数学北师大选修课后训练：第二章§数学归纳法 含解析

数学归纳法练习
1用数学归纳法证明“对一切n ∈N ＋，都有2n ＞n 2
－2”这一命题，证明过程中应验证
( )．
A ．n ＝1时命题成立
B ．n ＝1，n ＝2时命题成立
C ．n ＝3时命题成立
D ．n ＝1，n ＝2，n ＝3时命题成立
2某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )．
A ．当n ＝6时，该命题不成立
B ．当n ＝6时，该命题成立
C ．当n ＝4时，该命题成立
D ．当n ＝4时，该命题不成立
3已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋成立，则a ，
b ，
c 的值为( )． A ．12a =，14b c == B ．14
a b c === C ．a ＝0，14b c == D ．不存在这样的a ，b ，c 4猜想1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n 个式子为__________． 5已知()111123f n n =+
+++ (n ∈N ＋)，用数学归纳法证明()22n n f ＞时，f (2k ＋1)－f (2k )等于__________．
6设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线的交点的个数，则f (4)＝______；当n ＞4时，f (n )＝______(用n 表示)．
7证明：凸n 边形的内角和f (n )＝(n －2)·180°(n ≥3)．
8设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，…．
(1)求a 1，a 2；
(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格证明．
参考答案
1答案：D 假设n ＝k 时命题成立，即2k ＞k 2－2，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k ＞2·(k
2
－2)．由2(k 2－2)≥(k ＋1)2－2⇔k 2－2k －3≥0⇔(k ＋1)(k －3)≥0⇔k ≥3．因此需验证n ＝
1,2,3时命题成立．
2 答案：D 依题意，n ＝4时，该命题成立，则n ＝5时，该命题成立，而n ＝5时，该命题不成立，却无法判断n ＝6时该命题成立还是不成立．故选D ．
3答案：A ∵等式对任意n ∈N ＋都成立，
∴当n ＝1,2,3时也成立． 即2231=3(),1233(2),123333(3).a b c a b c a b c -+⎧⎪+⨯=-+⎨⎪+⨯+⨯=-+⎩
解得1,21.4
a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩ 4 答案：1－4＋9－…＋(－1)
n －1n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n ) 5 答案：111121222k k k ++++++ ∵1111111(2)1232212222
k k k k k k f =+++++++++++＋， 111(2)1232
k k f =++++， ∴11111(2)(2)21222
k k k k k f f +-=+++++＋． 6 答案：5 1(1)(2)2
n n +- f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，…，f (n )－f (n －1)＝n －1．
累加，得()31()(3)341(3)2n f n f n n +(-)-=++
+-=-， ∴1()=(1)(2)2
f n n n ++． 7 答案：证明：(1)当n ＝3时，f (3)＝180°，(3－2)×180°＝180°，命题成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥3)时，命题成立，即凸k 边形的内角和f (k )＝(k －2)·180°． 当边数为(k
＋1)时，如图，把(k ＋1)边形分割为一个k 边形和△A 1A k A k ＋1，因此凸(k ＋
1)边形的内角和为凸k 边形内角和加上△A 1A k A k ＋1的内角和．
∴f (k ＋1)＝f (k )＋180°＝(k －2)·180°＋180°
＝[(k ＋1)－2]·180°．
∴当n ＝k ＋1时命题也成立．
由(1)(2)，得n ≥3时，凸n 边形的内角和为f (n )＝(n －2)·180°．
8 答案：分析：第(1)题中代入n ＝1和n ＝2即可求出．在第(2)题中先根据前n 项猜出通项，再利用数学归纳法给予证明．
解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0的一根为S 1－1＝a 1－1，代入，得(a 1－1)2－a 1(a 1
－1)－a 1＝0，解得112a =
． 当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为22112S a -=-
． 于是2222211=022a a a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，解得216a =． (2)由题设(S n －1)2
－a n (S n －1)－a n ＝0，
即22+1=0n n n n S S a S --． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，
代入上式，得S n －1S n －2S n ＋1＝0．①
由(1)，得1112S a ==，212112263S a a =+=+=． 由①可得334
S =． 由猜想可得，1
n n S n =+，n ＝1,2,3，…． 下面用数学归纳法证明这个结论． 当n ＝1时，112
n a S ==，显然成立． 假设当n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥1)时结论成立，即1k k S k =
+． 当n ＝k ＋1时，由①知112k k S S +=
-， ∴11
11211
21k k k S k
k k k +++===+(+)+-+． ∴当n ＝k ＋1时式子也成立． 综上，1
n n S n =
+，n ＝1,2,3，…，对所有正整数n 都成立．。