14-高数-第九章--练习题A (2)-014
高等代数第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ijy x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等数学练习题第九章及答案
高等数学练习题第九章及答案练习9.1.11．观察一次打靶试验中击中的环数，若击中1环记为{1}，并设A={奇数环}， B={小于9环}，求Ω，A+B ，AB ，A +B ．【解】Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A+B ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ， AB={1,3,5,7} ，A +B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,10}．2．一位工人生产3件零件,设i A ＝{第i 个零件是不合格品}（1,2,3i =）.请用诸i A 表示如下事件:(1) 全是合格品; (2) 全是不合格品;(3) 恰好有一个零件是不合格品; (4) 至少有一个零件是不合格品.【解】(1) 123A A A ；(2) 123A A A ；(3) 123123123A A A A A A A A A ++；(4) 123A A A ++. 练习9.1.21．一个小停车场有20个停车位，现在有6辆车需停在该停车场，有多少种不同的停放方法？【解】620P =20⨯19⨯18⨯17⨯16⨯15＝27907200(种)2．学校举办一场十佳歌手赛，现从班上报名的15个同学中选取2个参加，共有多少种选法？【解】215151410521C ⨯==⨯(种) 3．10个螺丝钉中有3个是坏的，从中随机抽取4个，求： （1）恰好有两个是坏的概率； （2）4个全是好的概率．【解】设A ＝{恰好有两个是坏螺丝钉}，B ＝{ 4个全是好螺丝钉}，(1)因4221037210,63,A n C m C C ====所以3()10A m P A n ==；(2)又4735B m C ==，故1()6B m P B n ==．练习9.1.31．甲、乙两批种子发芽率分别是0.7和0.8，现从这两批种子中随机地各取一粒，求下列事件的概率：(1)两粒种子都发芽； (2)至少有一粒种子发芽.【解】设A ＝{甲的种子发芽}，B={乙的种子发芽}，由于两粒种子是独立地发芽，所以(1) ()()()P AB P A P B ==0.7⨯0.8=0.56；(2) ()()()()P A B P A P B P AB +=+-= 0.7＋0.8－0.56＝0.94．2．在200名学生中选修统计学的有137名，选修经济学的有50名，选修计算机的有124名．还知道，同时选修统计学与经济学的有33名，同时选修经济学与计算机的有29名同，同时选修统计学与计算机的有92名，三门课都选修的有18名．试求200名学生中在这三门课中至少选修一门的概率．【解】设A ＝{选修统计学}，B ＝{选修经济学}，C ＝{选修计算机}，则 D ＝{至少选修一门}=A+B+C ，所以()()()()()()()()P D P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ ＝137200＋50200＋124200－33200－29200－92200＋18200＝78（＝0.875）． 3．某射手的命中率为0.95，他独自重复向目标射击5次，求他恰好命中4次的概率以及至少命中3次的概率.【解】恰好命中4次的概率44155(4)(0.95)(0.05)0.2036P C =≈；至少命中3次的概率555(3)(4)(5)P P P ++=332441550555(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)C C C ++≈0.9987．练习9.2.11．已知随机变量X 只能取－1，0，1，2这四个值，其相应的概率依次为1232,,,2448c c c c，求常数c 的值．【解】 因11k k p ∞==∑，所以1232122448c c c c c+++=⇒=． 2．某银行举行有奖储蓄活动，现发行有奖储蓄券10万张，其中一等奖100张，二等奖500张，三等奖2000张，现任抽一张储蓄券，试求中奖等级X 的分布律．【解】若不中用{X =0}表示，其概率表示为{}00p P X ==， 根据题意X 为随机变量，其可能取值为0，1，2，3．{}1510010.00110p P X ====， {}2550020.00510p P X ====， {}35200030.0210p P X ====， {}001(0.0010.0050.02)0.974p P X ===-++=．则0k p ≥(0,1,23k =，)，且31k k p ==∑．故随机变量X 的分布律为3．某观众拨打电视台热线电话参与活动，已知拨通电话的概率为0.4%，求观众拨打300次至少拨通1次电话的概率．【解】{至少拨通1次电话}的对立事件是{拨通0次电话}所求概率为1－00300300(0.004)(0.996)C 1≈．（本题的结果可借助软件Excel 来求得）练习9.2.21．求0－1分布的分布函数．【解】由于0－1分布的分布律为：1{}(1)k k P X k p p -==-，0,1k =．当0x <时，(){}()0F x P X x P ==∅=≤；当01x <≤时，(){}{0}1F x P X x P X p ====-≤； 当x ≥1时，(){}{0}{1}11F x P Xx P X P X p p ===+==-+=．综合以上结果，则有00,()101,1 1.x F x p x x <⎧⎪=-<⎨⎪⎩，，≤，≥2．已知连续型随机变量X 的概率密度为()0kx x f x ≤≤⎧=⎨⎩，03, ，其它.求（1）系数k ；（2）{12}P X <≤．【解】（1） 由概率密度的性质，得32039()1022x kf x dx k xdx k +∞====-∞⎰⎰， 解得29k =， 所以2,03()90,x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.（2） 221{12}193P X xdx <≤==⎰．.3．设~(0,1)X N ，查表求 (1) {}2P X ≤；(2) {}1P X >-；(3){}0.5P X <． 【解】(1) {2}(2)0.9772P X ≤=Φ=；(2) {1}1(1)(1)0.8413P X >-=-Φ-=Φ=；(3) {}0.5(0.5)(0.5)2(0.5)120.691510.383P X <=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=. 4．设2~(1,2)X N ，查表求 (1) {}1P X ≤；(2) {}3P X <．【解】（1）{}111()(0)0.52P X -≤=Φ=Φ=；（2）{}3{33}P X P X <=-<<3131()()22---=Φ-Φ (1)1(2)=Φ-+Φ＝0.8413－1＋0.9772＝0.8185．练习9.2.3某企业生产某种产品，生产出来后畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3．现有二种方案：（1）扩大工厂的规模，如果产品畅销可盈利700万元，滞销则亏损300万元；（2）不改变工厂规模，如果产品畅销可可盈利400万元，滞销则亏损100万元．试用决策矩阵表和决策树的方法选择一种最佳方案．【解】（1）用决策矩阵表的方法根据题意，建立如下损益矩阵表（单位：万元）从表可见，根据期望收益值最大的决策准则，选用扩大工厂规模的方案． （2）用决策树的方法由题意，画出对应的决策树如图所示.比较状态点B ，C ，显然扩大工厂规模的数学期望值大，即400＞250，点B 和决策点R 之间的方案枝所代表的方案即为所选的最优方案，点B 的期望值即为决策的效益期望值．最后将状态点C 剪掉，采用扩大工厂规模的方案．练习9.3.11、求满足{}0.05P U λ≥=的U 分布的临界值λ.【解】由0.05α=得，()10.97520.05λΦ=-=，查标准正态分布表得 1.96λ=.2、求满足{}0.01,P T λ≥=10n =的t 分布的临界值λ. 【解】根据0.01α=，19n -=，查t 分布临界值表得 3.25λ=.3、求满足{}2120.95P λχλ<<=，15n =的2χ分布的临界值12,λλ.【解】由已知114n -=，0.05α=.计算{}2110.9752P αχλ>=-=，查2χ分布临界值表得1 5.629λ=；计算{}220.0252P αχλ≥==，查2χ分布临界值表得226.119λ=.练习9.3.21．乳业有限公司生产的袋装牛奶是用自动包装机包装的．每袋牛奶净含量X 服从正态分布2(,)N μσ，今从一批装好的牛奶中随机地抽取8袋，测其牛奶的净含量（单位：ml ）如下：499.5，500，498.5，501.5，500.5，500.5，499.5，500.5.试估计这批牛奶净含量的均值μ与方差2σ．【解】499.5+500+498.5+501.5+500.5+500.5+499.5+500.5500.06258x ==，82221111()(500.0625)0.8169617n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑， 所以2ˆˆ500.0625,0.81696μσ==． （本题的结果可借助软件Excel 来求得）2．已知某种电子元件的寿命服从正态分布2(,)N μσ，现随机抽取10个，测得各电子元件的寿命(单位：小时)如下：3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260试估计这种电子元件寿命的均值μ与方差2σ．【解】3100+3480+2520+3700+2520+3200+2800+3800+3020+3260314010x ==，102221111()(3140)198133.333319n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑， 所以2ˆˆ3140,198133.333μσ==． （可利用软件Excel 帮助计算）练习9.3.31．设随机变量X 服从正态分布，即2~(,2.8)X N μ，已知一个容量为10的样本，其样本均值1500x =，求总体均值μ的置信区间（置信水平为0.95）.【解】根据题意2~(,2.8)X N μ，总体方差2σ已知，求总体均值μ的置信区间， （1）因10.95α-=，则0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=； （2）由已知，1500x =，10n =， 2.8σ=，计算得1501.7355x =，1498.2645x =（3）所以μ的置信水平为95%的置信区间为(1498.2645,1501.7355).2．某保险公司要估计去年投保人的平均理赔额，随机地抽取25个投保人，得理赔均值为739.98元，标准差为312.70元，已知理赔额2~(,)X N μσ，试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间．【解】根据题意知2~(,)X N μσ，总体方差2σ未知，求总体均值μ的置信区间， （1）因195%α-=，0.05α=，25n =，查t 分布临界值表得 2.064λ=； （2）由已知，739.98x =，312.70s =；计算区间端点值869.06256,x=610.80744x =（3）所以μ的置信水平为95%的置信区间为（610.80744，869.06256）.3.某超市连续统计了十二个月的销售额（单位：万元），得方差20.305s =，如果销售额2~(,)X N μσ，试求方差2σ的置信水平为95%的置信区间.【解】根据题意2~(,)X N μσ，总体均值μ未知，求总体方差2σ的置信区间， （1）因195%α-=，0.05α=，111n -=，查2χ分布临界值表得1 3.816λ=，221.92λ=； （2）由已知，20.305s =，计算区间端点值21(1)n s λ-＝0.8792，22(1)n s λ-＝0.1531；（3）所以2σ的置信水平为95%的置信区间为（0.1531，0.8792）.。
高等数学课后习题答案--第九章
9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)
高等数学第九章习题解答
习题9.11. 计算曲线积分22(),LI x y ds =+⎰其中L 是中心在(,0)R 、半径为R 的上半圆周.解 由于上半圆周的参数方程为(1cos )sin x R t y R t=+⎧⎨=⎩(0),t π≤≤ 所以 I 22()Lx y ds =+⎰22220[(1cos )sin ]R t R t π=++⎰32(1cos )Rt dt π=+⎰32[sin ]R t t π=+32.R π=2.计算半径为R , 中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度1ρ=).解 取坐标系,则2.LI y ds =⎰为计算方便, 利用L 的参数方程cos ,x R t =sin y R t =().t αα-≤≤故 2LI y ds =⎰22sin R ααθ-=⎰32sin R tdt αα-=⎰3sin 222R t t αα-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 3(2sin 2)2R αα=-3(sin cos ).R ααα=- 3. 计算Lyds ⎰, 其中积分弧段L 是由折线OAB 组成, 而(1,0),A (1,2).B解 在OA 上，0,y =,ds dx = 所以 0.OAyds =⎰在AB 上，1,x =,ds dy =所以AByds ⎰2ydy =⎰ 2.=从而OAByds ⎰yds yds =+⎰⎰02=+ 2.=4.LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解 L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是24cos I ππθ-=⎰24cos (1d ππθθ-==⎰． 5.(1)Lx y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解 L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ===，故 13(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ===． 故xyoABC1(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰，同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0d s =，则103(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ 6.2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解 如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤ds =2dt =， 故12 000220x yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则 ,ds dt == 故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t ===+(01)t ≤≤，则ds =， 故11222 0 012(2) (2)CD x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰所以 2222 L AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds =++=⎰⎰⎰⎰7. 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2LM x ds =⎰，其中:ln (0)L y x a x b =<≤≤．则L 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩ (0)a x b <≤≤， 故ds ===，所以3221[(1)]3b aaM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+． 习题9.21 设L 为xOy 面内一直线=y b （b 为常数），证明(,)0=⎰LQ x y dy 。
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
《高等数学教学课件》第9章单元测试题
题目3
计算定积分$int_{0}^{1} x^2 dx$。
难度提升解答题
02
01
03
题目4
求函数$y = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$的单调区间。
题目5
求函数$y = ln(x^2 + 1)$的渐近线。
题目6
计算二重积分$int_{0}^{1} int_{0}^{x} x^2 y dy dx$ 。
《高等数学教学课件》第9章 单元测试题
目
CONTENCT
录
• 测试题一：选择题 • 测试题二：填空题 • 测试题三：解答题 • 测试题四：证明题 • 测试题五：计算题
01
测试题一：选择题
基础知识选择题
总结词
考察学生对基础知识的掌握程 度
详细描述
这部分选择题主要考察学生对 第9章中涉及的基本概念、定 理和公式的理解和记忆，难度 较低。
综合应用解答题
题目7
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$，求函数在区间$( infty, a)$上的最大值和最小值。
题目8
求函数$y = frac{1}{x}$和$y = x + 1$的交点坐 标。
题目9
计算三重积分$int_{0}^{1} int_{0}^{1} int_{0}^{1} xyz dxdydz$。
4. 利用多重积分和微分几何知识 ，证明几何图形的面积和体积公 式，并解决一些几何问题
05
测试题五：计算题
基础知识计算题
总结词：考察基本概念和 运算能力
2. 计算定积分$int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx$。
1. 求函数$f(x) = x^3 3x^2 + 2x$的单调区间。
高等数学第9章试题[大全]
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高等数学第9章试题[大全]第一篇：高等数学第9章试题[大全]高等数学院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______ 题号选择题填空题计算题证明题其它题总分型题分 20 20 20 20 20 核分人得分复查人一、选择题（共 20 小题，20 分）1、设Ω是由z≣及x2+y2+z2≢1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是A.I1>I2>I3;B.I1>I3>I2;C.I2>I1>I3;D.I3>I2>I1.答()2、设f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为答（）3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于(A)(B)(C)(D)答（）4、设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≢1;|y|≢1;|z|≢1.I=a,b,c为常数，则(A)I>0(B)I<0(C)I=0(D)I的符号由a,b,c确定答（）5、设Ω为正方体0≢x≢1;0≢y≢1;0≢z≢1.f(x,y,z)为Ω上有界函数。
若，则(A)f(x,y,z)在Ω上可积(B)f(x,y,z)在Ω上不一定可积(C)因为f有界，所以I=0(D)f(x,y,z)在Ω上必不可积答()6、由x2+y2+z2≢2z,z≢x2+y2所确定的立体的体积是(A)(B)(C)(D)答（）7、设Ω为球体x2+y2+z2≢1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=(A)4(C)2x2yzf(x,y2,z3)dv(D)0 x2yzf(x,y2z3)dv(B)4x2yzf(x,y2,z3),则I= x2yzf(x,y2,z3)dv答()8、函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分存在的(A)充分必要条件；(B)充分条件，但非必要条件；(C)必要条件，但非充分条件；(D)既非分条件，也非必要条件。
高数答案第9章
第9章（之1） （总第44次）*1． 微分方程7359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ）解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了x C x C y 2sin 12cos 2++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．*3．在曲线族 xxec e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由xxe c e c y -+=21， xx ec e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(21x x e e y --=，即x y sinh =．*4．证明：函数y e x x =-2333212sin 是初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x yx y 的解．证明 '=-+--y e x e x x x 3332321212sin cos ，''=----y e x e x x x 3332321212sin cos ，代入方程得 ''+'+=y y y 0， 此外，，1)0(0)0(='=y y 故y e x x =-2333212sin 是初始值问题的解．*5．验证y e e t Ce x t xx=+⎰20d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y ye x x 2的通解．证明 '=+⋅+⎰y ee t e e Ce xt xx x x 220d =++ye x x 2， 即 2x x e y y +=-'，说明函数确实给定方程的解．另一方面函数y ee t Ce xt x x=+⎰2d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）31+=Cx y ；解 将等式31+=Cx y 改写为13+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='23，代入上式，即可得到所求之微分方程为1332-='y y xy ． （2）xC x C y 21+=． 解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得221x C C y -='，322xC y =''． 从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为02=-'+''y y x y x ．**7．建立共焦抛物线族)(42C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．解 在方程)(42C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．解 任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dxdy ． 所以过点),(y x 的法线斜率为y '-1， 法线方程为y Y -=y '-1)(x X -， 因为法线过原点，所以=-y 0y '-1)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．第9章（之2）（总第45次）教学容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：（1）21)1(x y x y +-='；解： 分离变量21d 1d x x x y y +=-，两边积分⎰⎰+=-21d 1d x xx y y ， 得C x y ln )1ln(21)1ln(2-+=--，即211xC y +-=． （2）222y x e yx y -='； 解：分离变量x xe y ye x y d d 222=，两边积分就得到了通解)d (21222x e xe e x x y ⎰-=c e xe x x +-=)21(2122．（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．解： 12d 42d +-=-x xe y e y y ，C x e y ln 21)12ln(21)2ln(21++-=-， 即 ()()e x C y-+=221．**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，)1)(1(y x y --='，x x y y d )1(1d -=-，并积分 x x y yd )1(1d -=-⎰⎰ 得c x x y +-=--221)1ln(，所求通解为 x x ce y -+=2211．解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=221．代入原非齐次方程得x e C x x -='-1221，解得○2C eC x x +=-221，○2代入○1即可得原方程的通解xx Cey -+=2211．*3．求解下列初值问题：（1）21x yy -='，6)21(πe y -=．解：Θy '=21xy -，∴21d d xx y y -= (0≠y )， 21d d xx y y -=⎰⎰，∴C x y +=arcsin ln ， ∴ x Ce y arcsin =，Θπ6)21(e y -=，∴21arcsin 6Ce e =-π，∴1-=C ， ∴ x e y arcsin -=．（2）22x e xy y -=+'，1)0(=y ；解: Θ22x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2)(x e x q -=，=∴)(x y ⎰-xx ed 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 222x e -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， Θ 1)0(=y ， 101=⇒+=∴c c ， 2)1(x e x y -+=∴．（3）xex y y cos cot =+'，1)2(=πy ；解： Θ xex y y cos cot =+'， ∴x x P cot )(=，xex Q cos )(=．∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x C y xx x x x d e e e d cot cos d cot )d e e (e sin ln cos sin ln ⎰+=-x C x x x)d sin e (csc cos ⎰+=x x C x x x C xcsc )e(cos -=，由1)2(=πy ， 可确定 2=C ，所以x y x csc )e 2(cos -=．（4）0d )12(d 2=+-+x x xy y x ，01==x y ．解： 方程变形为 2112xx y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=⎰-dx ex x c e y dx x dx x 222)11( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰dx x x x c x 222)11(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x x c x22211x xc 1212-+= 由 0)1(=y ， 得 21=c ， 所以特解为：x xy 121212-+=．**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）． 解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为yx y y dy dx 1ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中yy Q y y y P 1)( ,ln 1)(==代入一阶线性方程求解公式，得通解 1e 1)ln(ln )ln(ln ln 1ln 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰--dy e y c dy ey c e x y y dy y y dy y y y y c dy y y c y ln 21ln ln ln 1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰．**5．求满足关系式)(d )(22x y x u u uy x +=⎰的可导函数)(x y ．解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x y x()d d =+2，即d d yxxy x -=-2，分离变量得d d y y x x -=2，积分得y Ce x =+222，在原方程两边以2=x 代入，可得初试条件22-==x y．据此可得14--=e C ，所以原方程的解为 24122+-=-x e y ．**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系． 解：根据牛顿运动第二定理有kv mg tvm -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得--=+1k mg kv tmC ln()． 由初始条件0)0(=v ， 得)ln(1mg k C -=，即得 v mg k e kmt =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1．**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ． 解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '-1，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为 y y x X '+= ．据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线C x k y =-+22)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求曲线方程为 y k x 2211+-=()．***8．求与抛物线族2Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程． 解：在给定曲线2cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消去c 得x y y k 20='=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程xyy 2='． 设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程yx y 2-='． 这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2221，即椭圆族c x y =+2221． ***9．作适当变换，求微分方程 1224+-='-x e y y的通解． 解 原方程可化为4122=++'y ye x y e ，在换元y e z =下方程可化为4122=++'x zz ，这是一个一阶线性方程，其通解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎰+⎰+-⎰x eC ez x xx xd 412d 212d 2}44{1212x x C x +++=．***10．作适当变换，求微分方程 d d tan y x y x y y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪2122的通解．解：令ux y =2，代入方程整理得 xxu u d tan d =，积分得 Cx u =sin ，以 x y u 2= 代入上式，即得原方程的通解： Cx xy =2sin ．第9章 （之3） （总第46次）教学容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．**1．求下列微分方程的通解：(1) )ln ln 1(d d x y xyx y -+=； 解： Θ )ln ln 1(d d x y x y x y -+=， ∴ dx dy =x y (1+xyln )，这是一个一阶齐次型方程．令 xyu =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．分离变量x dx u u du =ln ，并积分⎰⎰=xdxu u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =． 以 xy u =代入，得所求的通解为cxxe y =．（2）()arctan xy y yxx '-=． 解：方程可化为xy xy y arctan1+='，这是一个一阶齐次型方程．令 x y u =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为ux u x arctan 1d d =，这是一个可分离变量方程．分离变量后积分得 x u Ce u u 12+=arctan ．以 xy u =代入上式得原方程的通解：x y Cey x yx 22+=arctan ． **2．求解下列初值问题：（1）0d )2(d 22=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解． 解: Θ 0d )2(d 22=+-y y x x xy ，dy dx =x y y x +2， 令 yxu = ， 则 u u dy du yu 12+=+， u u du 1+=y dy ， ∴⎰+uu du 1=⎰y dy，c y u ln ln )1ln(212+=+∴， cy u =+∴12， 即 2221y c u =+ ， 代回即得22y x +1=22y c ， 1)2(=y Θ， ∴52=c ， 因此 22y x +=54y ．（2）⎩⎨⎧==-++=.0,0d )(d )(0x y y y x x y x解：原方程可表为11d d -+=-+=x y x yx y y x x y ，令 x y u =，u x u y '+='， 代入方程，有 11-+='+u uu x u ，即 121d d 2--+=u u u x u x ， 分离变量x x u uu u d 1d 2112=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(212-=-+- ⇒通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程)(222111c y b x a c y b x a f y ++++='在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程)(d d 2211sb t a s b t a f t s++=． 并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．证明：令⎩⎨⎧+=+++=++s b t a c y b x a sb t ac y b x a 2222211111 1221b a b a ≠Θ，∴可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112212112b a b a c b c b h b a b a c a c a k解：0)32()12(=++++dy y x dx y x Θ，令⎩⎨⎧-=+=32x t y s ⎩⎨⎧==⇒x t ys d d d d[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，ts t sdt ds dtdst s t s 32210)32(21++-=⇒=+++⇒， 令dt dutu dt ds t s u +=⇒=， 23)1)(13(3221+++-=⇒++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ， ⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∴-=+++⇒t dtdu u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(21+-=++即，c tst s t ct u u =++⇒=⋅++∴)13)(1()13)(1(，c x xy x y c x y x y x 243)3631)(321()3(22=+++⇒=-++-++-∴．**4．求下列微分方程的通解（1）0ln 2=+-'x y y y x ；解： 0ln '2=+-x y y xy Θ xxy x y y ln 1'12-=-∴-- 令x x t x dx dt y t ln 11=+⇒=-， ,ln )Q( ,1)(xx x x x P ==∴ln 1 d ln )(d 1d 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=∴⎰⎰-xdx x x C x x e x x C e x t x x x x1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．解： Θ 0d d )2(=+-y x x xy y ， x y d d +y x 1=212y x， y y '-21+211y x =x 2， 21y u =，x u d d +x 21x u 1=， ∴x x P 21)(=，xx Q 1)(．∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x e x C e x u x x x x d 1)(d 21d 2121-=x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x x x C d 121[]x C x +=-21， ∴ []x C xy +=-2121， ∴xC x y +=．（3）'=-y y xy x 3222()解一：令u y =2，原方程化为： d d u x u x u x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-21，解此方程得 u Ce u x =， 以u y =2代入上式，原方程通解为 y Ce y x22=．解二：原方程写成d d x y y x yx -=-2232， 令x z -=1，则方程化为：322d d yz y y z =+， 则通解 z eC y e y yy y y =+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-⎰⎰⎰2322d d d ]ln 2[12y C y+= ， 故原方程通解：1122x yC y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：yxy y 2-='，1)0(=y ． 解：x y yy', xy y y 22'21-=-∴-=-Θ，令 x t dxdty t 42 2-=-⇒=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴， []12010211)0(1212 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=⇒++⨯=∴=++=∴++=++=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=∴----⎰⎰x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e xxe C e x e x C e x t xx x x x x x x x，Θ****6．作适当的变换求方程 12222212+⋅'=++x y y x y e x sin sin 的通解．解：原方程化为：12222212+=++x yxx y e x d sin d sin ，令z y =sin 2，得d d z x x x ze x x -+=++21122122，故 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=⎰⎰+-+⎰+x exeC ez xx x x x x x d 1d 12212d 12222)1ln(2121222x x eCex x +++=++原方程的通解为 sin ln()221212221y Ce e x x x x =+++++．***7．已知)(2d )(1)(2202x y x y y x+='+⎰ξξξ，求y x ()．解：两边关于x 求导得212yy y '-=-， 解得 y Ce x 21=+， 由yx ==00，求得C =-1，故原方程的解为：y e x21=-．***8．曲线过点(,)11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程． 解：x y x x yy y 22211+=+'=(),(), 212yy xy x '-=- 令y z 2=，解得z y x C x ==-2()由y ()11=， 得 C =2， 曲线方程为： x y x 222+=．***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器的水才会完全流尽？解：设在时刻t 时， 容器中液面高度)(t h ，则经过t ∆后液面高度为)(t t h ∆+， 于是有t t gh A t t h t h r ∆=∆+-)(2))()((2απ，即 22)()(rghA t t h t t h πα=∆-∆+-， 令0→∆t ， 得⎪⎩⎪⎨⎧==-200)0(2d d 2h gh r At h πα解得 200222+=t g rAh πα， 代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4π=A ， 62.0=α， 得10304=t （秒）．第9章 （之4）（总第47次）教学容：§9.3可降阶的高阶微分方程**1．解下列问题：（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是 （ ） （A ）y x =-()12（B ）y x =+-()122142（C ）y x =-+121122() （D ）y x =--()12542解：（C ）（2）．微分方程''-'=y yy 203满足条件'=-=y y (),()0101的解是 （ ）（A ）y x 3313=+（B ）x y 331=- （C ）y x 3313=-+（D ）x y 331=-+ 解：（C ）**2．求下列微分方程的通解． （1）0='+''y y x ；解： Θ 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程， 令 y p '= ⇒ y ''x p d d =∴0=+'p p x ， ⇒p p d =xxd -，⇒⎰⎰-=x xp p d d ⇒ 1ln ln ln C x p +-= ⇒xC p 1=， ∴=xy d d x C 1， x x C y d d 1=， ⎰⎰=x x C y d d 1 ，21ln C x C y +=． （2）()1212+''+'=x y xy ； 解：''++'=+y x x y x 211122， '=++y x x C 1121()， y x C x C =+++121212ln()arctan．（3）()02='+''y y y ；解：∵()02='+''y y y ， 令 y p '=， 则 yppy d d =''，代入方程有 0d d 2=+⋅⋅p ypp y ， 0)d d (=+⋅⇒p ypy p ， 因为求通解，所以 p 满足 0d d =+⋅p ypy ． 由⎰⎰-=⇒-=y yp p y y p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=⇒+-=⇒， ⎰⎰'=⇒'=⇒'=⇒x C y y x C y y yC x y d d d d d d 111 212C x C y +=⇒． ∴ 通解：212C x C y +=． （4）()1222+''='y y yy解：令：'=''='y p y y pp (),，得()1222+⋅'=y p p p y ， 即d d p p yy y =+212， 得 p C y =+121()，所以 d d yyC x 121+=，通解为：arctan y C x C =+12．第9章 （之5）（总第48次）教学容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解． 所以成立下式：)2()()()()1()()()(222111x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''将 (1)、(2) 两式相减，得)3(0))(())(()(212121=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y(2) 式可写为0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，所以 21y y - 是齐次方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．***2．已知23211,1,1x y x y y +=+==是方程22222xy x y x y =+'-''的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．解：按（1）证明可知 21312,x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程0222=+'-''y xy x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解． 所以原方程的通解可以表示为：1221++=x C x C y ．*3．验证：22,t t e e -是微分方程''-'-=x tx t x 1402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．证明：因为()()222241t t t e t e t e -'-"0421********=-⨯-+=t t t t e t te te t e ，()()2222"41t t t e t e t e ----'-=-+-⨯--=--241240222222e t e tte t e t t t t ()， 故22,t t e e -是方程的解，且≠=-2222t t t e ee 常数．于是22,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为2221t t e C e C x -+=，其中21,C C 为任意常数．*4．已知函数 x y e y x==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．解：方程的通解为 x c e c y x21+=，将初始条件代入，有：，，0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x解得21,c c 为： 1,121-==c c ，所以特解为：x e y x -=．**5．设x t 1()是非齐次线性方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1211的解．x t 2()是方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1222的解．试证明 x x t x t =+12()()是方程''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()()12123的解．解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以)1()()()()()()(112111'≡+'+''t f t x t a t x t a t x''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()()()12'+'得：()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +='++'++"+即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．第9章 （之6）（总第49次）教学容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法**1．解下列问题：（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________．解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________． 解：)4sin 4cos (213x c x c e y x+=-．（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________． 解：x xC C y 5231e e +=．（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________． 解：)(21515C x C e y x +=-．（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx+=，则=p ___，=k _____． 解：11，3-．**2．求解下列初值问题：（1）0)1(,)1(,01684='==+'-''y e y y y y ；解：∵0)4(16822=-=+-λλλ， ∴421=，λ， 通解为：xe x c c y 421)(+=．将初始条件代入，有 4421)()1(e e c c y =+=，04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x得到：4521-==c c ， 所以特解为：x e x y 4)45(-=．（2）3)2(,1)2(,0294='==+'+''ππy y y y y ； 解：02942=++λλ， i i5221042116164±-=±-=-±-=λ，通解为：)5sin 5cos (212x c x c ey x+=-．代入初始条件有： πππe c c ey =⇒=+=-221)0()2(，)5cos 55sin 5()5sin 5cos (2)2(212212x c x c e x c x c ey x x+-++-='--π，得：πe c -=1． 特解为：)5sin 5cos (2x x e y x+-=-π．（3）10)0(,6)0(,034='==+'+''y y y y y ；解： 0342=++λλ， 0)3)(1(=++λλ， 所以通解为 x xe c e c y 321--+=．代入初始条件有：6)0(21=+=c c y ，1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，特解为：x xe ey 3814---=．**3．求解初值问题'++==⎧⎨⎪⎩⎪≥⎰y y y x y x x210100d ()解：将原方程对x 求导得 ''+'+=y y y 201()且有'=-=-y y ()()01201微分方程（1）的通解为：y e C x C x =+-()12，代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ， 故所求问题的解为：xe y -=．***4．设函数)(x ϕ二阶连续可微，且满足方程⎰-+=xu u u x x 0d )()(1)(ϕϕ，求函数ϕ()x ．解：原方程关于x 求导得⎰⎰=-+='xxu u x x x x u u x 0d )()()(d )()(ϕϕϕϕϕ,0)0(='ϕ，再求导得： )()(x x ϕϕ=''， 且由原方程还有：1)0(=ϕ，微分方程的通解为： xxeC e C x -+=21)(ϕ，代入条件0)0(,1)0(='=ϕϕ，得2121==C C ， 故所求函数为：x e e x x x ch )(21)(=+=-ϕ．***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：gx dt x d ρρ=22100， 即 010022=-x gdtx d ． 又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==-0)0(20)0(010022x x x gdt x d ， 解得方程的通解为：tg tgec ec x 102101-+=．又因为有初始条件： ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==1010020021'c c x x 所以 tg t gee x 10101010-+=．又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：tg tg e e 10101010100-+=，即： 510=t gch， 510arch gt =．***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期． 解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛顿第二定律：22222d d ()xtg g x gx =-+=- ， 其中g =980厘米/秒2其解为：x C g t C g t =+1222cossin ， 振动周期为 T g ==≈222490028ππ.．第9章 （之7）（总第50次）教学容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程x x y y sin =+''的一个特解应具有形式 （ ）（A ）()sin Ax B x +（B ）x Ax B x x Cx D x ()sin ()cos +++ （C ）x Ax B x x ()(cos sin )++ （D ）x Ax B C x D x ()(sin cos )++ 解：（B ）**2．设A B C D ,,,是待定常数，则微分方程''+=+y y x x cos 的一个特解应具有形式 （ ）（A ）Ax B C x ++cos（B ）Ax B C x D x +++cos sin（C ）Ax B x C x D x +++(cos sin ) （D ）Ax B Cx x ++cos 答：（C ）**3．求下列非齐次方程的一个解 （1）122+=-'-''x y y y ；解：∵ 022=--λλ， ∴1,22,1-=λ， 0Θ不是特征根．设 01b x b y p +=， 代入原方程，得：1222011+=---x b x b b ，有：1,010-=b b ，特解为：x y -=．（2）xey y y -=+'+''2．解： ∵ 1- 是二重特征根， ∴ 设 02b e x y xp -=， 0202b e x b xe y xxp ---='，02002022b e x b xe b e x b e y x x x x p----+--=''， 代入 xe y y y -=++'2''， 解得：210=b ，特解为：xe x y -=221．**4．求微分方程''-'+=y y y xe x32满足条件y y ()()000='=的特解． 解：特征方程0232=+-r r 的根为2,121==r r ，相应齐次方程的通解为x x h e C e C y 221+=，设特解为x p e B Ax x y )(+=，代入方程得： 1,21-=-=B A ． 故方程的通解为xxx e x x eC e C y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=22221，代入条件0)0()0(='=y y ，得1,121=-=C C ，因此所求特解为 x xe x x ey ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=1222．**5． 求下列非齐次方程的通解：)(2x f y y ='+''x x f e x f x x f x cos )()3,)()2,14)()12==+=；解：特征方程：022=+λλ， 特征根： 2,021-==λλ，所以方程0'2=+''y y 的通解为 xh e c c y 221-+=．1）对于方程14'2+=+''x y y ， 由于0是特征方程的单根，故设其特解为：x b x b y p )(10+=，代入方程有：14242100+=++x b x b b ，解得 21110-==b b ， 所以特解为：x x y p 212-=． 所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h 212221-++=+=-．2）对于方程xe y y 2'2=+'''，由于2不是特征方程的根，故设其特解为：02b e y xp =， 代入方程有：810=b ， xp e y 281=， 所以方程的通解为：x xp h e ec c y y y 222181++=+=-．3）对于方程：x y y cos '2=+'''，由于i ±不是特征方程的根，故设其特解为： x b x b y p sin cos 10+=， 代入方程有：x b x b y p cos sin '10+-=， x b x b y p sin cos "10--=，x x b x b x b x b cos cos sin 2sin cos 1010=+---， 得：525120=-=b b ， x x y p sin 52cos 51+-=，所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h sin 52cos 51221+-+=+=-．**6．求微分方程''-'+=y y y e x x6925sin 的通解．解：特征方程r r 2690-+=的根为r 123,=，相应齐次方程的通解为xh e x C C y 321)(+=设特解为y e A x B x p x=+(cos sin )，代入方程得：A B ==43,故方程的通解为 y C C x e e x x x x =+++()(cos sin )12343***7．已知曲线y y x x =≥()()0过原点，位于x 轴上方，且曲线上任一点),(00y x M =处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，直线x x =0所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．解：由已知y ()00=，且'=+'=⎰y y x x y xd ,()000，将此方程关于x 求导得''=+y y 1其通解为： y C e C exx=+--121 ，代入初始条件y y (),()0000='=，得 C C 1212==， 故所求曲线方程为：y e e x xx =+-=--1211()ch ．***8．设一物体质量为m ，以初速v 0从一斜面滑下，若斜面与水平面成θ角，斜面摩擦系数为μμθ(tan )0<<，试求物体滑下的距离与时间的关系．解：设t 时刻物体滑过的距离为S ，由牛顿第二定律m Stmg mg d d sin cos 22=-θμθ 且 S S v (),()0000='=方程的通解为S gt C t C =-++12212(sin cos )θμθ 代入初始条件得C v C 1020==,，故物体滑下的距离与时间的关系为S gt v t =-+1220(sin cos )θμθ***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m 的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k ，求物体的运动规律．解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，x 轴垂直向下，设t 时刻物体位于x t ()处，由牛顿第二定律： m xtkx mg d d 22+=， 且 0)0(0)0(='=x x ，． 方程的通解为： x C k m t C k m t m kg =++12cos sin ， 代入初始条件得C mkg C 120=-=,，故物体的运动规律为x mg k k m t =-⎛⎝ ⎫⎭⎪1cos．***10． 求下列方程的通解： （1）02)4(=''+'''-y y y；解： 02234=+-λλλ， 0)12(22=+-λλλ， 0)1(22=-λλ，所以通解为 x e x c c x c c y ）（4321+++=．（2）0365)4(=-''+y y y．解：036524=-+λλ， 0)9)(2)(2(2=++-λλλ，所以通解为 x c x c ec e c y xx 3sin 3cos 432221+++=-．****11* 试证明，当以 x t ln =为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c 为常数，这是欧拉方程）)('"2x f cy bxy y ax =++可化为常系数线性方程)()(22t e f cy dt dya b dty d a =+-+并求下列方程通解：（1）022=-''y y x ； （2）x x y y x y x ln 22=+'-''． 证明：令 x t ln =， t e x =，dtdyx dx dt dt dy dx dy 1==，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt dy dt y d x dt dy dx d x dt dy x dx y d 222222111， 将y y ''',代入方程有：()()te f cy dt dy a b dt y d a cy dt dy b dt dy dt y d a cy y bx y ax =+-+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+'+''22222， 得证．（1）令 x t ln =， te x =，原方程化为：0222=--y dt dydty d ． 其通解为t t e c e c y -+=221．将x 代入，得：xc x c y 221+=． （2） 令 x t ln =， te x =，原方程化为：tte y dt dy dty d =+-2222， 上述方程的相应其次方程的通解为：()t c t c e y t h sin cos 21+=．令上述方程一个特解为：()10b t b e y t p +=，代入方程得：0,110==b b ， 即：t e y t p =．原方程得通解为：()t t c t c e y t ++=sin cos 21，即：()()[]x x c x c x y ln ln sin ln cos 21++=．***12．一质量为m 的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k >0），浮力为常数B ，求潜水艇下降深度x 与时间t 之间的函数关系． 解： ma B F F =--阻重， a 为加速度， ma B kv mg =--， v 为下降速度，因为 22,dt x d dt dv a dt dx v ===， 所以 22dt xd m B dt dx k mg =--，即 m Bg dt dx m k dtx d -=+22 ， 其特征方程为： 02=+λλmk ， 解得特征根为 m k-==21,0λλ．所以对应的齐次方程的通解为：21c e c x t mkh +=-．由于0是特征方程的单根，故设其特解为：t b x 01=， 代入方程有：m B g b m k -=0， 得 kBmg b -=0． 所以微分方程的通解为：t kBmg c e c x t mk-++=-21， 因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件 ()()00,00'==x x ，代入微分方程有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++000121k Bmg c mk c c 求得：222221,kgm Bm c k Bm g m c -=-=， 所以x 与t 的关系可表示为： t k B mg e k g m Bm x t m k-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-122．***13．证明：若有方程'=-f x f x ()()1，则必有''+=f x f x ()()0，并求解此方程． 证明：由于'=-f x f x ()()1，两边关于x 求导得''=-'-=---=-f x f x f x f x ()()[()]()111故得''+=f x f x ()()0（1）解方程（1）得通解为 f x C x C x ()cos sin =+12（2）'=-+f x C x C x ()sin cos 12 （3）'='=f f f f ()(),()()0110，将此代入(2),(3)得C C C C C C 1221211111cos sin sin cos +=-+=⎧⎨⎩ 解得：C C 21111=+sin cos所以原方程的解为： f x C x x ()cos sin cos sin =++⎛⎝⎫⎭⎪1111．第9章 （之8） （总第51次）教学容：§9.6 微分方程应用举例 (机动)第9章 （之9） （总第52次）教学容：§9.7 差分方程1. 已知t t e y 3=是二阶差分方程tt t e ay y =+-+11的一个特解，求a ．解： )31(3e ea -=．2. 求下列差分方程的一般解： (1) 0721=+-t t y y ； 解：tt C y )27(-=(2) 431-=--t t y y ；解：23+=tt C y(3) 051021=-++t y y t t ； 解：)61(125)5(-+-=t C y tt (4) tt t y y 2124=-+； 解：144-+=t t t t C y (5) tt t t y y 21⋅=-+． 解：tt t C y 2)2(-+=3. 写出下列差分方程的一个特解形式： (1) t y y t t sin 1=-+； 解：t B t B Y t cos sin 21+=(2) t y y t t πcos 31-=++． 解：)sin cos (21t B t B t Y t ππ+=4. 设t y 为第t 期国民收入，t C 为第t 期消费，I 为每期投资（I 为常数）．已知t y ，t C ，I 之间有关系 I C y t t +=，βα+=-1t t y C ，其中10<<α，0>β，试求t y ，t C ． 解：t y 满足：βα+=--I y y t t 1，解得 αβα-++=1I C y tt ， 从而 =-=I y C t t ααβα-++1I C t．5. 已知差分方程t t t cy y by a =++1)(，其中a ，b ，c 为正的常数．设初始条件0)0(0>=y y ，证明：(1) 对任意Λ,2,1=t ，有0>t y ；(2) 在变换tt y u 1=之下，原差分方程可化为有关t u 的线性差分方程，写出该线性差分方程并求其一般解；(3) 求方程t t t y y y =++1)21(的满足初始条件20=y 的解． 解：（1）归纳法证明． （2）令 t t y u 1=，即t t u y 1=，111++=t t u y ， 则原方程化为线性差分方程 b au cu t t =-+1， 其一般解为 a c ≠时， ac bcaC u tt -+=)( ； a c =时， b C u t +=． （3）令 tt y u 1=，原方程化为 21=-+t t u u ，一般解为 2+=C u t ， 所以原方程的一般解为 t t u y 1=21+=C ，代入 20=y ，得 23-=C ， 所以 特解为 2=t y ．。
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南阳师范学院—数学与统计学院《高等数学》第九章-——多元函数的微分学练习题（A ）一、单项选择题（将正确答案的序号填写在括号内）1. 点000(,)P x y 的邻域0(,)U P δ是（ ）（A ） 无界开区域 （B ） 无界闭区域 （C ） 无界闭区域 （D ） 有界开区域2. 下列函数中定义域是闭区域的函数为（ ）（A ） ()2ln 12z x y =-+ （B）()ln 2z x y -+（C ）z =（D ） 221arcsinz x y=+ 3.下列说法错误的是（ ）（A ） 极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在的充要条件是(,)P x y 沿任意的路径无限接近于点),(000y x P 时，(,)f x y 总无限的接近一个固定的数A （B ） 若00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在，则00lim lim (,)x x y y f x y →→⎡⎤⎢⎥⎣⎦与0lim lim (,)y y x x f x y →→⎡⎤⎢⎥⎣⎦一定存在且000000(,)(,)lim(,)lim lim (,)lim lim (,)x y x y x x y y y y x x f x y f x y f x y →→→→→⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（C ） 如果(,)P x y 沿两条路径无限接近),(000y x P 时， (,)f x y 总无限的接近一个固定的数A ，则极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →一定存在（D ）当点(,)P x y 沿直线y kx =趋于点000(,)P x y 时00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在但与k 有关，则极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →一定不存在4. 下列极限为零的是（ ）（A ）22(,)(0,1)1limx y xy x y →-+ （B ）(,)limx y → （C ） 222(,)(0,0)lim x y x y x y →+ （D ） ()22(,)(0,0)lim arccos x y x y →+5. 当(,)(0,0)x y →时，极限不存在的函数是（ ）（A ）sin (,)xy f x y y =（B ） (,)x yf x y x y+=- （C ） ()1(,)1xf x y xy =+ （D ） ()22221(,)cosf x y x y x y =++6. 如果函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则下列说法错误的是（ ）（A ）函数(,)f x y 在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值. （B ）函数(,)f x y 在D 上必取得介于最大值和最小值之间的任何值. （C ）函数(,)f x y 在D 上的最值可能在D 的内部取得也可能在边界上取得 （D ）函数(,)f x y 在D 上必有极值.7. 二元函数22(,)(0,0)(,)(,)(0,0)0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨=⎪⎩在点(0,0)处（ ）（A ）连续且偏导数存在 （B ）连续但偏导数不存在 （C ）不连续但偏导数存在 （D ）不连续且偏导数也不存在8. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的（ ）（A ）充分条件而非必要条件 （B ）必要条件而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件又非必要条件 9. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在且连续是(,)f x y 在该点可微的（ ）（A ）充分条件而非必要条件 （B ）必要条件而非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件又非必要条件10. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微是(,)f x y 在该点连续的（ ） （A ）充分条件而非必要条件 （B ）必要条件而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件又非必要条件 11. 设函数(,)f x y 在点00(,)x y 附近有定义，且0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在则（ ）（A ）x y dz f dx f dy ''=+ （B ）曲面(,)z f x y =在点0000(,,(,))x y f x y 的切平面的法向量为0000((,),(,),1)x y f x y f x y ''（C ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点0000(,,(,))x y f x y 的切线对x 轴的斜率为00(,)x f x y '（D ）曲线(,)z f x y x =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切线对y 轴的倾角是 00(,)x f x y '12. 若二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数存在，则下列说法错误的是（ ） （A ）00(,)x f x y '是一元函数0(,)f x y 在点0x 处的导数（B ）0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-'=∆（C ）00(,)y f x y '是 一元函数0(,)f x y 在点0y 处的导数 （D ）0000000(,)(,)(,)limy y y f x y y f x y f x y y→+∆-'=∆13. 如果函数(,)z f x y =在区域D 内各点处都可微分, 则（ ）（A ）(,)(,)x y f x x y y f x y f x f y ''+∆+∆=+∆+∆（B ）0lim1x y z f x f yρρ→''∆-∆-∆=（C ） ()x y dz f dx f dy o ρ''=++（D ） 当y x ∆∆,都较小时，z dz ∆≈.14. 若函数(),()u x v x ϕψ==可导，函数(,)z f u v =在相应点(,)u v 处具有连续的偏导数，则复合函数[(),()]f x x ϕψ可导，且dzdx=（ ） （A ） [][(),()]()()f x x x x ϕψϕψ'''+（B ） 12[(),()][(),()]f x x f x x ϕψϕψ''+（C ） 12[(),()][(),()]()f x x f x x x ϕψϕψψ'''+ （D ）12[(),()]()[(),()]()f x x x f x x x ϕψϕϕψψ''''+15. 若函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==在点(,)x y 的偏导数存在，函数(,)z f u v =在相应点(,)u v 处具有连续的偏导数，则复合函数[(,),(,)]f x y x y ϕψ在点(,)x y 的偏导数zx∂=∂（ ） （A ）z u z v u x v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂ （B ） z u z v u x v x∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂（C ）z u z v u y v x ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂ （D ）z u z v u y v y∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂ 16. 若函数(,)u x y ϕ=在点(,)x y 的偏导数存在，函数()z f u =在相应点u 处 具有连续的导数，则复合函数[(,)]f x y ϕ在点(,)x y 的偏导数zx∂=∂（ ） （A ）dz u u du x y ⎛⎫∂∂⋅+ ⎪∂∂⎝⎭（B ）dz u du y ∂⋅∂ （C ）dz u du x ∂⋅∂ （D ）dz du du dx⋅ 17. 若函数(,)z f x y =在点(,)x y 具有二阶连续的偏导数，则(,)z f x y =在驻点(,)x y 处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A ） ()20xxyy xy f f f ''''''-> （B ） ()20xxyy xy f f f ''''''-< （C ） ()20xxyy xy f f f ''''''-= （D ）()20,0xx yy xy xx f f f f ''''''''->> 18. 函数(,)z f x y =的极值点取在（ ）（A ） 偏导数不存在的点 （B ） 驻点 （C ） 偏导数不存在的点或驻点 （D ）边界点19. 设函数()y y x =由方程(,)0F x y =确定，00()y y x =，则曲线()y y x =过00(,)x y 的切线的斜率为（ ） （A ）0000(,)(,)x y F x y F x y '' （B ）0000(,)(,)y x F x y F x y '' （C ）0000(,)(,)x y F x y F x y '-' （D ） 0000(,)(,)y x F x y F x y '-'二、填空题题（将正确答案的填写在横线上）1.若z =22z z x y ⎛⎫∂∂⎛⎫+= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭2. 若()22ln z x y =+，则2222z zx y∂∂+=∂∂3. 设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，则zx∂=∂ ， zy∂=∂ ，全微分dz = 4. 设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f x xy =，则zx∂=∂ ， zy∂=∂ ， 22z x ∂=∂ ，22z y∂=∂ ， 2zx y ∂=∂∂ 5. 设ln sin z u v t =+，其中,cos tu e v t ==，则0t dzdt==6. 若二元函数()z f ax by =+， f 可微，则z zba x y∂∂-=∂∂ 7. 若点1(,1)4是函数2ln ()()z y x x y a x y b =+++-的一个极值点，则a =8. 若二元函数),(y x f z =的全微分为dz xdx ydy =+，则函数的极小值点是 9.二元函数z =的极大值点是10. 二元函数z xy =在221x y +≤上的的最大值为 ，最小值为11. 若cos ,sin ,x t y a t z t ===在0t =时相应点处的切线方向向量为()0,1,1则a =12. 若曲面2221x by z -+=过点(1,1,0)的切平面的法向量为()1,1,0-则b =。