三角函数的应用重点公式整理

4
4
sin= 105 s= in 75
6+
2
但 cos105 = − cos 75 = − 6 −
2 。
4
4
(6)大角對大邊；小角對小邊。
二、和差角公式
(1) sin(α= + β ) sinα cos β + cosα sin β (sc+cs) (2) sin(α= − β ) sinα cos β − cosα sin β (sc-cs) (3) cos(α= + β ) cosα cos β − sinα sin β (cc-ss) (4) cos(α= − β ) cosα cos β + sinα sin β (cc+ss) ( cos 比較叛逆)
4( 3= −1) 3−1
2(
3 −1ห้องสมุดไป่ตู้ 。
九、三角函數的應用題解題步驟 1. 畫圖，並依條件將數字標上。 2. 標符號，例如角度用 A, B,C ，長度用 a,b, c 。 3. 先看小三角形，再看整體大三角形(分開畫)。 4. 利用比例求出未知的邊長，若比例沒用就用正弦或餘弦。 5. 利用比例寫出等式或關係式(例如商高定理…)，最後求出未知數。
− a2 + b2 。 五、正弦定理
有一個三角形 ∆ABC ，其對邊長為 a,b, c ，則有 = a = b = c 2R ( R 為外接圓半徑)，也 sin A sin B sin C
可以寫成 a : b : c = sin A : sin B : sin C (不是 a : b : c =∠A : ∠B : ∠C !!)
六、三角形面積公式
(1) ∆A= BC 1 ab si= n C 1 ac si= n B 1 bc sin A (由兩邊長及所夾的角度的 sin 值可知面積)
2
2
2
(2)海龍公式: ∆ABC = s(s − a)(s − b)(s − c) ，其中 =s 1 (a + b + c) 。 2
(3) ∆ABC = abc ， ∆ABC = rs ，其中 R 為外接圓半徑， r 為內切圓半徑， =s 1 (a + b + c) 。
三、兩倍角公式
(1) sin 2θ = 2sinθ cosθ 可知 sinθ = 2sin θ cos θ 、 sin 4θ = 2sin 2θ cos 2θ …以此類推。 22
(2) cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ = 2 cos2 θ −1 = 1− 2sin2 θ 。(因為 sin2 θ + cos2 θ = 1)
4R
2
七、餘弦定理
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
cos
A
=
b2
+ c2 − 2bc
a2
求長度
b2
c2
= =
a2 a2
+ c2 + b2
− 2ac cos B − 2ab cos C
(利用兩邊及所夾角求第三邊)；求角度 cos B cos C
= =
a2 a2
+ c2 − b2 2ac + b2 − c2 2ab
。
八、常出現問題:
1. (a + b)2 =a2 + 2ab + b2 ，所以 ( 3 +1)2 = ( 3)2 + 2 ⋅ 3 ⋅1+12 = 4 + 2 3 。
2. 2 sin 60
= 2 =2 ⋅ 3/2
2 =4 =4 3 333
；
= 4 3 +1
(
4( 3 −1)= 3 +1)( 3 −1)
◎自行補充區:
三角函數的應用重點公式整理
一、解題訣竅 (1) 能畫圖就畫圖。 (2) 每題都先列公式，再編號。
(3) 不要急著展開，寫成分解式整理再提出來， 3 可以改成 3 ⋅ 3 ； =6 2 ⋅ 3 。
(4) 走一步算一步，不要急著放棄!
(5)= sin15 = 6 − 2 cos 75 ；= sin 75 = 6 + 2 cos15 。
(3) tan
2θ
=
2 tanθ 1− tan2 θ
2t (可記為 1− t2 )。
(4)補充: sin 2θ
=
1
2 +
tan θ tan2 θ
(可記為 2t 1+ t2
)， cos 2θ
=
1 1
− +
tan tan
2 2
θ θ
(可記為 1− t2 1+ t2
)
用圖形來記憶。
四、疊合公式求最大最小
若函數= f (x) a sin x + b cos x ，則 − a2 + b2 ≤ f (x) ≤ a2 + b2 ，即最大為 a2 + b2 ，最小為