广东省惠东中学2012届高三第二学期第一次月考(数学理)

FCBAED 广东省惠东中学2012届高三第二学期第一次月考数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{|}A x y x Z ==∈，则A ．i A ∈B ．2i A ∈C ．3i A ∈D ．4i A ∉2．已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，则tan 2α的值为 A.45 B. 34 C. 43 D. 233．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3xf x m =+（m 为常数），则3(log 5)f -的值为A. 4B.4-C.6D. 6-4．双曲线2213x y -=的一个焦点到它的渐近线的距离为 A. 1D.25．“2a =”是 “函数()2xf x ax =-有零点”的．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．如图，已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，则()BA BC CF ⋅+的值为A. 34C. 32D.32-第6题图7．已知向量(,1),(2,)a x z b y z =-=+ ，且a b ⊥ ，若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为A.1B.2C.3D.4 8．已知函数()|1|()f x x x x R =-∈,则不等式1()4f x >的解集为 A.1(,)2--∞ B.1(,)2+∞C.11(,22+D.1()2+∞二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．P小时平均浓度/立方米）60/340/320/3（一）必做题（9－13题） 9. 设 i 是虚数单位，若复数1a ii+-为纯虚数，则实数a 的值为 . 10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且151,9a a ==，则6S = .11．近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀 升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中的pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）.右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有 天“pm2.5”含量不达标． （第11题图）12．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的选法共有 种．（用数字作答）13．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为6体积的最大值为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选做题) 直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆 35cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩()θθπ∈为参数,[0,2)所截得的弦长为 .15．(几何证明选讲选做题)如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 和割线PBA ，已知PC=2PB ，BC =,则AC 的长为 ____ ． 第15题图三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos(),f x x x x R π=+-∈．(1) 求函数()f x 的最小正周期； (2) 求函数()f x 的最大值和最小值；(3) 若1(),(0,)42f παα=∈，求sin cos αα+的值．17. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.（1）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：FED P等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知该厂生产一件该产品的利润y （单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：1,352,574.7y ξξξ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X ，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望．18. （本小题满分14分） 已知函数321()2,3f x x bx x a =-++2x =是()f x 的一个极值点. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若当[1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）如图①边长为1的正方形ABCD 中，点E 、 F 分别为AB 、BC 的中点，将△BEF 剪去，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点P 得一三棱锥如图②示. （1）求证：PD EF ⊥;（2）求三棱锥P DEF -的体积； ① ② （3）求DE 与平面PDF 所成角的正弦值． 第19题图20．（本小题满分14分） 已知定点A （-3,0），MN 分别为x 轴、y 轴上的动点（M 、N 不重合），且MN AN ⊥,点P 在直线MN上，32NP MP = .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是曲线228150x y x +-+=上任一点，试探究在轨迹C 上是否存在点T ？使得点T 到点Q 的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知113x =，21n n n x x x a +=+-．（n N *∈，a 为常数） （1）若14a =，求证：数列1lg()2n x ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）在（1）条件下，求证：51(),()62n n x n N *≤-∈； （3）若0a =，试问代数式2011111n n x =+∑的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明．数学试题(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一．选择题：BCBA ACCD解析：1．∵{1,0,1}A =-,21i =-，故选B. 2．依题意知：1tan 2α=，从而22tan 4tan 21tan 3ααα==-,选C.3．由()f x 是定义在R 上的奇函数得(0)101f m m =+=⇒=-，3log 533(log 5)(log 5)(31)f f -=-=--4=-,选B.4．双曲线的一个焦点为(2,0)，一条渐近线方程为y x =，1=，选A.5．若2a =，则函数()2x f x ax =-必有零点，反之函数()2xf x ax =-有零点，a 未必为2.故选A.6．由余弦定理得||BF =,3()12BA BC CF BA BF ⋅+=⋅== ,选C.7.∵a b ⊥∴2()02x z y z z x y -++=⇒=+，点(,)x yx当直线2z x y =+过点（1,1）时，Z 取得最大值，max 213z =+=，选C. 8．在同一坐标系内作出函数()|1|f x x x =-和14y =的图象如图， 利用数形结合易得答案选D.二．填空题：9. 1a =；10. 36；11. 27；12. 30；13.π． 14. 15. 解析：10．易得661611,3()36a S a a ==+=. 11．该市当月“pm2.5”含量不达标有801001601206020()0.0053027333333+++++⨯⨯=（天）; 12．间接法.2222444230C C C C ⋅-=（种）；直接法：分成两类：有一门相同的有111432C C C 种，两门相同的有24C 种，至少一门相同有1112432430C C C C +=（种）13．由三视图知，该几何体为圆柱，设其底面的半径为r ，高为h ，则42623r h r h +=⇒+=，2V r h π=3()3r r h ππ++≤=（当r h =时“=”成立）或2V r h π==2(32)r r π-， 2'[2(32)2]6(1)V r r r r r ππ=--=-，令'0V =得1r =，当(0,1)r ∈时，'0V >,当(1,)r ∈+∞时，'0V <，故当1r =时，V 有最大值，max V π=，14．把直线和圆的参数方程化为普通方程得,01=++y x 22(3)(1)25x y -++=，于是弦心距,223=d弦长l ==15.∵,PCB PAC CPB APC ∠=∠∠=∠ ∴PBC ∆∽PCA ∆∴12PB BC BC AC PC AC AC =⇒=⇒= 三．解题题：16．解：（1）∵()sin cos ),4f x x x x x R π=--∈--------------2分∴函数()f x 的最小正周期2T π=--------------------------3分（2）函数()f x ．----------------------5分 （3）解法1：由1()4f α=得1sin cos 4αα-=∴21(sin cos )16αα-=，----------------------------------6分 1151sin 2,sin 21616αα-==---------------------------------------7分∴21531(sin cos )1sin 211616ααα+=+=+=--------------------------9分∵(0,)2πα∈，∴sin cos 0αα+>∴sin cos αα+=．---------------------------------------------------------------12分 【解法2：由1()4f α=1)sin()444ππαα-=⇒-=------------------------6分∵(0,)2πα∈ ∴444πππα-<-<∴cos()04πα->----------------7分∴cos()4πα-===分 ∴sin cos cos()4πααα+-)4πα------------------------11分=分】 17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件---------------------------------------------------------------------------------3分 ∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2，------4分 二等品的频率为90.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；-------------------5分 三等品的频率为150.530=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．-------------6分 (2)∵X 的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得(1)0.5P X ==,(2)0.3P X ==,(4)0.2P X ==-----------8分∴可得X 的分布列如右：-------------------------------------------10分 其数学期望10.520.340.2 1.9EX =⨯+⨯+⨯=(元)---------12分18．解：（1）∵2'()22f x x bx =-+且2x =是()f x 的一个极值点∴'(2)4420f b =-+=32b ⇒=，-------------------------------2分 ∴2'()32(1)(2)f x x x x x =-+=--------------------------------4分由'()0f x >得2x >或1x <，∴函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞，(2,)+∞；----6分 由'()0f x <得12x <<，∴函数()f x 的单调减区间为(1,2)，--------------------------8分PDE FMFEDP（2）由（1）知，函数()f x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 ∴当2x =时，函数()f x 取得最小值，min ()(2)f x f ==23a +，---------------------10分 [1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立等价于2min 2(),[1,)3a f x x <-∈+∞-----------12分即2001a a a -<⇒<<。