丰都实验中学高2015级高三上期第四次月考测试卷---黄少华

丰都实验中学高2015级高三上期第四次月考测试卷数学试题（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）１、已知集合{1,3,4,6,7,8}A =，{1,2,4,5,6}B =，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 ２、i 是虚数单位，复数3443iz i+=-+的虚部是（ ）A ．iB ．1C ．－1 D. －i３、已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a a b ⊥+，则向量a 与b 的夹角是（ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°４、直线1:(1)20l x m y m +++-=与2:280l mx y ++=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．－2C ．2D ．－2或1５、若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，10031013a a +=π，692b b ⋅=，则1201578tan1a a b b +=+（ ）A ．1B ．－1CD ６、右图给出的是计算100181614121+++++ 的一个 程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A ．50<i B ．50>i C ．25<i D ．25>i７、若在区间[]0,2中随机地取两个数，则这两个数之和大于1的概率是（ ） A ．34B ．78 C ．916D ．3512８、已知直线:10l x y --=，1:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程是（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．10x y +-=D ．210x y +-=９、设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为（ ） A ．256 B ．83 C ．113D ．4 10、设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，则关于x 的函数 1()()g x f x x=+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．0或2二、填空题：（本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．）11、设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=12、右图是一次考试结果的频数分布直方图，根据 该图估计这次考试的平 均分数为13、给定下列四个命题：①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“对2,0x R x x ∀∈-<” ；②若:02p x <<是:1q a x a -<≤的必要不充分条件，则a 的取值范围是[1,2]； ③幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在0x =处有定义，则实数m 的值为2；④已知向量(3,4)a =-，(2,1)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影是25. 其中正确命题的序号是考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14、如右图，△ABC 是的内接三角形，PA 是的切线，PB 交AC 于点E ，交于点D ，PA ＝PE ，∠ABC ＝60°， PD ＝1，PB ＝9，则EC ＝15、已知曲线C的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，以x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为16、不等式125x x -++≤的解集是三、解答题：（共6小题，第17、18、19题各13分，第20、21、22题各12分，共75分）17、已知函数())(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-≤<的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(Ⅰ)求ω和ϕ的值； (Ⅱ)若2()()263f αππα=<<，求3cos()2πα+的值．18、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，向量(cos ,)m a b C c =-与(sin ,1)n B =平行． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b =ABC ∆面积的最大值．19、第十七届亚运会于2014年9月19日至10月4日在韩国仁川举行，为了搞好接待工作，组委会在首尔大学某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者从事礼宾接待和语言翻译 工作，将这30名志愿者的身高（单位：cm ）编成茎叶图（如图所示）．组委会决定：身高 175cm 以上（包含175cm ）的志愿者从事礼宾接待，身高在175cm 以下的志愿者从事语言翻译．（Ⅰ）若用分层抽样的方法从从事礼宾接待的志愿者和从事语言翻译的志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，则至少有一人是从事礼宾接待的志愿者的概率是多少？（Ⅱ）若从所有从事礼宾接待的志愿者中随机选3名志愿者，用ξ表示从事礼宾接待的志愿者中女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望.20、设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，求证：1154n M ≤<21、设函数ax xx a x f 21ln )2()(++-=，R a ∈ （1）当0=a 时，求)(x f 的极值； （2）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；22、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12,N n n na S n *+=∈． （Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 满足：211211,2n n n n b b b b a ++==+，试证明：当N n *∈时，必有①21111(1)n n b b n +-<+； ②1n b <丰都实验中学高2015级高三上期第四次月考测试卷数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：DCDAD BBBAC１、解：{1,4,6}A B ⋂=中有3个元素，∴A B ⋂的子集个数为328=个．故选D ． ２、解：34(34)(43)43(43)(43)i i i z i i i i ++--===--+-+--的虚部为1-，故选C ．３、解：22()()00cos ,0a ab a a b a a b a a b a b ⊥+⇒⋅+=⇒+⋅=⇒+⋅⋅<>=2333cos ,0cos ,,150a b a b a b ⇒+⨯<>=⇒<>=-⇒<>=︒，故选D ．４、解：两直线平行1221122112(1)(1)82(2)A B A B m m B C B C m m =⨯=⨯+⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨≠+⨯≠-⎩⎩1212=⇒⎩⎨⎧-≠=-=m m m m 或，选A ． ５、解：12015100310137869tantan tan 113a a a ab b b b π++===++D ．６、解：1i =时，12S =；2i =时，1124S =+；……；50i =时，11124100S =+++． 51i =时，结束循环，输出S 的值，所以判断框内应填入的条件是50>i ，故选B ．７、解：设这两个数为,x y ，则0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，∵不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域面积为1224S =⨯=，而不等式组02021x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+>⎩表示的平面区域面积为217221122S =⨯-⨯⨯=∴所求概率为2178S P S ==，故选B ． ８、解：由1:101(1,0):2200l x y x A l x y y --==⎧⎧⇒⇒⎨⎨--==⎩⎩ 在1l 上任取一个点(0,2)B -，设(0,2)B -关于直线l 的对称点为(,)B x y '''．由线段BB '的中点2(,)22x y ''-在直线:10l x y --=上得21022x y ''---=……① 由(2)1110BB l y BB l k k x ''--'⊥⇒⋅=-⇒⨯=-'-……………② 联立①②解得1(1,1)1x B y '=-⎧'⇒--⎨'=-⎩ 由点(1,0)A 和(1,1)B '--可得直线2l 的方程为011011y x --=----即210x y --=，选B ． ９、解：作出可行域（如右图所示）把目标函数(0,0)z ax by a b =+>>看作直线:(0,0)a z l y x a b b b =-+>>，其斜率0ak b=-< 由图知，当直线l 经过点A(4,6)时纵截距zb最大，即z 最大．∴max 4612z a b =+=，即236a b +=．∴23123123166125()6()(23)(13)(1366666b a a b a b a b a b a b +=⋅+⋅=++=++≥+= （当且仅当66b a a b =且236a b +=即65a b ==时取“＝” ） ∴23a b+的最小值为256，故选A ．10、解：由()()0f x f x x '+>，得()()0xf x f x x'+> 当0x >时，()()0xf x f x '+>，即[]()0xf x '>，函数()xf x 单调递增； 当0x <时，()()0xf x f x '+<，即[]()0xf x '<，函数()xf x 单调递减． 又1()1()()xf x g x f x x x +=+=，函数()1()xf x g x x+=的零点个数等价为函数 ()1y xf x =+的零点个数．当0x >时，()1y xf x =+＞1，当0x <时，()1y xf x =+＞1，所以函数()1y xf x =+无零点，所以函数1()()g x f x x=+的零点个数为0个．故选B ．二、填空题：（本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．）11、510-12、46 13、③ 14、4 15、cos sin 20ρθρθ+-= 16、[3,2]- 注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．11、解：由1tan 111sin 1tan()tan cos 3sin 421tan 123cos 3πθθθθθθθθ++=⇒=⇒=-⇒=-⇒=--⨯ 代入22sin cos 1θθ+=得21sin 10θ=，∵θ为第二象限角，∴sin 0θ>，∴sin θ=∴cos 3sin 10θθ=-=-，∴sin cos 10105θθ+=-=-12、解：根据频数分布直方图，可估计有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩 在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其 考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和为 2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数＝1 38030＝46.13、解：①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“对2,0x R x x ∀∈-≤”，故①不正确．②因为p 是q 的必要不充分条件，所以集合{|1}x a x a -<≤⊂≠{|02}x x <<，所以10122a a a -≥⎧⇒≤<⎨<⎩．故②不正确． ③∵函数()f x 为幂函数，∴211m m --=，解得1m =-或2m =，当1m =-时331()f x x x-==在0x =处没有定义，当2m =时3()f x x =在0x =处有定义， ∴2m =，故命题③正确；④向量a 在向量b方向上的投影是cos ,55a b a a b b⋅<>===，故④错误. 14、解：由切割线定理知219PA PD PB =⋅=⨯，∴3PA =由弦切角定理知60PAE ABC ∠=∠=︒，又已知PA PE =，∴PAE ∆为等边Δ∴3PE AE PA ===，∴312ED PE PD =-=-=，936BE PB PE =-=-= 由相交弦定理知6243BE ED AEEC BE ED EC AE⋅⨯⋅=⋅⇒=== 15、解：化曲线C 的参数方程x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为普通方程222x y +=，得圆心(0,0)C ，又切点为(1,1)A ，连结AC ，则AC 的斜率为10110AC k -==-，又切线l AC ⊥，所以 切线l 的斜率为1-，∴切线l 的方程为1(1)y x -=--即20x y +-=，化成极坐 标方程为cos sin 20ρθρθ+-=．16、解：（用零点分区间法求解）当2x <-时125(1)(2)53x x x x x -++≤⇒--+≤⇒≥-，又2x <-，∴32x -≤<- 当21x -≤≤时125(1)(2)535x x x x x R -++≤⇒-++≤⇒≤⇒∈，又21x -≤≤∴21x -≤≤当1x >时125(1)(2)52x x x x x -++≤⇒-++≤⇒≤，又1x >，∴12x <≤综上可得，不等式125x x -++≤的解集为{x |32x -≤<-或21x -≤≤或12x <≤} 即{}32x x -≤≤．三、解答题：（共6小题，第17、18、19题各13分，第20、21、22题各12分，共75分）17．解：（Ⅰ）因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2. 又∵f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，∴2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.（Ⅱ）由（Ⅰ）得ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3，得0＜α－π6＜π2所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 18、解：（Ⅰ）由m ∥n (cos )1sin sin cos a b C c B a c B b C ⇒-⨯=⨯⇒=+sin sin sin sin cos A C B B C ⇒=+sin[()]sin sin sin cos B C C B B C π⇒-+=+ sin()sin sin sin cos B C C B B C ⇒+=+sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B B C ⇒+=+cos sin sin sin B C C B ⇒=∵(0,)C π∈，∴sin 0C ≠，∴cos sin B B =即tan 1B =，又(0,)B π∈ ∴4B π=………………………………………………………………………7分（Ⅱ）由余弦定理得到：2222cos b a c ac B =+-，即222a c =+所以2222a c ac +=+≥即2ac ≤=+当且仅当a c =即a c ==时取“=”11sin (22442ABCS ac B ac ∆==≤+=故ABC ∆面积的最大值为12+．…………………………………………13分 19、解：（Ⅰ）根据茎叶图，从事礼宾接待的志愿者有12人，从事语言翻译的志愿者有18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是5112186=+． 所以抽中的从事礼宾接待的志愿者有11226⨯=人，从事语言翻译的志愿者有 11836⨯=人． 用事件A 表示“至少有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”．则23257()1()110C P A P A C =-=-= ………………………………………………6分（Ⅱ）由题意：ξ的可能取值为0，1，2，3.则3831214(0)55C P C ξ===， 124831228(1)55C C P C ξ=== 214831212(2)55C C P C ξ===，343121(3)55C P C ξ=== 因此，20、解：（1（221、解：（1 （2）1)当20a -<<时112a ->，由a x x a x x x f 121012100)(-<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<<⇒⎩⎨⎧>>' 由a x x x a x x x x f 1210012100)(-><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-><⇒⎩⎨⎧><'或或 当2a =-时，22(21)()0x f x x-'=-≤当2a <-时112a -<，由211021100)(<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<-⇒⎩⎨⎧>>'x a x x a x x f 由2110021100)(>-<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-<⇒⎩⎨⎧><'x a x x x a x x x f 或或 综上，当0a >时，)(x f 的增区间为1(,)2+∞，减区间为1(0,)2；当20a -<<时，)(x f 的增区间为11(,)2a-，减区间为1(0,)2和1(,)a -+∞；当2a =-时，)(x f 的减区间为(0,)+∞；当2a <-时，)(x f 的增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)a-和1(,)2+∞．22、解：（Ⅰ）由1,2,3n =分别代入递推式即可得2342,3,4a a a === …………3分 （Ⅱ）方法一：因112,(1)2n n n n na S n a S +-=-=，两式相减得11(1)2()2n n n n n na n a S S a +---=-= 即1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=所以32412312341231n n a a a a na a a a n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，*(N )n a n n =∈ ……7分 方法二：先猜想出*(N )n a n n =∈，再用数学归纳法证明．（Ⅲ）①由（Ⅱ）得2111121,02(1)n n n n n b b b b b b b n +-==+>>>⋅⋅⋅>>+，所以{}n b 是正项 单调递增数列，当N n *∈时， 21122(1)(1)n n nn n n b b b b b b n n ++=+<+++ 所以112(1)n n n n b b b b n ++-<+，1211(1)n n n n b b b b n ++-<+即21111(1)n n b b n +-<+ ②由①得，当2n ≥时，2121112b b -<，2231113b b -<，…… ，21111n n b b n--< 所以22212231111111111()()()23n n b b b b b b n--+-+⋅⋅⋅+-<++⋅⋅⋅+ 即22211111123n b b n-<++⋅⋅⋅+ 所以1111112132(1)n b b n n -<++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-111111()()()12231n n =-+-+⋅⋅⋅+--11n =- 所以1111111211n n b b n n n+>+-=+-=>， 即1n b <(2)n ≥ 又当1n =，1112b =<． 故当N n *∈时，1n b < ………………………12分。