14.4图的代数表示
2021-2022学年第二学期泰州市靖江市实验学校初一数学期中试卷及解析
解得：k＝﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是用含k的代数式表示x、y．
6．如图a是长方形纸带，∠DEF=28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．94°B．96°C．102°D．128°
【答案】
【解析】
【分析】将两对解代入方程组的第一个方程求出a与b的值，将第一对解代入第二个方程求出c的值，即可求出 的值．
【解答】解：依题意得， ．
解得
将 代入 ，解得
则 ．
故答案为：16．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
26．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）∠E=°；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
泰州市靖江市实验学校2021-2022学年第二学期初一数学期中试题
一、选择题
1．人体中红细胞的直径约为0．0000077米，将0．0000077用科学记数法表示为（ ）
A．7．7×10﹣6B．7．7×10﹣5C．0．77×10﹣6D．0．77×10﹣5
2．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
3．下列关系式中，正确的是（ ）
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠DEF，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了3层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解．
经济学相关 LM曲线
不同收入的货币需求曲线
r y1 r1 r2
L1 = ky1 − hr1
y2 y3
L2 = ky2 − hr1
L3 = ky3 − hr1
O
L1 L2
L3
L
14.3.4 流动性陷阱
• 当利率极低时，人们认为利率不可能再下降 了，即有价证券价格不可能再上升了，会将 手中所持有的有价证券全部换成货币。 • 这时，人们不管有多少货币都愿意持有在手 中，所以流动性偏好趋向于无穷大，这称为 “凯恩斯陷阱”或“流动偏好陷阱”。
LM曲线
r LM 4 3 2 1 0 500 1000 1500 2000 2500 y
14.4.2 LM曲线及其推导
• LM曲线上任一点都代表一定利率与收入的 组合，在这样的组合下，货币需求与供给都 是相等的，即货币市场是均衡的。
14.4.2 LM曲线及其推导
• 几何推导：
• 货币交易需求是国民收入的函数：L1=ky • 货币投机需求与利率的关系：L2=-hr • 货币供求均衡：L=m=ky-hr
14.3.2 流动性偏好与货币需求
• 持有货币的机会成本是利息、红利、租金等 等。 • 凯恩斯认为，人们损失利息而持有货币，产 生流动偏好的动机。
14.3.2 流动性偏好与货币需求
• 流动性偏好(liquidity preference)：由于货币 具有使用上的灵活性，人们宁肯牺牲利息收 入而储存不生息的货币来保持财富的心理倾 向。
14.3.2 流动性偏好与货币需求
• 流动性偏好
• 交易动机 ：指人们因生活消费和生产消费， 为了进行正常交易所需要的货币。 • 主要取决于收入，收入越高，对货币的需求 越多；交易数量越大，需求越大。
14图的基本概念
定理14.2 设D＝<V,E>为任意有向图，V＝{v1,v2,…,vn}，
|E|＝m，则
n
n
n
d (vi ) 2m,且 d (vi ) d (vi ) m
i 1
i 1
i 1
握手定理的推论
推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数。
证明 设G＝<V，E>为任意一图，令
V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝ ，由握手定理可知
可图化举例
由定理14.3立即可知， (3,3,2,1)，(3,2,2,1,1)等是不可图化的， (3,3,2,2)，(3,2,2,2,1)等是可图化的。
定理14.4
定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则△(G)≤n-1。 证明 因为G既无平行边也无环，
所以G中任何顶点v至多与其余的n-1个顶点均相邻， 于是d(v)≤n-1，由于v的任意性，所以△(G)≤n-1。 例14.2 判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些是可简 单图化的？ (1) (5,5,4,4,2,1) 不可图化。 (2) (5,4,3,2,2) 可图化，不可简单图化。若它可简单图化， 设所得图为G，则(G)＝max{5,4,3,2,2}＝5， 这与定散数学
第14章 图的基本概念
本章内容
14.1 图 14.2 通路与回路 14.3 图的连通性 14.4 图的矩阵表示 14.5 图的运算
基本要求 作业
14.1 图的基本概念
图的定义 图的一些概念和规定 简单图和多重图 顶点的度数与握手定理 图的同构 完全图与正则图 子图与补图
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
图的代数连通度
图的代数连通度图代数，又称为离散数学（discrete mathematics），是数学的一个分支，主要研究由一组节点和联系这些节点的边组成的网络，也称为图。
其中图的一种重要性质是连通性，它表明图中节点之间是否都可以相互访问。
因此，如何检测图中节点之间的联系，以及如何衡量图中节点之间的联系强度，成为离散数学研究的重要内容。
在此背景下，图的代数连通度受到了广泛关注。
图的代数连通度是指图中节点之间的联系强度，它可以通过图的邻接矩阵（adjacency matrix）来衡量。
例如，当图中有 n 个节点时，可以建立一个 nxn的二元矩阵，它的每一个元素 aij示节点 i 节点 j 之间的边的权重，如果这条边存在，则 aij 为 1，反之为 0。
图的代数连通度是一种度量图节点间联系强度的量化指标。
有一种常用的方法，称为^1度量，它表示图中任何两个节点之间的联系强度。
在具体的计算中，它可以使用图的邻接矩阵来求解，其计算公式为：A1(i,j)=aij其中，aij为节点i到节点j之间的边的权重，如果节点i与节点j存在边，则aij的值为1，反之aij的值为0。
这一度量的计算，可以直接表示节点之间的联系强度，这样就可以度量图中任意两个节点之间的联系强度。
除此之外，还有其他度量方法，包括特征值度量、最大边度量等。
特征值度量是利用图的邻接矩阵，求解图的连通特征值而得到的。
而最大边度量则是利用最大边权重来衡量图的连通性。
这些度量方法都可以有效地量化图的连通性，但也存在一定的局限性。
特征值度量只能度量图中任意两个节点之间的联系强度，而无法衡量图中不同节点组合的联系强度；而最大边度量又因为不能有效的衡量图的连通性，因此，可以说这些度量方法都有其局限性。
另一方面，图的代数连通度可以有效地提供图中节点间联系强度的量化指标。
它可以通过一组不同的系数和一系列矩阵运算来实现，并且可以有效地衡量图中任意几个节点之间的联系强度，而不受两个节点之间的边的数量的限制。
第十三、十四章 半群与群、环与域
例13.4.5 如果a6=e且a2≠e和a3≠e ，则6是a的阶。
13.5 循环群和子群
定义13.5.6 设<G，⊙>是群，若g∈G，对 x∈G，k∈Z，有x = gk，称<G，⊙>是循环群， 记作G = <g>，称g是群<G，⊙>的生成元。 若存在最小正整数n，gn = e，称n为生成元 的阶或周期；否则称g是无限阶的。
关于独异点，有下面二个性质：
定理 13.1.5
设 <M ，○， e> 为独异点，则关
于○的运算表中任两列或任两行均不相同。 证明：对任意a,b∈M，且a≠b，有 ea＝a≠b＝eb 和 ae＝a≠b＝be 即在○的运算表中任两列或任两行均不相同。
注意：这个定理对半群不一定成立，这个定
理的成立完全是由于幺元的存在。
例：设G=<a>是14阶循环群，求出G的所有生成元 和G的所有子群。 1）G的所有生成元是：a，a3，a5，a9，a11，a13。 2）G的所有子群为：{e}，{e，a2，a4，a6，a8，a10， a12}，{e，a7}及G本身，共4个。 注： ①确定已知群的全部子群，一般来说是很困难的， 但从此例可以看到，对于循环群而言，却是容易办到的。 ②一般地，若G是循环群，且有m个元素， m=p1α1p2α2…prαr ，其中 p1,p2,…pr 是 r 个两两不同的素数， 则G共有(1+α1)(1+α2)…(1+αr)个两两不同的子群。
定义13.1.2 给定<M，○>，若<M，○>是半群 且○有幺元，换句话说，若○满足结合律且拥有 幺元，则称<M，○>为独异点。 可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有 些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强调 幺元e，独异点表示为<M，○，e>。
14.4-5--麦克斯韦电磁场理论-电磁波
三、麦克斯韦方程组的积分形式
稳恒 情况 的电 磁场 规律
DdS qi
任意电场
Edl 0
BdS 0
变化磁场 产生电场 任意电流
变化电场
H dl Ii 产生磁场
DdS qi EEdldl(EeEiB)tdldS
B dS 0 BdS 0
BdS 0
☆人们赞美
麦克斯韦方程组 象一首美丽的诗 !
1.麦克斯 韦方程组：
D dS qi
(1)
BEHdddSll0IBtDdtSdS
(2) (3) (4)
2.各方程的物理意义：
Id所激发的磁场H(B)与其成右手螺旋关系：
jd
D
H (B)
D
t
0
jd // D
jd
D
H (B)Leabharlann 4、传导电流与位移电流的比较
D t
0
jd D
共同点—— Ic 和Id以共同的形式激发磁场。
不同点—— 1. 传位导移电电流流IIcd和的电实荷质的是宏变观化定电向场运！动D有t 关0,,而jD 0 2. Ic产生焦耳热而Id不产生焦耳热！
dq dt
q S2 极板
dq极板 dt
d dt
s2 DdS
I
S1
S2
2若.定S义2面：不随Id 时 间dIdst1t变D 化s2：DtDtdSdS
d s2
dt 位移电流
有电流 的量纲
位移电流密度：
jd
D
代数知识点总结图
代数知识点总结图一、代数的基本概念1. 代数表达式代数表达式是用字母、数字和运算符号等符号表示数与数关系的式子。
代数表达式的一般形式为a1x^n + a2x^(n-1) + ... + an-1x + an，其中a1，a2，...，an-1，an为系数，x为未知数，n为非负整数。
2. 代数方程代数方程是含有未知数的等式，一般是将代数表达式的两个部分用等号连接起来。
代数方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为实数且a≠0。
3. 代数不等式代数不等式是含有不等号的式子，表示两个代数表达式之间的大小关系。
代数不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。
4. 代数函数代数函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
代数函数的一般形式为y = f(x)。
二、代数运算1. 代数运算的基本法则代数运算的基本法则包括加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则及分配律等。
2. 代数运算的性质代数运算的性质包括结合律、交换律、分配律、零律、乘法逆元等。
3. 代数运算中的优先级代数运算中，乘法和除法的优先级高于加法和减法，括号内的运算优先级最高。
4. 代数运算的逆运算代数运算的逆运算指的是对一种运算进行相反的操作。
例如，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。
三、代数方程和代数不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a，b为已知数且a≠0。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
3. 一元二次方程一元二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为已知数且a≠0。
4. 一元二次不等式一元二次不等式是指未知数的最高次数为2的不等式。
图论基础图的表示与常见算法
图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。
图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。
在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。
一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。
对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。
如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。
邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。
对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。
3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。
对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。
如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。
关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。
二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS可以用递归或栈来实现。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
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1 e6 e4 2
e1 e3 e5 e2
e7 4
先定B 先定B后A 虑边的终点
e8 v1 v2 v3 v4 A=(1,5,6,7,9) A(n+1)=m+1=B的元素数 的元素数+1 的元素数 B=(4,3,2,2,3,1,3,4) |B|=边数 每边一个终点 边数m(每边一个终点 边数 每边一个终点)
n×m. ×
A e6 e4 B
e1 e3 e5
A 1
e7 D e2 C
0 0 0 B C 0 −1 D −1 1 1 0 −1 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 1 −1 0 0 0 0 0 1
重边可表 示，自环 不可能表 示
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
3
对于无向图，先在B 对于无向图，先在B中保存每个结点的相 无向图 邻结点。 邻结点。由于每边的结点都会保存一次，故B 的长度为2m.A的长度仍为 2m.A的长度仍为n+1. 的长度为2m.A的长度仍为n+1. 1 2 4 3 1 23 4 A=(1,4,7,10,13) n=4 m=6 A(4+1)=B的数目 的数目+1 的数目 B=(2,3,4,1,3,4,2,1,4,1,2,3)
A e4 B
e1 e3 e5 e2
D
0 C 0 1 0
1 0 0 0
1 1 0 1
1 0 0 1
可表示自环， 可表示自环，不能表示重边
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
权矩阵
权图： 条边上都有数字，将该数字取代邻 权图：每条边上都有数字，将该数字取代邻 都有数字 数字取代 接矩阵中的 中的1，便得到其权矩阵。 接矩阵中的 ，便得到其权矩阵。 对于有向图只是一个方阵，对于无向图 有向图只是一个方阵 无向图则是 对于有向图只是一个方阵，对于无向图则是 对称矩阵。 一个对称矩阵 一个对称矩阵。 如果Vi 之间存在一条 如果 到Vj之间存在一条边，该边的权重为 之间存在一条边 Wij，那么 ，那么a(i,j)=Wij，否则为 。 ，否则为0。
e7 4
先定B后定A 每点之父
e8 1 2 3 4 A=(1,2,4,7,9) A(n+1)=m+1 B=(3,1,1 ,1,2,4,1,4) 个数 个数=5-1=4. 每边起点 边数 每边起点=边数
3
对于无向图，先在B中保存每个结点的相邻结点。 对于无向图，先在B中保存每个结点的相邻结点。 无向图 由于每边两结点都会保存一次，故B的长度为2m.A的 的长度为2m.A 2m.A的 长度仍为n+1. 与正向表一致。 长度仍为n+1. 与正向表一致。
1 2 4 3 A=(1,4,7,10,13) n=4 m=6 A(4+1)=2*6+1 每边的父， B=(2,3,4,1,3,4,2,1,4,1,2,3) 每边的父，无线即为双
关联矩阵
关联矩阵表示结点与 之间的关联关系。 关联矩阵表示结点与边之间的关联关系。 结点 对于有向图 有向图： 对于有向图： Vi ej 如果Vi是 的起点 的起点， 如果 是ej的起点，则b(i,j)=1。 。 Vi 如果Vi是 的终点 的终点， 如果 是ej的终点，则b(i,j)=-1。 。 ej 如果以上两种情况不存在， 如果以上两种情况不存在，则b(i,j)=0。 。 对于无向图 无向图： 对于无向图： V ej 如果Vi到 某个端点 某个端点， 如果 到ej某个端点，则b(i,j)=1。i 。 ej Vi b(i,j)=0。 否则 。 该矩阵的行对应为“点”，列对应“边”， 该矩阵的行对应为“ 列对应“
1 2 6
3
5 4
0 1 8 2 0 11
1 0 3 0 0 9
8 3 0 4 10 0
2 0 4 0 5 7
0 0 10 5 0 8
11 9 0 7 8 0
正向表
对邻接矩阵进行行压缩。 个矩阵A 对邻接矩阵进行行压缩。2个矩阵A与B。B中 依次存放每个结点的后继结点，A保存每个结 点之首个后继结点在B中的位置 序号） 首个后继结点在 位置( 点之首个后继结点在B中的位置(序号）。
逆向表(谁指向我 逆向表 谁指向我) 谁指向我
对邻接矩阵进行列压缩。 个矩阵A 对邻接矩阵进行列压缩。2个矩阵A与B。B中 依次存放每个结点的前趋结点，A保存每个结 首个前趋结点的在 位置( 点之首个前趋结点的在B中的位置 序号) 点之首个前趋结点的在B中的位置(序号)。
1 e6 e4 2
e1 e3 e5 e2
邻接矩阵
对于有向图，如果从结点 到结点 之间有 到结点vj之间 对于有向图，如果从结点vi到结点 之间有 有向图 一条边， 一条边，则a(i,j)=1，否则为 。 ，否则为0。 由于结点vi到 有一条边 反过来vj到 之间 有一条边， 由于结点 到vj有一条边，反过来 到vi之间 对称。 不一定有一条， 不一定对称 不一定有一条，故不一定对称。 对于无向图 如果结点vi到 有一条边 无向图， 有一条边， 对于无向图，如果结点 到Vj有一条边，则 a(i,j)=1，否则为 。 ，否则为0。 由于Vi到Vj有一条边时，反过来Vj到Vi肯定 由于 到 有一条边时，反过来 到 肯定 有一条边时 也有一条边。故它是对称 对称的 也有一条边。故它是对称的。
e1 a b c d1 Βιβλιοθήκη 0 0e2e3
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e5
e6
1 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
边列表-关联矩阵紧凑形式 边列表 关联矩阵紧凑形式
将每边的起点与终点，分别保存在矩阵A 将每边的起点与终点，分别保存在矩阵A 起点 保存在矩阵 因此数组A 的大小与边数相同。 与B中。因此数组A、B的大小与边数相同。
A=(a,a,b,b,c,a) (a,b)对应 对应e1,(a,d)对应 对应e6 对应 对应 B=(b,c,d,c,d,d)
e2 e4 e6
e1
e3 e5
A e6 e4 B
e1
e1 e3 e5
e3 e5
e7 D e2 C
e7
A=(A,D,A,A,B,A,D) B=(D,C,C,B,C,B,D)
e2 e4 e6