34＝42.6．(2019·惠州第二次调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为() A．24 B．18C．16 D．10解析：选D.分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.选D.7．(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A．36种B．24种C．22种D．20种解析：选B.根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，故选B.8．(2019·沈阳教学质量监测(一))若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A．4种B．8种C．12种D．24种解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法，故选B.9．(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有() A．120种B．156种C．188种D．240种解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A22A33，A22A33，C12A22A33，C13A22A33，C13A22A33，故总编排方案有A22A33＋A22A33＋C12A22A33＋C13A22A33＋C13A22A33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C14A22A33＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．10．(2019·石家庄模拟)用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.11．(2019·甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22C 23＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.12．(2019·福建三明一模)某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C.甲所设密码共有C 34C 14C 13＝48种不同设法，乙所设密码共有C 24A 242！＝36种不同设法，丙所设密码共有C 24C 14A 23＝144种不同设法，丁所设密码共有A 44＝24种不同设法，所以丙最安全，故选C.13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有________种．解析：把g 、o 、o 、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g 和d ，共有A 24种排法；第二步：排两个o ，共1种排法，所以总的排法种数为A 24＝12(种)．其中正确的有1种，所以错误的共A 24－1＝12－1＝11(种)．答案：1114．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C 12C 24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C 22C 14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16(种)．法二：从6人中任选3人，不同的选法有C 36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C 34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．答案：1615．(一题多解)(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C 23·C 14＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C 13·C 11＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C 23种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A 24种方法．由分步乘法计数原理得共有C 23·A 24＝36种报法．答案：3616．(2019·河南南阳模拟)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有________种.解析：根据题意，对于A ，B 中任选2个，大的放进A 方格，小的放进B 方格，有C 24＝6种情况，对于C ，D 两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则不同的填法共有16×6＝96(种)．答案：96[综合题组练]1．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )A ．144种B ．108种C ．72种D ．36种解析：选C.从4种小车中选取2种有C 24种选法，从4个车库中选取2个车库有C 24种选法，然后将这2种小车放入这两个车库共有A 22种放法；将剩下的2种小车每1种分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有C 24C 24A 22＝72种不同的放法．故选C.2．(2019·江西赣州联考)将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有( )A ．12种B ．16种C ．18种D ．36种解析：选C.先将标号为1，2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有C 24·C 222！·A 22＝6种情况，所以不同的方法共有3×6＝18(种)． 3．(综合型)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对． 解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C 26－3)对，两个正四面体有(C 26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C 26－3)×2×2＝48(对)．答案：484．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N 1，其中N 2、N 3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N 1<N 2<N 3的所有排列的个数是________．解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是C13A25C12A22＝240.答案：2405．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种放入方式．6．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．所以共有A46·A24·A44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有C14·C16·A44＝576种不同的测试方法．。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第四章 7 第6讲 正弦定理和余弦定理 含解析
[基础题组练]1．已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶1∶3 B ．2∶2∶ 3 C ．1∶1∶2D ．1∶1∶4解析：选A.△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，所以A ＝π6，B ＝π6，C ＝23π，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶12∶32＝1∶1∶ 3.2．(2019·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c ，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选D.因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－12，又0<B <π，所以B ＝2π3，故选D. 3．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cosC ，所以在△ABC 中，C ＝π4.4．(2019·江西赣州月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2B. 3C.32D ．2解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32，故选C.5．在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B ，所以cos C cos B ＝b c 或cos Ccos B ＝0，即C ＝90°或cos C cos B ＝b c .当C ＝90°时，△ABC 为直角三角形．当cos C cos B ＝b c 时，由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，所以cos C cos B ＝sin Bsin C，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B .因为B ，C 均为△ABC 的内角，所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.6．(2019·吉林四平质检)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S△ABC＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.7．(2019·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A ·cos C －sin C cos A )＝sin B ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°8．(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解析：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833，所以S △ABC ＝12bc sin A＝12×833×12＝233. 答案：2339．(2019·山东菏泽模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b2＝0，a 2＝72bc ，b >c ，则bc＝________．解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B 2＝0.因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cos A ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以bc＝2.答案：210．(2019·昆明质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的面积等于________． 解析：因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理可知，sin A cos A ＝sin B cos B⇒tan A ＝tan B ，则A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形，所以A ＋B ＋C ＝2B ＋C ＝π，得2B ＝π－C ，则cos 2B ＝－cos C ＝－14＝1－2sin 2 B ，解得sin B ＝104，cos B ＝64，tan B ＝153. 因为AB ＝c ＝3，所以C 到AB 的距离h ＝AB 2×tan B ＝32×153＝152，所以△ABC 的面积为12×AB ×h ＝3154.答案：315411．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.12．(2019·合肥质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos C ＝a cos 2B ＋b cos A cos B .(1)求证：△ABC 是等腰三角形；(2)若cos A ＝78，且△ABC 的周长为5，求△ABC 的面积．解：(1)证明：根据正弦定理及b cos C ＝a cos 2B ＋b cos A cos B ，可得sin B cos C ＝sin A cos 2B ＋sin B cos A cos B ＝cos B (sin A cos B ＋sin B cos A )＝cos B sin(A ＋B )，即sin B cos C ＝cos B sin C ， 所以sin(B －C )＝0，由B ，C ∈(0，π)，得B －C ∈(－π，π)， 故B ＝C ，所以△ABC 是等腰三角形．(2)由(1)知b ＝c ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2＝78，得b ＝2a .△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5a ＝5，得a ＝1，b ＝c ＝2. 故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×2×1－⎝⎛⎭⎫782＝154.[综合题组练]1．(应用型)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S ＝(a ＋b )2－c 2，则sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C 等于 ( )A ．1B ．－22C.22D.32解析：选C.因为S ＝12ab sin C ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ．又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2 C ＝1，解得cos C ＝－1(不合题意，舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝22(sin C ＋cos C )＝22.2．(应用型)(2019·陕西质量检测一)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc .若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．解析：在△ABC 中，因为(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，所以a 2＋b 2－c 2ab(a cos B ＋b cos A )＝c ，由正、余弦定理可得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，所以2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，即2cos C sin C ＝sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3，B ＝2π3－A ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝c 32，可得a ＝c sin A32，b ＝c sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A 32，因为a ＋b ＝2，所以c sin A32＋c sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A 32＝2，整理得c ＝3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝332sin A ＋32cos A ＝1sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，可得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，所以c ＝1sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈[1，2)．答案：[1，2)3．(2018·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.4．(一题多解)(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b .(1)求角C;(2)若△ABC 的面积S ＝32c ，求ab 的最小值． 解：(1)法一：由2c cos B ＝2a ＋b 及余弦定理，得2c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a ＋b ，得a 2＋c 2－b 2＝2a 2＋ab ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.法二：因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 所以由已知可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 则有2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，所以2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，所以cos C ＝－12.因为C 为三角形的内角，所以C ＝2π3.(2)因为S ＝12ab sin C ＝32c ，所以c ＝12ab .又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ，所以a 2b 24＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，ab ≥12，当且仅当a ＝b 时取等号．故ab 的最小值为12.。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：选修4-5 1 第1讲 绝对值不等式 含解析
[基础题组练]1．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－(|x |－32)2＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当(x ＋a )(x －2)≤0时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a . (1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不合题意； 当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意． 综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1，0)．4．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R )． (1)若f (1)<11，求a 的取值范围；(2)若∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)f (1)＝|1－a |＋|2－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a ≤1，1，1<a <2，2a －3，a ≥2，当a ≤1时，3－2a <11，解得a >－4， 所以－4＜a ≤1；当1<a <2时，1<11恒成立； 当a ≥2时，2a －3＜11， 解得a <7，所以2≤a <7.综上，a 的取值范围是(－4，7)． (2)因为∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立， 又f (x )＝|x －a |＋|2x －a |≥|x －a －(2x －a )|＝|x |， 所以|x |≥x 2－x －3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥x 2－x －3，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥x 2－x －3，x <0，解得0≤x ≤3或－3≤x ＜0， 所以x 的取值范围为[－3，3]．[综合题组练]1．设函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋g (x )<2；(2)对于实数x ，y ，若f (x )≤1，g (y )≤1，证明：|x －2y ＋1|≤3.解：(1)解不等式|x －3|＋|x －2|<2.①当x <2时，原不等式可化为3－x ＋2－x <2，可得x >32.所以32<x <2.②当2≤x ≤3时，原不等式可化为3－x ＋x －2<2，可得1<2.所以2≤x ≤3. ③当x >3时，原不等式可化为x －3＋x －2<2，可得x <72.所以3<x <72.由①②③可知，不等式的解集为{x |32<x <72}．(2)证明：|x －2y ＋1|＝|(x －3)－2(y －2)|≤|x －3|＋2|y －2|≤1＋2＝3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3时等号成立．2．已知f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0<a <5)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x <12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，所以f (x )≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)． (2)因为0<a <5，所以5a>1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋2）x ＋6，x <12，（2－a ）x ＋4，12≤x ≤5a ，（a ＋2）x －6，x >5a.注意到当x <12时，f (x )单调递减，当x >5a 时，f (x )单调递增，所以f (x )的最小值在⎣⎡⎦⎤12，5a 上取得，因为在⎣⎡⎦⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f (x )单调递增，当2<a ≤5时，f (x )单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫5a ＝4. 解得a ＝2.3．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4. 当x >2时，原不等式可化为2x <5， 所以2<x <52；当x <－1时，原不等式可化为－2x <3， 所以－32<x <－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4， 所以－1≤x ≤2.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <52， 即x 1＝－32，x 2＝52.所以x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k .当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，所以k ≥0. 当x ≤－2或x ≥0时， 因为|x ＋1|≥1，所以不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立． 当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ， 可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，所以k ≤3. 当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x ，所以k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3. 4．(2019·山西太原模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝|x －a |＋12a ，所以f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a， 所以f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |，所以|m |≤1，即－1≤m ≤1，所以实数m 的最大值为1. (2)当a <12时，g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12，所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a 2＋a ＋1≥0， 所以－12≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0.。
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[基础题组练]1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A.17 B.1235 C.1735D ．1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735. 2．(2019·福建漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )A.15B.13C.14D.16解析：选B.由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊．又因为所有的限制条件对丙 、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是13.故选B.3．(2019·河南郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A 55＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3A 23A 12A 11＝36种取法，所以P ＝36120＝310.故选C.4．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)，其中a ∈{1，2，3，4}，b ∈{1，2，3，4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A.14B.38C.12D.58解析：选B.直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则ba >1，总基本事件数为4×4＝16，满足条件的(a ，b )的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，故概率为38.5．为了准备2019届哈尔滨市中学生辩论大赛，哈六中决定从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，则这两个人来自同一个班级的概率是( )A.27B.17C.14D.18解析：选B.从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，基本事件总数n ＝C 28＝28，这两个人来自同一个班级包含的基本事件个数m ＝C 14C 22＝4，则这两个人来自同一个班级的概率是p ＝m n ＝428＝17.故选B. 6．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．解析：由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421，191，271，932，800，531，共6组随机数，所以所求概率为620＝0.30.答案：0.307．从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________． 解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C 79＝36种，从(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)中任选3组，有C 34＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为436＝19. 答案：198．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213，134)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________．解析：从1，2，3，4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A 34＝24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为1，2，3或1，3，4，所以共组成2A 33＝12个“好数”，故所求概率为1224＝12. 答案：129．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆)500130100150120(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.10．设a ∈{2，4}，b ∈{1，3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率． 解：(1)由题意－b2×12a ≥－1，即b ≤a .而(a ，b )共有C 12·C 12＝4种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34. (2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． 因为函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，所以这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为16.[综合题组练]1．(2019·泉州模拟)已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为( )A.12B.13C.14D.16解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张， 基本事件总数n ＝A 33＝6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m ＝C 13C 11C 11＝3，所以恰有一人取到自己身份证的概率为p ＝m n ＝36＝12.故选A.2．(2019·河南开封模拟)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )A.17B.27C.37D.47解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A 77＝5 040(种)．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A 44.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A 35，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有A 44A 35＝1 440(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P ＝1 4405 040＝27.故选B.3．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i 次得到的向上一面的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________．解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n ＝6×6×6，要使a 1＋a 2＋a 3＝6，则a 1，a 2，a 3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，其所含的基本事件个数m ＝A 33＋C 13＋1＝10.故幸运数字为3的概率为P ＝106×6×6＝5108.答案：51084．如下的三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1，2，3；j ＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33 解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝9×8×71×2×3＝84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314. 答案：13145．某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2017年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4，0.5)，[0.5，0.6)，[0.6，0.7)，[0.7，0.8)，[0.8，0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．解：(1)购物者的购物金额x 与获得优惠券金额y 的频率分布如下表：11 000(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96. (2)由获得优惠券金额y 与购物金额x 的对应关系及(1)知， P (y ＝150)＝P (0.6≤x <0.8)＝0.28， P (y ＝200)＝P (0.8≤x ≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P (y ≥150)＝P (y ＝150)＋P (y ＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.6．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n ＝16. (1)记“xy ≤3”为事件A ， 则事件A 包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)， 所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C . 则事件B 包含的基本事件共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)． 所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的基本事件共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)． 所以P (C )＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．。