【真题】15年福建省莆田一中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5分）已知=（﹣5，6），=（6，5），则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向2．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={y|y=2x，x∈M}，则∁R（M∩N）集合（）A．（﹣2，4）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）3．（5分）已知函数f（x）=若直线y=m与函数f（x）的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．m∈R B．m＞1 C．m＞0 D．0＜m＜14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．45．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2＜（b+c）（c﹣b），则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形6．（5分）已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件7．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或8．（5分）如图为函数y=sin（2x+φ）的图象，则φ的值可以为（）A．或B．C． D．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．11．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．12．（5分）已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+2f（﹣x）=0，当x∈（0，2）时，，当x∈（﹣4，﹣2），f（x）的最大值为，则a=（）A．4 B．C．D．1二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）如果=1+mi（m∈R，i表示虚数单位），那么m=．14．（4分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于．15．（4分）数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则数列{a n}的通项公式为．16．（4分）在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，则AB+AC 的最大值为．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知=（cosωx+sinωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=•，且f（x）的对称中心到f（x）对称轴的最近距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，当ω取最大值时，f（A）=1，求△ABC的面积．20．（12分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，其中AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求几何体ABCD﹣A1C1D1的表面积；（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．（12分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．22．（14分）已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5分）已知=（﹣5，6），=（6，5），则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【解答】解：∵=（﹣5，6），=（6，5），∴•=﹣5×6+6×5=0；∴⊥．故选：A．2．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={y|y=2x，x∈M}，则∁R（M∩N）集合（）A．（﹣2，4）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【解答】解：由x2﹣x﹣2＜0得，﹣1＜x＜2，则M={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），所以N={y|y=2x，x∈M}={y|﹣2＜y＜4}=（﹣2，4），则M∩N=（﹣1，2）∩（﹣2，4）=（﹣1，2），所以∁R（M∩N）=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），故选：C．3．（5分）已知函数f（x）=若直线y=m与函数f（x）的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．m∈R B．m＞1 C．m＞0 D．0＜m＜1【解答】解：分别画出函数f（x）=，和y=m的图象，∵要使f（x）的图象与y=m的图象有两个交点，如上图直线y=m应该在x轴与虚线之间，∴0＜m＜1，故选：D．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．4【解答】解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选：D．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2＜（b+c）（c﹣b），则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【解答】解：∵a2＜（b+c）（c﹣b），即：a2+b2＜c2∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC＞a2+b2，∴cosC＜0，即∠C为钝角故△ABC是钝角三角形故选：C．6．（5分）已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件【解答】解：A．根据面面垂直的定义可知，“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，正确B．根据线面垂直的判定定理得“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件，正确C．若l∥m，则m∥α或m⊂α，则充分性不成立，若m∥α，则l与m平行，异面或相交，必要性不成立，故“l∥m”是“m∥α”的既不充分又不必要条件，故C错误．D．根据面面垂直的定义可知，“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件，正确．故选：C．7．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3=a2+a1，∵a1≠0，∴q2﹣q﹣1=0，解得q=或q=（舍去）；∴==．故选：C．8．（5分）如图为函数y=sin（2x+φ）的图象，则φ的值可以为（）A．或B．C． D．【解答】解：由函数的图象，结合五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故选：B．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．11．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．12．（5分）已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+2f（﹣x）=0，当x∈（0，2）时，，当x∈（﹣4，﹣2），f（x）的最大值为，则a=（）A．4 B．C．D．1【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x+2）+2f（﹣x）=0即f（x+2）﹣2f（x）=0，则f（x+2）=2f（x），f（x+4）=2f（x+2），所以f（x）=f（x+2）=f（x+4），当x∈（﹣4，﹣2）时，（x+4）∈（0，2），此时f（x）=f（x+4）=[ln（x+4）﹣a（x+4）]，则f′（x）=（﹣a）=﹣，当﹣4＜x＜﹣4+时，f′（x）＞0，f（x）递增，当﹣4+＜x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）递减，所以当x=﹣4+时f（x）取得最大值﹣，即f（﹣4+）==﹣，解得a=1，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）如果=1+mi（m∈R，i表示虚数单位），那么m=1．【解答】解：由，且=1+mi，所以，m=1．故答案为1．14．（4分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于9．【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b∵在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故答案为：915．（4分）数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则数列{a n}的通项公式为a n=．【解答】解：当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，两式相减得3n﹣1a n==，则a n=，当n=1时，a1=满足a n=，综上a n=．故答案为：a n=16．（4分）在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，则AB+AC的最大值为．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，∴在△ABM中，设∠AMB=θ，则∠ABM=120°﹣θ，0＜θ＜120°，由正弦定理得：====4，∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°﹣θ），又点M为边AC的中点，∴|AC|=2|AM|=8sin（120°﹣θ），∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°﹣θ）=4sinθ+8×cosθ﹣8×（﹣）sinθ=8sinθ+4cosθ=4sin（θ+φ），（其中tanφ=）．∴当sin（θ+φ）=1时，|AB|+|AC|取得最大值．∴|AB|+|AC|的最大值为4．故答案为：4．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．【解答】证明：（1）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，∵OM⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，∴OM∥平面PAB；（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）解．（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d∵a2=5，a4+a6=22，∴，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）∴a n=2n+1，．…（6分）（Ⅱ）∵f（x）=，b n=f（a n），∴，…（7分）∵a n=2n+1，∴，∴=，…（9分）T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣+﹣+…+﹣）…（11分）=（1﹣）=，所以数列{b n}的前n项和T n=．…（13分）19．（12分）已知=（cosωx+sinωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=•，且f（x）的对称中心到f（x）对称轴的最近距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，当ω取最大值时，f（A）=1，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=m•n==（3分）∵ω＞0，∴函数f（x）的周期，由题意知，即，又ω＞0，∴0＜ω≤1．故ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}（6分）（Ⅱ）由（I）知ω的最大值为1，∴．∵f（A）=1，∴．而，∴，∴．（9分）由余弦定理可知：，∴b2+c2﹣bc=1，又b+c=2．联立解得：或．∴．（13分）20．（12分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，其中AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求几何体ABCD﹣A1C1D1的表面积；（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵=，∴AA1=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分），设AC1的中点H，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴表面积S=3×8+4+2+6=36﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQD1，∴C1D⊥平面A1PQCD1且A1P⊂平面A1PQD1，∴A1P⊥C1D．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴，∴C1Q=1，又∵PQ∥BC，∴．∵四边形A 1PQD1为直角梯形，且高，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【解答】解：（1）由题意知，该产品售价为万元，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，∴，∵（其中0≤x≤a，a为正常数），∴y=2×﹣10﹣2×（3﹣）﹣x=16﹣x﹣，∴（0≤x≤a），∴该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为（0≤x≤a）；（2）由（1）可知，（0≤x≤a），∴，当且仅当时取等号，∵0≤x≤a，①当a≥1时，x=1时，y取得最大值为13，∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；②当a＜1时，，∴，解得﹣3＜x＜1，∴在（﹣3，1）上单调递增，∴在[0，a]上单调递增，∴在x=a时，函数有最大值，∴促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综合①②可得，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，当a＜1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．22．（14分）已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x ）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。