非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋)知识分享
非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋)
非线性回归预测法
前面所研究的回归模型，我们假定自变量与因变量之间的关系是线性的，但社会经济现象是极其复杂的，有时各因素之间的关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系，这时，就必须建立非线性回归模型。 一、非线性回归模型的概念及其分类
非线性回归模型，是指用于经济预测的模型是曲线型的。常见的非线性回归模型有下列几种： (1)双曲线模型：
i i
i x y εββ++=1
2
1 (3-59) (2)二次曲线模型：
i i i i x x y εβββ+++=2321 (3-60)
(3)对数模型：
i i i x y εββ++=ln 21 (3-61)
(4)三角函数模型：
i i i x y εββ++=sin 21 (3-62)
(5)指数模型：
i x i i ab y ε+= (3-63)
i i i x x i e y εβββ+++=221110 (3-64)
(6)幂函数模型：
i b i i ax y ε+= (3-65)
(7)罗吉斯曲线：
i x x i i
i
e e y εββββ++=++1101101 (3-66)
(8)修正指数增长曲线：
i x i i br a y ε++= (3-67)
根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可细分成三种类型。 第一类：直接换元型。
这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型，如：(3-59)、(3-60)、(3-61)、(3-62)式。由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小平方法估计回归系数并进行检验和预测。 第二类：间接代换型。
这类非线性回归模型经常通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型，如：(3-63)、(3-64)、(3-65)式。由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的较大偏差。 第三类：非线性型。
这类非线性回归模型属于不可线性化的非线性回归模型，如：(3-66)和(3-67)式。第一类和第二类非线性回归模型相对于第三类，又称为可线性化的非线性回归模型。本节重点研究第一类和第二类即可线性化的非线性回归模型。 二、可线性化的非线性回归模型的模型变换及参数估计 1.直接换元法
换元过程和参数估计方法，如表3-6所示。例设某商店1991～2000年的商品流通费用率和商品零售额资料如下表：
表3-7 直接换元法计算表
根据上述资料，配合适当的回归模型分析商品零售额与流通费用率的关系，若2001年该商店商品零售额将为36.33万元，对2001年的商品流通费用额作出预测。
解：(1)绘制散点图(图略)。从图中可清楚看到：随着商品零售额的增加，流通费用率有不断下降的趋势，呈双曲线形状。 (2)建立双曲线模型。
i i
i x y εββ++=12
1 令 i i x x 1'=
得 i i i x y εββ++='
21
(3)估计参数。
Eviews4.0 软件，hzz －暴P92表3－7
得回归模型为：i
i x y 17610.425680.2+=∧
2.间接代换法
代换过程和参数估计方法如（暴经济预测P96）表3-8所示。
三、高斯—牛顿迭代法
高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。高斯—牛顿法的一般步骤为：
(1)初始值的选择。其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。
(2)泰勒级数展开式。设非线性回归模型为：
i i i r x f y ε+=),( i=1,2,…,n (3-68)
其中r 为待估回归系数，误差项 i ε～N(0, 2
σ)，设：
')0(1)0(1)
0(00),,(-=p g g g g Λ，为待估回归系数'110),,(-=p r r r r Λ的初始值，将
(3-68)式),(r x f i 在g 0
点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以
上的偏导数项，得
())
0(1
0)
0()
0(),(),(),(k
k
g
r p k k i i i g r
r r x f g x f r x f -?
?
??????+≈=-=∑ (3-69) 将(3-69)式代入(3-68)式，则
()
i k k
g r p k k i i i g r r r x f g x f y ε+-?
??
??
???+≈=-=∑)
0(1
0)
0()
0(),(),(
移项：
()
i k k
g
r p k k i i i g r
r r x f g x f y ε+-?
?
?
?????≈-=-=∑)
0(1
0)
0()
0(),(),(
令：
)
0()0()
0()0()0()
0(),(),(k
k k g r k i ik i i i g r r r x f D g x f y y -=?
???????=-==β 则：i k p k ik i
D y
εβ+≈∑-=)
0(1
)0()0( i=1,2，…，n 用矩阵形式表示，上式则为：ε+≈)0()0()
0(B D Y (3-70)
其中：
?????
? ??=?????? ?
?=?????
??--=-?--??)0(1)
0(0)
0(1
)0(1)0(0)0(11)0(10)
0()0()0(11)
0(1
),(),(p p np
n p p n n n
n B D D D D D g x f y g x f y Y ββM ΛM ΛM
(3)估计修正因子。用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B （0）
，
则：(
)
)0()0(1
)
0()0()
0('
'
Y D D
D b
-= (3-71)
设g (1)
为第一次迭代值，则：)0()0()
1(b g g
+=
(4)精确度的检验。设残差平方和为：
[]
2
1
)()0(),(∑=-=n
i s i i g x f y SSR ，S 为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K ，
当k SSR
SSR SSR s s s ≤--)
()
1()(时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。 (5)重复迭代。重复(3-71)式，当重复迭代S 次时，则有： 修正因子：(
)
)()(1
)()()('
'
s s s s s Y D D D b -=
第(S+1)次迭代值：)()()
1(s s s b g g +=+
四、应用举例
设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表：
表3-9 间接代换法计算表
(注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页)
试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。
解：(1)回归模型与初始值的选择。根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模
型：i x
i ab y =∧
对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始值。即：b b a a y y b
x a y i i
i i lg ,lg ,lg lg lg lg '''
===+=∧
∧
∧
令：
则上述指数模型变为：i i
x b a y '
'
'+=∧ i i x y 00831.026109.2'
-=∧ 对'
',b a 分别求反对数，得182.43,0.981a b ==，带入原模型， 得回归模型：i x
i y 981.043.182?=∧
高斯—牛顿迭代法
初始回归模型：(0)
(,)182.430.981i x
i f x g =?
残差平方和：(0)
(0)2((,))1124.1526i i SSR
y f x g =-=∑
（2）泰勒级数展开式。先对指数模型 i x
i ab y =∧
中的a 和b 分别求偏导数。
000
0.981i
i a a b b x x i a a b b y b a ==∧
==?==?
1
1000
182.43**0.981i i a a b b x x i a a i i b b y ax b x b
--==∧
==?==?
然后用泰勒级数展开指数模型，移项整理得(注：参见(3-69)、(3-70)式)：
(0)Y
(0)D
(0)B
160-150.5866 0.82545 1535.0316 151-134.2148 0.73571 2189.0282 114-124.3015 0.68137 2534.1796 128-112.9332 0.61905 2878.0110
85-100.6550 0.55175 3180.7400 a (0)
91- 91.4493 = 0.50128 3355.9387 75- 84.6948 0.46246 3453.4052
76- 76.9488 0.42180 3529.7593 b (0) 66- 68.5829 0.37594 3565.4701 60- 62.3104 0.34156 3556.9658 61- 57.7081 0.31633 3529.5468 60- 52.4302 0.28740 3473.9702
(3-72)
(3)估计修正因子。解(3-72)式矩阵，得：
a (0)
12.09660288
=
b (0)
－0.00180342
第一次迭代值：
a 1 a 0 a (0)
194.5266
= ＋ ＝
b 1 b 0 b (0)
0.9792
第一次迭代回归模型：(1)
(,)194.52660.9792i x
i f x g =?
(4)精确度的检验。残差平方和：
(1)(1)2((,))999.4077i i SSR y f x g =-=∑
给定误差率K=10-3
,则：
(1)(0)(1)1124.1526
10.12482999.4077
SSR SSR k SSR -=-=>
作下一次迭代。 (5)重复迭代。
将 a 1 代入(3-71)式作第二次迭代。得估计修正因子：
b 1
a (1)
0.647654043
=
b (1)
－0.000066948
第二次迭代值：
a 2 a 1 a (1)
195.1743
= ＋ ＝
b 2 b 1 b (1)
0.9791
第二次迭代回归模型：(2)
(,)195.17430.9791i x
i f x g =?
残差平方和：(2)(2)2
((,))999.1241i i
SSR y
f x
g =-=∑ 误差率：
(2)(1)(2)999.4077
10.00028999.1241
SSR SSR k SSR -=-=<
误差率达到要求，停止迭代。表3-10计算结果比较
从上表可看出：高斯—牛顿迭代法具有收敛快，精确度高的优点，二次迭代就使精确度高达99.97%，相关指数也明显提高。理论上可以证明高斯—牛顿迭代法经
过数次迭代后，估计回归系数将逼近最佳的待估回归系数，使残差平方和达到最小，从而明显地克服了最小平方法的不足。其缺陷是计算量较大，但随着电子计算机的日益普及，这点计算就显得微不足道了。
SPSS10.0 软件，hzz －暴P98表3－9
根据最小平方法，参数为：
Eviews4.0 软件，hzz －暴P98表3－9
或：Quick/generate Series (生成系列) lny=log(y)，Lny c x 结果不对？ 对b ′及a ′分别求反对数，得初始值：a 0=182.43，b 0=0.981，初始回归模型：
i x i g x f 981.043.182),()0(?= f
残差平方和：[]
1526.1124),(2
1
)
()
0(=-=∑=n
i s i i g x f y SSR
(2)高斯—牛顿迭代法。用SPSS10.0 软件计算。 (3)估计修正因子。解(3-72)式矩阵，得： (4)精确度的检验。残差平方和： (5)重复迭代。
高斯—牛顿迭代法可用于各种间接代换型、非线性型回归模型。 例：冯P158增长型曲线模型，P162生命周期曲线模型。数据参见SPSS10.0软件计算课本练习数据。
ICA使用牛顿迭代法对FastICA算法经行改进
ICA用牛顿迭代法改进的FastICA算法 ICA算法原理： 独立分量分析（ICA）的过程如下图所示：在信源()st中各分量相互独立的假设下，由观察xt通过结婚系统B把他们分离开来，使输出yt逼近st。 图1-ICA的一般过程 ICA算法的研究可分为基于信息论准则的迭代估计方法和基于统计学的代数方法两大类，从原理上来说，它们都是利用了源信号的独立性和非高斯性。基于信息论的方法研究中，各国学者从最大熵、最小互信息、最大似然和负熵最大化等角度提出了一系列估计算法。如FastICA算法, Infomax算法，最大似然估计算法等。基于统计学的方法主要有二阶累积量、四阶累积量等高阶累积量方法。本实验主要讨论FastICA算法。 1. 数据的预处理 一般情况下，所获得的数据都具有相关性，所以通常都要求对数据进行初步的白化或球化处理，因为白化处理可去除各观测信号之间的相关性，从而简化了后续独立分量的提取过程，而且，通常情况下，数据进行白化处理与不对数据进行白化处理相比，算法的收敛性较好。 若一零均值的随机向量 满足 ， 其中：I为单位矩阵，我们称这个向量为白化向量。白化的本质在于去相关，这同主分量分析的目标是一样的。在ICA中，对于为零均值的独立源信号 ， 有： ， 且协方差矩阵是单位阵cov( S ) = I，因此，源信号 S( t )是白色的。对观测信号X( t )，我们应该寻找一个线性变换，使X( t )投影到新的子空间后变成白化向量，即：
其中，W0为白化矩阵，Z为白化向量。 利用主分量分析，我们通过计算样本向量得到一个变换 其中U和 分别代表协方差矩阵XC的特征向量矩阵和特征值矩阵。可以证明，线性变换W0满足白化变换的要求。通过正交变换，可以保证 因此，协方差矩阵： 再将 代入 且令 有 由于线性变换A~连接的是两个白色随机矢量Z( t )和S( t )，可以得出A~ 一定是一个正交变换。如果把上式中的Z( t )看作新的观测信号，那么可以说，白化使原来的混合矩阵A简化成一个新的正交矩阵A~。证明也是简单的： 其实正交变换相当于对多维矢量所在的坐标系进行一个旋转。 在多维情况下，混合矩阵A是N*N 的，白化后新的混合矩阵A~ 由于是正交矩阵，其自由度降为N*(N-1)/2，所以说白化使得ICA问题的工作量几乎减少了一半。 白化这种常规的方法作为ICA的预处理可以有效地降低问题的复杂度，而且算法简单，用传统的PCA就可完成。用PCA对观测信号进行白化的预处理使得原来所求的解混合矩阵退化成一个正交阵，减少了ICA的工作量。此外，PCA本身具有降维功能，当观测信号的个数大于源信号个数时，经过白化可以自动将观测信号数目降到与源信号维数相同。
牛顿运动定律知识点总结归纳
牛顿运动定律 1、牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。（1 ）运动是物体的一种属性，物体的运动不需要力来维持； （2）它定性地揭示了运动与力的关系，即力是改变物体运动状态的原因，（运动状态指物体的速度）又根据加速 度定义：a ，有速度变化就一定有加速度，所以可以说：力是使物体产生加速度的原因。（不能说“力是产 A t 生速度的原因”、“力是维持速度的原因”，也不能说“力是改变加速度的原因”。）； WKJV （3）定律说明了任何物体都有一个极其重要的属性一一惯性；一切物体都有保持原有运动状态的性质，这就是 惯性。惯性反映了物体运动状态改变的难易程度（惯性大的物体运动状态不容易改变）。质量是物体惯性大小的 量度。 （4）牛顿第一定律描述的是物体在不受任何外力时的状态。而不受外力的物体是不存在的，牛顿第一定律不能用实验直接验证，因此它不是一个实验定律 （5）牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础，物体不受外力和物体所受合外力为零是有区别的，所以不能把牛顿 - rr—.r” - r—―― —- - j- ■ ■ ■ —. ■ ■1—r?_— 第一定律当成牛顿第二定律在F=0时的特例，牛顿第一定律定性地给出了力与运动的关系，牛顿第二定律定量 地给出力与运动的关系。 f ~1 2、牛顿第二定律：物体的加速度跟作用力成正比，跟物体的质量成反比。公式F=ma. （1）牛顿第二定律定量揭示了力与运动的关系，即知道了力，可根据牛顿第二定律研究其效果，分析出物体的 运动规律；反过来，知道了运动，可根据牛顿第二定律研究其受力情况，为设计运动，控制运动提供了理论基础； （2）牛顿第二定律揭示的是力的瞬时效果，即作用在物体上的力与它的效果是瞬时对应关系，力变加速度就变，力撤除加速度就为零，力的瞬时效果是加速度而不是速度； （3）牛顿第二定律是矢量关系，加速度的方向总是和合外力的方向相同的，可以用分量式表示，F x=ma x,F y=ma y, 若F为物体受的合外力，那么a表示物体的实际加速度；若F为物体受的某一个方向上的所有力的合力，那么a 表示物体在该方向上的分加速度；若F为物体受的若干力中的某一个力，那么a仅表示该力产生的加速度，不 是物体的实际加速度。 （4）牛顿第二定律F=ma定义了力的基本单位一一牛顿（使质量为1kg的物体产生1m/s2的加速度的作用力为 2 1N,即1N=1kg.m/s . （5 ）应用牛顿第二定律解题的步骤： ①明确研究对象。 ②对研究对象进行受力分析。同时还应该分析研究对象的运动情况（包括速度、加速度），并把速度、加速度的
高一物理-牛顿运动定律知识点归纳
高一物理:牛顿运动定律知识点归纳 ; 1.牛顿第一定律 (1)内容：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 (2)惯性：物体保持原来的匀速直线运动状态或静止状态的性质叫做惯性。一切物体都有惯性，惯性是物体的固有性质。质量是物体惯性大小的唯一量度。 (3)牛顿第一定律说明了物体不受外力时的运动状态是匀速直线运动或静止，所以说力不是维持物体运动状态的原因，而是使物体改变运动状态的原因，即产生加速度的原因。 2、牛顿第二定律 (1)内容：物体运动的加速度与所受的合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力相同。表达式为。 (2)牛顿第二定律的瞬时性与矢量性 对于一个质量一定的物体来说，它在某一时刻加速度的大小和方向，只由它在这一时刻所受到的合外力的大小和方向来决定。当它受到的合外力发生变化时，它的加速度随即也要发生变化，这便是牛顿第二定律的瞬时性的含义。 (3)运动和力的关系
牛顿运动定律指明了物体运动的加速度与物体所受外力的合力的关系，即物体运动的加速度是由合外力决定的。但是物体究竟做什么运动，不仅与物体的加速度有关还与物体的初始运动状态有关。比如一个正在向东运动的物体，若受到向西方向的外力，物体即具有向西方向的加速度，则物体向东做减速运动，直至速度减为零后，物体再在向西方向的力的作用下，向西做加速运动。由此说明，物体受到的外力决定了物体运动的加速度，而不是决定了物体运动的速度，物体的运动情况是由所受的合外力以及物体的初始运动状态共同决定的。 3、牛顿第三定律 (1)内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。 (2)作用力和反作用力与一对平衡力的区别与联系 关系类别作用力和反作用力一对平衡力相同大小相等相等方向相反、作用在同一条直线上相反、作用在同一条直线上不同作用点作用在两个不同的物体上作用在同一个物体上性质相同不一定相同作用时间同时产生同时消失一个力的变化，不影响另一个力的变化 本文链接: ://..//xuexizongjie/2800716
非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋)
非线性回归预测法 前面所研究的回归模型，我们假定自变量与因变量之间的关系是线性的，但社会经济现象是极其复杂的，有时各因素之间的关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系，这时，就必须建立非线性回归模型。 一、非线性回归模型的概念及其分类 非线性回归模型，是指用于经济预测的模型是曲线型的。常见的非线性回归模型有下列几种： (1)双曲线模型： i i i x y εββ++=1 2 1 (3-59) (2)二次曲线模型： i i i i x x y εβββ+++=2321 (3-60) (3)对数模型： i i i x y εββ++=ln 21 (3-61) (4)三角函数模型： i i i x y εββ++=sin 21 (3-62) (5)指数模型： i x i i ab y ε+= (3-63) i i i x x i e y εβββ+++=221110 (3-64) (6)幂函数模型： i b i i ax y ε+= (3-65) (7)罗吉斯曲线： i x x i i i e e y εββββ++=++1101101 (3-66) (8)修正指数增长曲线： i x i i br a y ε++= (3-67) 根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可细分成三种类型。 第一类：直接换元型。 这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型，如：(3-59)、(3-60)、(3-61)、(3-62)式。由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小平方法估计回归系数并进行检验和预测。 第二类：间接代换型。 这类非线性回归模型经常通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型，如：(3-63)、(3-64)、(3-65)式。由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的较大偏差。 第三类：非线性型。
各种迭代法编程
雅可比迭代法： function x=jacobi(a,b,p,delta,n) %a为n维非奇异矩阵；b为n维值向量 %p为初值；delta为误差界；n为给定的迭代最高次数 N=length（b）; for k=1:n for j=1：N x(j)=(b(j)-a(j,[1:j-1,j+1:N])*p([1:j-1,j+1:N]))/a(j,j); end err=abs(norm(x’-p)); p=x’; if(err function [x,k,err,p]=ddf(f,x0,tol,n) %ddl.m为用迭代法求非线性方程的解 %f为给定的迭代函数；x0为给定的初始值 %tol为给定的误差界；n为所允许的最大迭代次数 %k为迭代次数；x为不动点的近似值；err为误差 p(1)=x0; for k=2:n p(k)=feval(f,p(k-1)); k, err=abs(p(k)-p(k-1)) x=p(k); if(err 精心整理 专题三牛顿三定律 1.牛顿第一定律（即惯性定律） 一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 （1 （2 ③由牛顿第二定律定义的惯性质量m＝F/a和由万有引力定律定义的引力质量 2/严格相等。 m Fr GM ④惯性不是力，惯性是物体具有的保持匀速直线运动或静止状态的性质。力是物体对物体的作用，惯性和力是两个不同的概念。 2.牛顿第二定律 （1）定律内容 成正比，跟物体的质量m成反比。 物体的加速度a跟物体所受的合外力F 合 （2）公式：F ma = 合 理解要点： 是产生加速度a的原因，它们同时产生，同时变化，同时存在，同时①因果性：F 合 3. （1 4. 分析物体受力情况，应用牛顿第二定律列方程。（隔离法） 一般两种方法配合交替应用，可有效解决连接体问题。 5.超重与失重 视重：物体对竖直悬绳（测力计）的拉力或对水平支持物（台秤）的压力。（测力计或台秤示数） 物体处于平衡状态时，N＝G，视重等于重力，不超重，也不失重，a＝0 当N＞G，超重，竖直向上的加速度，a↑ 当N＜G，失重，竖直向下的加速度，a↓ 注：①无论物体处于何状态，重力永远存在且不变，变化的是视重。 ②超、失重状态只与加速度方向有关，与速度方向无关。（超重可能：a↑，v↑，向 例 度为 f1－ h1＝ 在t1到t＝t2＝5s的时间内，体重计的示数等于mg，故电梯应做匀速上升运动，速度为t1时刻电梯的速度，即 v1＝a1t1，③ 在这段时间内电梯上升的高度 h2＝v2（t2－t1）。④ 在t2到t＝t3＝6s的时间内，体重计的示数小于mg，故电梯应做向上的减速运动。设这段时间内体重计作用于小孩的力为f1，电梯及小孩的加速度为a2，由牛顿第二定律，得 mg－f2＝ma2，⑤ 在这段时间内电梯上升的高度 h3＝2 h＝h h＝ 例B。它 A m A 令x2 定律可知 kx2＝m B gsinθ② F－m A gsinθ－kx2＝m A a ③ 由②③式可得a＝④ 由题意d＝x1+x2⑤ 牛顿运动定律的应用 1. 力和运动的关系 例1. 如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方某一高 度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。 在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是（） A. 小球刚接触弹簧瞬间速度最大 B. 从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上 C. 从小球接触弹簧到达最低点，小球的速度先增大后减小 D. 从小球接触弹簧到到达最低点，小球的加速度先减小后增大 例2. 一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止 开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动，探测器通过喷气而获得推动力，以下关于喷气方向的描述中正确的是（） A. 探测器加速运动时，沿直线向后喷气 B. 探测器加速运动时，竖直向下喷气 C. 探测器匀速运动时，竖直向下喷气 D. 探测器匀速运动时，不需要喷气 例3、如图所示，电梯与水平面夹角为300,当电梯加速向上 运动时，人对梯面压力是其重力的6/5，则人与梯面间的摩 擦力是其重力的多少倍？ 2. 力和加速度的瞬时对应关系 例4. 如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各 与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定于杆上，小球处于静止状态，设 拔去销钉M瞬间，小球加速度的大小为12m/s2。若不拔去销钉M而拔去 销钉N瞬间，小球的加速度可能是（） A.22m/s2，竖直向上 B . 22m/s2，竖直向下 C . 2m/s2，竖直向上 D. 2m/s2，竖直向下 例5. 某型航空导弹质量为M，从离地面H高处水平飞行的战斗机上水平发 射，初速度为v0，发射之后助推火箭便给导弹以恒定的水平推力F作用使其加速，不计空气阻力和导弹质量的改变，下列说法正确的有（） A. 推力F越大，导弹在空中飞行的时间越长 B . 不论推力F多大，导弹在空中飞行的时间一定 C . 推力F越大，导弹的射程越大 D. 不论推力F多大，导弹的射程一定 专题三牛顿三定律 1. 牛顿第一定律（即惯性定律） 一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 （1）理解要点： ①运动是物体的一种属性，物体的运动不需要力来维持。 ②它定性地揭示了运动与力的关系：力是改变物体运动状态的原因，是使物体产生加速度的原因。 ③第一定律是牛顿以伽俐略的理想斜面实验为基础，总结前人的研究成果加以丰富的想象而提出来的；定律成立的条件是物体不受外力，不能用实验直接验证。 ④牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础，不能认为它是牛顿第二定律合外力为零时的特例，第一定律定性地给出了力与运动的关系，第二定律定量地给出力与运动的关系。 （2）惯性：物体保持原来的匀速直线运动状态或静止状态的性质叫做惯性。 ①惯性是物体的固有属性，与物体的受力情况及运动状态无关。 ②质量是物体惯性大小的量度。 ③由牛顿第二定律定义的惯性质量m＝F/a和由万有引力定律定义的引力质量m Fr GM 2/严格相等。 ④惯性不是力，惯性是物体具有的保持匀速直线运动或静止状态的性质。力是物体对物体的作用，惯性和力是两个不同的概念。 2. 牛顿第二定律 （1）定律内容 成正比，跟物体的质量m 物体的加速度a跟物体所受的合外力F 合 成反比。 （2）公式：F ma = 合 理解要点： ①因果性：F 是产生加速度a的原因，它们同时产生，同时变 合 化，同时存在，同时消失； ②方向性：a与F 都是矢量，方向严格相同； 合 是该时刻作 ③瞬时性和对应性：a为某时刻某物体的加速度，F 合 用在该物体上的合外力。 3. 牛顿第三定律 两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上，公式可写为F F =-'。 （1）作用力和反作用力与二力平衡的区别 4. 牛顿定律在连接体中的应用 核心考点 考纲要求 牛顿运动定律及其应用超重和失重ⅡⅠ 网络知识 解密考点 考点1 动力学中的图象问题 必备知识 物理公式与物理图象的结合是一种重要题型，也是高考的重点及热点。 1．常见的图象有：v –t 图象，a –t 图象，F –t 图象，F –x 图象，F –a 图象等。 2．图象间的联系：加速度是联系v –t 图象与F –t 图象的桥梁。 3．图象的应用 （1）已知物体在一过程中所受的某个力随时间变化的图线，要求分析物体的运动情况。 （2）已知物体在一运动过程中速度、加速度随时间变化的图线，要求分析物体的受力情况。 （3）通过图象对物体的受力与运动情况进行分析。 4．解题策略 （1）弄清图象斜率、截距、交点、拐点的物理意义。 （2）应用物理规律列出与图象对应的函数方程式，进而明确“图象与公式”、“图象与物体”间的关系，以便对有关物理问题作出准确判断。 5．分析图象问题时常见的误区 （1）没有看清纵、横坐标所表示的物理量及单位。 （2）不注意坐标原点是否从零开始。 （3）不清楚图线的点、斜率、面积等的物理意义。 （4）忽视对物体的受力情况和运动情况的分析。 典例分析 （2019·四川绵阳中学）水平地面上质量为m =6 kg 的物体，在大小为12 N 的水平拉力F 的作用下做匀速直线运动，从x =2.5 m 位置处拉力逐渐减小，力F 随位移x 变化规律如图所示，当x =7 m 时拉力减为零， 物体也恰好停下，取，下列结论正确的是 2 10m/s g A ．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5 B ．合外力对物体所做的功为57 J C ．物体在减速阶段所受合外力的冲量为12 N?S D ．物体匀速运动时的速度为3 m/s 【参考答案】D 【试题解析】匀速时应有：F=f=μmg ，解得动摩擦因数μ=0.2，故A 错误；根据W=Fs 可知，F –s 图象与s 轴所夹图形的面积即为F 做的功，可求出力F 对物体所做的功为 ，摩擦 力做功为，所以合外力做的功为：，故B 错误；对全 过程由动能定理应有： ，解得：，故D 正确；根据动量定理可得物体在减速阶 段所受合外力的冲量为，故C 错误。 跟踪练习 1．如图1所示，一个静止在光滑水平面上的物块，在t =0时给它施加一个水平向右的作用力F ，F 随时间t 变化的关系如图2所示，则物块速度v 随时间t 变化的图象是 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 03m/s v 非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋) 非线性回归预测法 前面所研究的回归模型，我们假定自变量与因变量之间的关系是线性的，但社会经济现象是极其复杂的，有时各因素之间的关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系，这时，就必须建立非线性回归模型。 一、非线性回归模型的概念及其分类 非线性回归模型，是指用于经济预测的模型是曲线型的。常见的非线性回归模型有下列几种： (1)双曲线模型： i i i x y εββ++=1 2 1 (3-59) (2)二次曲线模型： i i i i x x y εβββ+++=2321 (3-60) (3)对数模型： i i i x y εββ++=ln 21 (3-61) (4)三角函数模型： i i i x y εββ++=sin 21 (3-62) (5)指数模型： i x i i ab y ε+= (3-63) i i i x x i e y εβββ+++=221110 (3-64) (6)幂函数模型： i b i i ax y ε+= (3-65) (7)罗吉斯曲线： i x x i i i e e y εββββ++=++1101101 (3-66) (8)修正指数增长曲线： i x i i br a y ε++= (3-67) 根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可细分成三种类型。 第一类：直接换元型。 这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型，如：(3-59)、(3-60)、(3-61)、(3-62)式。由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小平方法估计回归系数并进行检验和预测。 第二类：间接代换型。 这类非线性回归模型经常通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型，如：(3-63)、(3-64)、(3-65)式。由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和为最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的较大偏差。 第三类：非线性型。 1.填空 1) 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：C (A) 6121 )(-, (B) (3-22)2, (C) 32231)(+, (D) 99-702 2) 称序列{x n }是p 阶收敛的条件为c x x x x p n n n =--+∞→** lim 1 3) 在等式∑==n k k k n x f a x x x f 010)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x ) 无 关。 （限填“有”或“无”） 4) 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数不超过4次的插值多项式是 x 2-3x +1 。 5) 设f (x )∈C [a ,b ]， f (x )的最佳一致逼近多项式是__一定___存在的。 6) 求解微分方程数值解的E ul e r 法的绝对稳定区间是(-2,0) 。 7) n 个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n －1次。 8) 高次插值容易产生________龙格（R u n g e ）现象。 9) R n 上的两个范数||x||p , ||x||q 等价指的是_?C,D ∈R,_C_||x||q _≤||x||p ≤D ||x||q _； R n 上的两个范数_一定__是等价的。（选 填“一定”或“不一定”）。 2.曲线151.03+-=x x y 与89.14.22-=x y 在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值1+k x ，使5110-+≤-k k x x 。 解 两曲线的导数分别为51.032-='x y 和x y 8.4='，两曲线相切，导数相等，故有 051.08.432=--x x 令51.08.43)(2--=x x x f ，则f(1)<0,f(2)>0，故区间[1,2]是f(x)=0的有根区间，又当]2,1[∈x 时，08.46)(>-='x x f ，因此f(x)=0在[1,2]上有惟一实根x*，对f(x)应用牛顿迭代法，得计算公式 ,2,1,0,8 .4651.08.4321=----=+k x x x x x k k k k k 由于06)(>=''x f ，故取20=x 迭代计算一定收敛，计算结果如表7-6所示。 表7-6 k k x k k x 0 2.0 3 1.706815287 1 2.293055556 4 1.700025611 2 1.817783592 5 1.7 继续计算仍得7.16=x ，故7.1*=x 。 注 本题也可令89.14.2151.02 3-=+-x x x ，解得切点横坐标满足方程089.2514.2)(23=+--=x x x x f ，用有重根时的牛顿迭代法（7.15）式计算，此时m=2，仍取x0=2，经四步可得x*=1.7。 学习必备欢迎下载 第一章物理必修一知识点总结运动的描述 第一节质点、参考系质点定义：有质量而不计形状和大小的物质。 和坐标系参考系定义：用来作参考的物体。 坐标系定义：在某一问题中确定坐标的方法，就是该问 题所用的坐标系。 第二节时间和位移时刻和时间间在表示时间的数轴上，时刻用点表示，时间间隔 隔用线段表示。 路程和位移路程物体运动轨迹的长度。 位移表示物体（质点）的位置变化。 从初位置到末位置作一条有向线 段表示位移。 矢量和标量矢量既有大小又有方向。 标量只有大小没有方向。 直线运动的位公式：x=x1- x2 置和位移 第三节运动快慢的描坐标与坐标的公式：t =t 2- t 1 述——速度变化量 速度定义：用位移与发生这个位移所用时间的比值表 示物体运动的快慢。 公式： v= x/ t 单位：米每秒（ m/s） 速度是矢量，既有大小，又有方向。 速度的大小在数值上等于单位时间内物体位移的 大小，速度的方向也就是物体运动的方向。 平均速度和瞬平均速度物体在时间间隔内的平均快慢程 时速度度。 瞬时速度时间间隔非常非常小，在这个时间 间隔内的平均速度。 速率瞬时速度的大小。 第四节实验：用打点电磁打点计时器 计时器测速度电火花计时器 练习使用打点计时器 用打点计时器测量瞬时速度 用图象表示速速度—时间图像（ v- t 图象）：描述速度 v 与时间 度t 关系的图象。 第五节速度变化快慢加速度定义：速度的变化量与发生这一变化所用时间的 的描述——加速度比值。 公式： a= v/ t 单位：米每二次方秒（ m/s2） 加速度方向与在直线运动中，如果速度增加，加速度的方向与 速度方向的关速度的方向相同；如果速度减小，加速度的大方 系向与速度的方向相反。 从 v-t 图象看从曲线的倾斜程度就饿能判断加速度的大小。加速 度 第二章匀变速直线运动的研究 第一节实验：探究小进行实验 车速度随时间处理数据 高斯牛顿法 高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。高斯—牛顿法的一般步骤为： (1)初始值的选择。其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。 (2)泰勒级数展开式。设非线性回归模型为： i=1,2,…,n (3-68) 其中r为待估回归系数，误差项～N(0, )，设： ，为待估回归系数的初始值，将(3-68)式在g点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得 (3-69) 将(3-69)式代入(3-68)式，则 移项： 令： 则：i=1,2，…，n 用矩阵形式表示，上式则为：(3-70) 其中： (3)估计修正因子。用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B， 则：(3-71) 设g为第一次迭代值，则： (4)精确度的检验。设残差平方和为： ，S为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K，当时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。 (5)重复迭代。重复(3-71)式，当重复迭代S次时，则有：修正因子： 第(S+1)次迭代值： 四、应用举例 设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表： 表3-9 间接代换法计算表 企业编号单位产品成 本（元） 月产量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 160 151 114 128 85 91 75 76 66 60 61 60 10 16 20 25 31 36 40 45 51 56 60 65 (注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页) 试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。 解：(1)回归模型与初始值的选择。根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始 值。即： 则上述指数模型变为： 对分别求反对数，得，带入原模型， 得回归模型： 高斯—牛顿迭代法 初始回归模型： 高斯消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x 2.运行结果： 高斯选列主元消元法1.程序: clear format rat A=input('输入增广矩阵A=') [m,n]=size(A); for i=1:(m-1) numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次选列主元后的增广矩阵']) temp=max(abs(A(i:m,i))); [a,b]=find(abs(A(i:m,i))==temp); tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x 2.运行结果： 牛顿运动定律 牛顿第一定律、牛顿第三定律 知识要点 一、牛顿第一定律 1.牛顿第一定律的内容：一切物体总保持原来的匀速直线运动或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止. ２.理解牛顿第一定律，应明确以下几点： (1)牛顿第一定律是一条独立的定律,反映了物体不受外力时的运动规律,它揭示了：运动是物体的固有属性,力是改变物体运动状态的原因. ①牛顿第一定律反映了一切物体都有保持原来匀速直线运动状态或静止状态不变的性质,这种性质称为惯性，所以牛顿第一定律又叫惯性定律． ②它定性揭示了运动与力的关系:力是改变物体运动状态的原因,是产生加速度的原因. （２)牛顿第一定律表述的只是一种理想情况,因为实际不受力的物体是不存在的，因而无法用实验直接验证，理想实验就是把可靠的事实和理论思维结合起来，深刻地揭示自然规律.理想实验方法:也叫假想实验或理想实验.它是在可靠的实验事实基础上采用科学的抽象思维来展开的实验,是人们在思想上塑造的理想过程.也叫头脑中的实验.但是,理想实验并不是脱离实际的主观臆想,首先,理想实验以实践为基础,在真实的实验的基础上，抓住主要矛盾,忽略次要矛盾，对实际过程做出更深一层的抽象分析;其次，理想实验的推理过程，是以一定的逻辑法则作为依据． 3.惯性 （1）惯性是任何物体都具有的固有属性.质量是物体惯性大小的唯一量度，它和物体的受力情况及运动状态无关. （2)改变物体运动状态的难易程度是指:在同样的外力下,产生的加速度的大小;或者,产生同样的加速度所需的外力的大小. (3)惯性不是力,惯性是指物体总具有的保持匀速直线运动或静止状态的性质,力是物体间的相互作用，两者是两个不同的概念． 二、牛顿第三定律 １.牛顿第三定律的内容 两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上. 2.理解牛顿第三定律应明确以下几点： (1)作用力与反作用力总是同时出现，同时消失,同时变化; (2）作用力和反作用力是一对同性质力； （３）注意一对作用力和反作用力与一对平衡力的区别 对一对作用力、反作用力和平衡力的理解 例1、已知函数表 求() f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。 解： （1）由题可知 插值基函数分别为 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 均差表为 故所求Newton 二次插值多项式为 例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的 最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111 ()46 S x x = + 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1?。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于 2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()1 2 220,1,2,3k x k k +=+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x = 精心整理 一、牛顿第一定律 ［要点导学］ 1．人类研究力与运动间关系的历史过程。要知道伽利略的成功在于把“明明白白的实验事实和清清楚楚的逻辑推理结合在一起”，物理学从此走上了正确的轨道。 2．力与运动的关系。（1）历史上错误的认识是“运动必须有力来维持”（2）正确的认识是“运动不需要力来维持，力是改变物体运动状态的原因”。 3．对伽利略的理想实验的理解。这个实验的事实依据是运动物体撤去推力后没有立即停止运动，而是运动一段距离后再停止的，摩擦力越小物体运动的距离越长。抓住这些事实依据的本质属性，并作出合理化的推理，这就是伽利略的高明之处，我们要学习的就是这种思维方法。 4 5 6 7 8 1 （1 （2 2 （1 （2 3 样测量加速度和外力。 （1）测量加速度的方案：采用较多的方案是使用打点计时器，根据连续相等的时间T内的位移之差Δx=a T2求出加速度。条件许可也可以采用气垫导轨和光电门。教材的参考案例效果也比较好。（2）提供并且测量物体所受的外力的方案：由于我们上述测量加速度的方案只能适用于匀变速直线运动，所以我们必须给物体提供一个恒定的外力，并且要测量这个外力。教材的参考案例提供的外力比较容易测量，采用这种方法是不错的选择。 4．对实验结果的分析是本实验的关键。如果根据实验数据描出的a-F图象和a-1/m图象都非常接近一条通过原点的直线，也只能说我们的实验结果是“在质量不变的条件下，加速度与外力成正比；在外力不变的条件下，加速度与质量成反比。”这一结果决不能说找出了定律，一个定律的发现不可能是几次实验就能得出的。 四、力学单位制 ［要点导学］ 1、单位制的概念——基本单位和导出单位一起组成了单位制。 2、国际单位制（SI）就是由七个基本单位和用这些基本单位导出的单位组成的单位制。 3、国际单位制（SI）中的基本单位： 力学中有三个基本单位：长度的单位米，国际符号m、质量的单位千克，国际符号㎏、时间的单位秒，国际符号s。 以下基本单位将在今后学习 电学中有一个基本单位：电流强度的单位安培，国际符号A； 热学中有二个基本单位：物质的量的单位摩尔，国际符号mol； 热力学温度的单位开尔文，国际符号K； 光学中有一个基本单位：发光强度的单位坎德拉，国际符号cd。 4、 5、 秒”6、 7、 1、牛顿第三运动定律的内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。 2、应该能正确领会牛顿第三运动定律的物理意义，牛顿第三运动定律实质上揭示了物体间的作用是相互的，力总是成对出现的，物体作为施力物的时候它也一定是受力物。要知道作用力与反作用力是同时产生、同时消失、同时同样变化、一定是同一性质的力。并且作用力和反作用力“大小相等、方向相反”的关系与两个物体相互作用的方式、相互作用时的运动状态均无关。 3、要能区分相互平衡的两个力与一对作用力、反作用力。现将一对相互作用力与一对平 高斯牛顿法 ●问题描述：高斯牛顿法用于进行非线性最小二乘法拟合，即无约束最优化问题 n是变量数目，目标函数f(x)是由m个辅助剩余函数定义r(x)，最小二乘化就是要得到剩余函数平方和的最小值。 很多最优化的问题都是最小二乘法进行最小估计的问题。下面看一个例子： 上述函数是以t为自变量，y为函数值，t为年，y为人口数目；那么剩余函数就是我们所要构建的模型函数与实际函数的差值。 假设人口增长符合指数分布，那么令： 那么剩余函数就是： ●几何描述：最小化的问题就是求解上述函数平方和的最小值。若把r看做是一个向量， 可以得到： 这个问题就可以引申为寻找Rn中点x1和x2来得到模型函数，而且这个点对应在Rm 中的曲线是最接近函数原始值的。 ●Gradient and Hessian ?Gradient是这样定义的： 雅克比矩阵：在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。 ?Hessian是这样定义的： Hessian由两个函数决定，J(x)是一阶偏导数，Q(x)是二阶偏导数。 对于之前提到的那个应用问题： Hessian是两个部分的和 若r(x)=0，则Q(x)=0，那么结果就会比较接近； 高斯牛顿方法就是用来近似逼近使Q(x)=0，使用如下公式： 如果假设J(X)是满秩的，那么J(x)TJ(x)就是正定的，而且pGN是下降收敛。否则上式就无法得到收敛的结果。 假设r(x)用线性泰勒函数展开近似为： 前面的公式就可以改变为： 那么高斯牛顿线性逼近就如上图，即寻找O点距离模型图距离最近的点，也就是rk，那么就是这条直线与模型的切线。 那么与原来的牛顿方法进行比较： 若f(x)=0,即Q(x)=0，那么高斯牛顿方法就和普通的牛顿方法一样收敛，如果J(x)是满秩的话； 高 一 物 理 第 四 章 《 牛 顿 运 动 定 律 》 总 结 一、夯实基础知识 1、牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止。 理解要点： （1）运动是物体的一种属性，物体的运动不需要力来维持； （2）它定性地揭示了运动与力的关系，即力是改变物体运动状态的原因，（运动状态指物体的速度）又根据加速度定义：t v a ??=，有速度变化就一定有加速度，所以可以说：力是使物体产生加速度的原因。（不能说“力是产 生速度的原因”、“力是维持速度的原因”，也不能说“力是改变加速度的原因”。）； （3）定律说明了任何物体都有一个极其重要的属性——惯性；一切物体都有保持原有运动状态的性质，这就是惯性。惯性反映了物体运动状态改变的难易程度（惯性大的物体运动状态不容易改变）。质量是物体惯性大小的量度。 （4）牛顿第一定律描述的是物体在不受任何外力时的状态。而不受外力的物体是不存在的，牛顿第一定律不能用实验直接验证，但是建立在大量实验现象的基础之上，通过思维的逻辑推理而发现的。它告诉了人们研究物理问题的另一种方法，即通过大量的实验现象，利用人的逻辑思维，从大量现象中寻找事物的规律； （5）牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础，物体不受外力和物体所受合外力为零是有区别的，所以不能把牛顿第一定律当成牛顿第二定律在F =0时的特例，牛顿第一定律定性地给出了力与运动的关系，牛顿第二定律定量地给出力与运动的关系。 2、牛顿第二定律：物体的加速度跟作用力成正比，跟物体的质量成反比。公式F=ma. 理解要点： （1）牛顿第二定律定量揭示了力与运动的关系，即知道了力，可根据牛顿第二定律研究其效果，分析出物体的运动规律；反过来，知道了运动，可根据牛顿第二定律研究其受力情况，为设计运动，控制运动提供了理论基础；（2）牛顿第二定律揭示的是力的瞬时效果，即作用在物体上的力与它的效果是瞬时对应关系，力变加速度就变，力撤除加速度就为零，注意力的瞬时效果是加速度而不是速度；专题三牛顿运动定律知识点总结归纳
5.牛顿运动定律的应用
牛顿运动定律知识点总结
2020年高考物理高三冲刺复习讲义及练习：3 牛顿运动定律
非线性回归预测法——高斯牛顿法(詹学朋)知识分享
数值分析练习第五套
人教版高中物理必修一知识框架.doc
高斯—牛顿迭代法
数值分析编程及运行结果(高斯顺序消元法)
牛顿三大定律知识点与例题
数值分析版试题及答案
必修一第四章《牛顿运动定律》知识点归纳
高斯牛顿
高一物理第四章牛顿运动定律学习知识点情况总结