第七章续 静电场中导体有电介质时的高斯定理 电位移
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第七章 静电场02-高斯定理
i =1 n
（4）仅高斯面内的电荷对通过高斯面的电通量有贡献。 对通过高斯面的电通量有贡献。 ） 高斯面内的电荷对通过高斯面的电通量有贡献 高斯面内外所有电荷有关 电荷有关。 （5）高斯面上的 E 与高斯面内外所有电荷有关。 ）
***下面从点电荷和点电荷系出发证明高斯定理。 下面从点电荷 点电荷系出发证明高斯定理。 下面从点电荷和 出发证明高斯定理
dΦe = E dS = EdS cos θ
dS⊥ = dS cosθ dΦ e E= dS⊥
π θ1 < , 2 π θ2 > , 2 d Φe1 > 0
E
dS
nθ
E
E
d Φe2 < 0
θ1
θ2
dS 2
E2
dS1
Φe =
∫ dΦ = ∫s E dS = ∫ E cos θ d S s
S e
E1
Φe =
∫ E dS = ε ∑ q
S 0 i =1
1
n
i
说明： 说明： 电场是有 （1）高斯定理描述了静电场的基本性质，说明静电场是有 ）高斯定理描述了静电场的基本性质，说明静电场是 源场。 源场。 （2）闭合曲面称为高斯面。 ）闭合曲面称为高斯面。 （3） ∑ qi 仅仅表示高斯面内的电荷的代数和。 ） 仅仅表示高斯面内的电荷的代数和。为通过这个面的电通量“ 称为通过这个面的电通量“Φ e ”。 单位：Nm 2C 1 或者 Vm 单位： 匀强电场 ，E 垂直平面
S
E
Φe = ES
均匀电场 ， 与平面夹角 θ E
S
Φ e = E S = ES cos θ
θ
θ
n
E
非均匀电场强度电通量
（4）仅高斯面内的电荷对通过高斯面的电通量有贡献。 对通过高斯面的电通量有贡献。 ） 高斯面内的电荷对通过高斯面的电通量有贡献 高斯面内外所有电荷有关 电荷有关。 （5）高斯面上的 E 与高斯面内外所有电荷有关。 ）
***下面从点电荷和点电荷系出发证明高斯定理。 下面从点电荷 点电荷系出发证明高斯定理。 下面从点电荷和 出发证明高斯定理
dΦe = E dS = EdS cos θ
dS⊥ = dS cosθ dΦ e E= dS⊥
π θ1 < , 2 π θ2 > , 2 d Φe1 > 0
E
dS
nθ
E
E
d Φe2 < 0
θ1
θ2
dS 2
E2
dS1
Φe =
∫ dΦ = ∫s E dS = ∫ E cos θ d S s
S e
E1
Φe =
∫ E dS = ε ∑ q
S 0 i =1
1
n
i
说明： 说明： 电场是有 （1）高斯定理描述了静电场的基本性质，说明静电场是有 ）高斯定理描述了静电场的基本性质，说明静电场是 源场。 源场。 （2）闭合曲面称为高斯面。 ）闭合曲面称为高斯面。 （3） ∑ qi 仅仅表示高斯面内的电荷的代数和。 ） 仅仅表示高斯面内的电荷的代数和。为通过这个面的电通量“ 称为通过这个面的电通量“Φ e ”。 单位：Nm 2C 1 或者 Vm 单位： 匀强电场 ，E 垂直平面
S
E
Φe = ES
均匀电场 ， 与平面夹角 θ E
S
Φ e = E S = ES cos θ
θ
θ
n
E
非均匀电场强度电通量
大学物理-电子教案第7章 静电场
N⋅
⨯≈
m
9880c
10
/
通过曲面S 的总电通量 ⎰⎰⋅=Φ=ΦS S e e S d E d
S 为闭合曲面时 ⎰⋅=ΦS e S d E
无关，只与被球面所包围的电量q 有关
虚线表示等势面，实线表示电力线 二、场强与电势梯度的关系 电势与场强的积分关系：⎰⋅=零点
l d E U
，
求出场强分布后可由该式求得电势分布．
空腔内有带电体q时，空腔内表面感应电荷为-q，导体外表面感应电荷为静电屏蔽
）在导体内部有空腔时，空腔内的物体不受外电场的影响。
）接地的导体空腔，空腔内的带电物体的电场不影响外界。
三、有导体存在的静电场场强与电势的计算
有极分子电介质的极化：在外电场作用下分子偶极矩转向与外电场接近平行的方向，叫取向极化。
五、极化强度和极化电荷
极化强度P
)。
大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案
1第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。
用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1s 和2s 。
忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。
试证明：Rr =21s s。
证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R 的导体球的电势为的导体球的电势为R R V 0211π4e p s =014e s R =半径为r 的导体球的电势为的导体球的电势为r r V 0222π4e p s =024e s r = 用细导线连接两球，有21V V =，所以，所以Rr=21s s 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)(1)(1)相向的两面上，电荷的面密度总是相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；大小相等而符号相反；(2)(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1s ，2s ，3s ，4s （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得S S d E SD +==×ò)(10320s s e故+2s 03=s上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201=---e s e s e s e s又+2s 03=s 故 1s 4s =3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。
有电介质的高斯定理
εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
电位移、介质中的高斯定理复习
E'
q'
q0
E E0 E '
E0
S
1 ( E d S q ' ) q (1) 0 内 S 0 S
S
q ' P d S 内 (3) S
S
E'
q' 1 E d S q0 S
S （1）式 0 +（3）式
S S
得介质中的高斯定理
介质中的高斯定理： 穿出某一闭合曲面的电位移矢量的通量等于 这个曲面所包围的“自由电荷”的代数和。
D d S q 0
S S
注意：1）D 是一个辅助量，场的基本量仍是场 强 E 2） D 0 E P 是 D. E 关系的普遍式。 对各向同性的介质： P e 0 E D 0E P 0 E e 0 E (1 e ) 0 E 令： r 1 e 称为相对介电常数， 0 r 称为介电常数，则： D r 0 E E
dW 1 2 1 w E DE dV 2 2 一般地,推广到任意电场(非均匀,交变场).
dV体积中的电场能量为 : dW wdV 1 2 E dV 2
1 2 整个空间中的电场能量 : W wdV E dV V V 2
例 : 求均匀带电球体內外的电场能. 已知球体带电量为Q, 半径R,內外电容率分别为 1 , 2 .
E E0 E '
0
(q
S
S
0
q'内 ) (1)
E0
S
P dS q'内 (3)
电位移介质中的高斯定理复习课件
理解电位移与电场强度的关系，有助于更好地理解高斯定理的物理意义。
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
第七章续 静电场中导体有电介质时的高斯定理 电位移
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金属球放入后电场线发生弯曲电场为一非均匀场
++ + + + ++
E
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导体球感应电荷激发的电场
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二、导体上电荷的分布
1. 实心导体静电平衡下,导体 所带的电荷只能分布在体的外 表面上，内部无净电荷。 证明：在导体内任取体积元 dV + + + + + E 0 + dV + + + + + + + + + + + + +
上底
en 0
E
由高斯定理
故 E外表面
, 矢量式：E外表面 en en 为导体表面 0 法向矢量 0
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E dS q / 0 S 底 / 0 S
S
3、对于孤立带电导体,电荷在其表面上的分 布由导体表面的曲率决定。
上节回顾
• 场强环路定理 E dl 0 • 电势 ua a E dl
• 电势差
• 电势能
• 电势能差 • 电势叠加
uab ua ub a E dl Wa q0 E dl a b Wab Wa Wb q0 E dl q0uab
b
a
u ui 或 u du
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上节回顾
电势计算的两种方法：
根据已知的场强分布，按定义计算
uP E dl
第七节 有电介质时的高斯定理
3
第七节 有电介质时的高斯定理
1. 有极分子和无极分子
电介质
无极分子：（氢、甲烷、石蜡等）
有极分子：（水、有机玻璃等）
有极分子— 极性电介质
特点：分子正负电重心不重合，有固有电偶极矩；
4
第七节 有电介质时的高斯定理
无极分子 — 非极性电介质 例如 H2、O2、CO2、CH4
特点：分子正负电中心重合，无固有电偶极
布求得合场强的分布。
11
第七节 有电介质时的高斯定理
例 7-13 设一带电量为Q 的点电荷周围充满电容率 为 的均匀介质，求场强分布。 解： 根据介质中的高斯定理
2 D ds D 4 r q0
S
r
q0 D 4 r 2
1 q0 E 2 4 r D
8
第七节 有电介质时的高斯定理
（2）有电介质时的高斯定理
1 SE dS ε0 (Q0 Q)
Q0 由 εr Q0 - Q
Q0
Q
Q0 得 E dS S ε0 ε r
S
0 r E dS Q0
9
第七节 有电介质时的高斯定理
S
0 r E dS Q0
S
D 2 π rl l
D
2πr
D E ε0 ε r 2 π ε0 ε r r
( R1 r R2 )
R2
r
R1
14
第七章 静电场
一 电介质的极化
二 有电介质时的高斯定理
1
第七节 有电介质时的高斯定理
一、电介质的极化
电介质指的是导电性极差的物质。在电介质内 几乎不存在自由电子（或正离子）。通常条件下的
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处的电势应等于0，由此可以求得球心处的电势等于
点电荷Q在该处产生的电势：
u
Q 4 0 d
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（2）接地后，导体球的电势为零。即感应电荷与点电 荷Q在球心处电势的迭加为零。由于感应电荷都分布在 导体球表面，由电势迭加原理，有球心处的电势为：
u0
Q' 4 0 R
Q 4 0 d
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法拉第
花法 放拉 电第 的对 屏 蔽 千 实 伏 验 火
800
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例7-22.已知R1 R2 R3 q
Q
求 ①电荷及场强分布；球心的电势
②如用导线连接A、B，再作计算
B
q
q
A R1 O
R2
解: 电荷分布
q
q
Q q
r R1
2
R3
由高斯定理得
场 强 分 布
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2.腔内有带电体 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电 量等量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定 律决定，腔外导体和电场不影响腔内电场。
腔内电荷的位置不影响 导体外电场。
外表面接地，腔外电场 消失。
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静电屏蔽 在静电平衡状态下，空腔导体外面的带电体 不会影响空腔内部的电场分布；一个接地的空腔 导体，空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影 响。这种使导体空腔内的电场不受外界影响或利 用接地的空腔导体将腔内带电体对外界影响隔绝 的现象，称为静电屏蔽。 根据静电平衡时导体内部电场处处为零的特点， 利用空腔导体将腔内外的电场隔离，使之互不影响。
由高斯定理 E d S 0
S
qi dV 0 i
V
体积元是任取的
导体内各处 0
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2、导体的表面场强正比于该处的面电荷密度 由高斯定理可证明
E外表面
证明： E
E dS S E dS E dS E dS 上底 下底 侧面 E dS 0 0 E外表面 S 底
E
u
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例题7-20 两平行放置的带电大金属板A和B，面积 均为S，A板带电QA，B板带电QB，忽略边缘效应，求 两块板四个面的电荷面密度及空间的电场分布。 B A 解：设两板四个面的电荷面密度 3 ， 分别为 1 ， 4 。 2 ， 在两个板内各选一点P1、P2，由 1 2 于静电平衡，导体内任一点电 场强度为零
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若将B板接地，求电荷及场强分布
接地时 4 0
A B 1 2 3
a点
1 2 3 0 2 0 2 0 2 0
E 3 E 2 0 2 0 2 0 2 0
A板
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证明： 假设内表面一部分带正电，另 一部分带等量的负电，则必有电场 线从正电荷出发终止于负电荷。
L
取闭合路径L，一部分在空腔，一部分在导体中。
E dl E dl E dl 0
L 沿电场线 导体内
与静电场环路定理矛盾，原假设不成立。 导体内部及腔体的内表面处处无净电荷。
1 R
R1
Q1
l R1 导线
R2
Q2
Q1
R2
证明: 用导线连接两导体球
则
uR1 uR2
2
Q2 即 4 0 R1 4 0 R2
2
1 4R1 2 4R2 4 0 R1 4 0 R2
1 R2 2 R1
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对孤立导体电荷面密度和半径成反比，即曲 率半径愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。
电场强度等于电势梯度的负值：（微分关系）
u u u E gradu u ( i j k) x y z
电场强度与电势的积分关系：
U
0势 r
E dr
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§7-6
静电场中的导体
一、导体的静电平衡
1. 金属导体与电场的相互作用
3 4
E p1 0
Ep2 0
P1
P2
x
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电场为四个面上电荷共同激发的，取x轴正方向如图。
对P1
对P2
1 2 3 4 E 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 3 4 E 0 2 0 2 0 2 0 2 0
1 0
1S 2 S Q
Q 2 3 S
b
电荷分布
E1 E 2 E 3
A
B
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电荷分布
1 0
Q 2 3 S
场 两板之间 强 分 布 两板之外
Q E 0S
A B 1 2 3
E
E0
由高斯定理可推出：若有多块无限大的带电平板平行 放置，则相对的两个面的面电荷密度符号一定相反。
B A
孤立 导体
+ ++ ++ + + + + + + + + ++ + + ++
C
c
A B C
孤导 立体 带球 电
曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小
曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小 孤立球体表面电荷均匀分布。
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q
E 0
q
－q
a. 腔内无带电体： 腔外电场不能穿入腔内， 腔内电场恒为零。
b. 腔内有带电体：
导体接地，可屏蔽内电场。
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静电屏蔽的应用
精密电磁仪器金属外罩使仪器免受外电场干扰。 高压设备金属外罩避免其 电场对外界产生影响。 电磁信号传输线外罩金属 丝编制屏蔽层免受外界影 响。 高压带电作业中工人师傅 穿的金属丝编制的屏蔽服 使其能够安全地实施等电 势高压操作。
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例7-22：如图所示，点电荷Q旁有一导体球,球心距点电 荷为d，d大于导体球的半径R,（1）用电势叠加原理求 导体球的电势；（2）把导体球接地后再断开，求导体 球上的感应电量.
d Q
R
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解:1）考虑导体球上感应电荷分布满足电荷守恒定律
及分布在表面距离球心等距的关系，感应电荷在球心
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金属球放入后电场线发生弯曲电场为一非均匀场
++ + + + ++
E
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导体球感应电荷激发的电场
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二、导体上电荷的分布
1. 实心导体静电平衡下,导体 所带的电荷只能分布在体的外 表面上，内部无净电荷。 证明：在导体内任取体积元 dV + + + + + E 0 + dV + + + + + + + + + + + + +
Q q
B
q q
b
a
u ui 或 u du
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上节回顾
电势计算的两种方法：
根据已知的场强分布，按定义计算
uP E dl
P
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
u ui
4 0 ri
qi
u du
dq 4 0 r
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尖端放电原理的应用
在高压设备中，为了防止因尖端放电而引起的危险 和漏电造成的损失, 具有高电压的零部件的表面必须 做得十分光滑并尽可能做成球面。 避雷针：利用尖端放电使 建筑物避免“雷击”的。 电晕现象
静电喷漆 静电除尘
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三、有导体存在时场强和电势的计算 电荷守恒定律 电荷分布 静电平衡条件
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电荷分布
QA QB 1 4 2S
QA QB 2 3 2S
A
B
1 2 3 4 E/ E E
场强分布
x
1 2 3 4 QA QB A 板左侧 E/ 2 0 2 0 S
1 2 3 4 QA QB 两板之间 E// 2 0 2 0 S 1 2 3 4 QA QB B 板右侧 E/// 2 0 2 0 S
导体的特征：导体内存在大量的自由电子 在外场 E0 中： 无外场时： 无规运动 宏观定向运动 无规运动 E0 E 静电感应：在电场力作用下，导体中自由电子作宏观 定向运动，使电荷产生重新分布的现象。
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导体达到静电平衡 静电感应过程
A
B
又由电荷守恒可得：
1 2
3 4
1 2 S QA 3 4 S QB
QA QB 所以 1 4 2S
P1
QA QB 2 3 2S
P2
x
可见，平行放置的带电大金属板相向两个面上电荷面密 度大小相等，符号相反；相背两个面上电荷面密度大小 相等，符号相同。
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总结：处于静电平衡状态的导体的性质：