1-3及4高斯法和牛顿法.
电力系统课程设计-牛顿拉夫逊法潮流计算
课程设计说明书题目电力系统分析系 ( 部)专业( 班级 )姓名学号指导教师起止日期电力系统分析课程设计任务书系(部): 专业：指导教师：目录一、潮流计算基本原理1.1 潮流方程的基本模型1.2 潮流方程的讨论和节点类型的划分1.3、潮流计算的意义二、牛顿一拉夫逊法2.1 牛顿-拉夫逊法基本原理2.2节点功率方程2.3修正方程2.4 牛顿法潮流计算主要流程三、收敛性分析四、算例分析总结参考文献电力系统分析潮流计算一、潮流计算基本原理1.1潮流方程的基本模型电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成，其中发电机及负荷是非线性元件，但在进行潮流计算时，一般可以用接在相应节点上的一个电流注入量来代表。
因此潮流计算所用的电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。
结合电力系统的特点，对这样的线性网络进行分析，普通采用的是节点法，节点电压与节点电流之间的关系I=YV (1—1)其展开式为(i=1,2,3, …,n) (1—2)在工程实际中，已经的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此必须应用联系节点电流和节点功率的关系式 (i=1,2,3, …,n) (1—3)将 式 ( 1 - 3 ) 代 入 式 ( 1 - 2 ) 得 到 (i=1,2,3, …,n) (1-4)交流电力系统中的复数电压变量可以用两种极坐标来表示V =Vei8. (1-5)或 V=e+jf (1-6)而复数导纳为Y=G+jB (1-7)将式(1-6)、式(1- 7)代入以导纳矩阵为基础的式(1-4),并将实部与虚部分开，可以得到以下两种形式的潮流方程。
潮流方程的直角坐标形式为潮流方程的极坐标形式为(1—10)(1-11)以上各式中，j∈i表示乙号后的标号j的节点必须直接和节点i相联，并包括j=i的情况。
这两种形式的潮流方程通常称为节点功率方程，实牛顿一拉夫逊等潮流算法所采用的主要数学模型。
高斯—牛顿迭代法
高斯牛顿法高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。
高斯—牛顿法的一般步骤为：(1)初始值的选择。
其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。
(2)泰勒级数展开式。
设非线性回归模型为：i=1,2,…,n (3-68)其中r为待估回归系数，误差项～N(0, )，设：，为待估回归系数的初始值，将(3-68)式在g点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得(3-69)将(3-69)式代入(3-68)式，则移项：令：则：i=1,2，…，n用矩阵形式表示，上式则为：(3-70)其中：(3)估计修正因子。
用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B，则：(3-71)设g为第一次迭代值，则：(4)精确度的检验。
设残差平方和为：，S为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K，当时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。
(5)重复迭代。
重复(3-71)式，当重复迭代S次时，则有：修正因子：第(S+1)次迭代值：四、应用举例设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表：表3-9 间接代换法计算表企业编号单位产品成本（元）月产量1 2 3 4 5 6 7 8 91011121601511141288591757666606160101620253136404551566065(注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页)试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。
解：(1)回归模型与初始值的选择。
根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始值。
即：则上述指数模型变为：对分别求反对数，得，带入原模型，得回归模型：高斯—牛顿迭代法初始回归模型：残差平方和：（2）泰勒级数展开式。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
全国中学生物理竞赛公式
全国中学生物理竞赛公式全国中学生物理竞赛力学公式一、运动学1.椭圆的曲率半径2.牵连加速度3.等距螺旋线运动的加速度二、牛顿运动定律三、动量1.密舍尔斯基方程〔变质量物体的动力学方程〕()dv dm m F u v dt dt=+-〔其中v 为主体的速度,u 为即将成为主体的一局部的物体的速度〕 四、能量1.重力势能GMm W r=-〔一定有负号,而在电势能中,如果为同种电荷之间的相互作用的电势能,如此应该为正号,但在万有引力的势能中不存在这个问题,一定是负号！！！！〕2.柯尼希定理21''2k k c k kc E E M v E E =+=+〔E k ’为其在质心系中的动能〕 3.约化质量4.资用能〔即可以用于碰撞产生其他能量的动能〔质心的动能不能损失〔由动量守恒决定〕〕〕资用能常用于阈能的计算2212121122kr m m E u u m m μ==+〔u 为两个物体的相对速度〕 5.完全弹性碰撞与恢复系数（1）公式（2）恢复系数来表示完全弹性碰撞112211222112m v m v m u m u u u v v +=+-=-〔用这个方程解比用机械能守恒简单得多〕五、角动量 dL M I dtβ==〔I 为转动惯量〕 3.转动惯量4.常见物体的转动惯量（1）匀质球体225I mr = （2）匀质圆盘〔圆柱〕212I mr =（3）匀质细棒绕端点213I mr =（4）匀质细棒绕中点2112I mr = （5）匀质球壳223I mr =（6）薄板关于中心垂直轴221()12I m a b =+ 5.平行轴定理 2D C I I md =+〔I c 为相对质心且与需要求的轴平行的轴〕6.垂直轴定理（1）推论：一个平面分布的质点组,取z 轴垂直于此平面,x ,y 轴取在平面内,如此三根轴的转动惯量之间有关系 z x y I I I =+〔由此可以推出长方形薄板关于中心垂直轴的转动惯量221()12I m a b =+> 7.天体运动的能量 2GMm E a=-〔a 为椭圆轨道的半长轴,当然,抛物线轨道的能量为0,双曲线轨道的能量大于0〕 8.开普勒第三定律：2234T a GMπ= 六、静力学1.利用矢量的叉乘来解决空间受力平衡问题例如x 方向上的力矩：x y z z y M F r F r F r =⨯=-选一点为轴的话,可以直接列三个力矩平衡的方程来解决问题七、振动与波动1.简谐振动的判定方法2.简谐振动中的量的关系3.驻波min 2x λ=〔x 为相邻的波节或波腹间的距离,即驻波的图形中一个最小重复单位的长度〕4.多普勒效应（1）宏观物体的多普勒效应①观察者运动,波源不动②观察者不动,波源运动③观察者与波源都运动（2）光的多普勒效应注：多普勒效应中的速度的正负单独判断后带入公式中,其实只用记住观察者的运动影响在分子上,而波源运动的影响在分母下.5.有效势能与其应用22()()2eff L V r U r mr=+〔()U r 为传统意义的势能,如引力势能、静电势能、弹性势能,222L mr 是惯性离心力的势能〕振动的角频率满足：ω=〔物体在0r 附近振动,但应该满足''0eff V >,否如此轨道不稳定〕任意物体在0x 附近做简谐振动的条件为：00'()0,''()0U x U x =>其中求简谐振动的角频率的方法为：ω="()k U x =〕 全国中学生物理竞赛电学公式一、静电场：1．高斯定理：4επ∑⎰∑==⋅q q k S d E 封闭面 2．安培环路定理：0=⋅⎰l d E3．均匀带电球壳外表的电场强度：22R kQE =〔在计算相互作用的时候应该用这个公式〕4．无限长直导线产生的电场强度：r k E η2=5．无限大带电平板产生的场强：022εσσπ==k E 6．电偶极矩产生的场强 ①沿着两点连线方向：33rp k r ql kE == ②垂直方向：3322r p k r ql k E ==其中p 为电偶极矩=ql 7．实心球内部电势：322123RQ r k R Q k -=ϕ 8．实心球内部场强：3Qr E kR = 9．同心球形电容器：介电常数指内外球壳之间充满的其中εε)(1221R R k R R C -=即电解质会使电场强度变小但让电容变大10．静电场的能量：2022228E 22121E k C Q QU CU W επω=====电场能量密度为11．电场的极化：kdSC r kQU r Q kQ F E E r r r r r πεεεεε4)1(2210===≥=平行板电容器的电容：点电荷的电势：库仑定律： 对于平行板电容器有：000,Q Q CU S σ==〔不论是否有介质,用这个公式计算出的是自由电荷的密度,而极化电荷密度在平行板电容器中总是满足：01'r rεσσε-=,如果有多个介质在板中串联或并联,将它们分开为许多个电容,然后将电荷密度进展叠加就可以得到最终的自由电荷的密度与极化电荷的密度.〕12．电像法：无限大的接地平板的电像法略接地的球体：q hr q h r h -==','2可以看做将距离和电荷量都乘上一个比例系数hr 只不过电荷的性质相反！ 二、稳恒电流 1. 法拉第电解定律：为化合价）为摩尔质量，为电化当量）n M FnMq m k kq m (:)2((:)1(==2. 电阻定律：)1()1(00t R R t ααρρ+=+=即〔t 为摄氏温度〕 3. △-Y 变换：312312233133123121223231231231121YR R R R R R R R R R R R R R R R R R ++=++=++=−→−∆即△-Y 为下求和,Y-△为上求和电容的△-Y 变换与电阻的恰好相反,△-Y 为上求和,Y-△为下求和4. 电流密度的定义：n j SI ∆∆= 5. 欧姆定律的另一表达形式：)1(,ρσ==E σj 6. 焦耳定律的微分形式：ρσ222j j V R I V P p ==== 7. 微观电流neSujS I neuj === 8. 电阻率对电子产生的加速度：9. 晶体三极管的电流分布：三、磁场与电磁感应1. 洛伦兹力B v q F ⨯=2. 毕奥-萨伐尔定律：20cos 4r L I B ϕπμ∆∑= 3. 无限长直流导线产生的磁场：r I r I k B πμ20== 4. 无限长密绕螺线管内部磁场：为单位长度的匝数）n nI B (0μ=5. 安培环路定理：⎰∑=⋅)0内（L I l d B μ〔可用此轻易推出无限长直导线的磁场〕6. 高斯定理：0S (=∆⋅∑）封闭面S B7. 复阻抗：)(1i j Cj X Lj X RX C L R 学中的为单位复数，相当与数ωω===8. 安培力产生的力偶矩：((M m B m m NISn n =⨯=为磁矩）且：为线圈的法向量且方向满足电流的右手螺旋定则）当然力偶矩的大小与所旋转轴无关,甚至所选转轴可以不在线圈平面内,只要满足转轴与力偶矩的方向平行即可〔即与力的方向垂直〕即BISN M =9. 磁矩产生的磁感应强度：032mB x μπ=10. 自感：I L t ε∆=-∆自感磁场能量：212L W LI = 11. 变压器中阻抗变换：2112'()(n R R n n =为原线圈的匝数） 全国中学生物理竞赛 光学 公式一、几何光学1.平面镜反射：2.平面折射〔视深公式〕''n n n n u v R-+=〔圆心在像方半径取正,圆心在物方半径取负〕 以上所有：0,00,0u u v v ><><实物，，虚物实像，，虚像二、波动光学注意关注牛顿环干预的原理,尤其是注意是在球面上反射的光线〔没有半波损失〕与在最低的平面处反射的光线〔有半波损失〕进展干预,而不是在最上面的平面反射的光线进展干预！而且牛顿环作为一种特殊的等厚干预,光在空气层中的路径要计算两次！所以可以得到牛顿环的公式如下： ,3,2,1,0()21(=+=k R k r k λ……〕〔指的是第k 级明纹的位置,中央为暗纹〕22cos 2i h n =∆〔注意等倾干预的半波损失有两种情况〕 〔2i 指的是第一次进入2n 介质的折射角〕6.等厚干预〔略〕''ff xx =〔其中x 与'x 为以焦距计算的物距和像距〕对于物方与像方折射率一样的透镜有牛顿公式的符号规如此为:以物方焦点的远离光心的距离为牛顿物距〔即当经典物距小于焦距的物体的牛顿物距小于零〕；以像方焦点的远离光心的距离为牛顿像距.x d D针对于玻璃球而言A 为齐明点,R n n AO 12=〔即从任何位置看A 点的像在同一位置〕1.22d λθ=〔即艾里斑〕全国中学生物理竞赛 近代物理学 公式一、洛伦兹变换与其推论：2222121222011''1cv c v t t t t t cv l l -∆=--=-=∆-=τ钟慢效应：尺缩效应：〔这两个公式最好不要用,最好用最根底的洛伦兹变换来进展推导,否如此容易在确定不变量的时候出现问题〕小心推导钟慢效应与尺缩效应的时候不要弄反了一定要分析到底在哪一个参考系中x 或者t 是不变的速度变换：〔这个可以由洛伦兹变换求导推出〕<系的速度系相对为S S v '> 正向：222222211'11'1'cvu c v u u c vu c v u u c vu vu u x z z x y y x x x --=--=--= 逆向：2222222'11''11''1'c v u c v u u cv u c v u u cv u v u u x z z xy y xx x +-=+-=++= 时间与空间距离变换：二、相对论力学：动量：0p mv m v γ===能量：2220=E mc m c γ== 动能满足：202c m mc E k -=又有：224202c p c m E +=全国中学生物理竞赛 热学 公式一、理想气体1.理想气体状态方程2.平均平动动能与温度的关系3.能均分定理二、固体液体气体和热传导方式4.热传导定律5.辐射6.膨胀7.外表X 力8.液体形成的球形空泡〔两面都是空气〕由于外表X 力产生的附加压强为：三、特殊准静态过程<1>状态方程〔泊松方程〕 完整的应为：)(,111Const T P Const PT Const TVConstPV ====---γγγγγγ <2>做功 2122111d ()1V V W p V p V p V γ==--⎰〔整个方程实际的意义就是：V W nC T =∆,本来是很简单的,所以对于绝热过程来说,一般不要乱用泊松方程,否如此会误入歧途,因为泊松方程好似与热力学第一定律加上理想气体状态方程完全等效〕 W Q U +=∆〔Q 指系统吸收的热量,W 指外界对系统做的功〕开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量,使之完全变为有用功而不产生其他影响.〔第二类永动机是不可能造成的〕 克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化.全国中学生物理竞赛原子物理 公式1.波尔相关理论：o11212120.53A 53pm13.6n n r E eVn m r r ZMZ M E E n m ===-==〔m 为电子的质量,M 为相当于电子的粒子的质量,比如μ-子〕12212(th M M E Q M M M +=为运动粒子质量，为静止粒子的质量）〔最好用资用能来进展推导,这个比拟保险,公式容易记错〕1.p x h ∆∆≥2.E t h ∆∆≥ 〔另有说法为,44hhp x E t ππ∆∆>∆∆>〕 5.光电效应光子携带能量：E h ν= 光电子的动能：k E h W ν=-逸出功 反向截止电压：k h W E V e eν-==逸出功[附]三角函数公式。
高斯—牛顿迭代法
高斯牛顿法高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。
高斯—牛顿法的一般步骤为：(1)初始值的选择。
其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。
(2)泰勒级数展开式。
设非线性回归模型为：i=1,2,…,n (3-68)其中r为待估回归系数，误差项～N(0, )，设：，为待估回归系数的初始值，将(3-68)式在g点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得(3-69)将(3-69)式代入(3-68)式，则移项：令：则：i=1,2，…，n用矩阵形式表示，上式则为：(3-70)其中：(3)估计修正因子。
用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B，则：(3-71)设g为第一次迭代值，则：(4)精确度的检验。
设残差平方和为：，S为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K，当时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。
(5)重复迭代。
重复(3-71)式，当重复迭代S次时，则有：修正因子：第(S+1)次迭代值：四、应用举例设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表：表3-9 间接代换法计算表企业编号单位产品成本（元）月产量1 2 3 4 5 6 7 8 91011121601511141288591757666606160101620253136404551566065(注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页)试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。
解：(1)回归模型与初始值的选择。
根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始值。
即：则上述指数模型变为：对分别求反对数，得，带入原模型，得回归模型：高斯—牛顿迭代法初始回归模型：残差平方和：（2）泰勒级数展开式。
小学奥数计算专题练习之高斯算法
小学奥数计算专题练习之高斯算法约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（JohannCarlFriedrichGauss，1777年4月30日－1855年2月23日）德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，是近代数学奠基者之一，被认为是历最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。
高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。
一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。
他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。
计算方法（公式）具体的方法是：首项加末项乘以项数除以2项数的计算方法是末项减去首项除以项差（每项之间的差）加1.如：1+2+3+4+5+······+n，则用字母表示为：n（1+n）/2等差数列求和公式Sn=(a1+an)n/2Sn=n(2a1+(n-1)d)/2;d=公差Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-(d/2)算法由来高斯小时候非常淘气，一次数学课上，老师为了让他们安静下来，给他们列了一道很难的算式，让他们一个小时内算出1+2+3+4+5+6+……+100的得数。
全班只有高斯用了不到20分钟给出了答案，因为他想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）……+（50+51）……一共有50个101，所以50×101就是1加到一百的得数。
后来人们把这种简便算法称作高斯算法。
1.1+2+3+……+8+9+10=2.1+3+5+……+17+19=3.1+2+3+……51+52+……+99+100=4.1+3+5+……51+53+……+97+99=5.2+4+6+……50+52+……+98+100=6.3+6+9+……+51+54+57+……+96+99=7.5+10+15+……+50+55+……+95+100=8.1+4+7+……+52+55+58+……+97+100=9.小添添家的时钟每整点时就敲钟，而敲的数目和当时的时间是一样的，而且在两个整点中还会敲一下，这时时钟一天内共敲多少下?10.有一列数：19、22、25、28……，这列数的前49个数(从19开始算起)的总和是的多少?。
现代电力系统分析-往年试卷与复习资料 (6)
一、潮流计算方法之间的区别联系高斯-赛德尔法：原理简单，导纳矩阵对称且高度稀疏，占用内存小。
收敛速度很慢，迭代次数随节点数直接上升，计算量急剧增加，不适用大规模系统。
牛顿-拉夫逊法：收敛速度快，迭代次数和网络规模基本无关。
相对高斯-赛德尔法，内存量和每次迭代所需时间较多，其可靠的收敛还取决于一个良好的启动初值。
PQ 分解法（快速解耦法）：PQ 分解法实际上是在极坐标形式的牛顿法的基础上，在交流高压电网中，输电线路等元件的R<<X ，即有功功率主要取决于电压相角，而无功功率主要取决于电压幅值，根据这种特性对方程组进行简化，从而实现了有功和无功的解耦。
两大条件：(1)线路两端的相角相差不大(小于10°～20°)，而且||||ij ij G B ≤，于是可以认为：cos 1;sin ij ij ij ij G B θθ≈≤； (2)与节点无功功率相对应的导纳2/i i Q U 通常远小于节点的自导纳ii B ，也即2i i ii Q U B <<。
1. PQ 分解法用一个1n -阶和一个1n m --阶的方程组代替牛顿法中22n m --阶方程组，显著减少了内存需量和计算量。
2. 计算过程中B '、B ''保持不变，不同于牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵，因此显著提高了计算速度。
3.雅可比矩阵J 不对称，而B '、B ''都是对称的，使求逆等运算量和所需的存储容量都大为减少。
4. PQ 分解法的迭代次数要比牛顿法多，但是每次迭代所需时间比牛顿法少，所以总的计算速度仍是PQ 分解法快。
在低压配电网中PQ 分解法不适用。
交流高压电网的输电线路的元件满足R<<X ，PQ 分解法正是基于此条件简化而来；而低电压配电网络一般R/X 比值很大，大R/X 比值病态问题也正是PQ 分解法应用中的一个最大障碍。
数值计算方法
1.题目造倒数表，并例求 18 的倒数。
（精度为 0.0005)2.算法原理2.1 牛顿迭代法牛顿迭代法是通过非线性方程线性化得到迭代序列的一种方法。
对于非线性方程f x( ) = 0 ，若已知根x* 的一个近似值x k ，将f (x) 在x k 处展成一阶泰勒公式后忽略高次项可得：f (x) ≈f x( k ) + f '(x k )(x −x k )右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程f (x) 。
将非线性方程f x( ) = 0的根x*代入f x( *) = 0 ，即f x( k ) + f '(x k )(x* −x k ) ≈ 0* x k−f (x k ) 解出x ≈f '(x k )将右端取为x k+1 ，则x k+1 是比x k 更接近于x* 的近似值，即f (x k )x k+1 ≈x k −f '(x k ) 这就是牛顿迭代公式，相应的迭代函数是f (x)ϕ(x) = x −f '(x)2.2 牛顿迭代法的应用1 1算是求cx− =1 0的解，解出计x，即得到。
取c c 有牛顿迭代公式精品文档cx k −11 x k+1 = x k −= c c 这样就失去了迭代的意义，达不到迭代的效果。
1f (x) = cx−1，f '(x)= c，故重新构造方程：cx2 −x = 0 ，也是该式的解。
故取f (x) = cx2 −x ，cf '(x) = 2cx −1，则有牛顿迭代公式x k+1 = x k −cx k2 −x k = cx k2 , k = 0,1,...2cx k −1 2c k −11 1的值在~ 之间，取初值x0 = 0.1。
20 103.流程图0 ,,N x ε读入 1 k⇒ ( ) 0?0x f ′ = 1x 输出 01 1 k kx x ⇒ + ⇒ ( ) ( )0 10 0f x x x f x ⇒ − ′ 1 0 ?x x ε − < ≠=<=≥≠4.输出结果5.结果分析当k= 3时，得 5 位有效数字 0.05 564。
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1.4.2牛顿潮流算法的修正方程式
现代电力系统分析
在将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时，由于所采 用f(x)的数学表达式以及复数电压变量采用的坐标形式的不 同，可以形成牛顿潮流算法的不同形式。
以下讨论用得最为广泛的f(x)采用功率方程式模型，而电 压变量则分别采用极坐标和直角坐标的两种形式。
(一)极坐标形式
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上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代 的修正量
x(0) [ f (x(0) )]1 f (x(0) )
将 x(0)和相x加(0)，得到变量的第一次改进值x(1)。接着就从x(1) 出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值x(0)出发，应 用牛顿法求解的迭代格式为:
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图1-1是增广矩阵按行消元的示意图，图中表示了五阶增 广矩阵的前四行，其中1-3行已完成了消元运算且已经存放 在内存中，接着要进行的是第四行的消元运算，即消去对角 元以左的三个元素。在具体的程序中，待消行是放在一个专 用的工作数组中进行消元运算的。
这种按行消元做法的好处:
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是对于消元过程中新注入的非零元素，当采用“压缩” 存储方式时，可以方便地按序送入内存，不需要预留它们 的存放位置。
特别值得注意的是由于不必一次形成整个雅可比矩阵， 且常数项的消元运算已和矩阵的消元过程同时进行，因此 这种牛顿潮流算法求解修正方程式时，所需的矩阵存储量 只是消元运算结束时所得到的用以进行回代的上三角矩阵 而已。
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(3)分析雅可比矩阵的非对角元素的表示式可见，某个非对 角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素Yij是否为零。 因此如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵 分块，把每个2X2阶子阵；作为分块矩阵的元素，则按节点 号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样 的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。
1.4.4牛顿潮流算法的性能和特点
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牛顿潮流算法突出的优点是收敛速度快，若选择到一个较 好的初值，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4—5次便可 以收敛到一个非常精确的解。而且其迭代次数与所计算网络 的规模基本无关。
牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于上节中提到的对以 节点导纳矩阵为基础的高斯一塞德尔法呈病态的系统，牛顿 法均能可靠地收敛。
这就限制了牛顿法潮流程序的解题规模，从而使得这种方 法的推广应用一度止步不前。
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其后正是人们注意到了雅可比矩阵高度稀疏的特点，求解 修正方程式时采用了稀疏程序设计技巧，并且发展了一套在 消元过程中旨在尽量保持其稀疏性、以减少内存需量并提高 计算速度的有效方法(即著名的最优顺序消去法)，才使牛顿 法真正得到了突破，因而在60年代中期以后被普遍采用。
(U
s i
)
2
(ei2
f
2 i
)
U
2 i
0
采用直角坐标形式的修正方程式为
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仔细分析以上两种类型的修正方程式，可以看出两者具有 以下的共同特点。
(1)修正方程式的数目分别为2(n-1)-m及2(n-1)个，在 PV节点所占比例不大时，两者的方程式数目基本接近2(n1)个。
(2)雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代， 雅可比矩阵都需要重新形成。
(4)和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在 位置上对称，但雅可比矩阵不是对称阵。
复习并分析这些特点非常重要，因为正是修正方程式的这 些特点决定了牛顿法潮流程序的主要轮廓及程序特色。
1.4.3修正方程式的处理和求解
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在本节的开头就已提到，牛顿算法的核心就是反复形成并 求解修正方程式。
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(二)直角坐标形式
令 U i 在ei这里jf，i 潮流方程的组成与上不同，对每个节
点，都有二个方程式，所以在不计入平衡节点方程式的情况 下，总共有2(n-1)个方程式。
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对每个PQ节点，根据式(1—11)和式(1—12)有：
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对每个PV节点，除了有与式(1-39)相同的有功功率方程式 之外，还有
f '(x(k) )x(k) f (x(k) ) x（k 1） x(k) x(k)
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上两式中：f’(x)是函数f(x)对于变量x的一阶偏导数矩阵， 即雅可比矩阵J；k为迭代次数。
由上两式可见，牛顿法的核心便是反复形成并求解修正方 程式。
牛顿法当初始估计值x(0)和方程的精确解足够接近时，收 敛速度非常快，具有平方收敛特性。
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静态法——按各节点静态连接支路数的多少顺序编号； 半动态法——按各节点动态连接支路数的多少顺序编号； 动态法——按各节点动态增加支路数的多少顺序编号。 三种节点编号优化方法：动态法效果最好，但优化本身所 需计算量也最多，而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算来 说，一般认为，采用半动态法似乎是较好的选择。
(3)消元的最优顺序或节点编号优化
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经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍属稀疏阵，但由于 消元过程中在原来是零元素的位置上有新元素注入，使得它 的稀疏度比原来雅可比矩阵的上三角有所降低。但分析表明， 注入元素的多少和消元的顺序或节点编号有关。节点编号优 化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案，使得按 此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消 元或三角分解过程中出现的注入元素数目能大大减少。节点 编号优化通常有三种方法：
“平直电压”法假定：
或
U
0 i
1
0 i
0
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ei0 1
f
0 i
0
(i 1,2,...,n;i s)
这样一般能得到满意的结果。但若系统因无功紧张或其它
原因导致电压质量很差或有重载线路而节点间角差很大时，
仍用上述初始电压就有可能出现问题。
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解决这个问题的办法可以先用上一节的高斯一塞德尔法迭 代1-2次；以此迭代结果作为牛顿法的初值。
缺点：
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本算法的主要缺点是收敛速度很慢。
病态条件系统，计算往往会发生收敛困难
节点间相位角差很大的重负荷系统；
包含有负电抗支路(如某些三绕组变压器或线路串联电 容等)的系统；
具有较长的辐射形线路的系统；
长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长 度比值又很大的系统。
此外，平衡节点所在位置的不同选择，也会影响到收敛性能。
目前高斯一塞德尔法已很少使用
1.4 牛顿一拉夫逊法
1.4.1牛顿一拉夫逊法的一般概念
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牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数 方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变 成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所称 的逐次线性化过程。
对于非线性代数方程组
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结合修正方程式的求解，目前在实用的牛顿法潮流程序中 所包含的程序特点主要有以下三个方面，这些程序特点对牛 顿法潮流程序性能的提高起着决定性的作用。
(1)对于稀疏矩阵，在计算机中以“压缩”方式只储存其 非零元素，且只有非零元素才参加运算。
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(2)修正方程式的求解过程，采用对包括了修正方程常数 项的增广矩阵以按行消去而不是传统的按列消去的方式进行 消元运算。由于消元运算系按行进行，因此可以不需先形成 整个增广矩阵，然后进行消元运算，而是采取边形成、边消 元、边存储的方式，即每形成增广矩阵的一行便马上进行消 元，并且消元结束后便随即将结果送内存存储。
即
f (x) 0
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fi (x1, x2 ,..., xn ) 0 (i 1,2,...n)
在待求量x的某一个初始估计值x(0)附近，将上式展开成 泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的经线性化 的方程组
f (x (0) ) f (x (0) )x (0) 0
也可以先用直流法潮流求解一次以求得一个较好的角度初 值，然后转入牛顿法迭代。
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任课教师：王守相
天津大学电气与自动化工程学院
2008年
1.3 高斯一塞德尔法潮流
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以导纳矩阵为基础，并应用高斯--塞德尔迭代的算法是在 电力系统中最早得到应用的潮流计算方法。
优点：原理简单，程序设计十分容易。导纳矩阵是一个对 称且高度稀疏的矩阵，因此占用内存非常节省。就每次迭代 所需的计算量而言，是各种潮流算法中最小的，并且和网络 所包含的节点数成正比关系。
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牛顿法所需的内存量及每次迭代所需时间均较前述的高斯 一塞德尔法为多，并与程序设计技巧有密切关系。
牛顿法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值。如果初 值选择不当，算法有可能根本不收敛或收敛到一个无法运行 的解点上。
对于正常运行的系统，各节点电压一般均在额定值附近， 偏移不会太大，并且各节点间的相位角差也不大，所以对各 节点可以采用统一的电压初值(也称为“平直电压”)，
因此如何有效地处理修正方程式就成为提高牛顿法潮流程 序计算速度并降低内存需量的关键所在。
?
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从算法的发展过程来看，在50年代末就已经提出了牛顿法 潮流的雏形。
先是用迭代法求解修正方程式，但遇到迭代法本身不收敛 的问题。
用高斯消去法等直接法求解，但如前所分析，修正方程式 的数目在2(n-1)左右，如果不利用雅可比矩阵的稀疏特性， 当网络节点数增加为N倍，存储雅可比矩阵的内存量将正比 于N2倍,利用直接法求解修正方程的计算量将正比于N3倍地 增长。
令 U i U则i 采用i 极坐标形式的潮流方程是：