理论力学---第二章第三章
理论力学第二章
M F d F d
2 2 2 4
F F F
3
4
F F F
3 4
3 4 3 4 1 2
M Fd F F d F d F d M M
平面内任意力偶可以合成一个合力偶，该合力偶系的平衡条件
尾相接，合力沿反方向构成封闭边。
二.平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要条件：
Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭
例2.1 已知AC=CB，P=10kN，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。支架
的横梁AB与斜杆DC以铰链C相连，并以铰链A、D连接于铅直墙上。杆DC
三.平面汇交力系合成的解析法
1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
FR=FRx+FRy=FRxi+FRy j
2.合矢量投影定理
合矢量投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在
同一轴上投影的代数和。
即：FRx=Fx1+Fx2+…+Fxn =∑Fx FRy=Fy1+Fy2+…+Fyn =∑Fy
3.平面汇交力系合成的解析法
2、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩：M=±Fd=±2A△ABC，代数量， 逆为正，顺为负。单位：N· m，或kN· m
力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换； 力偶也不能用一个力来平衡。
四.同平面内力偶的等效定理
ix
例2.4 图示踏板，各杆自重不计，已知：F、α、l、B点坐标 (xB、yB)。求(1)力F对A点之矩；(2)平衡时杆CD的拉力。
理论力学4h-资料
FzFcogs
x
z
Fz
g
Fx
o
F Fxy
Fy
y
FxyFsing
7
★力沿坐标轴分解：
z
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿直角
坐标轴的正交分量，则：
FFxFyFz
Fx Fxi 而： F y F y j
Fz F
okj
Fy
Fx i
y
F
z
F
zk
x
所以： FFxiFyjFzk
M
力偶的转向为右手螺旋定则。
从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
32
空间力偶是一个自由矢量：可以进行平移和滑动。
平移
滑动
二、空间力偶的等效条件 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效。
力偶矩矢相等
力偶矩矢的大小相等、方位、转向相34同。
由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素： ①力偶矩的大小= M ②力偶矩的方向——与力偶作用面法线方向相同 ③转向——遵循右手螺旋规则。
二、力对轴的矩 z
工程中经常遇到刚体绕定轴转动的情 形。力对轴的矩是力对定轴转动刚体的作 用效果的度量。
o h
F Fz
Fxy
Mz (F) MO(Fxy) Fxy h
力对轴的矩是代数量， 绝对值等于该力在垂直于该 轴的平面上的投影对于这个 平面与该轴的交点的矩。
方向规定：
右手螺旋法则，与坐 标轴正向一致为正。
力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，
等于这力对于该轴的矩。
[证]
∵ MO(F)rF
(yz F zy) F i (zx F xz)F j (xy F yx)F k
理论力学课后习题答案
理论力学课后习题答案理论力学课后习题答案引言：理论力学是物理学的基础课程之一，对于理解和应用物理学的原理和方法具有重要意义。
在学习理论力学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将针对理论力学课后习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。
第一章：牛顿力学1. 一个物体以初速度v0沿直线运动，加速度为a，求物体的位移与时间的关系。
答：根据牛顿第二定律F=ma，可得物体所受合力F=ma=mv/t，其中m为物体的质量，v为物体的速度，t为时间。
由此可得物体的位移s=vt+1/2at^2。
2. 一个质点在重力作用下自由下落，求它在t时刻的速度和位移。
答：在重力作用下，质点的加速度为g，即a=g。
根据牛顿第二定律F=ma，可得质点所受合力F=mg。
根据牛顿第一定律，质点的速度随时间的变化率为v=g*t，位移随时间的变化率为s=1/2gt^2。
第二章：拉格朗日力学1. 一个质点沿半径为R的圆周运动，求它的动能和势能。
答：质点的动能由动能定理可得，即K=1/2mv^2，其中m为质点的质量，v为质点的速度。
质点的势能由引力势能可得，即U=-GmM/R，其中G为引力常数，M为圆周的质量。
2. 一个质点在势能为U(r)的力场中运动，求它的运动方程。
答：根据拉格朗日方程可得，质点的运动方程为d/dt(dL/dv)-dL/dr=0，其中L=T-U，T为质点的动能，U为质点的势能。
第三章：哈密顿力学1. 一个质点在势能为U(x)的力场中运动，求它的哈密顿量和哈密顿运动方程。
答：质点的哈密顿量由哈密顿定理可得，即H=T+U，其中T为质点的动能，U为质点的势能。
质点的哈密顿运动方程为dp/dt=-dH/dx，其中p为质点的动量。
2. 一个质点在势能为U(x)的力场中运动，求它的哈密顿正则方程。
答：质点的哈密顿正则方程为dx/dt=dH/dp，dp/dt=-dH/dx，其中x为质点的位置，p为质点的动量。
结论：通过对理论力学课后习题的解答，我们可以更深入地理解和应用物理学的原理和方法。
理论力学简明教程答案 第二章
第二章有心运动和两体问题斗转星移，粒子变迁，乃至整个宇宙的各种运动均受着“上帝”的安排----力的大小与距离平方成反比定律。
在此解析几何的空间曲线将一展风情。
【要点分析与总结】1有心力和有心运动()()rr r r F F F e r==r r r（1）有心运动的三个特征：平面运动动量守恒(0M ≡r)机械能守恒(E T V =+)（2）运动微分方程()()2()2r m r r F m r r F θθθθ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩&&&&&&可导出：()()()2222222221()21()(,r r u F r r m r h h m r r V E d u mh u u F u d r θθθθ⎧−=⎪⎪⎪=⎪⎨++=⎪⎪⎪−+==⎪⎩&&&&&&（为常量）（机械能守恒）比内公式〈析〉0L h m=是一个恒量，解题时应充分利用。
恰当运用会使你绝处逢生，可谓是柳暗花明又一村的大门。
2距离平方反比引力作用下的质点运动2222k F k u r=−=−可由比内公式导出：2220201cos()1cos()mh p k r mhe A k θθθθ==+−+−（220,,,mhp e pA A k θ==为由初始条件决定的常量）近日点：1m p r e =+远日点：1M pr e=−且422(1)2k E T V e mh=+=−可得半长轴长：221()212m M p k a r r e E=+==−−〈析〉用a 来求E ，进而得出运动规律，即便是开普勒三定律亦是须臾即得。
2距离平方反比斥力作用下的质点运动（粒子散射）的双曲线模型22k F r=（204Qqk πε=）可导出：01cos()pr e θθ−=−−散射角：12cos arc e ϕπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠2004cos 2m Qq πευϕρ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠卢瑟福散射公式：24011()44sin 2d Qq d σϕπε=Ω（式中散射截面：2d d σπρρ=，立体角：2sin d d πϕϕΩ=将散射角公式两侧微分并代入即得散射公式）4质点运动轨道的讨论（1）圆轨道的稳定条件()()220,r r dU d U drdr =>（等效势能：()()222r r mh U V r=+）再利用()()r r dV F dr=−可导出：3n <（2n k F r=）（2）轨道的轨迹曲线000E E E <⎧⎪=⎨⎪>⎩(1)(1)(1)e e e <=>LL LL LL 椭圆抛物线双曲线〈析〉通过E 与0的关系，即可判断天体运动的轨迹曲线【解题演示】1质点在有心力()r F 的作用下运动，质点速度的大小为a r υ=，这里a 是常数。
理论力学第二章(力系的等效与简化)
z
x c
F
b
o
o x
a
M y ( F ) M o ( F ) Fc
F
M z ( F ) M o ( F ) Fa
15
2019年4月16日星期二
《理论力学》
3、力对点之矩与力对通过 该点的轴之矩的关系 （转动效果的度量）
z
Fz F
y
x A
o
y
力对点之矩矢：
M o (F ) r F
Fx Fxy cos Fx F sin cos
Fy
F
O Fx x
Fy Fxy sin
y F y F sin sin
Fxy
2019年4月16日星期二
Fz F cos
6
力的分解：
F Fx Fy Fz
力F在直角坐标系中的
Fz z
F
O x
Fy
解析式
Fx
2019年4月16日星期二
力矩的符号
M O F
2019年4月16日星期二
力偶矩的符号
M
27
《理论力学》
力偶系和力偶系的合成
MR =M1+M2+…+Mn
M
力偶系
2019年4月16日星期二 28
《理论力学》
§2-3 力系等效定理
1.力系的主矢和主矩 Fn 。 设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 · · · · · ·
的夹角可为任意值。 的夹角为90o。
36
在平面任意力系， M与 R
2019年4月16日星期二
思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。
理论力学---第二章第三章
附加条件：A、B、C 三点不共线。
F1xy
a
aF1 cos 0
M z (F1 ) 0
思考题
2.求F2力 对 z′轴的矩。
应用力矩关系定
z B
z′
理，先求力F2 对点A的
矩。然后再投影到 z′轴 上。
x
F2
b A
F1
αOΒιβλιοθήκη ac yM A (F2 ) F2b
M z (F2 ) M A (F2 ) cos
y
解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果。 求主矢FR 。
F2
60°
A 2m
B
F3
FRx Fx
F1
C O
F4
30°
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598
3m
x
FRy Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30
§2-2 力偶的概念和性质
力偶：大小相等、方向相反而不共线的两个平
行力所组成的力系，称为力偶。
力偶作用面：由力偶的两个力的作用线所决定的平面； 力偶臂：力偶的两个力的作用线间的垂直距离，一般用 d 表示。 力偶的转向：力偶使静止刚体转动的方向； 力偶矩：在平面力偶的情况下，力偶矩用代数量表示，Ｍ = ±Ｆd
y
A B
F
F , y 3754'
O
C
x
求主矩。
y
A 2m
F2
60°
M O M O Fi
B
F3
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5
2. 求合成结果。
合成为一个合力F，F的大小、方
理论力学 第二章
扭矩扳手
2-3 平面力对点之矩的概念及计算
一、力对点的矩（力矩） 力对点的矩（力矩）
M O ( F ) = ± F ⋅ d ，单位N•m或KN•m 单位N KN•
→
→
① ②
是代数量。 M O ( F ) 是代数量。
M O ( F ) 正负判定： 正负判定：
→
→
M O (F ) (F
+
→ →
-
③ 当F=0或d=0时， O (F ) =0。 =0或 =0时 M =0。 点O为矩心，d为力臂。 为矩心， 为力臂。 角 形面积，或是矢量积的模。 面积，或是矢量积的模。 ④ M O (F ) = ± 2⊿AOB= r × F 2⊿AOB= 力对点0矩的大小等于2 力对点0矩的大小等于2倍三
Fx = X i , F y = Y j
F = X +Y
2 2
→
→ →
→
X cos α = F
Y cos β = F
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
区分力沿轴的分力和力在两轴上的投影： 区分力沿轴的分力和力在两轴上的投影： 力沿轴的分力和力在两轴上的投影 • 分力是矢量，投影是代 分力是矢量， 数量，二者性质不同。 数量，二者性质不同。 • 在直角坐标系中，投影 在直角坐标系中， 的大小与分力的大小相 但在斜角坐标系中， 同，但在斜角坐标系中， 二者不等。 二者不等。
∑F = 0 ix
− FBA + F cos60 − F2 cos30 = 0 1
o o
∑F =0 iy
FBC − F cos30 − F cos60 = 0 1 2
o o
F = F2 = P 1
解得： FC = 27 32kN 解得： B .
理论力学
理论力学绪论理论力学：是研究物体机械运动一般规律的科学。
机械运动：物体在空间的位置随时间的改变。
静力学：主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件；同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法。
运动学：只从几何的角度来研究物体的运动（如轨迹、速度、加速度等），而不研究引起物体运动的物理原因。
动力学：研究受力物体的运动和作用力之间的关系。
静力学引言静力学是研究物体的受力分析、力系的等效替换（或简化）、建立各种力系的平衡条件的科学。
１．静力学研究的三个问题⑴物体的受力分析：分析物体（包括物体系）受哪些力，每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图。
⑵力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代替一个复杂力系。
⑶建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平衡条件，并应用这些条件解决静力学实际问题。
２．基本概念平衡：物体相对惯性参考系（如地面）静止或作匀速直线运动。
质点：具有质量,而其形状、大小可以不计的物体。
质点系：具有一定联系的若干质点的集合。
刚体：在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体。
力：物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运动状态发生改变。
力的三要素：大小、方向和作用线。
力系：是指作用在物体上的一群力。
等效力系：对同一刚体产生相同作用效应的力系。
合力：与某力系等效的力。
平衡力系：对刚体不产生任何作用效应的力系。
共点力系：力的作用线汇交于一点。
平面汇交（共点）力系：力的作用线在同一平面内。
空间汇交（共点）力系：力的作用线不在同一平面内。
力系的分类：按作用线所在的位置，分为平面力系和空间力系；按作用线之间的相互关系，分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系。
第一章静力学公理和物体的受力分析§1-1 静力学公理公理1 力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
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空间力对轴之矩
z
Fz
F
O
M x F yFz zFy
Fy
Fy
y
Fx
M y F zFx xFz
M z F xFy yFx
x
Fx
F
空间力对轴之矩
推论：
1、力沿作用线滑动后，Fxy 与h 不变，故力对轴之矩不变；
2、力F 与轴共面（相交或平衡）时，力对轴之矩为零。
力螺旋：（FR'，Ｍ0） 力系合成为一个力（作用于简化中心）和一个力偶，且这个力垂直于 这个力偶的作用面。这样的一个力和一个力偶的组合称为力螺旋。
右手螺旋：力矢F与力偶矩MO指向相同（图a）。 左手螺旋：力矢F与力偶矩MO指向相反（图b）。
4、当FR'=0，Ｍ0 =0，空间力系平衡
F F F
z B
z′
x
F2
b A
F1
α
O
c y
a
1. 求F1力对 x，y，z 轴的矩。 解：如图所示
z B z′
cos
c a2 b2 c2
x
M x ( F1 ) M x ( F1z ) M x ( F1xy )
F2
F1z
b A
F1
α
O
c y
bF1 cos 0
M y ( F1 ) M y ( F1z ) M y ( F1xy )
力。
解：研究AB梁，受力分析如图 因为力偶只能与力偶平衡 由 即
FA = FB
M A FA d B FB
M
i
0
M FAd = 0 FA = FB = M/d
例 如图所示的铰链四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分 别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平 衡。已知OA= r，DB= 2r，α= 30°，不计杆重，试求 M1 和 M2 间的关系。
另一方面指出：一个力和一个力偶可以进一步合成为一个力。
§2-4 力系向一点简化
FR’=∑Fi’=∑Fi
任一空间 空间汇 交力系 空间力 偶系 合成为一 个力 合成为一 个力偶
力系向一
点简化
MO=∑Mi =∑MO(F)
力系的主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和称为该力系的主矢,用 FR‘表示， 即FR’=∑Fi。 主矩：力系各力对简化中心之矩的和称为该力系对简化 中心的主矩，ＭO 表示,即 ＭO =∑ＭO （F）
同一平面内两力偶的等效条件是：
力偶矩大小相等，转向相同;
力偶矩矢量
力偶矩矢量是一自由矢量，而力 矢量对刚体来说是一滑动矢量！
1. 同一平面内两力偶的等效条件是：
力偶矩大小相等，转向相同;
2、不同平面内两力偶的等效条件是：力偶作
用面平行（即作用面方位相同）、力偶矩
大小相等以及力偶转向相同。 或简单叙述为： 两力偶矩矢量相等.
x y
0 0 0
6个独立的平衡方程
z
x
M F 0 M F 0 M F 0
y z
平面力系的合成结果
主矢
主矩 0 非0
合成结果 合力 合力
R' 0
R' 0
非0
0
力偶
平衡
合力矩定理
平面力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这力系中 的各力对同一点的矩的代数和。
y
解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果。 求主矢FR 。
F2
60°
A 2m
B
F3
FRx Fx
F1
C O
F4
30°
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598
3m
x
FRy Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30
F1xy
a
aF1 cos 0
M z (F1 ) 0
思考题
2.求F2力 对 z′轴的矩。
应用力矩关系定
z B
z′
理，先求力F2 对点A的
矩。然后再投影到 z′轴 上。
x
F2
b A
F1
α
O a
c y
M A (F2 ) F2b
M z (F2 ) M A (F2 ) cos
F ' Rx1 F1 F ' Ry1 F2
M x1 F2 s
M y1 F1 l s
因为向D点简化是力螺旋，即有F'R//MD ,故
F 'Rx1 F 'Ry1
M x1 M y1
,
F1 F2 s F2 F1 l s
从而解得所求距离
F1 s 2 l 2 F1 F2
因为 则得 FAB = FBA M2 = 2 M1
M2
α FD D
C
M2
例 如图所示机构的自重不计。
圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑
A r O
导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶 M1 矩为M1=2 kN· ， OA = r =0.5 m。图 m 示位置时OA与OB垂直,角α=30o , 且系 统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的 矩 M2 及铰链O，B处的约束力。
2
问题
• 简化结果与主矢主矩之间的关系？ • 同一力系向不同点简化的结果之间有什么关 系？ • 常见力系简化结果？
第三章 平面力系的平衡问题
§3-1 平面力系平衡方程 §3-2 刚体系统的平衡问题、静定、静不定问题
§3-1平面力系的平衡方程
力系平衡的充要条件是主矢主矩同时等于零。
平面力系的平衡方程（基本形式） ∑Fx ＝0 ∑Fy ＝0 ∑ＭO（F ）＝0
O — 矩心； h —力臂;
力矩的正负号规定 “+”表示逆钟向； “-”表示顺钟向； MO（F ) =±2ΔOAB面积
空间力对点之矩
平面力系中，力对点之矩用代数量表示已足够 但是在空间力系中，有必要用一个矢量 ＭO（F） 表示空间任一力对点之矩
｜ＭO（F）｜＝F h ＝2 (△OAB 面积）
空间力对轴之矩
y
A B
F
F , y 3754'
O
C
x
求主矩。
y
A 2m
F2
60°
M O M O Fi
B
F3
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5
2. 求合成结果。
合成为一个合力F，F的大小、方
O
F1
C
F4
30°
3m
x
y
A B
向与FR相同。其作用线与O点的
。
结论：力系向简化中心简化，可以得到一个力和一 个力偶，这个力的大小和方向与力系的主矢相同， 作用于简化中心；这个力偶的力偶矩矢量等于力系 对简化中心的主矩 。主矢与简化中心的选择无关， 主矩与简化中心的选择有关。
同一力系向不同简化中心简化，结果之间有何关 系？
力系简化结果讨论
空间力系合成结果： 1、合成为一个力偶 3、合成为一个力螺旋
B FBA FAB M2 M1 B
A
α
M1
M2
A D FO O
O
D FD
解：杆AB为二力杆。 AO杆与BD杆的受力如图所示。
解：杆AB为二力杆。 AO杆与BD杆的受力如图所示。
A α FAB
分别写出杆AO和BD的平衡方程：
由
M
i
0
FO
M1 O
得
M1 r ·AB cosα= 0 F
FBA
B
M2 + 2r · BA cosα= 0 F
§2-2 力偶的概念和性质
力偶：大小相等、方向相反而不共线的两个平
行力所组成的力系，称为力偶。
力偶作用面：由力偶的两个力的作用线所决定的平面； 力偶臂：力偶的两个力的作用线间的垂直距离，一般用 d 表示。 力偶的转向：力偶使静止刚体转动的方向； 力偶矩：在平面力偶的情况下，力偶矩用代数量表示，Ｍ = ±Ｆd
第二章 作用于刚体上的力系等效与简化
§2-1 力矩 §2-2 力偶的概念和性质 §2-3力偶系的合成与平衡 §2-4 力的平移定理 §2-5 空间力系简化及合成结果讨论
§2-1 力矩
平面内力对点之矩
力对点之矩是度量一个力使物体绕某点转动的作用。 在平面力系的情况下，力对点之矩用代数量表示。 MO（F ) =±Fh
0.768
y
A 2m
F2
60°
B
F3
2 2 FR FRx FRy 0.794
F cosFR , x Rx 0.614 FR
F1
C O 3m
F4
30°
x
F , x 526'
FRy cosFR , y 0.789 FR
度量力F 使刚体绕此轴转动的作用。 定义: ＭZ(F )＝±|ＭO(Fxy)|＝±Fxy h
即：力对Z 轴之矩等于此力在垂直与该轴的平面上的
投影Fxy 对该轴与此平面交点之矩 。
力对轴之矩等于力对点O 之矩矢量在相应轴 上的投影。
式中： x, y, z ——力F 作用点的坐标； Fx，Fy,Fz ——力F 沿三轴的投影。
2、合成为一个力 ４、平衡
１、当FR'＝0 ，Ｍ0≠0 时， 空间力系合成为一个力偶
力系简化结果讨论
2.1、FR'≠0，Ｍ0 ＝0时，空 间力系合成为一个力。 FR'=∑F 作用线过O点
2.2、FR‘≠0，Ｍ0 ≠0且FR’⊥ Ｍ0 时，空间力系仍合成为一 个力
力系简化结果讨论