天津市天津一中2020届高三数学上学期零月月考试题理新人教A版替

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天津市第一中学2020届高三数学上学期第三次月考试卷理(含解析)

且
，
且
，故
且
.所以，四边形为平行四边形.
所以，
，又平面，平面，所以，平面 .
（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以
，亦即
，
又
，所以
，且平面
平面，平面
平面
，
所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设
，则由题意知
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量为
则由
得
，
，令，则
，
，
所以取
，显然可取平面的法向量
注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是
循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定
要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题
中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
面平行的判定定理，即可证得平面 .
（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设
，求得平面的法向量为，
和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得
，进而得到为直线与平面
所成的角，即可求解.
【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．
理由如下：取的中点，连结、，由题意，
A.
B.
C.
【答案】B 【解析】
令
，则
D. ，则函数在上单调递减，在
上单调递增，所以
，即
；故选 B.
点睛：处理本题的关键是合理利用
的形式，恰当构造

天津市2020届高三数学上学期第二次月考试题理新人教A版

天津一中2020学年高三数学二月考试卷(理科)一.选择题:(共40分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）1.计算(1-i)2-[(4+2i)/(1-2i)]= A.0 B.2C.-4iD.4i2.几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.2π+2√3 B.4π+2√3 C.2π+2√3/3 D.4π+2√3/33.极坐标方程ρ=cos θ和参数方程⎩⎨⎧+=--=t y t x 321(t 为参数)所表示的图形分别是 A.圆,直线 B.直线,圆 C.圆,圆 D.直线,直线 4.若∆ABC 的三个内角成等差数列,三边成等比数列,则∆ABC 是A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形5.在∆ABC 中,是以为第三项,为第七项的等差数列的公差,tanB 是以为第三项,为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对 6.α,β为平面,m 为直线,如果α∥β,那么“m ∥α”是“m ⊆β”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件.7.函数f(x)=√3sin2x-2sin 2x,(0≤x≤π/2)则函数f(x)的最小值为A.1B.-2C.√3D.-√38.函数f(x)=⎩⎨⎧>-≤--)0()1()0(12x x f x x若方程f(x)=x+a 有且只有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为A.(-∞,0)B.[0,1)C.(-∞,1)D.[0,+∞)二.填空题:(共30分,每小题5分)9.非负实数x,y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ,则x+3y 的最大值为 . 10.已知A(√3,0),B(0,1)),坐标原点O 在直线AB 上的射影为点C,则OC OA ⋅= . 11.已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F,E 是AB 延长线上一点,且DF=CF=√2,AF:FB:BE=4:2:1,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为______. 12.已知直线m,n 与平面α,β,给出下列三个命题: ①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n; ②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m; ③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是______个13.等差数列{a n }中,a 1=1,a 7=4,在等比数列{b n }中,b 1=6,b 2=a 3,则满足b n a 26<1的最小正整数n 是 . 14.设m=⎰10dx e x ,n=⎰-edx x 11,则m 与n 的大小关系为______.三.解答题:15.在△ABC 中,2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ;(1)求:AB 2+AC 2的值;(2)当△ABC 的面积最大时,求A的大小.16.某机构向民间招募防爆犬,首先进行入围测试,计划考察三个项目:体能,嗅觉和反应.这三个项目中只要有两个通过测试,就可以入围.某训犬基地有4只优质犬参加测试,已知它们通过体能测试的概率都是1/3,通过嗅觉测试的概率都是1/3,通过反应测试的概率都是1/2.求(1)每只优质犬能够入围的概率;(2)若每入围1只犬给基地记10分,设基地的得分为随机变量ξ,求ξ的数学期望.17.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面为直角梯ABCD,AD ∥BC,∠BAD=90O,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N 分别为PC,PB 的中点.(1)求证:PB ⊥DM;(2)求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值;(3)在棱PD 上是否存在点E,PE ∶ED=λ,使得二面角C-AN-E 的平面角为60o.存在求出λ值.18.数列{a n }满足4a 1=1,a n-1=[(-1)n a n-1-2]a n (n ≥2),(1)试判断数列{1/a n +(-1)n}是否为等比数列,并证明;(2)设a n 2∙b n =1,求数列{b n }的前n 项和S n .19.对n ∈N ∗不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 2,0,0所表示的平面区域为D n ,把D n 内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列(x 1,y 1),(x 2,y 2),⋯,(x n ,y n ),求x n ,y n ;(2)数列{a n }满足a 1=x 1,且n ≥2时a n =y n 2).111(212221-+++n y y y Λ证明:当n ≥2时, 22211)1(n n a n a n n =-++;(3)在(2)的条件下,试比较)11()11()11()11(321na a a a +⋅⋅+⋅+⋅+Λ与4的大小关系.20.设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,证明不等式:xx+1<ln(x+1)<x;(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1<ag(a)<0参考答案：一、选择题：1-4 CCAC 5-8 BBBC 二、填空题： 9.910.3411.212.2 13.6 14.m>n三、解答题：15.解：（1）||2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r||2AB AC BC a ⋅===u u u r u u u r u u u r2222cos cos 2b c a bc Abc A ⎧+=+⎨=⎩ 2222||||8AB AC b c ∴+=+=（2）1sin 2ABC S bc A ∆==211cos 2bc A - =2121()2bc bc- =21()42bc - 2221()422b c +≤- =3当且仅当 b=c=2时A=3π16.解：（1）每只优质犬入围概率相等：p=11112121111113323323323323⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=（2）ξ的取值为0,1,2,3,4服从ξ~B （4，13） E ξ=43 E η=4401033⨯= 17.解：（1）如图以A 为原点建立空间直角坐标系A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，2，0） M （1，12，1），N （1，0，1）， E （0，m ，2-m ），P （0，0，2）PB =u u u r （2，0，-2），DM =u u u u r （1，-32，1） PB DM ∴⋅u u u r u u u u r=0 PB DM ∴⊥（2）CD uuu r =（-2，1，0）平面ADMN 法向量n r =（x,y,z ）AD u u u r =（0，2，0） AN u u u r =（1，0，1） 00n AD n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r20y x z =⎧⎨+=⎩ n r =（1，0，-1）设CD 与平面ADMN所成角α，则||sin 5||||CD n CD n α⋅===⋅u u u r r u u u u r r （3）设平面ACN 法向量p u r =（x,y,z ）(2,1,0)(1,0,1)AC AN ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u ru u u rp ur =（1,-2,-1）平面AEN 的法向量q r =（x,y,z ）(1,0,1)(0,,2)AN AE m m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩u u u ru u u rq r =（1,2m m -,-1） ||cos 45||||p q p q ⋅︒=⋅u r rur r=|44|m =-+即272040[0,m m m ⎧-+=⎪⎨∈⎪⎩m=107--4):2 不存在,为135°钝角18.解：（1）由112(1)n n n a a -=-- 1111[(1)]2[(1)]n n n n a a --+-=---即111(1)2(*2)1(1)n nn n a n N n a --+-=-∈≥+-且另：1111111(1)21(1)(1)2(1)2211(1)1(1)(1)n nn n n n n n nn n n n n a a a a a a a ---------+-+---===--++-+- 1(1)n n a ⎧⎫∴+-⎨⎬⎩⎭是首项为3公比为-2的等比数列 11111(1)3(2)3(2)(1)n n n n n na a ---+-=-∴=-+- （2）由21n n a b =112194621n n n nb a --∴==⋅+⋅+9(41)6(21)4121n n n S n --=++-- =34629(*)nnn n N ⋅+⋅+-∈19.解：（1）当n=1时，（x 1,y 1）=(1,1) n=2时，（x 2,y 2）=(1,2) （x 3,y 3）=(1,3) n=3时，（x 4,y 4）=(1,4)n 时（x n ,y n ）=(1,n)1(*)n n x n N y n=⎧∴∈⎨=⎩（2）由2222212221222221111()123(1)11111(1)()(1)123n n n n a n n a a a n n n n n ++⎧=++++⎪-⎪∴-=⎨+⎪=++++⎪+⎩L L （3）当n=1时，11124,2n a +=<=时，12115(1)(1)244a a ++=⨯<成立由（2）知当n ≥3时，1221(1)n n a a n n ++=+即2211(1)n n a n a n ++=+ 31212312311111111(1)(1)(1)(1)n n na a a a a a a a a a a a ++++++++=⋅⋅L L =311223411111(1)n n na a a a a a a a a a -++++⋅⋅⋅⋅+L =222212222123(1)2434(1)n n n a n n +-⋅⋅⋅⋅⋅+L =122222111122[1](1)23(1)n a n n n +⋅=++++++-L2111111111(2)2[1(1)()()](1)12231n n n n n nn n<=-≥<+-+-++----QL=122(2)44n n-=-< 得证20.解：（1）f ’(x)=11ax x -+(x>-1,a>0) 令f ’(x)=010x a∴=>∴f(x)在(-1,1a )为减，在（1a ，+∞）为增 f(x)min =f(1a )=1-(a+1)ln(1a+1) （2）设F(x)=ln(x+1)-(0)1xx x >+ F ’(x)=221101(1)(1)x x x x x x +--=>∴+++F(x)在（0，+∞）为增函数 F(x)>F(0)=0 ∴F(x)>0即ln(1)1xx x <++ G(x)=x-ln(x+1)(x>0)G ’(x)=1-1011xx x =>++∴G(x)在（0，+∞）为增函数 G(x)>G(0)=0 ∴G(x)>0即ln(x+1)<x经上可知ln(1)1xx x x <+<+（3）由（1）知：()()11()1-1ln(1)0g a f a a aa ⎧==++⎪⎨⎪>⎩()11'ln(1)01ln(1)0g a a aa ⎧=-+-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩1111ln(1)1111(1)ln(1)1a a a aa a a<+<+<++<+由(2)把x=代入(2)中即111(1)ln(1)1a a a --<-++<- 111(1)ln(1)0a a a -<-++<即1()0ag a -<<即。

2019-2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）

2019-2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）2019-2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 集合A ={x|x 2?x ?2≤0}，B ={x|x ?1<0}，则A ∪B =( )A. {x|x <1}B. {x|?1≤x <1}C. {x|x ≤2}D. {x|?2≤x <1}2. 定义域为[a,b]的函数y =f(x)图像的两个端点为A 、B ，向量ON =λOA ????? +(1?λ)OB，M(x,y)是f(x)图像上任意一点，其中x =λa +(1?λ)b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f(x)在[a,b]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值.若函数y =2x 定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是( )A. 2?√2B. 3?2√2C. 3+2√2D. 2+√23. 把函数y =sin(x +φ)(0<φ<π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，所得图象过点(π4,0)，则φ=A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6 4. 设a =sin2，b =log 0.3π，c =40.5，则( )A. b <c<="" bdsfid="125" p=""><c<="" bdsfid="127" p="">B. a <c<="" bdsfid="128" p=""><c<="" bdsfid="130" p=""><c<="" bdsfid="131" p="">C.c <c<="" bdsfid="132" p=""><b<="" bdsfid="133" p=""><c<="" bdsfid="135" p=""><b<="" bdsfid="136" p="">D. b <a<="" bdsfid="137" p=""><c<="" bdsfid="139" p=""><b<="" bdsfid="140" p="">5. 已知sinα=2<c<="" bdsfid="142" p=""><b<="" bdsfid="143" p="">3,则cos(3π?2α)等于( )<c<="" bdsfid="145" p=""><b<="" bdsfid="146" p="">A. ?√5<c<="" bdsfid="148" p=""><b<="" bdsfid="149" p="">3<c<="" bdsfid="151" p=""><b<="" bdsfid="152" p="">B. 1<c<="" bdsfid="154" p=""><b<="" bdsfid="155" p="">9 C. ?1<c<="" bdsfid="157" p=""><b<="" bdsfid="158" p="">9 D. √53<c<="" bdsfid="160" p=""><b<="" bdsfid="161" p="">6. 设函数y =f(x)是奇函数，若f(?2)+f(?3)?1=f(2)+f(3)+2，则f(2)+f(3)=( )<c<="" bdsfid="163" p=""><b<="" bdsfid="164" p="">A. 1<c<="" bdsfid="166" p=""><b<="" bdsfid="167" p="">B. 3<c<="" bdsfid="169" p=""><b<="" bdsfid="170"p="">C. ?1<c<="" bdsfid="172" p=""><b<="" bdsfid="173" p="">D. ?3<c<="" bdsfid="175" p=""><b<="" bdsfid="176" p="">7. 一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖<c<="" bdsfid="178" p=""><b<="" bdsfid="179" p="">方盒．当无盖方盒的容积V 最大时，x 的值为( )<c<="" bdsfid="181" p=""><b<="" bdsfid="182" p="">A. 3<c<="" bdsfid="184" p=""><b<="" bdsfid="185" p="">B. 2<c<="" bdsfid="187" p=""><b<="" bdsfid="188" p="">C. 1<c<="" bdsfid="190" p=""><b<="" bdsfid="191" p="">D. 1<c<="" bdsfid="193" p=""><b<="" bdsfid="194" p="">6<c<="" bdsfid="196" p=""><b<="" bdsfid="197" p="">8. 已知函数f(x)={(1<c<="" bdsfid="199" p=""><b<="" bdsfid="200" p="">2)x ,x ≤1?x 2+4x ?5<c<="" bdsfid="202" p=""><b<="" bdsfid="203" p="">2<c<="" bdsfid="205" p=""><b<="" bdsfid="206" p="">,x >1<c<="" bdsfid="208" p=""><b<="" bdsfid="209" p="">，若函数g(x)=3<c<="" bdsfid="211" p=""><b<="" bdsfid="212" p="">2x ?a ，其中a ∈R ，若函数y =f(x)?g(x)恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( )<c<="" bdsfid="214" p=""><b<="" bdsfid="215" p="">A. (0,15<c<="" bdsfid="217" p=""><b<="" bdsfid="218" p="">16)<c<="" bdsfid="220" p=""><b<="" bdsfid="221" p="">B. (15<c<="" bdsfid="223" p=""><b<="" bdsfid="224" p="">16,1)<c<="" bdsfid="226" p=""><b<="" bdsfid="227" p="">C. (1,16<c<="" bdsfid="229" p=""><b<="" bdsfid="230" p="">15)<c<="" bdsfid="232" p=""><b<="" bdsfid="233" p="">D. (1,5<c<="" bdsfid="235" p=""><b<="" bdsfid="236" p="">4)<c<="" bdsfid="238" p=""><b<="" bdsfid="239" p="">9. 将函数f (x )=sin (2x +π<c<="" bdsfid="241" p=""><b<="" bdsfid="242" p="">6)的图象向左平移π<c<="" bdsfid="244" p=""><b<="" bdsfid="245" p="">6个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的<c<="" bdsfid="247" p=""><b<="" bdsfid="248" p="">是( )<c<="" bdsfid="250" p=""><b<="" bdsfid="251" p="">A. 直线x =π<c<="" bdsfid="253" p=""><b<="" bdsfid="254" p="">2是g(x)的图象的一条对称轴<c<="" bdsfid="256" p=""><b<="" bdsfid="257"p="">B. g (π6)=√32<c<="" bdsfid="259" p=""><b<="" bdsfid="260" p=""> <c<="" bdsfid="262" p=""><b<="" bdsfid="263" p="">C. g(x)的周期为2π<c<="" bdsfid="265" p=""><b<="" bdsfid="266" p="">D. g(x)为奇函数<c<="" bdsfid="268" p=""><b<="" bdsfid="269" p="">二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）<c<="" bdsfid="271" p=""><b<="" bdsfid="272" p="">10.若复数1+i<c<="" bdsfid="274" p=""><b<="" bdsfid="275" p="">z<c<="" bdsfid="277" p=""><b<="" bdsfid="278" p="">=1?i，则|z|=____．<c<="" bdsfid="280" p=""><b<="" bdsfid="281" p="">11.已知角α满足tanα?1<c<="" bdsfid="283" p=""><b<="" bdsfid="284" p="">tanα+1=?1<c<="" bdsfid="286" p=""><b<="" bdsfid="287" p="">3<c<="" bdsfid="289" p=""><b<="" bdsfid="290" p="">，则sinαcosα=__________．<c<="" bdsfid="292" p=""><b<="" bdsfid="293" p="">12.设函数f(x)=e x sin x的图像在点(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行，则m=____.<c<="" bdsfid="295" p=""><b<="" bdsfid="296" p="">13.已知函数f(x)=|lnx|，实数m,n满足0<m< bdsfid="297" p=""></m<><c<="" bdsfid="299" p=""><b<="" bdsfid="300" p="">大值是2，则np="">m<c<="" bdsfid="305" p=""><b<="" bdsfid="306" p="">的值为__________．<c<="" bdsfid="308" p=""><b<="" bdsfid="309" p="">14.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现<c<="" bdsfid="311" p=""><b<="" bdsfid="312" p="">从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望Eξ=______ ．<c<="" bdsfid="314" p=""><b<="" bdsfid="315" p="">15.设函数f(x)=sin2x?√3cosxcos(x+π<c<="" bdsfid="317" p=""><b<="" bdsfid="318" p="">2)，则函数f(x)在区间[0,π<c<="" bdsfid="320" p=""><b<="" bdsfid="321" p="">2<c<="" bdsfid="323" p=""><b<="" bdsfid="324" p="">]上的单调增区间为_________．<c<="" bdsfid="326" p=""><b<="" bdsfid="327" p="">三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）<c<="" bdsfid="329" p=""><b<="" bdsfid="330" p="">16.已知tan(π<c<="" bdsfid="332" p=""><b<="" bdsfid="333" p="">4<c<="" bdsfid="335" p=""><b<="" bdsfid="336" p="">+α)=3，且α为锐角．<c<="" bdsfid="338" p=""><b<="" bdsfid="339" p="">(1)求tanα的值；<c<="" bdsfid="341" p=""><b<="" bdsfid="342" p="">(2)求sin(α+πp="">6<c<="" bdsfid="347" p=""><b<="" bdsfid="348" p="">)的值．<c<="" bdsfid="350" p=""><b<="" bdsfid="351" p="">17.设函数f(x)=1<c<="" bdsfid="353" p=""><b<="" bdsfid="354" p="">2<c<="" bdsfid="356" p=""><b<="" bdsfid="357" p="">ax2?1?lnx，其中a∈R.<c<="" bdsfid="359" p=""><b<="" bdsfid="360" p="">(1)若a=0，求过点(0,?1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程；<c<="" bdsfid="362" p=""><b<="" bdsfid="363" p="">(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2.①求a的取值范围；②求证：f′(x1)+f′(x2)<0．<c<="" bdsfid="365" p=""><b<="" bdsfid="366" p="">18. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx 的最小正周期为π，x ∈R ，ω>0是常数．<c<="" bdsfid="368" p=""><b<="" bdsfid="369" p="">(1)求ω的值； (2)若f(θ<c<="" bdsfid="371" p=""><b<="" bdsfid="372" p="">2+<c<="" bdsfid="374" p=""><b<="" bdsfid="375" p="">π12<c<="" bdsfid="377" p=""><b<="" bdsfid="378" p="">)=65<c<="" bdsfid="380" p=""><b<="" bdsfid="381" p="">，θ∈(0,π<c<="" bdsfid="383" p=""><b<="" bdsfid="384" p="">2)，求sin2θ．<c<="" bdsfid="389" p=""><b<="" bdsfid="390" p="">19. 已知离心率为√<c<="" bdsfid="392" p=""><b<="" bdsfid="393" p="">6<c<="" bdsfid="395" p=""><b<="" bdsfid="396" p="">3<c<="" bdsfid="398" p=""><b<="" bdsfid="399" p="">的椭圆x 2<c<="" bdsfid="401" p=""><b<="" bdsfid="402" p="">a 2+y 2<c<="" bdsfid="404" p=""><b<="" bdsfid="405" p="">b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A,B 两点，|AB |=2√3<c<="" bdsfid="407" p=""><b<="" bdsfid="408" p="">3<c<="" bdsfid="410" p=""><b<="" bdsfid="411" p="">． (1)求此椭圆的方程；<c<="" bdsfid="413" p=""><b<="" bdsfid="414" p="">(2)已知直线y =kx +2与椭圆交于C,D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (?1,0)，求k 的值．<c<="" bdsfid="416" p=""><b<="" bdsfid="417" p=""> <c<="" bdsfid="419" p=""><b<="" bdsfid="420" p="">20. 已知函数f(x)=xlnx ．<c<="" bdsfid="422" p=""><b<="" bdsfid="423" p="">(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；<c<="" bdsfid="425" p=""><b<="" bdsfid="426" p="">(3)若对于任意x ∈[1<c<="" bdsfid="428" p=""><b<="" bdsfid="429"p="">e ,e]，都有f(x)≤ax ?1，求实数a 的取值范围．<c<="" bdsfid="431" p=""><b<="" bdsfid="432" p=""> <c<="" bdsfid="434" p=""><b<="" bdsfid="435" p=""> <c<="" bdsfid="437" p=""><b<="" bdsfid="438" p="">-------- 答案与解析 --------<c<="" bdsfid="440" p=""><b<="" bdsfid="441" p="">1.答案：C<c<="" bdsfid="443" p=""><b<="" bdsfid="444" p="">解析：解：∵集合A ={x|x 2?x ?2≤0}={x|?1<=""><c<="" bdsfid="447" p=""><b<="" bdsfid="448" p="">先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．<c<="" bdsfid="450" p=""><b<="" bdsfid="451" p="">本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．<c<="" bdsfid="453" p=""><b<="" bdsfid="454" p="">2.答案：B<c<="" bdsfid="456" p=""><b<="" bdsfid="457" p="">解析：【分析】<c<="" bdsfid="459" p=""><b<="" bdsfid="460" p="">本题考查了对即时定义的理解及重要不等式，属较难题．<c<="" bdsfid="462" p=""><b<="" bdsfid="463" p="">先阅读理解定义，做出y =2<c<="" bdsfid="465" p=""><b<="" bdsfid="466" p="">x 在闭区间图像和端点，利用题目中的等式得到M ，N 横坐标相等，从而可以用x 表示|MN |，从而问题转化为求闭区间上的最值问题．【解答】<c<="" bdsfid="468" p=""><b<="" bdsfid="469" p="">解：作出函数y =2<c<="" bdsfid="471" p=""><b<="" bdsfid="472" p="">x 图像，<c<="" bdsfid="474" p=""><b<="" bdsfid="475" p="">它的图象在[1,2]上的两端点分别为：A (1,2)，B (2,1)，所以直线AB 的方程为：x +y ?3=0，设M (x,y )是曲线y =2x 上的一点，x ∈[1,2]，其中x =λ×1+(1?λ)×2，<c<="" bdsfid="477" p=""><b<="" bdsfid="478" p="">由ON =λOA ????? +(1?λ)OB ，可知A,B,N 三点共线，所以N 点的坐标满足直线AB 的方程x +y ?3=0，又OA =(1,2)，OB<c<="" bdsfid="480" p=""><b<="" bdsfid="481" p=""> =(2,1)，则ON<c<="" bdsfid="483" p=""><b<="" bdsfid="484" p=""> =(λ+2(1?λ),2λ+(1?λ))，所以M,N 两点的横坐标相等.故|MN |=|2<c<="" bdsfid="486" p=""><b<="" bdsfid="487" p="">x ?(3?x )|，函数y =2<c<="" bdsfid="489" p=""><b<="" bdsfid="490" p="">x 在[1,2]上满足“k 范围线性近似”，所以x ∈[1,2]时，|2 <c<="" bdsfid="492" p=""><b<="" bdsfid="493" p="">x ?(3?x )|≤k 恒成立，即：|2<c<="" bdsfid="495" p=""><b<="" bdsfid="496" p="">x ?(3?x )|<c<="" bdsfid="498" p=""><b<="" bdsfid="499" p="">max ≤k 恒成立，<c<="" bdsfid="501" p=""><b<="" bdsfid="502" p="">记y=2<c<="" bdsfid="504" p=""><b<="" bdsfid="505" p="">x ?(3?x)，整理得：y=2<c<="" bdsfid="507" p=""><b<="" bdsfid="508" p="">x<c<="" bdsfid="510" p=""><b<="" bdsfid="511"p="">+x?3，x∈[1,2]，<c<="" bdsfid="513" p=""><b<="" bdsfid="514" p="">y=2<c<="" bdsfid="516" p=""><b<="" bdsfid="517" p="">x +x?3≥2√2<c<="" bdsfid="519" p=""><b<="" bdsfid="520" p="">x<c<="" bdsfid="522" p=""><b<="" bdsfid="523" p="">×x?3=2√2?3，当且仅当x=√2时，等号成立，<c<="" bdsfid="525" p=""><b<="" bdsfid="526" p="">当x=1时，y=2<c<="" bdsfid="528" p=""><b<="" bdsfid="529" p="">1<c<="" bdsfid="531" p=""><b<="" bdsfid="532" p="">+1?3=0，则x∈[1,2]时，<c<="" bdsfid="534" p=""><b<="" bdsfid="535" p="">所以2√2?3≤y≤0，所以|2<c<="" bdsfid="537" p=""><b<="" bdsfid="538" p="">x ?(3?x)|<c<="" bdsfid="540" p=""><b<="" bdsfid="541" p="">max<c<="" bdsfid="543" p=""><b<="" bdsfid="544" p="">=3?2√2，<c<="" bdsfid="546" p=""><b<="" bdsfid="547" p="">即：3?2√2≤k所以该函数的线性近似阈值是：3?2√2，<c<="" bdsfid="549" p=""><b<="" bdsfid="550" p="">故选：B．<c<="" bdsfid="552" p=""><b<="" bdsfid="553" p="">3.答案：D<c<="" bdsfid="555" p=""><b<="" bdsfid="556" p="">解析：<c<="" bdsfid="558" p=""><b<="" bdsfid="559" p="">【分析】<c<="" bdsfid="561" p=""><b<="" bdsfid="562" p="">本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．由题意，根据三角函数图像变换规律，可得变换后的图像对应解析式，再由(π<c<="" bdsfid="564" p=""><b<="" bdsfid="565" p="">4<c<="" bdsfid="567" p=""><b<="" bdsfid="568" p="">,0)点在函数图像上，求解φ．<c<="" bdsfid="570" p=""><b<="" bdsfid="571" p="">【解答】<c<="" bdsfid="573" p=""><b<="" bdsfid="574" p="">解：函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 <c<="" bdsfid="576" p=""><b<="" bdsfid="577" p="">2<c<="" bdsfid="579" p=""><b<="" bdsfid="580" p="">倍，得到y=sin(2x+φ)的图象，<c<="" bdsfid="582" p=""><b<="" bdsfid="583" p="">再将其图象向右平移π<c<="" bdsfid="585" p=""><b<="" bdsfid="586" p="">6个单位，可得y=sin[2(x?π<c<="" bdsfid="588" p=""><b<="" bdsfid="589" p="">6<c<="" bdsfid="591" p=""><b<="" bdsfid="592" p="">)+φ]=sin(2x?π<c<="" bdsfid="594" p=""><b<="" bdsfid="595" p="">3<c<="" bdsfid="597" p=""><b<="" bdsfid="598"p="">+φ)的图象，<c<="" bdsfid="600" p=""><b<="" bdsfid="601" p="">∵所得图象过点(π<c<="" bdsfid="603" p=""><b<="" bdsfid="604" p="">4,0)，∴2π<c<="" bdsfid="606" p=""><b<="" bdsfid="607" p="">4<c<="" bdsfid="609" p=""><b<="" bdsfid="610" p="">?π<c<="" bdsfid="612" p=""><b<="" bdsfid="613" p="">3<c<="" bdsfid="615" p=""><b<="" bdsfid="616" p="">+φ=kπ，k∈Z，<c<="" bdsfid="618" p=""><b<="" bdsfid="619" p="">∵0<φ<π，∴φ=5π<c<="" bdsfid="621" p=""><b<="" bdsfid="622" p="">6<c<="" bdsfid="624" p=""><b<="" bdsfid="625" p="">．<c<="" bdsfid="627" p=""><b<="" bdsfid="628" p="">故选D．<c<="" bdsfid="630" p=""><b<="" bdsfid="631" p="">4.答案：A<c<="" bdsfid="633" p=""><b<="" bdsfid="634" p="">解析：<c<="" bdsfid="636" p=""><b<="" bdsfid="637" p="">【分析】<c<="" bdsfid="639" p=""><b<="" bdsfid="640" p="">本题考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．<c<="" bdsfid="642" p=""><b<="" bdsfid="643" p="">容易得出0<sin2<1,?log0.3π1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】</sin2<1,?log0.3π<c<="" bdsfid="646" p=""><b<="" bdsfid="647" p="">解：∵0<sin2<1，log0.3π40=1，</sin2<1，log0.3π<c<="" bdsfid="650" p=""><b<="" bdsfid="651" p="">∴b<a<c．< bdsfid="652" p=""></a<c．<><c<="" bdsfid="654" p=""><b<="" bdsfid="655" p="">故选：A．<c<="" bdsfid="657" p=""><b<="" bdsfid="658" p="">5.答案：C<c<="" bdsfid="660" p=""><b<="" bdsfid="661" p="">解析：解：∵sinα=2<c<="" bdsfid="663" p=""><b<="" bdsfid="664" p="">3<c<="" bdsfid="666" p=""><b<="" bdsfid="667" p="">，<c<="" bdsfid="669" p=""><b<="" bdsfid="670" p="">∴cos(3π?2α)=cos[2π+(π?2α)]<c<="" bdsfid="672" p=""><b<="" bdsfid="673" p="">=cos(π?2α)=?cos2α=?(1?2sin2α)<c<="" bdsfid="675" p=""><b<="" bdsfid="676" p="">=?1+2×4<c<="" bdsfid="678" p=""><b<="" bdsfid="679" p="">9=?1<c<="" bdsfid="681" p=""><b<="" bdsfid="682" p="">9<c<="" bdsfid="684" p=""><b<="" bdsfid="685" p="">．<c<="" bdsfid="687" p=""><b<="" bdsfid="688" p="">故选：C．<c<="" bdsfid="690" p=""><b<="" bdsfid="691" p="">把所求式子中的角3π?2α变形为2π+(π?2α)，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．<c<="" bdsfid="693" p=""><b<="" bdsfid="694" p="">此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．<c<="" bdsfid="696" p=""><b<="" bdsfid="697" p="">6.答案：C<c<="" bdsfid="699" p=""><b<="" bdsfid="700" p="">解析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(?2)=?f(2)，f(?3)=?f(3)，∴?f(2)?f(3)?1=f(2)+ f(3)+1，∴f(2)+f(3)=?1．<c<="" bdsfid="702" p=""><b<="" bdsfid="703" p="">7.答案：C<c<="" bdsfid="705" p=""><b<="" bdsfid="706" p="">解析：解：设无盖方盒的底面边长为a，则a=6?2x，<c<="" bdsfid="708" p=""><b<="" bdsfid="709" p="">则无盖方盒的容积为：V(x)=x(6?2x)2．<c<="" bdsfid="711" p=""><b<="" bdsfid="712" p="">得V′(x)=12x2?48x+36．<c<="" bdsfid="714" p=""><b<="" bdsfid="715" p="">令V′(x)=12x2?48x+36>0，<c<="" bdsfid="717" p=""><b<="" bdsfid="718" p="">解得x<1或x>3；<c<="" bdsfid="720" p=""><b<="" bdsfid="721" p="">令V′(x)=12x2?48x+36<0，解得1<x<3．< bdsfid="722" p=""></x<3．<><c<="" bdsfid="724" p=""><b<="" bdsfid="725" p="">∵函数V(x)的定义域为x∈(0,3)，<c<="" bdsfid="727" p=""><b<="" bdsfid="728" p="">∴函数V(x)的单调增区间是：(0,1)；函数V(x)的单调减区间是：。

天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，，【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð，故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--，若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>，因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-，得2m =-，故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>，则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-，令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0，故0a ≤，即实数a 的最大值为0．故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增，所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <，要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12．如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-，则()2122f x x x =-+．如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <，所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1．故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令99090x -=，则20x =（立方米），故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______．【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-，又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ，所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>，则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+，当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得；（2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==，因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =，由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②，由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =，经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根，即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增，且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤，解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可；（2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=，所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意．当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立．综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数．【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x．设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增；所以，当1x >时，min [()]==g x g a ，因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ，故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ，所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ，则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数．又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号．因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ，结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x，所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ．由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ．因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理科)试卷有答案

∵常数且，
∴ 为非零常数，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）当时，，，
所以，
因为，所以是递增数列，
因而最小值为．
由（1）知，，
要使对一切成立，
即对一切恒成立；
当时，，对一切恒成立，
只需．
∵ 单调递增，
∴当时，．
∴ ，且，∴ ．
综上所述，存在实数满足条件．
令，则．
．
①当时，，在上递减．
，不合题意．
②当时，．
若，记，则在上递减．
在此区间上有，不合题意．
因此有，解得，
所以，实的取值范围为．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；
（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。
19．已知椭圆的焦距为，其上下顶点分别为，点，，
。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）点的坐标为，过点任意作直线与椭圆相交于点两点，设直线的斜率依次成等差数列，探究之间是否满足某种数量关系，若是，请给出的关系式，并证明；若不是，请说明理由。
∵直线的斜率依次成等差数列，
∴ ，
由于
，
∴ ，化为：．
20．解：（1），
时，，，，．
在处的切线方程为．
（2），
，
所以，所以．
（3）由，解得，，
∵ ，∴ ．
而在上单调递增，
∴ 在上单调递增．
∴在上，．
所以，“存在，使不等式恒成立”等价于“不等式恒成立”，

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科1

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学一模试卷理科创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则M∩N等于( )A．[﹣1，1]B．[1，2）C．[﹣2，﹣1]D．[1，2）2．设、是两个非零向量，则“∥”是“•=||•||”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2[来源:学。

科。

网Z。

X。

K]4．已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，…，则2ln5+ln3是该数列的( )A．第16项B．第17项C．第18项D．第19项5．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，则f（﹣）+f的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为( )A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=( )A．﹣B．C．﹣D．8．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=a x（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a=( )A．B．C．2 D．39．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．2﹣1 D．10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是( )A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素二、填空题：考生只需作答5小题，每小题5分，共25分．11．已知平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则k=__________．12．已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是__________．13．如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h=6m，宽为b=24m，则该抛物线拱的面积为__________m2．14．若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线L2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=；④要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是__________（写出所有命题的序号）．一、选考题：只选一题作答．（选修4-1：几何证明选讲）15．如图，已知图中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF=2BF．若CE与圆相切，且CE=，则BE=__________．[来源:]一、选修4-4：坐标系参数方程16．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（θ为参数），在以此坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，则直线l与曲线C的公共点共有__________个．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=，f（A）=1，求角C．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时，S n取得最大值．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（9﹣a n）•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和为T n．19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？20．如图，三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MC⊥AB；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C2：x2+=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N．（i）求证：|MN|的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx+．（1）求曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）若g（x）=f（x）﹣+ax2﹣2x有两个不同的极值点．其极小值为M，试比较2M与﹣3的大小，并说明理由；（3）设q＞p＞2，求证：当x∈（p，q）时，＞．宜昌市高考数学一模试卷理科一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则M∩N等于( )A．[﹣1，1]B．[1，2）C．[﹣2，﹣1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即N=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵M=[﹣2，2），∴M∩N=[﹣2，﹣1]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设、是两个非零向量，则“∥”是“•=||•||”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量数量积的意义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若•=||•||cos＜，＞=||•||，即cos＜，＞=1，故＜，＞=0，即∥且方向相同，即必要性成立，若＜，＞=π，满足∥但•=||•||cos＜，＞=﹣||•||，即充分性不成立，故“∥”是“•=||•||”成立的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积与向量夹角之间的关系是解决本题的关键．3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选A．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．4．已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，…，则2ln5+ln3是该数列的( )A．第16项B．第17项C．第18项D．第19项考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列3，7，11，15，…，可知此数列的通项公式可得a n=3+4（n﹣1）=4n﹣1．令2ln5+ln3=ln（4n﹣1），解出即可．解答：解：由数列3，7，11，15，…，可知此数列的通项公式可得a n=3+4（n﹣1）=4n﹣1．令2ln5+ln3=ln（4n﹣1），∴75=4n﹣1，解得n=19．∴2ln5+ln3是该数列的第19选．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，则f（﹣）+f的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：对f，运用f（x+2）=f（x），即为f（1），对于f（﹣），先由偶函数的定义，再由f（x+2）=f（x），可得f（0），再由当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，计算即可得到．解答：解：若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），则f=f（2×1007+1）=f（1），由于函数f（x）是R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（﹣）=f=f（2×1007）=f（0），当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣x+1，则f（0）=1，f（1）=1，即有f（﹣）+f=2．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．6．如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为( )A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：探究型；空间位置关系与距离．分析：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，由此可得结论．解答：解：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体由俯视图可得，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1由此可知B满足条件故选B．点评：本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=( )A．﹣B．C．﹣D．考点：余弦定理；正弦定理．分析：由b2+c2+bc﹣a2=0，利用余弦定理可得cosA==﹣，A=120°．再利用正弦定理可得==，化简即可得出．解答：解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=a x（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a=( )A．B．C．2 D．3考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：首先设点E（t，a t），则点B坐标为（2t，2a t），又因为2a t=a2t，所以a t=2；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入a t=2，求出a的值即可．解答：解：设点E（t，a t），则点B坐标为（2t，2a t），又因为2a t=a2t，所以a t=2；因为平行四边形OABC的面积=OC×AC=a t×2t=4t，又平行四边形OABC的面积为8所以4t=8，t=2，所以．故选：A．点评：本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．9．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．2﹣1 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答：解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是( )A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素考点：子集与真子集．专题：计算题；集合．分析：由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．解答：解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x＜}，N={x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；故选C．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．二、填空题：考生只需作答5小题，每小题5分，共25分．11．已知平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则k=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，由数量积的坐标表示，解方程即可得到k．解答：解：平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则=0，即1+2（k2﹣1）=0，解得，k=．故答案为：．点评：本题考查平面向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．12．已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是．[来源:学,科,网Z,X,X,K]考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值．解答：解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=4，∴x2+y2+z2≥=，即x2+y2+z2的最小值是，故答案为：．点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，进行解决．13．如图，一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h=6m，宽为b=24m，则该抛物线拱的面积为96m2．考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），则将（12，﹣6）代入可得p=12，y=﹣，该抛物线拱的面积为2（12×6﹣），即可得出结论．解答：解：由题意，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），则将（12，﹣6）代入可得p=12，∴y=﹣，∴该抛物线拱的面积为2（12×6﹣）=2（72﹣24）=96m2，故答案为：96．点评：解决该试题的关键是利用定积分表示出抛物线拱的面积，然后借助于定积分得到结论．14．若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线L2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=；④要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是②④（写出所有命题的序号）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：分别求出函数导数，根据导数的几何意义求出对应的切线斜率，结合曲线y=f（x）具有“可平行性”，即可得到结论．解答：解：①函数y=1满足是偶函数，函数的导数y′=0恒成立，此时，任意两点的切线都是重合的，故①不符号题意．②由y′=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意．③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，则f′（x）=3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m=0在判别式△=（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；④函数y=e x﹣1（x＜0），y′=e x∈（0，1），函数y=x+，y′=1﹣，则由1﹣∈（0，1），得∈（0，1），∴x＞1，则m=1．故要使得分段函数f（x）的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．∴正确的命题是②④．故答案为：②④点评：本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想．一、选考题：只选一题作答．（选修4-1：几何证明选讲）15．如图，已知图中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF=2BF．若CE与圆相切，且CE=，则BE=．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由相交弦定理得DF•FC=AF•BF，由此解得AF=2，BF=1，AB=3，由切割线定理得CE2=BE•AE，由此能求出BE的长．解答：解：∵两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，∴DF•FC=AF•BF，∵DF=CF=，AF=2BF，∴2BF2=2，解得AF=2，BF=1，AB=3，∵CE与圆相切，且CE=，∴CE2=BE•AE，∴（）2=BE（3+BE），解得BE=，或BE=﹣（舍）．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意相交弦定理和切割线定理的合理运用．一、选修4-4：坐标系参数方程16．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（θ为参数），在以此坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，则直线l与曲线C的公共点共有1个．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：由曲线C的方程（θ为参数），消去参数化为x2+y2=1，可得圆心C，半径r．由直线l的极坐标方程ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x﹣=0．再利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d，再与半径r比较大小即可．解答：解：由曲线C的方程（θ为参数），消去参数化为x2+y2=1，可得圆心C（0，0），半径r=1．由直线l的极坐标方程ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x ﹣=0．∴圆心C到直线l的距离d==1=r．因此直线l与⊙C相切，有且只有一个公共点．故答案为：1．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与曲线的交点判断、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=，f（A）=1，求角C．考点：正弦定理；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求区间；（2）由特殊角的三角函数值，求出A，再由正弦定理，求得B，再由三角形的内角和定理，可得C．解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，则函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）f（A）=1，即为2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，由于A为三角形的内角，则2A+=，即A=，由正弦定理得sinB===，由于a＞b，则A＞B，则B=，则C=π﹣﹣=．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调区间，考查正弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时，S n取得最大值．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（9﹣a n）•2n﹣1，求数列{b n}的前n项和为T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．[来源:学#科#网Z#X#X#K]分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由于当且仅当n=4时，S n取得最大值．可得a4＞0，a5＜0．解得，由于a2为整数，可得d为整数，即可得出．（2）b n=（9﹣a n）•2n﹣1=n•2n．利用“错位相减法”、等比数列的前n选和公式即可得出．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵当且仅当n=4时，S n取得最大值．[来源:学|科|网Z|X|X|K]∴a4＞0，a5＜0．∴，解得，∵a2为整数，∴d为整数，∴d=﹣2．∴a n=7+（n﹣1）×（﹣2）=9﹣2n．（2）b n=（9﹣a n）•2n﹣1=2n•2n﹣1=n•2n．∴T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）×2n+1+2．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、“错位相减法”、等比数列的前n选和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）根据题意可列出10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．解答：解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则（1+0.2x%）所以，所以ax≤，即a≤恒成立，因为，当且仅当，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，即a的取值范围为（0，5]．点评：本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．[来源:学+科+网Z+X+X+K]20．如图，三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MC⊥AB；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接OM，OC，证明AB⊥平面OMC，可得MC⊥AB；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设P（0，2，t）（0≤t≤2），要使直线MC⊥平面ABP，只要•=0，•=0，即可得出结论；（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．解答：（I）证明：取AB中点O，连接OM，OC．∵M为A1B1中点，∴MO∥A1A，又A1A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，∴MO⊥AB∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC又∵MC⊂平面OMC∴AB⊥MC（II）解：以O为原点，建立空间直角坐标系．如图．依题意O（0，0，0），A（﹣2，0，0）B（2，0，0），C（0，2，0），M（0，0，2）．设P（0，2，t）（0≤t≤2），则=（0，2，﹣2），=（4，0，0），=（0，2，t）．要使直线MC⊥平面ABP，只要•=0，•=0，即12﹣2t=0，解得t=．∴P的坐标为（0，2，）．∴当P为线段CC1的中点时，MC⊥平面ABP（Ⅲ）解：取线段AC的中点D，则D（﹣1，，0），易知DB⊥平面A1ACC1，故=（3，﹣，0）为平面PAC的一个法向量．…．又由（II）知=（0，2，﹣2）为平面PAB的一个法向量．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为α，则cosα=||=．∴二面角B﹣AP﹣C 的余弦值为．点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．21．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（﹣1，0），B（1，0）的距离之和为2．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C2：x2+=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N．（i）求证：|MN|的最小值为；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，设C1的方程为，由已知条件知2a=2，c=1，由此能求出曲线的方程．（Ⅱ）（ⅰ）当k=0，M为C2长轴端点，N为C1短轴的端点，|MN|=设直线OM：y=kx，代入x2+=1，得（2+3k）x2=2，由此能求出|MN|的最小值．（ⅱ）存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆．设Rt△MON斜边上的高为h，当k=0时，h=，当k≠0时，|OM|•|ON|=，由此能推导出存在以原点为圆心，半径为且与直线MN相切的圆，并能求出圆的方程．解答：满分．（Ⅰ）解：由椭圆定义可知曲线C1的轨迹是椭圆，[来源:学。

2020届天津一中高三上学期第一次月考数学试题 PDF版

天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷（理）本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!一、选择题：1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．（0，1）D ．（0，2）2．对一切θ∈R ，3m 2﹣12m ＞sinθcosθ恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣13，12）B ．（﹣∞，﹣13）∪（12，+∞）C ．（﹣12，13）D ．（﹣∞，﹣12）∪（13，+∞）3．把函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=4．已知a ＝30.1，b ＝log 32，c ＝cos4，则（）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a5．若sin （α﹣4π）＝12，则cos （2π+2α）＝（）A ．34-B ．23-C ．﹣12D ．13-天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若f （2+x ）＝f （﹣x ），f （1）＝3，则f （2018）+f （2019）的值为（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．67．用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm8．设函数f （x ）＝2(),024,0x xx e e x x x x -⎧-≥⎪⎨---<⎪⎩，若函数g （x ）＝f （x ）﹣ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．（0，2）B ．（0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），其图象关于直线x ＝6π对称，对满足|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2的x 1，x 2，有|x 1﹣x 2|min ＝2π，将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递减区间是（）A ．[,62k k ππππ-+]（k ∈Z ）B ．[,2k k πππ+]（k ∈Z ）C ．[5,36k k ππππ++]（k ∈Z ）D ．[7,1212k k ππππ++]（k ∈Z ）二、填空题：10．已知复数z ＝2aii-（a ∈R ）的实部为﹣1，则|z |＝11．已知1sin cos 3αα-=(0)απ<<，则44cos sin αα+的值是．12．已知函数()(1)(,)x f x bx e a a b R =-+∈．若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为y x =，则a ，b 的值分别为a =，b =．13．已知函数f （x ）＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f （m ）＝f （n ），若f （x ）在[m 2，n ]的最大值为2，则n m＝．14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i ＝1，2）个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数ξi （i ＝1，2），则E （ξ1）+E （ξ2）的值为15．已知函数f （x ）＝sin2x ﹣2cos 2x +1，有以下结论：①若f （x 1）＝f （x 2），则x 1﹣x 2＝k π（k ∈Z ）：②f （x ）在区间[﹣78π，﹣34π]上是增函数：③f （x ）的图象与g （x ）＝﹣2cos （2x ﹣23π）图象关于x 轴对称：④设函数h （x ）＝f （x ）﹣2x ，当θ＝12π时，h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣2π．其中正确的结论为．三、解答题：16．已知02πα<<，5cos()45πα+=．（1）求tan()4πα+的值；（2）求sin(23πα+的值．17．已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()f x '在区间(0,)π上存在唯一零点；（Ⅲ）设2()2()g x x x a a R =-+∈，若对任意1[0x ∈，]π，均存在2[1x ∈，2]，使得12()()f x g x >，求实数a 的取值范围．18．已知函数2()sin(2sin(22cos 33f x x x x ππωωω=++-+，其中0ω>，且函数()f x 的最小正周期为π（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调增区间（3）若函数()()g x f x a =-在区间[4π-，]4π上有两个零点，求实数a 的取值范围．19．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为3，||AB =（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.20．已知函数()f x lnx =，2()1ag x bx x =+-，(,)a b R ∈（Ⅰ）当1a =-，0b =时，求曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0b =时，若对任意的[1x ∈，2]，()()0f x g x + 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a =，0b >时，若方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <，求证：122x x +>．一．选择题（共9小题）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log x≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．2．【解答】解：对一切θ∈R，3m2﹣m＞sinθcosθ恒成立，转化为：3m2﹣m＞sinθcosθ的最大值，又θ∈R知sinθcosθ∈[﹣，]，sinθcosθ的最大值为；所以3m2﹣m＞；可得m＜﹣或m＞．故选：B．3．【解答】解：函数f（x）＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝sin2x，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得y＝sin2（x）＝sin（2x﹣）由对称轴方程2x﹣＝，k∈Z当k＝﹣1时，可得一条对称轴x＝4．【解答】解：∵30.1＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，cos4＜0；∴c＜b＜a．故选：C．5．【解答】解：∵sin（α﹣）＝，则cos（+2α）＝﹣cos[π﹣（+2α）]＝﹣cos（﹣2α）＝﹣cos（2α﹣）＝﹣1+2＝﹣1+2×＝﹣，故选：C．6．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2+x）＝f（﹣x），∴f（2+x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2018）+f（2019）＝f（4×504+2）+f（4×504+3）＝f（2）+f（3），又f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2018）+f（2019）＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9），V′＝12（3﹣x）（9﹣x），令V′＝0，则在（0，9）内有x＝3．故当x＝3时，V有最大值；故选：C．8．【解答】解：由y＝f（x）﹣ax恰有两个零点，而当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，即x＝0是函数的一个零点，故当x≠0时，必有一个零点，即函数与函数y＝a必有一个交点，作出函数h（x）图象如下所示，由图可知，要使函数h（x）与函数y＝a有一个交点，只需0＜a＜2即可．故实数a的取值范围是（0，2）．故选：A．9．【解答】解：已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，0∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．二．填空题（共6小题）10．【解答】解：∵z＝＝，∴，即a＝5．∴z＝﹣1+2i，则|z|＝．故答案为：．11．【解答】解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝﹣，则sinαcosα＝﹣，则cos 4α+sin 4α＝（sin 2α+cos 2α）2﹣2sin 2αcos 2α＝1﹣2（）2＝．故答案为：．12．【解答】解：()(1)x f x bx e a =-+得()(1)x f x e bx b '=+-，曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为y x =．(0)1f '=，(0)0f =，即11b -=，10a -+=，解得1a =，2b =，故答案为：1，2．13．【解答】解：∵f （x ）＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f （m ）＝f （n ），∴﹣log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1．∵f （x ）在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f （x ）在[m 2，1）上是减函数，在（1，n ]上是增函数，∴﹣log 3m 2＝2，或log 3n ＝2．若﹣log 3m 2＝2是最大值，得m ＝，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意条件．那么：同理：若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝，此时﹣log 3m 2＝4，不满足题意条件．综合可得m＝，n＝3，故，故答案为9．14．【解答】解：甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，则P（ξ1＝1）＝，P（ξ1＝2）＝．则E（ξ1）＝；甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，则P（ξ2＝1）＝＝，P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ2＝3）＝＝．则E（ξ2）＝．∴E（ξ1）+E（ξ2）＝．故答案为：．15．【解答】解：函数化简可得f（x）＝sin2x﹣2cos2x+1＝2sin（2x﹣），对于①：若f（x1）＝f（x2），可知x1，x2关于对称轴是对称的，即x1+x2＝，∴①不对；对于②：令2x﹣，可得；∴f（x）在区间[﹣，﹣]上是增函数：②正确；对于③：f （x ）的图象关于x 轴对称，可得y ＝﹣2sin （2x ﹣）＝﹣2cos （2x﹣）；∴③对；对于④：设函数h （x ）＝f （x ）﹣2x ＝2sin （2x ﹣）﹣2x当θ＝时，h （θ﹣2）＝2sin （2（θ﹣2）﹣）﹣2（θ﹣2）＝2sin （2θ﹣4﹣）﹣（2θ﹣4）h （θ）＝2sin （2θ﹣）﹣2θh （θ+2）＝2sin （2θ+4﹣）﹣（2θ+4）∴h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣．故答案为：②③④三．解答题（共5小题）16．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得，sin()4πα+的值，可得tan()4πα+的值．（2）先求得tan α的值，再利用二倍角公式求得sin 2α、cos 2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(23πα+的值．【解答】解：（1）已知02πα<<，cos()45πα+=，25sin()45πα∴+==，sin(4tan(24cos()4παπαπα+∴+==+．（2）tan 1tan()241tan πααα++==- ，1tan 3α∴=，2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα∴===++，222222cos sin 1tan 4cos2sin cos tan 15ααααααα--===++，343sin(2)310πα++=．17．【分析】（Ⅰ）求出()f x '，推出(0)0f '=，(0)0f =，然后求解曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程．（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1g x x x x =+-，()cos g x x x '=．求出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点．（Ⅲ）由已知，转化为()()min min f x g x >，求出()min g x g =（1）1a =-．设为0x ，且当0(0,)x x ∈时，()0f x '>；当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，求出函数的最小值，然后求解a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x '=+-，所以(0)0f '=，(0)0f =，从而曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程为0y =．（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1g x x x x =+-，()cos g x x x '=．当(0,)2x π∈时，()0g x '>；当(,)2x ππ∈时，()0g x '<，所以()g x 在(0,2π单调递增，在(,)2ππ单调递减．又(0)0,()0,()22g g g ππ=>=-，故()g x 在(0,)π存在唯一零点．所以()f x '在(0,)π存在唯一零点．（Ⅲ）由已知，转化为()()min min f x g x >，且()min g x g =（1）1a =-．由（Ⅱ）知，()f x '在(0,)π只有一个零点，设为0x ，且当0(0,)x x ∈时，()0f x '>；当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 单调递增，在0(x ，)π单调递减．又(0)0f =，()0f π=，所以当[0x ∈，]π时，()0min f x =．所以01a >-，即1a <，因此，a 的取值范围是(,1)-∞．18．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得())14f x x πω=++，利用三角函数周期公式可求ω的值．（2）由正弦函数的单调性可求()f x 的单调增区间．（3）作出函数()y f x =在[4π-，4π上的图象，从图象可看出(0)()24f f π==，()18f π=+，可求当曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点时，21a < ，即可得解实数a 的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）2()sin(2)sin(22cos 33f x x x x ππωωω=++-+ 11sin 22221cos 222x x x x x ωωωωω=++-++sin 2cos 21x x ωω=++)14x πω=++，3⋯分22T ππω== ，14ω∴=⋯分（2）由222242k x k πππππ-++ ，k Z ∈，6⋯分解得：388k x k ππππ-++ ，k Z ∈，7⋯分可得()f x 的单调增区间为：3[8k ππ-+，]8k ππ+，k Z ∈，8⋯分（3）作出函数()y f x =在[4π-，4π上的图象如右：函数()g x 有两个零点，即方程()0f x a -=有两解，亦即曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点，从图象可看出(0)(24f f π==，()18f π=，所以当曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点时，则21a < ，即实数a 的取值范围是[21)．12⋯分19．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，所以，椭圆的方程为．（II ）设点，，由题意，且由的面积是面积的3倍，可得，所以，从而，所以，即．易知直线的方程为，由消去，可得由方程组消去，可得．由，可得，整理得，解得，或．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．所以，的值为．20．【分析】（Ⅰ）求出()()y f x g x =-的导函数，求出函数在1x =时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；（Ⅱ）对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x + 都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+ ，恒成立，构造函数22()(12)h x x lnx x x =-+ ，求出()h x 的最大值可得a 的范围；（Ⅲ）由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，构造函数()1(0)F x lnx bx x =-+>，将问题转化为证明112()0()F x F x b ->=，然后构造函数证明1122()()0()F x F x F x b->==即可．【解答】解：（Ⅰ）当1a =-时，0b =时，211y lnx x=++，∴当1x =时，2y =，312y x x '∴=-，∴当1x =时，1y '=-，∴曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程为30x y +-=；（Ⅱ）当0b =时，对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x + 都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+ 恒成立，令22()(12)h x x lnx x x =-+ ，则()2h x xlnx x '=-+．令()0h x '=，则x =∴当1x <<，()0h x '>，此时()h x 2x <<时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，∴()2max e h x h ==，2e a ∴ ，a ∴的取值范围为[,)2e+∞；（Ⅲ）当0a =，0b >时，由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <，令()1(0)F x lnx bx x =-+>，则12()()0F x F x ==，1()F x b x '=-，令()0F x '=，则1x b=，∴当10x b <<时，()0F x '>，此时()F x 单调递增；当1x b>时，()0F x '<，此时()F x 单调递减，∴1()()0max F x F b =>，01b ∴<<，又1(0bF e e =-<，F （1）10b =->，∴1111x e b <<<，∴121x b b->，∴只要证明212x x b >-，就能得到1222x x b +>>，即只要证明112()0()F x F x b->=，令221()()()()22(0)G x F x F x ln x lnx bx x b b b =--=--+-< ，则212()()02()b x b G x x x b -'=<-，()G x ∴在1(0,b 上单调递减，则1211()((()0G x G F F b b b b >=--=，∴1112()()()0G x F x F x b =-->，∴1122()()0()F x F x F x b ->==，∴212x x b >-，∴1222x x b+>>，即122x x +>，证毕．。

天津市第一中学2020-2021学年度第一学期高三第一次月考数学试题(图片版,无答案)

6. 为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有 .A. 264种B. 224种C. 250种D. 236 种7. 已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式f(2x+3)- f(1)<0的解集为（） A. (-2，+∞) B. (-1，+∞) C. (-2，-1) D. (-∞，-1)8. 设函数212()52x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（）A. ()16,32B. (18，34)C. (17，35)D. (6，7)9. 已知函数(](]13,1,01(),0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪+=⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =---在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A. 91,20,42⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B. 111,20,42⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C. 92,20,43⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D. 112,20,43⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题10. 设复数z 满足：(2)5z i +=，则z i -=11. 已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x 的值为12. 命题“x R ∀∈，2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是13. 已知1cos 4α=，则sin(2)2πα-= 14. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 15. 设函数2172()2,04(),0k x x f x x x ⎧+-+≤⎪=⎨⎪>⎩，4()()(0)3g x k x k =->，若存在唯一的整数使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 .17. 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加。

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天津一中2020---2020高三年级月考数学试卷（理科）一、选择题：（1）i 是虚数单位，211i i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是（）A.-1B.1C.-iD.i(2)在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数是（）A.30 B,20 C.15 D.10(3)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A.16 B.2524 C.34 D.1112(4)若曲线()(),a f x x g x x ==，在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，则实数a的值为（）A.-2B.2C.12 D.12- (5)数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是数列{}n a 为递增数列的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（） A.12 B,23 C. 34 D.35(7)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若cosC ccosB asinA b +=，则ABC 的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定（8）函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（）A.{}|0x x > B.{}|0x x < C.{}|101x x x <-<<或D.{}|11x x x ><-或二、填空题：（9）以Rt ABC 的直角边AB 为径作圆O,圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若BC=3，AB=4，则OE=(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（11）在直角坐标系xoy 中，已知曲线11:()12x t C t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0有一个公式点在x 轴上，则a=(12)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生.(13)若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP PF ⋅的最大值为(14)设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m的取值范围是 .三、解答题：（15）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且222tan A b c a =+-（I ）求角A 的大小：（II ）求cos cos B C +的取值范围.(16)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同 (I)从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率:(II)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布列和数学期望()E X .(17)如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD PA ⊥底面.BC 2,4,3CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点，AF PB ⊥.(I)求PA 的长：（II ）求二面角B AF D --的正弦值.(18)数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈，总有2,S ,n n n a a 成等差数列(I)求数列{}n a 的通项公式：(II)设数列{}n b 前n 项和为n T ，且2ln n nxb a =，求证对任意的实数(1,]x e ∈和任意的正整数n ，总有2n T <(19)已知椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的离心率为22，且过点()2,2（I ）求椭圆的标准方程：（II ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若22AC BDb k k a⋅=-(i) 求OA OB ⋅的最值：(ii)求证：四边形ABCD 的面积为定值.(20)设函数()()2ln 1f x x a x =++(I)若函数()y f x =在区间[1,)+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围：(II)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()2110ln 22f x x <<-+15.解析：解：(1)222333tan tan sin 2cos 23bc bc A A A A b c a bc A π=∴=∴=∴=+-(2)213cos cos cos cos cos cos sin 322B B B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132cos sin sin 226362B B B BC B ππππ⎛⎫=+=++=∴<< ⎪⎝⎭233,sin ,1cos cos ,1633622B B B C ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫∴+∈∴+∈∴+∈⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦16.解：224329163153618C C P C ++++=== (2)X 的可能取值为2，3，4()()31314536449911134,312663C C C C P x P x C C +======()113991112663126P x ==--=()198********1261269E x ++===17.解：2,3BC BD ACB ACD CA BD π==∠=∠=∴⊥∴如图建立空间坐标系()())()()0,0,0,0,1,0,3,0,0,3,0,0,3,0O C BD A ∴-()0,3,,0,1,2z P z F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭)2,00,2,3,3,060322z z AF PB AF PB z z ⎛⎫⊥∴⋅=∴⋅-=∴-=∴= ⎪⎝⎭(0,3,23P ∴-()22323PA ∴==（2）设面AFD 的法向量()()0,,3,3,20n AD n x y z n n AF ⎧⋅==∴∴=-⎨⋅=⎩，设面ABF 的法向量()()0137,,3,3,2cos sin 80m AB m x y z m m AF θθ⎧⋅==∴∴=-∴=∴=⎨⋅=⎩18.解：(1)2,s ,n n n a a 成等差数列()222*11111112,12,122n n n n n n a a S n a a a a a S n n N ---∴+==+=∴=∴+=≥∈当时，a 且22221111121n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------+-=∴-=+∴-={}n a ∴是等差数列11,d 1a n a n ==∴=（2）[]()222ln ln 11,1,0ln 121n n n x x b x e x n a n n n n ==∈∴<≤∴≥≤<-当时，b 11111111112212231n T n n n n n=-∴≤+-+-+-=-<--19.解：2222222222842(1)11844c aa x y ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=∴∴+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩(2)设()()()22112222:,,,2828AB y kx m l y kx m A x y B x y x kx m x y =+⎧=+∴++=⎨+=⎩()2222121222428124280,1212km m k x kmx m x x x x k k --+++-=∴+==++()()2222212122222848121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---⎛⎫=++=++= ⎪+++⎝⎭22222212222121812842212212OA OBy y b m k m k k m b a x x k k--⋅=-∴⋅=-∴=-⋅∴=+++ 222212122222288424212121212m m k k OA OB x x y y k k k k ---⋅=+=+==-++++，22OA OB=-2k AB x OA OB ∴-≤⋅<⋅⊥，当k=0时，当不存在即轴max 1OA OB =2,S 42ABCD AOBAOBSS⋅==⋅ABCD S ===20.解：（1）()()2222,011a x x a f x x f x x x ++''=+=≥++在[1,)+∞上恒成立2222212,4a x x a a ≥--∴≥-⋅-≥-（2）()()()22220221,1x x af xg x x x a x ++'==∴=++-+∞+令在上有解()480910102a a ⎧⎪∆=->⎪∴->⎨⎪⎪<<⎩2211121222220,1,220x x a x x x x x x a ∴++=<+=-++=且1221121121,022222a a x x x --=--=-+∴-<<()()()()()()2222222221222ln 122ln 11,0112x x x x x x x x f x x x x x x -++-++⎛⎫∴==∈- ⎪----⎝⎭令k ()()()()()222326212ln 1,4211x x x k x x k x k x x ++⎛⎫'''''=++=∴-=- ⎪⎝⎭++()()0102,002k x k x ⎛⎫''''=∴∈-= ⎪⎝⎭存在使()()1100,12ln 20-022k k k x ⎛⎫⎛⎫''=-=-<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上递减()()()211100ln 222f x k k x k x ⎛⎫<<-∴<<-+ ⎪⎝⎭。