高斯牛顿迭代
梯度下降 高斯牛顿
梯度下降和高斯牛顿是机器学习和优化领域常用的两种优化方法。
梯度下降是一种常用的一阶优化算法，可以用于求解目标函数的最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度（即指向最大增长方向的向量）并沿着梯度的反方向迭代更新参数，直到收敛达到最小值。
高斯牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法，利用目标函数的一阶和二阶导数信息来更快地寻找最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度和海森矩阵（即二阶导数）来更新参数，直到收敛达到最小值。
相比于梯度下降，高斯牛顿法通常更快地收敛，但要求目标函数的二阶导数可计算和海森矩阵可逆。
在实际应用中，梯度下降通常适用于目标函数的梯度容易计算的场合，而高斯牛顿法则适用于目标函数参数较少、目标函数相对平滑、并且具有较快的收敛速度的场合。
1-3及4高斯法和牛顿法.
1.4.2牛顿潮流算法的修正方程式
现代电力系统分析
在将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时，由于所采 用f(x)的数学表达式以及复数电压变量采用的坐标形式的不 同，可以形成牛顿潮流算法的不同形式。
以下讨论用得最为广泛的f(x)采用功率方程式模型，而电 压变量则分别采用极坐标和直角坐标的两种形式。
(一)极坐标形式
现代电力系统分析
上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代 的修正量
x(0) [ f (x(0) )]1 f (x(0) )
将 x(0)和相x加(0)，得到变量的第一次改进值x(1)。接着就从x(1) 出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值x(0)出发，应 用牛顿法求解的迭代格式为:
现代电力系统分析
图1-1是增广矩阵按行消元的示意图，图中表示了五阶增 广矩阵的前四行，其中1-3行已完成了消元运算且已经存放 在内存中，接着要进行的是第四行的消元运算，即消去对角 元以左的三个元素。在具体的程序中，待消行是放在一个专 用的工作数组中进行消元运算的。
这种按行消元做法的好处:
现代电力系统分析
是对于消元过程中新注入的非零元素，当采用“压缩” 存储方式时，可以方便地按序送入内存，不需要预留它们 的存放位置。
特别值得注意的是由于不必一次形成整个雅可比矩阵， 且常数项的消元运算已和矩阵的消元过程同时进行，因此 这种牛顿潮流算法求解修正方程式时，所需的矩阵存储量 只是消元运算结束时所得到的用以进行回代的上三角矩阵 而已。
现代电力系统分析
(3)分析雅可比矩阵的非对角元素的表示式可见，某个非对 角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素Yij是否为零。 因此如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵 分块，把每个2X2阶子阵；作为分块矩阵的元素，则按节点 号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样 的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。
高斯赛德尔法牛顿拉夫逊法和pq分解法关系
高斯赛德尔法牛顿拉夫逊法和pq分解法关系高斯赛德尔法、牛顿拉夫逊法和PQ分解法都是数值计算中常用的方法，它们在解线性方程组和优化问题中发挥着重要的作用。
本文将从各个方法的原理、特点以及相互之间的关系来进行探讨，从而更好地理解它们在数值计算中的应用。
首先，我们来简单介绍一下这几种方法的原理和特点。
高斯赛德尔法是一种迭代法，用于解线性方程组。
其基本思想是以一种迭代的方式不断逼近方程组的解。
具体来说，高斯赛德尔法会逐个地解方程组中的每个方程，而不是一次性地进行整体的运算。
这种逐个解方程的方式可以使得计算结果更加准确和稳定，特别是对于对角占优的方程组来说，高斯赛德尔法有着较好的收敛性。
牛顿拉夫逊法，又称牛顿法或牛顿-拉夫逊法，是一种用来解优化问题的方法。
它的基本思想是通过构造一个局部二次模型来逼近原始函数，然后求解这个二次模型的最小值，从而找到原始函数的最小值点。
牛顿拉夫逊法通常能够在少量的迭代步骤内找到较好的解，并且在问题的局部最优解附近有着很好的收敛性。
PQ分解法是一种用来解对称正定线性方程组的方法。
它的基本思想是将方程组的系数矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个是对称正定的，另一个是上（下）三角矩阵。
这样可以将原始的线性方程组转化为两个较为简单的方程组，分别进行求解，进而得到原始方程组的解。
PQ分解法通常能够在较少的计算量下得到方程组的解，因此在实际应用中有着广泛的应用。
接下来我们来谈谈这几种方法之间的关系。
首先，高斯赛德尔法和牛顿拉夫逊法在某种程度上可以看作是相互关联的。
在数值计算中，很多问题可以通过线性化的方式来求解。
而高斯赛德尔法和牛顿拉夫逊法分别代表了线性问题和非线性问题的求解方法。
高斯赛德尔法通过逐个解方程的方式来求解线性方程组，而牛顿拉夫逊法通过构造局部二次模型来逼近原始函数来求解优化问题。
可以看出，二者在求解问题时都是采取了迭代的方式，通过不断地逼近解来达到最优解。
因此在某些场景下，高斯赛德尔法和牛顿拉夫逊法有着一定的相似性和关联性。
高斯牛顿法求解非线性问题
高斯牛顿法求解非线性问题在科学研究、工程设计等领域中，有许多问题都可以归纳为非线性问题，例如曲线拟合、最小二乘法拟合、非线性规划等。
如何高效地求解这些问题是一个重要的课题。
高斯牛顿法(Gauss-Newton method)是一种常用的优化算法，被广泛应用于求解非线性问题。
高斯牛顿法的基本思想是：将非线性问题转化为最小二乘问题，然后使用线性最小二乘法求解。
具体而言，假设有一个由m个参数和n个数据点组成的非线性模型：f(x) = (f1(x),f2(x),...,fn(x))^T其中，x = (x1,x2,...,xm)^T 为参数向量，fi(x)为第i个观测值。
若将f(x)看作一个向量函数，则该函数在x处的导数可以用雅可比矩阵来表示：J(x) = [∂f1(x)/∂x1,∂f1(x)/∂x2,...,∂f1(x)/∂xm；∂f2(x)/∂x1,∂f2(x)/∂x2,...,∂f2(x)/∂xm；.............................∂fn(x)/∂x1,∂fn(x)/∂x2,...,∂fn(x)/∂xm]雅可比矩阵是一个n×m的矩阵，表示参数向量对向量函数的导数。
对于非线性模型，其导数难以直接求解，因此需要采用近似方法。
高斯牛顿法采用的是一阶泰勒展开式，将非线性模型在x 处展开：f(x+Δx) ≈ f(x) + J(x)Δx其中，Δx为参数向量x的增量，即x+Δx为新的参数向量。
将上式两边平方，再加上一个权重矩阵W，得到最小二乘问题：min Δx ||sqrt(W)(f(x+Δx)-f(x))||^2上式中，||·||表示向量的欧几里得长度，W为一个n×n的对角矩阵，其作用是赋予不同观测值不同的权重。
将上式展开，得到：min Δx (f(x)+J(x)Δx-y)^TW(f(x)+J(x)Δx-y)其中，y为n×1的向量，表示原始数据点。
基于高斯-牛顿迭代的三星时差定位融合算法
明 其 算 法 可 提 高 整 个 定 位 系 统 的 定 位 精 度 。 许 丞 梁 [5]
位可以提高定位精度并节省增加卫星数量的成本。
将 到 达 时 间 差 和 到 达 频 率 差（FDOA）、到 达 角
收稿日期：2020‒07‒26；2020‒08‒19 修回。
作 者 简 介 ： 徐 英 杰（1995-），男 ，硕 士 研 究 生 ，主 要 研 究 方 向 为 无
·技术前沿·
航天电子对抗
2020 年第 5 期
基于高斯-牛顿迭代的三星时差定位融合算法
徐英杰，郭福成
（国防科技大学电子科学学院，湖南 长沙 410000）
摘 要 ： 若 三 星 时 差（TDOA）定 位 系 统 可 多 次 接 收 到 辐 射 源 信 号 并 进 行 定 位 ，则 通 过 不
同时刻观测的多组时差和高程信息融合可能可以提高定位精度。将先验高程信息建模为三
基于高斯牛顿迭代的三星时差定位融合算法2020365????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4结束语本文提出了一种在卫星位置不确定的情况下三星基于多次观测的时差和高程信息融合定位算法并与目前工程上现有的位置合批处理方法进行了比较实验仿真证明本文提出的算法定位精度优于现有的位置合批处理方法
Key words：satellite；time-difference-of-arrival（TDOA）；location；fusion
pytorch 高斯牛顿算法-概述说明以及解释
pytorch 高斯牛顿算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述高斯牛顿算法是一种优化算法，它结合了牛顿法和梯度下降法的优点，旨在更快地收敛到目标函数的极小值点。
在机器学习和深度学习领域中，优化算法的选择对模型的性能起着至关重要的作用。
PyTorch作为一种流行的深度学习框架，为我们提供了丰富的优化算法实现，其中也包括了高斯牛顿算法。
本文将介绍高斯牛顿算法的原理和在PyTorch中的应用，以及对其优缺点进行分析，旨在帮助读者更好地理解和应用高斯牛顿算法。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将分为三个部分来讨论高斯牛顿算法在PyTorch中的应用。
首先，在引言部分将介绍高斯牛顿算法的概念和目的，以及本文的写作动机。
然后在正文部分将详细介绍高斯牛顿算法的原理和PyTorch中的实际应用情况。
最后，在结论部分将对算法的优缺点进行分析，并展望其在未来的应用前景。
希望通过本文的分析和讨论，读者能更好地理解高斯牛顿算法在深度学习领域的价值和意义。
1.3 目的本文旨在介绍高斯牛顿算法在优化问题中的应用，并探讨其在PyTorch中的实现和优缺点分析。
通过深入了解高斯牛顿算法的原理和特点，读者可以更好地理解该算法在解决复杂优化问题中的作用和效果。
同时，本文还将展望高斯牛顿算法在未来的应用前景，为读者提供有益的参考和启发。
通过本文的阅读，读者将能够更好地掌握高斯牛顿算法的概念和应用，进而在实际项目中灵活运用该算法，提高优化效率和精度。
2.正文2.1 高斯牛顿算法介绍高斯牛顿算法是一种优化算法，用于求解非线性最小二乘问题。
它是基于牛顿法的一种改进方法，通过利用二阶导数信息来更快地收敛到最优点。
与传统的梯度下降方法相比，高斯牛顿算法在某些情况下可以更快地收敛并且更稳定。
在高斯牛顿算法中，每一次迭代都需要计算目标函数的梯度和海塞矩阵（即目标函数的二阶导数）。
然后利用这些信息来更新当前的参数值，使目标函数的值不断减小直至收敛于最优解。
电力系统三种潮流计算方法的比较
电力系统三种潮流计算方法的比较电力系统潮流计算是电力系统分析和运行控制中最重要的问题之一、它通过计算各节点电压和各支路电流的数值来确定电力系统各个节点和支路上的电力变量。
常见的潮流计算方法有直流潮流计算方法、高斯-赛德尔迭代法和牛顿-拉夫逊迭代法。
以下将对这三种方法进行比较。
首先，直流潮流计算方法是最简单和最快速的计算方法之一、它假设整个系统中的负载功率都是直流的，忽略了交流电力系统中的复杂性。
直流潮流计算方法非常适用于传输和配电系统，尤其是对于稳定的系统，其结果比较准确。
然而，该方法忽略了交流电力系统中的变压器的磁耦合和饱和效应，可能会导致对系统状态误判。
因此，直流潮流计算方法的适用范围有限。
其次，高斯-赛德尔迭代法是一种迭代方法，通过反复迭代计算来逼近系统的潮流分布。
该方法首先进行高斯潮流计算，然后根据计算结果更新节点电压，并再次进行计算，直到收敛为止。
高斯-赛德尔迭代法考虑了变压器的复杂性，计算结果比直流潮流计算方法更准确。
然而，该方法可能发生收敛问题，尤其是在系统变压器的串联较多或系统中存在不良条件时。
此外，该方法的计算速度较慢，尤其是对于大型电力系统而言。
最后，牛顿-拉夫逊迭代法是一种基于牛顿法的迭代方法，用于解决非线性潮流计算问题。
该方法通过线性化系统等式并迭代求解来逼近系统的潮流分布。
与高斯-赛德尔迭代法相比，牛顿-拉夫逊迭代法收敛速度更快，所需迭代次数更少。
此外，该方法可以处理系统中的不平衡和非线性元件，计算结果更准确。
然而，牛顿-拉夫逊迭代法需要建立和解算雅可比矩阵，计算量相对较大。
综上所述，电力系统潮流计算方法根据应用需求和系统特点选择合适的方法。
直流潮流计算方法适用于稳定的系统，计算简单、快速，但适用范围有限。
高斯-赛德尔迭代法适用于一般的交流电力系统，考虑了变压器复杂性，但可能存在收敛问题和计算速度较慢的缺点。
牛顿-拉夫逊迭代法适用于复杂的非线性系统，收敛速度快且计算结果准确，但需要较大的计算量。
牛顿迭代法的函数逼近和拟合
牛顿迭代法的函数逼近和拟合在数学和计算机科学中，函数逼近（function approximation）和拟合（function fitting）是重要的问题之一，它们涉及到如何用已知数据或函数来找出与之近似的函数形式。
而牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以被广泛地应用在函数逼近和拟合中。
一、牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解方程的方法，其本质是一种迭代算法，可以通过给出一个函数在某点的值以及该点的导数，迭代地求出函数的零点或者极值点。
其基本公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x_n)$表示函数在点$x_n$处的函数值，$f'(x_n)$表示函数在点$x_n$处的导数，$x_{n+1}$是通过迭代算法得到的新的近似解。
在使用牛顿迭代法时，需要注意函数的光滑性和局部收敛性，如果函数不光滑或者在某些点处导数为零，那么迭代可能会导致发散或者收敛速度极慢。
二、牛顿迭代法在函数逼近中的应用在函数逼近中，如果我们已知一些数据点$(x_i, y_i)$，并且想要找到一个函数$f(x)$，可以用这些数据点来拟合函数，那么可以使用牛顿迭代法来实现。
具体的方法如下：1.首先定义一个函数$g(x)$，它满足$g(x_i)=y_i$；2.然后利用牛顿迭代公式，给出$f(x)$的递归式：$$f(x_{n+1})=f(x_n)+\frac{g(x_n)-f(x_n)}{g'(x_n)}$$其中，$g(x)$是一个在点$(x_i, y_i)$处值为$y_i$，在其他点处为零的光滑函数。
3.重复进行上述迭代，直到得到一个满足精度要求的近似解。
通过牛顿迭代法的函数逼近方法，我们可以得到在数据点上的逼近函数，这个函数可以用来进行插值和外推等操作，同时也可以作为一个简单的近似模型来使用。
三、牛顿迭代法在函数拟合中的应用除了函数逼近，牛顿迭代法还可以用于函数拟合，这里的函数拟合指的是通过一些给定的函数基，将一个在某些点处已知函数值的函数表示为基函数线性组合的形式。
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2 2 2 x 2 2 x1 x x1 y 2 2 y1 y y1 d1 数学模型 2 2 2 x 2 2 x 2 x x 2 y 2 2 y2 y y2 d 2 2 2 2 2 x 2 x 3 x x 3 y 2 2 y3 y y3 d 3
PDOP a11 a22 a33
HDOP a11 a22
VDOP a33
时间DOP
TDOP a44
《GPS卫星导航定位原理与方法》, 刘基余
y 40 ( x 10 ) 2 ( y 40 ) 2
g11 g 21
g12
g22 g32
y 10 ( x 50)2 ( y 10)2 y 50 ( x 100)2 ( y 50)2
g31
x 100 ( x 100) ( y 50)
矩阵表示
x 2 x1 x x 1 3
y2 y1 x b1 y3 y1 y b2
例1 已知三个接法定位
xk 10 50 100
yk 40 10 50
d 33.5 40 60
方程组局部线化
f1 ( x0 , y0 ) ( x x0 ) g11 ( y y0 ) g12 0 f 2 ( x0 , y0 ) ( x x0 ) g 21 ( y y0 ) g 22 0 f ( x , y ) ( x x )g ( y y )g 0 0 31 0 32 3 0 0
a11 a 21 A (G T G ) 1 a 31 a41
a12 a 22 a 32 a42
a13 a 23 a 33 a43
a14 a 24 a 34 a44
几何DOP 位置DOP 水平DOP 垂直DOP
GDOP a11 a22 a33 a44
x x0 T T (G0 G0 ) 1 G0 F0 y y0
初值修正 高斯-牛顿迭代
x1 x0 T T (G0 G0 )1 G0 F0 y1 y0 xk 1 xk T T (Gk Gk )1 Gk Fk yk 1 yk ( k 0,1,2, )
非线性超定方程组
f1 ( x , y ) 0 f 2 ( x, y) 0 f ( x, y) 0 3
( x X )2 ( y Y )2 0 1 1 1 2 2 ( x X 2 ) ( y Y2 ) 2 0 2 2 ( x X 3 ) ( y Y3 ) 3 0
x = 40.824 y = 49.2983
比较直接法结果
x = 40.9500 y = 47.5625
( x 10 ) 2 ( y 40 ) 2 33.5 s 0
修正模型:
( x 50 ) 2 ( y 10 ) 2 40 s 0 ( x 100 ) 2 ( y 50 ) 2 60 s 0
f k gk 1 x
gk 2
( x 0 , y0 )
f k y
gk 1
( x0 , y0 )
x0 X k
gk 2
( x0 X k )2 ( y0 Yk )2 y0 Yk
( x0 X k )2 ( y0 Yk )2
线性超定方程组
x x0 G0 F0 y y0
非线性超定方程组求解
——高斯-牛顿迭代法简介
平面三点定位原理 非线性超定方程组 高斯-牛顿迭代法 空间定位原理
手机位置的三点定位法
已知三个基站的位置
P1(x1, y1) P2(x2, y2) P3(x3, y3)
d1
d2 Q
d3
手机位置 Q(x, y) ？？ 已测得Q到点P1、P2以及 P3 的距离d1,d2和 d3
( x2 x1 ) x ( y2 y1 ) y b1 ( x3 x1 ) x ( y3 y1 ) y b2
2 2 2 2 2 b1 [d 2 d12 ( x1 y1 ) ( x2 y2 )]/ 2 其中， 2 2 2 2 2 2 b2 [d3 d1 ( x1 y1 ) ( x3 y3 )]/ 2
( x 10 ) 2 ( y 40 ) 2 33 .5 0
非线性方程组
x 10 ( x 10 ) 2 ( y 40 ) 2 x 50 ( x 50 ) 2 ( y 10 ) 2
( x 50 ) 2 ( y 10 ) 2 40 0 ( x 100 ) 2 ( y 50 ) 2 60 0
x = 40.9500 y = 47.5625
定位解算实验1: P=[10,40;50,10;100,50]; d=[33.5;40;60]; t=linspace(0,2*pi,100); xd=P(:,1); yd=P(:,2); xt=xd*ones(1,100)+d*cos(t); yt=yd*ones(1,100)+d*sin(t); figure(1),plot(xd,yd,'or',xt',yt','b') A=[P(2,:)-P(1,:);P(3,:)-P(1,:)]; R=xd.^2+yd.^2;D=d.^2; b=-0.5*[D(2)-D(1)+R(1)-R(2);D(3)-D(1)+R(1)-R(3)]; Q=A\b
2.最小二乘法解超定方程组 GX=L 其中, X = [ x 3. 计算修正量
y z b ]T
x x + x , y y + y, z z + z
4.判断 | x|+| y|+| z|≤10-8 是否成立，
若不成立则转第1步； 若成立，则结束计算。
精度因子(DOP)
局部线化:
g11 g 21 g 31
g12 g 22 g 32
1 x x0 f 1 ( x0 , y0 ) y y f ( x , y ) 1 0 2 0 0 f 3 ( x 0 , y 0 ) 1 s
2 2
初值选取:
x0 (10 50 100) / 3 y0 (40 10 50) / 3
高斯-牛顿迭代法
53.3333 41.2921 41.0806 41.0823 41.0824 41.0824 ··· ··· ·· 33.3333 49.4713 49.3049 49.2986 49.2983 49.2983 ··· ··· ··
1.构造几何方程组系数矩阵 G 和右端向量 L
计算 gj1=(Xj – x )/Dj,gj2=(Yj – y )/Dj,gj3=(Zj – z )/Dj, gj4= – 1 , Lj= Dj – j ( j =1,2,···,N) ···
D j ( X j x ) 2 (Y j y ) 2 ( Z j z ) 2
yt=yd*ones(1,100)+d*sin(t);
figure(1),plot(xd,yd,'or',xt',yt','b')
x=sum(P(:,1))/3;y=sum(P(:,2))/3; X=[x;y];Pk=X; for t=1:6 for k=1:3 Dk=X'-P(k,:);dk=norm(Dk); G(k,1:2)=Dk/dk;F(k)=dk-d(k); end G(:,3)=ones(3,1);dX=G\F'; X=X-dX(1:2,:); Pk=[Pk,X]; end s=dX(3) Pk D=P-[1;1;1]*X'; rd=sqrt(sum(D.^2,2)) d+s
g11 g 21 g 31
g12 f 1 ( x0 , y0 ) x x 0 f ( x , y ) g 22 2 0 0 y y0 f 3 ( x 0 , y 0 ) g 32
超定方程组最小二乘解
GPS接收机定位解算原理
S2 S3
几何方程组
S4
GX = L
g13 g 23 gm 3 1 1 1
S1
T
g11 g 21 G gm1
g12 g 22 gm 2
( x X )2 ( y Y )2 ( z Z )2 b 0 1 1 1 1 ( x X )2 ( y Y )2 ( z Z )2 b 0 2 2 2 2 2 2 2 ( x X m ) ( y Ym ) ( z Z m ) b m 0
全球定位系统（Global Positioning System - GPS） 是美国从本世纪70年代开始研制，历时20年，耗 资200亿美元，于1994年全面建成，具有在海、陆、 空进行全方位实时三维导航与定位能力的新一代 卫星导航与定位系统。
北斗卫星导航系统是中国自行研制 开发的区域性卫星定位与通信系统。 和美国GPS、俄罗斯GLONASS相 比，增加了通讯功能。 2011年7月27日5时44分，我国西昌卫星发射中 心“长征三号甲”运载火箭，成功将第九颗北 斗卫星送入预定转移轨道。