2018年高考理科数学导数及应用100题(含答案解析)
2018年高考理科数学导数及应用模拟题100题（含答案解析）
1.
设函数f （x ）在R 上存在导函数f′（x ），对任意的实数x 都有f （x ）=2x 2﹣f （﹣x ），当x ∈（﹣∞，0）时，f′（x ）+1＜2x ．若f （m+2）≤f （﹣m ）+4m+4，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[﹣，+∞）
B ．[﹣，+∞）
C ．[﹣1，+∞）
D ．[﹣2，+∞）
2.
已知函数f （x ）=ln （e x
+e ﹣x
）+x 2
，则使得f （2x ）＞f （x+3）成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（﹣1，3）
B ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C ．（﹣3，3）
D ．（﹣∞，﹣1）
∪（3，+∞） 3.
若2n
x x ?
?- ??
?的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y nx =与曲线2y x =围成
的封闭区域的面积为（ ）． A ．223
B ．12
C ．
323
D ．36
4.
下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）． A ．3y x =
B ．ln()y x =-
C ．y
D ．2y x x
=+
5.
已知函数f （x ）满足：f （x ）+2f′（x ）＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．f （0）＞e 2f
（4） 6.
已知函数f （x ）=x 2+2ax ，g （x ）=3a 2lnx+b ，设两曲线y=f （x ），y=g （x ）有公共点，且在该点处的切线相同，则a ∈（0，+∞）时，实数b 的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.
由曲线y=x 2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为（ ）
A ．
B ．4
C ．2
D ． 8.
已知f （x ）为定义域为R 的函数，f'（x ）是f （x ）的导函数，且f （1）=e ，?x ∈R 都有f'
（x ）＞f （x ），则不等式f （x ）＜e x
的解集为（ ）
A ．（﹣∞，1）
B ．（﹣∞，0）
C ．（0，+∞）
D ．（1，+∞）
9.
若函数f （x ）=lnx+x 2
﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ． (﹣∞，22]
B ．（﹣∞，2]
C ．[1，+∞）
D ．[2，+∞）
10.
直线x=1，x=e 与曲线y=
x
1
，y=x 围成的面积是（ ） A ．31(2e 23
﹣5) B ． 3
1
(2e 23
﹣1)
C ．
3
1
(2e 23﹣2)D ．2e 23
﹣5 11.
若f （x ）=x 3
﹣ax 2
+1在（1，3）内单调递减，则实数a 的范围是（ ）
A ．[，+∞）
B ．（﹣∞，3]
C ．（3，）
D ．（0，3） 12.
由曲线y=2
，直线y=x ﹣3及x 轴所围成的图形的面积为（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18 13.
已知函数f （x ）=e x
﹣ln （x+a ）（a ∈R ）有唯一的零点x 0，则（ ）
A ．﹣1＜x 0＜﹣
B ．﹣＜x 0＜﹣
C ．﹣＜x 0＜0
D ．0＜x 0＜
14.
已知函数f （x ）=x ﹣1﹣lnx ，对定义域内任意x 都有f （x ）≥kx ﹣2，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，1﹣]
B ．（﹣∞，﹣
]
C ．[﹣
，+∞）
D ．[1﹣
，+∞）
15.
已知函数f （x ）的导函数图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是（ ）
A ．f （cosA ）＜f （cos
B ） B ．f （sinA ）＜f （cosB ）
C ．f （sinA ）＞f （sinB ）
D ．f （sinA ）＞f （cosB ）
16.
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=，则a 5+a 6=
（ ）
A ．
B ．12
C ．6
D ．
17.
已知f （x ）=cosx ，则f （π）+f′（）=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
18.
若函数f （x ）=x 3﹣3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2） B ．[﹣2，2] C ．（﹣∞，﹣1） D ．（1，+∞）
19. 设函数，则（ ）
A ．
为 f （x ）的极大值点
B ．
为f （x ）的极小值点
C ．x=2 为 f （x ）的极大值点
D ．x=2为f （x ）的极小值点 20.
已知曲线 f （x ）=ax 2﹣2在横坐标为1的点 p 处切线的倾斜角为，则a=（ ）
A ．
B ．1
C ．2
D ．﹣1 21. ．若
，则
的展开式中常数项为（ ）
A ．8
B ．16
C ．24
D ．60 22.
函数y=x 2
在P （1，1）处的切线与双曲线22
a x ﹣22b
y =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行，
则双曲线的离心率是（ ）
A ．5
B ．5
C ．2
5 D ．3
23.
已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f′（x ），满足f′（x ）＜f （x ），且f （x+2）为偶函数，f （4）=1，则不等式f （x ）＜e x
的解集为（ ） A ．（﹣2，+∞） B ．（0，+∞） C ．（1，+∞） D ．（4，+∞）
24.
如图所示，正弦曲线y=sinx ，余弦曲线y=cosx 与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．2
25.
函数的最小值为 ．
26.
．如图中的曲线为2()2f x x x =-，则阴影部分面积为__________．
27.
如图中阴影部分的面积等于____________．
28.
若函数()sin f x x a x =+在R 上递增，则实数a 的取值范围为__________． 29.
定积分3
112d x x x ?
?-= ??
??__________．
30.
函数2y x x =-的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积等于__________． 31.
定义在R 上的函数f （x ）满足2f （4﹣x ）=f （x ）+x 2
﹣2，则曲线y=f （x ）在点（2，f
（2））处的切线方程是 ． 32. 已知n=?6
e 1
dx x 1，那么n )x
5
x (-的展开式中含x 23
的项的系数为 ． 33.
已知函数f （x ）满足xf′（x ）=（x ﹣1）f （x ），且f （1）=1，若A 为△ABC 的最大内
角，则f[tan（A﹣）]的取值范围为．
34.
点P（x0，y0）是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点，过点P的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为．
35.D
做人处事应从善如流，体现了我们必须坚持正确的价值观，正确处理个人与社会的关系，通过劳动和奉献实现人生价值，②④正确；价值判断和价值选择具有社会历史性，在不同的社会历史条件下，价值判断和选择会不同，因此一个时代的正确的价值判断和价值选择有时并不适用于另一个时代，①普遍适应的说法是错误的，排除①；自觉站在人民的立场上才是最高价值标准，③排除。故本题答案选D。
【考点定位】人生价值的实现
36.
函数f（x）=e x（x+sinx+1）在x=0处的切线方程为．
37.
若曲线y=lnx的一条切线是直线y=x+b，则实数b的值为．
38.
曲线y=x2与所围成的图形的面积是．
39.
∫0a（3x2﹣x+1）dx= ．
40.D
【考点】16：蛋白质的合成——氨基酸脱水缩合．菁优网版权所有
【分析】1、构成蛋白质的基本单位是氨基酸，每种氨基酸分子至少都含有一个氨基和一个羧基，且都有一个氨基和一个羧基连接在同一个碳原子上，这个碳原子还连接一个氢和一个R基，氨基酸的不同在于R基的不同．
2、氨基酸通过脱水缩合形成多肽链，而脱水缩合是指一个氨基酸分子的羧基和另一个氨基酸分子的氨基相连接，同时脱出一分子水的过程；氨基酸形成多肽过程中的相关计算：肽键数=脱去水分子数=氨基酸数一肽链数，游离氨基或羧基数=肽链数+R基中含有的氨基或羧基数，至少含有的游离氨基或羧基数=肽链数．
3、分析题图中的3种氨基酸：分析题图中的3种氨基酸的结构简式可知，每种氨基酸只含一个N原子，因此分子式为C22H34O13N6的肽链中含有6个氨基酸；3种氨基酸中每分子甘氨酸和丙氨酸均含2个氧原子，每分子谷氨酸中含有含有4个氧原子．
【解答】解：A、由以上分析知，分子式为C22H34O13N6的肽链中含有6个氨基酸，合成1个
该多肽链时产生的水分子数=氨基酸数﹣肽链数=6﹣1=5个，A 正确；
B 、脱去的水分子数等于形成的肽键数，因此在细胞中合成1个
C 22H 34O 13N 6分子要形成5个肽键，B 正确；
C 、题图中三种氨基酸分子中只有谷氨酸含有2个羧基，假设谷氨酸的数目为X ，则多肽链中的氧原子数=4X+2（6﹣X ）﹣5=13，解得X=3个，C 正确；
D 、题图中的3种氨基酸的R 基中均不含氨基，只有谷氨酸的R 基中含有羧基（每分子谷氨酸中含有1个），则1个C 22H 34O 13N 6分子中存在游离的氨基数=肽链数+R 基中含有的氨基数=1+0=1个、存在游离的羧基数=肽链数+R 基中含有的羧基数=1+3=4个，D 错误． 故选：D ． 41.
函数
，数列{a n }的通项公式a n =|f （n ）|，若数列从第k 项起
每一项随着n 项数的增大而增大，则k 的最小值为 ． 42.
设函数，若，则x 0的取值范围为 ．
43.
已知函数f （x ）=e
﹣|x|
+cosπx ，给出下列命题：
①f （x ）的最大值为2；
②f （x ）在（﹣10，10）内的零点之和为0； ③f （x ）的任何一个极大值都大于1． 其中，所有正确命题的序号是 ． 44. 曲线，直线x=1，x=e 和x 轴所围成的区域的面积是 ．
45.
已知函数f （x ）=（x 2+ax+b ）e x ，当b ＜1时，函数f （x ）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则2
a 2
b -+的取值范围是 ． 46. 若
?e
1
x 2dx=a ，则（x+x
a
）6展开式中的常数项为 ． 47.
若函数f （x ）=x 2
+（a+3）x+lnx 在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范
围为 ．
48.
已知函数f （x ）
=alnx++1，曲线y=f （x ）在点（1，2）处切线平行于x 轴． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）当x ＞1时，不等式（x ﹣1）f （x ）＞（x ﹣k ）lnx 恒成立，求实数k 的取值范围． 49.
已知函数
．
（1）求y=f （x ）的最大值； （2
）当
时，函数y=g （x ），（x ∈（0，e]）有最小值． 记g （x ）的最小值
为h （a ），求函 数h （a ）的值域． 50.
函数()1ln
1x
f x kx x
+=-- . （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当()0,1x ∈时，若2
4e e 1kx kx x
x --<- ，求实数k 的取值范围. 51.
已知函数21
()(1)(1)ln 2
f x x a x a x =-+++-，a ∈R ．
（Ⅰ）当3a =时，求曲线:()C y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．
（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，若曲线:()C y f x =上的点(,)x y 都在不等式组12,,3,2
x x y y x ?
??
???+?≤≤≤≤所表示的平
面区域内，试求a 的取值范围． 52.
设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．
（2）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围． （3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为1． 53.
设函数21()51623f x x x =
++，L 为曲线:()C y f x =在点11,12?
?- ???
处的切线．
（Ⅰ）求L 的方程．
（Ⅱ）当15x <-时，证明：除切点11,12?
?- ???
之外，曲线C 在直线L 的下方．
（Ⅲ）设1x ，2x ，3x ∈R ，且满足1233x x x ++=-，求123()()()f x f x f x ++的最大值． 54.
已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）． （Ⅰ）若1x =为()f x 的极值点，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）讨论函数()f x 在[1,e]上的单调性．
（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围． 55.
设函数1
()ln ()f x x a x a x
=-
-∈R ． Ⅰ讨论函数()f x 的单调性．
Ⅱ若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 的直线斜率为k ．问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 56.
已知a ∈R ，函数()ln 1a
f x x x
=
-+． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 在区间(0,e]上的最小值． 57.
函数()e x f x x =?． （1）求()f x 的极值．
（2）2
1()2
k f x x x ?≥+在[1,)-∞+上恒成立，求k 值的集合．
58.
已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）． （Ⅰ）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程． （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．
（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围． 59.
已知2
()x
f x e ax =-，()
g x 是()f x 的导函数． （Ⅰ）求()g x 的极值；
（Ⅱ）若()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围．
60.
已知函数21()4f x x =+，1
()ln(2e )2
g x x =．
（Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的最小值．
（Ⅱ）是否存在一次函数()h x ，使得对于(0,)x ?∈+∞，总有()()f x h x ≥，且()()h x g x ≥成立？若存在，求出()h x 的表达式；若不存在，说明理由． 61.
已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--．
（I ）求曲线()y f x =在点(0,())f x 处的切线方程． （II ）求证：当(0,1)x ∈时，3()23x f x x ??
>+ ??
?．
（III ）设实数k 使得3()3x f x k x ??
>+ ??
?对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值．
62.
已知函数e ()x
f x x
=．
（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标． （2）令()()(ln )g x f x a x x =--，当0a ≤时，求()g x 的单调区间． （3）当e a ≤，证明：当(0,)x ∈+∞，()0g x ≥． 63.
已知函数2()ln f x x a x =+的极值点为2． （1）求实数a 的值． （2）求函数()f x 的极值．
（3）求函数()f x 在区间1,e e ??
????
上的最值．
64.
已知函数()()e x f x x a =+，其中e 是自然数的底数，a ∈R ． （Ⅰ）求实数()f x 的单调区间．
（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由． 65.
已知曲线:e ax C y =．
（Ⅰ）若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值．
（Ⅱ）对任意实数a ，曲线C 总在直线:l y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围． 66.
已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g （x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．
67.
已知函数f（x）=x2+bx﹣alnx．
（1）当a＞0时，函数f（x）是否存在极值？判断并证明你的结论；
（2）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），求自然数n的值；
（3）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
68.
已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得|f（x1）﹣f（x2）|＞（m+ln3）a
﹣2ln3+ln（﹣a）恒成立，求m的取值范围．
69.
已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．
（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围．
70.
已知函数在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）已知0＜a＜b，求证：．
71.
已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．
（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．
72.
已知函数f （x ）=alnx+
2
1x 2
﹣2ax+1(a ∈R)． （1）讨论f （x ）的单调性；
（2）当f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且2
121x x )
x (f )x (f ++＜m 恒成立时，求m 的取值范围．
73.
已知函数f(x)=
1
x x 2
++1，g （x ）=x 2e ax
（a ＜0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x 1，x 2∈[0，2]，f （x 1）≥g （x 2）恒成立，求a 的取值范围． 74.
已知函数f （x ）=3x ﹣2mx 2﹣3ln （x+1），其中m ∈R （1）若x=1是f （x ）的极值点，求m 的值；
（2）若0＜m ＜，求f （x ）的单调区间；
（3）若f （x ）在[0，+∞）上的最小值是0，求m 的取值范围． 75.
已知函数f （x ）=m （x ﹣1）e x +x 2（m ∈R ）． （1）若m=﹣1，求函数f （x ）的单调区间；
（2）若对任意的x ＜0，不等式x 2
+（m+2）x ＞f′（x ）恒成立，求m 的取值范围； （3）当m ≤﹣1时，求函数f （x ）在[m ，1]上的最小值． 76.
已知m 为实数，函数f （x ）=x 3+x 2﹣3x ﹣mx+2，g （x ）=f′（x ），f′（x ）是f （x ）
的导函数．
（1）当m=1时，求f （x ）的单调区间；
（2）若g （x ）在区间[﹣1，1]上有零点，求m 的取值范围． 77.
已知函数f （x ）=ln （x ﹣1）﹣k （x ﹣1）+1（k ∈R ）． （I ）求函数f （x ）的单调区间；
（II ）若f （x ）≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围；
（III ）证明：．
78.
某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a （1≤a ≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x （7≤x ≤9）元时，一年的销售量为（10﹣x ）2
万件．
（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．
79.
已知函数f（x）=为偶函数
（1）求实数a的值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣，判断λ与E 的关系；
（3）当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求实数m，n值．
80.
已知函数f（x）=x2+lnx．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．
81.
已知函数f（x）=﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值．
（1）求实常数m的值．
（2）求函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．
82.
已知函数．
（1）当a=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，当0＜x≤2时，函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域（含边界）？若存在，求出a的值组成的集合；否则说明理由；
（3）若f（x）有两个不同的极值点m，n（m＞n），求过两点M（m，f（m）），N（n，f （n））的直线的斜率的取值范围．
83.
已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2（a＞1）在x=﹣1时有极值0．
（1）求常数 a，b的值；
（2）方程f（x）=c在区间[﹣4，0]上有三个不同的实根时，求实数c的范围．
84.
（14分）已知函数f （x ）=lnx ﹣
x
a
﹣1． （1）若曲线y=f （x ）存在斜率为﹣1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求f （x ）的单调区间； （3）设函数g （x ）=x
ln a
x +，求证：当﹣1＜a ＜0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值． 85.
（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x
．
（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=
)x (g )x (f ，H(x)= ﹣41x+4
5
，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立． 86.下列关于遗传学基本概念的叙述，正确的是 A. 测交后代出现两种性状的现象属于性状分离 B. 纯合子自交后代表现出的性状为显性性状 C. 相同环境下，基因不同的个体表现型可能相同 D. 果蝇的长翅短翅，红眼和复眼都是相对性状 87.
（14分）如图，已知A ，B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 处，tan ∠BAN=
43，∠BCN=4
π
，现计划铺设一条电缆联通A ，B 两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、4万元∕km ．
（1）求A ，B 两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？
88.
已知函数f （x ）=x 3+ax 2
+bx+c ，曲线y=f （x ）在点x=﹣1处的切线为l ：5x+y ﹣5=0，若
时，y=f （x ）有极值． （1）求a ，b ，c 的值；
（2）求y=f （x ）在[﹣3，2]上的最大值和最小值． 89. 已知函数
．
（1）求f （x ）的单调区间； （2）当x ＞0时，，求a 的取值范围．
90.
已知函数()x
f x e =，()()
g x ln x a b =++．
（Ⅰ）若函数f(x)与g(x)的图像在点 (0，1)处有相同的切线，求a ，b 的值； （Ⅱ）当b=0时，f(x) －g(x)＞0恒成立，求整数a 的最大值；
（Ⅲ）证明：23
ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)+-+-n e [ln(n 1)ln n]e 1
+
++-<
-． 91.
（12分）已知函数f （x ）=ax （lnx ﹣1）（a≠0）． （1）求函数y=f （x ）的单调递增区间； （2）当a ＞0时，设函数g （x ）=
6
1x 3
﹣f （x ），函数h （x ）=g′（x ）， ①若h （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；
②证明：ln （1×2×3×…×n ）2e ＜12+22+32+…+n 2（n ∈N*）． 92.
设函数f （x ）=mlnx （m ∈R ），g （x ）=cosx ． （1）若函数h(x)=f(x)+
x
1
在（1，+∞）上单调递增，求m 的取值范围； （2）设函数φ（x ）=f （x ）+g （x ），若对任意的x ∈(π，2
3π
)，都有φ（x ）≥0，求m 的取值范围；
（3）设m ＞0，点P （x 0，y 0）是函数f （x ）与g （x ）的一个交点，且函数f （x ）与g （x ）在点P 处的切线互相垂直，求证：存在唯一的x 0满足题意，且x 0∈(1，2
π)． 93.
（14分）已知函数f （x ）=e x
﹣ax （a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线y=f （x ）在点
A 处的切线斜率为﹣1．
（Ⅰ）求a 的值及函数f （x ）的极值
（Ⅱ）证明：当x ＞0时，x 2＜e x
．
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈（x 0，+∞），恒有x 2＜ce x
．
94.
（14分）已知函数f(x)= ﹣
3
1x 3
+2ax 2﹣3a 2x （a ∈R 且a≠0）． （1）当a=﹣1时，求曲线y=f （x ）在（﹣2，f （﹣2））处的切线方程； （2）当a ＞0时，求函数y=f （x ）的单调区间和极值；
（3）当x ∈[2a ，2a+2]时，不等式|f'（x ）|≤3a 恒成立，求a 的取值范围． 95.
（14分）已知函数f （x ）=x 2
﹣x ，g （x ）=lnx ．
（Ⅰ）求函数y=xg （x ）的单调区间； （Ⅱ）若t ∈[
2
1
，1]，求y=f[xg （x ）+t]在x ∈[1，e]上的最小值（结果用t 表示）； （Ⅲ）设h （x ）=f （x ）﹣2
1x 2
﹣（2a+1）x+（2a+1）g （x ），若a ∈[e ，3]，?x 1，x 2∈[1，2]（x 1≠x 2），|2121x x )x (h )x (h --|≤2
1x x m
?恒成立，求实数m 的取值范围．
96.
设函数
．
（1）求f （x ）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x 的方程|lnx|=f （x ）根的个数． 97.
（12分）已知f （x ）=e x ﹣ax 2
，曲线y=f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y=bx+1．
（1）求a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[0，1]上的最大值；
（3）证明：当x ＞0时，e x
+（1﹣e ）x ﹣xlnx ﹣1≥0．
98.
已知函数f （x ）=（x+1）lnx ，g （x ）=a （x ﹣1）（a ∈R ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若f （x ）≥g （x ）对任意的x ∈[1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln2?ln3…lnn＞（n ≥2，n ∈N +）．
99.
已知函数，g（x）=b（x+1），其中a≠0，b≠0
（1）若a=b，讨论F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；
（2）已知函数f（x）的曲线与函数g（x）的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别
为x1，x2，证明：．
100.
已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．
（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3e a﹣3．
答案
1.C
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．
【解答】解：∵f（x）=2x2﹣f（﹣x），
∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，
设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x，
g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，
故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，
若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，
则f（m+2）﹣（m+2）2≤f（﹣m）﹣m2，
即g（m+2）＜g（﹣m），
∴m+2≥﹣m，解得：m≥﹣1，
故选：C．
2.D
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】先求出+2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调
递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，
∴+2x，
当x=0时，f′（x）=0，f（x）取最小值，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，
∴f （2x ）＞f （x+3）等价于|2x|＞|x+3|， 整理，得x 2
﹣2x ﹣3＞0， 解得x ＞3或x ＜﹣1，
∴使得f （2x ）＞f （x+3）成立的x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故选：D ． 3.C
2n
x x ??- ???
展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，
所以13
C C n n =，解得4n =，那么
4y x =与2y x =围成的封闭圆形区域的面积为 4
22323041132(4)d 22440333S x x x x x ??=-=-=?-?= ??
??．故选C ．
4.D
解：C 、B 不是奇函数，
A 在R 上单调递增，无极值，
故选D ． 5.A
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据题意可设f （x ）=
，然后代入计算判断即可．
【解答】解：∵f （x ）+2f′（x ）＞0，
可设f （x ）=，
∴f （1）=，f （0）=e 0
=1，
∴f （1）＞，
故选：A ． 6.D
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】分别求出函数f （x ）的导数，函数g （x ）的导数．由于两曲线y=f （x ），y=g （x ）有公共点，
设为P （x 0，y 0），则有f （x 0）=g （x 0），且f′（x 0）=g′（x 0），解出x 0=a ，得到b 关
于a 的函数，构造函数
，运用导数求出单调区间和极
值、最值，即可得到b的最大值．
【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，
函数g（x）的导数为，
由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），
则，
由于x0＞0，a＞0
则x0=a，因此
构造函数，
由h'（t）=2t（1﹣3lnt），
当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，
则即为实数b的最大值．
故选D．
7.D
【考点】定积分．
【分析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合定积分的几何意义即可得出结果．【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域，如右图：
再联立方程，解得x=﹣1或x=2，
所以，A（﹣1，1），B（2，4），
根据定积分的几何意义，所求阴影部分的面积：
S阴影==（﹣x3+x2+2x）=，
故选：D．
2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题
第五讲 导数的应用(一) 限时规范训练 A 组——高考热点强化练 一、选择题 1．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x ＋y ＋3＝0垂直，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1 ) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2) 解析：与直线x ＋y ＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y ′＝e x ，所以由y ′＝e x ＝1，解得x ＝0，此时y ＝e 0 ＝1，即点A 的坐标为(0,1)，选B. 答案：B 2．已知函数f (x )＝x 2 ＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( ) 解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A. 答案：A 3．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π 4 .
答案：B 4．若函数f (x )＝2x 3 －3mx 2 ＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C.? ????－∞，52 D.? ????－∞，52 解析：因为f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，令f ′(x )≥0，即6x 2 －6mx ＋6≥0，则m ≤x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上为增函数，故当x ∈(2，＋∞)时，x ＋1x >52，故m ≤5 2，故选D. 答案：D 5．函数f (x )＝12x 2 －ln x 的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2 －1 x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0
高考真题理科数学导数
2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0. （ ） A ．若2223a b a b +=+,则a >b B ．若2223a b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a
5 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 （ ） A ． 2π 5 B ． 43 C ． 32 D ． π2 7 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 8 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = （ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 二、填空题 9 ．（2012年高考（上海理））已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11．（2012年高考（江西理））计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12．（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13．（2012年高考（天津理））已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1
高考数学导数题型归纳(文科)-
文科导数题型归纳 高度重视： 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；２变更主元;3根分布；４判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴（重视单调区间) 与定义域的关系 （２）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0) 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元)； (请同学们参看2０10省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常 数,432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3］上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--
高考文科数学导数全国卷
导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；
(II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分） 已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--． 导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，
高考理科数学数学导数专题复习
高考理科数学数学导数专题复习
高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则
1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义：
高考数学导数题型归纳
导数题型归纳 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 例2：设函数),10(323 1)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+ -++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2 1121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是), (∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32 f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间； （II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。子集思想 例6、已知函数232 )1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1） 求实数k 的取值范围； （2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
高考数学真题汇编——函数与导数
高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则
高中数学导数题型总结
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
2012高考数学必考题型解答策略：函数与导数
2012高考数学必考题型解答策略：函数与导数 D
而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题． (2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定． (3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．
备考建议 基本初等函数和函数的应用：在掌握好基本知识的前提下重点解决函数性质在解决问题中的综合应用、函数性质在判断函数零点中的应用，指数函数、对数函数的图象和性质的应用，数形结合思想的应用． 导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点． 解答策略 1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响. 2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.
2018年高考数学—导数专题
导数 (选修2－2P18A7改编)曲线y＝sin x x在x＝ π 2处的切线方程为() A.y＝0 B.y＝2π C.y＝－ 4 π2 x＋ 4 π D.y＝ 4 π2 x 解析∵y′＝x cos x－sin x x2，∴y′|x＝ π 2＝－ 4 π2 ， 当x＝π 2时，y＝ 2 π ， ∴切线方程为y－2 π ＝－ 4 π2? ? ? ? ? x－ π 2 ，即y＝－ 4 π2 x＋ 4 π . (2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________. 解析因为f(x)＝(2x＋1)e x， 所以f′(x)＝2e x＋(2x＋1)e x＝(2x＋3)e x， 所以f′(0)＝3e0＝3. (2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________. 解析y′＝a－ 1 x＋1 ，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2， 所以a＝3. (2017·威海质检)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为() A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴?????y 0＝x 0ln x 0， y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1 x ，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由?????y ＝2x －1，y ＝ax 2 ＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1. 设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1). ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2). 由?????2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得???x 0＝－12，a ＝8. 答案 8 (2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P
高考理科数学数学导数专题复习
高考理科数学数学导数专 题复习 Last revision date: 13 December 2020.
高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 在0x 处有增 称为函数，即 f 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ).()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果 )(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.
高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
高考理科数学导数经典题详解
1．（15分）已知函数f（x）=21nx+ax2﹣1 （a∈R） （I）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题． （i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围； （ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2＞2．2.（15分）设函数x e x f x sin ) (+ =，2 ) (- =x x g； （1）求证：函数) (x f y=在) ,0[+∞上单调递增； （2）设)) ( , ( 1 1 x f x P， 22 (,()) Q x g x)0 ,0 ( 2 1 > ≥x x，若直线PQ x //轴，求Q P,两点间的最短距离. 1 / 17
2 / 17 3．（本小题满分15分） 已知函数()1ln (02)2x f x x x =+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数 ()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由； (Ⅱ)定义21 1 1221()()()()n n i i n S f f f f n n n n -=-= =++???+∑ ，其中*n ∈N ，求2013S ； （Ⅲ）在（2）的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n a m n a ?>对 * n ?∈N ，且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 4．（本小题满分15分） 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若() f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”； 若2 () f x y x = 在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的 集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. [来源:.Com] (Ⅰ)已知函数32 ()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ?Ω，求 实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出， 求证：(24)0d d t ?+->； ( Ⅲ ) 定 义 集 合 {}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 请问：是否存在常数M ，使得()f x ?∈ψ，(0,)x ?∈+∞，有
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数
导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12
由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b =
2019年高考数学理科数学 导数及其应用分类汇编
2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[] 0,1 B ．[] 0,2 C ．[]0,e D ．[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立； 当1x <时，2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立， 令2 ()1 x g x x =-， 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? ， 当1 11x x -= -，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.
当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立， 令()ln x h x x = ，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， 当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=， 综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2(1)y x a x =+-'， 当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：