数值分析练习第五套
(完整版)数值分析第五版答案(全)(最新整理)
第一章 绪论1．设,的相对误差为，求的误差。
0x >x δln x 解：近似值的相对误差为*x *****r e x x e x x δ-===而的误差为ln x ()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设的相对误差为2%，求的相对误差。
x n x 解：设，则函数的条件数为()n f x x ='()||()p xf x C f x =又, 1'()n f x nx -= 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且为2(*)r e x ((*))0.02n r x nε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,, , ,*1 1.1021x =*20.031x =*3385.6x =*456.430x =*57 1.0.x =⨯解：是五位有效数字；*1 1.1021x =是二位有效数字；*20.031x =是四位有效数字；*3385.6x =是五位有效数字；*456.430x =是二位有效数字。
*57 1.0.x =⨯4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .***124x x x ++***123x x x **24/x x 其中均为第3题所给的数。
****1234,,,x x x x 解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===A A (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=A 又%1(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设，按递推公式 （n=1,2,…）028Y =1n n Y Y -=-计算到（5位有效数字），试问计算将有多大误差？100Y 27.982≈100Y解： 1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =-……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即，1000Y Y =-, 27.982≈100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯的误差限为。
数值分析第五版计算实习题
弟二草插值法3.卜列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间064］上作图。
(1〉用这9个点做8次多项式插值Q x)。
(2)用三次样条(第一边界条件)程岸求S(X)。
从得到结果石在［0.64］ 1：・哪个插值更粘确：在区间［0,1］ I：•两种插值哪个更精确?(1) 8次多项式插值：(1)8次多项式插值:首先建立新的M-file:输入如卜代码(此为拉格朗口插值的功能函数)并保存function f=Language(x,y,x0)%求Li知数据点的拉格朗Fl插值多项式%己知数据点的x坐标向量：x%已知数据点的y坐标向量:y%插值的x坐标：x0%求得的拉格朗H插值多项式或在X0处的插值：fsyms t;ifi(lcngth(x)=length(y))n=length(x);elsedisp(*x和y的维数不相等!)；return;end %检错tbr(i=l:n)i=y(i);fbr(j=1:i-l)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j))；end;for(j=i-M:n)end;for(j=i+l:n) l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j))； end;simplify(f);if(i==n) if|nargin=3)f=subs(C't\xO);else f=collcct(f);f=vpa(f,6);endendend再建立新的M-file：输入：clear;x=[0 1 49 16 25 36 49 64];y=[0：l：8]；%计算拉格朗口基丞数%计算拉格朗ri插值函数%化简%计算插值点的曲数值%将插值多项式展开%将插值多项式的系数化成6位精度的小数f=Uinguage(x,y) 运行得到f=1.32574*1-381410*t A2+.604294e-1 *t A3+.222972e-3 *t A5-.542921 e-5*t A6+.671268e・7T7・.328063e・9T8・.498071 e-2*t A4 这就是8次多项式插值L s(x)= 1.32574怜.381410*t A2+.604294e-1 *t A3+.222972e-3 *t A5-.542921 e-5*t A6+.671268e-7*t A7-.328063e-9*t A8-.498071 e-2*t A4. (2)三次样条插值：建立新的M-filc：输入：clear;x=[0 I 49 1625 36 4964];尸[0:8];t=[0:0.1:64];Y=t.A(0.5);O=Language(x,y)f= 1,32574*t-.381410*t.A2+.604294e-1 *t.A3+.222972e-3*t.A5-.542921 e・5*(. W+.671268e-7*t.A7-.328063e-9*t.A8-.498071 e-2 *t.A4;S=interp l(x,y,t.'spline,);plol(x,y,o；(・YY.lf.'b'」S'g:');grid;运行程序得到如下图：从结果屮很明显可以看出在[0.64].上.三次样条插值更精确，儿乎与原函数帀合。
数值分析课程第五版课后习题答案
数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。
解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。
对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。
选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。
迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。
b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。
解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。
矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。
c) 使用插值方法求解函数的近似值。
解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。
其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。
课后习题二：a) 解决数值积分问题。
解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。
b) 使用迭代方法求解线性方程组。
解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。
数值分析第五版计算实习题
数值分析计算实习题第二章2-1程序：clear;clc;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];n=length(y1);c=y1(:);for j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i)*df(i);enddisp('4次牛顿插值多项式');P4=vpa(collect((sum(d))),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数q=pp.coefs;disp('三次样条函数');for i=1:4S=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];S=vpa(collect(S),5)endx2=0.2:0.08:1.08;dot=[1 2 11 12];figureezplot(P4,[0.2,1.08]);hold ony2=fnval(pp,x2);x=x2(dot);y3=eval(P4);y4=fnval(pp,x2(dot));plot(x2,y2,'r',x2(dot),y3,'b*',x2(dot),y4,'co');title('4次牛顿插值及三次样条');结果如下：4次牛顿插值多项式P4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98三次样条函数x∈[0.2,0.4]时， S = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，S = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x + 0.92571x∈[0.6,0.8]时，S = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，S =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571输出图如下2-3（1）程序：clear;clc;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点n=length(y1);a=ones(n,2);a(:,2)=-x1';c=1;for i=1:nc=conv(c,a(i,:));endq=zeros(n,n);r=zeros(n,n+1);for i=1:n[q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk) end 三次样条插值曲线4次牛顿插值曲线Dw=zeros(1,n);for i=1:nDw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数endp=Dw*q;syms x L8;for i=1:nL8(i)=p(n-i+1)*x^(i-1);enddisp('8次拉格朗日插值');L8=vpa(collect((sum(L8))),5)xi=0:64;yi=polyval(p,xi);figureplot(xi,yi,x1,y1,'r*');hold ontitle('8次拉格朗日插值');结果如下：8次拉格朗日插值L8 =- 3.2806e-10*x^8 + 6.7127e-8*x^7 - 5.4292e-6*x^6 + 0.00022297*x^5 - 0.0049807*x^4 + 0.060429*x^3 - 0.38141*x^2 + 1.3257*x输出图如下：第五章4-1（3）程序：clc;clear;y= (x)sqrt(x).*log(x);a=0;b=1;tol=1e-4;p=quad(y,a,b,tol);fprintf('采用自适应辛普森积分结果为： %d \n', p); 结果如下：采用自适应辛普森积分结果为： -4.439756e-01第九章9-1(a)程序：clc;clear;a=1;b=2;%定义域h=0.05;%步长n=(b-a)/h;y0=1;%初值f= (x,y) 1/x^2-y/x;%微分函数Xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份Yn=zeros(1,n);%结果矩阵Yn(1)=y0;%赋初值%以下根据改进欧拉公式求解for i=1:nxn=Xn(i);xnn=Xn(i+1);yn=Yn(i);yp=yn+h*f(xn,yn);yc=yn+h*f(xnn,yp);yn=(yp+yc)/2;Yn(i+1)=yn;endXn=Yn;%以下根据经典四阶R-K法公式求解for i=1:nxn=Xn(i);yn=Yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);Yn(i+1)=yn;enddisp(' 改进欧拉法四阶经典R-K法'); disp([Xn' Yn'])结果如下：改进欧拉法四阶经典R-K法1 10.99887 0.998850.99577 0.99780.99114 0.996940.98532 0.996340.97857 0.996030.97111 0.996060.96311 0.996450.9547 0.997230.94598 0.998410.93705 10.92798 1.0020.91883 1.00440.90964 1.00730.90045 1.01060.89129 1.01430.88218 1.01840.87315 1.02290.86421 1.02780.85538 1.03310.84665 1.0388（b）程序：clc;clear;a=0;b=1;%定义域H=[0.1 0.025 0.01];%步长y0=1/3;%初值f= (x,y) -50*y+50*x^2+2*x;%微分函数xi=linspace(a,b,11);Y=1/3*exp(-50*xi)+xi.^2;%准确解Ym=zeros(1,11);for j=1:3h=H(j);n=(b-a)/h;Xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份Yn=zeros(1,n);%结果矩阵Yn(1)=y0;%赋初值for i=1:nxn=Xn(i);yn=Yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);Yn(i+1)=yn;endfor k=1:11m=0.1/h;Ym(k)=Yn(1+(k-1)*m);enddelta=Ym-Y;fprintf('步长为： %d \n', h);disp(' 四阶经典R-K法准确解误差'); disp([Ym' Y' delta'])end结果如下：步长为： 1.000000e-01四阶经典R-K法准确解误差0.33333 0.33333 04.6055 0.012246 4.593263.062 0.040015 63.022864.05 0.09 863.9611844 0.16 118431.6235e+05 0.25 1.6235e+052.2256e+06 0.36 2.2256e+063.0509e+07 0.49 3.0509e+074.1823e+08 0.64 4.1823e+085.7333e+09 0.81 5.7333e+097.8594e+10 1 7.8594e+10步长为： 2.500000e-02四阶经典R-K法准确解误差0.33333 0.33333 00.013015 0.012246 0.000768940.040063 0.040015 4.82e-050.090037 0.09 3.6857e-050.16004 0.16 3.6723e-050.25004 0.25 3.6722e-050.36004 0.36 3.6722e-050.49004 0.49 3.6722e-050.64004 0.64 3.6722e-050.81004 0.81 3.6722e-051 1 3.6722e-05步长为： 1.000000e-02四阶经典R-K法准确解误差0.33333 0.33333 00.012256 0.012246 9.5673e-060.040016 0.040015 7.8252e-070.090001 0.09 6.6347e-070.16 0.16 6.6226e-070.25 0.25 6.6225e-070.36 0.36 6.6225e-070.49 0.49 6.6225e-070.64 0.64 6.6225e-070.81 0.81 6.6225e-071 1 6.6225e-07由结果可知，步长越小，结果越精确。
数值分析第五版
数值分析第五版第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=≈ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？解：正方形的面积函数为2()A x x =(*)2*(*)A A x εε∴=.当*100x =时，若(*)1A ε≤,则21(*)102x ε-≤故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm第二章插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x xl x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。
数值分析第五版全答案chap4
第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);101h2h(2)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);10 1 2h1(3)f(x)dx[f(1)2f(x)3f(x)]/3;121h2(4)f(x)dx h[f(0)f(h)]/2ah[f(0)f(h)];解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101 h令f(x)1，则2h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则2 3322h h A h A11从而解得4A h31A h131A h13令3f(x)x，则h h3f(x)dx x dx0 hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。
101令4f(x)x，则h h452f(x)dx x dx h hh52A f(h)A f(0)A f(h)h10135故此时，hh f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101具有3次代数精度。
2h （2）若2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101令f(x)1，则4h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则16 3322h h A h A11从而解得4A h38A h138A h13令3f(x)x，则2h2h3f(x)dx x dx0 2h2hA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 2h故2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。
数值分析课程第五版课后习题答案李庆扬等
数值分析课程第五版课后习题答案李庆扬等在学习数值分析这门课程的过程中，课后习题的练习与答案的参考对于我们深入理解和掌握知识点起着至关重要的作用。
李庆扬等编写的《数值分析》第五版教材，其课后习题涵盖了丰富的知识点和多种解题思路。
下面，我将为大家详细解析部分课后习题的答案。
首先，让我们来看一道关于插值法的习题。
题目是：给定函数值$f(0)＝0$，＄f(1)＝1$，＄f(2)＝4$，利用线性插值和抛物插值分别计算$f(15)＄的值。
对于线性插值，我们设直线方程为$L_1(x)＝ax ＋ b$。
将已知的两个点$（0,0)＄和$（1,1)＄代入，可得方程组：＄＼begin{cases}b ＝ 0 ＼＼ a ＋ b ＝ 1\end{cases}＄解得$a ＝ 1$，＄b ＝ 0$，所以$L_1(x) ＝ x$。
则$f(15) ＼approxL_1(15) ＝ 15$。
对于抛物插值，设抛物线方程为$L_2(x)＝ax^2 ＋ bx ＋ c$。
将三个点$（0,0)＄，＄（1,1)＄，＄（2,4)＄代入，得到方程组：＄＼begin{cases}c ＝ 0 ＼＼ a ＋ b ＋ c ＝ 1 ＼＼ 4a ＋ 2b ＋ c ＝4\end{cases}＄解这个方程组，可得$a ＝ 1$，＄b ＝ 0$，＄c ＝ 0$，所以$L_2(x) ＝ x^2$。
则$f(15) ＼approx L_2(15) ＝ 225$。
接下来是一道关于数值积分的题目。
求积分$＼int_{0}＾｛1} x^2 dx$的数值解，分别使用梯形公式和辛普森公式。
梯形公式为：＄T ＝＼frac{b a}｛2} ＼times f(a) ＋ f(b)＄，代入$a ＝ 0$，＄b ＝ 1$，＄f(x) ＝ x^2$，可得：＄T ＝＼frac{1 0}｛2} ＼times 0^2 ＋ 1^2 ＝ 05$辛普森公式为：＄S ＝＼frac{b a}｛6} ＼times f(a) ＋ 4f(＼frac{a ＋ b}｛2}）＋ f(b)＄，代入可得：＄S ＝＼frac{1 0}｛6} ＼times 0^2 ＋ 4 ＼times （＼frac{1}｛2}）＾2 ＋ 1^2 ＝＼frac{1}｛3}＄再看一道关于解线性方程组的习题。
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
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1.填空
1) 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：C
(A) 6121
)(-, (B) (3-22)2, (C) 32231)(+, (D) 99-702
2) 称序列{x n }是p 阶收敛的条件为c x x x x p n n n =--+∞→**
lim 1
3) 在等式∑==n k k k n x f a
x x x f 010)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x ) 无 关。
（限填“有”或“无”） 4) 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数不超过4次的插值多项式是
x 2-3x +1 。
5) 设f (x )∈C [a ,b ]， f (x )的最佳一致逼近多项式是__一定___存在的。
6) 求解微分方程数值解的E ul e r 法的绝对稳定区间是(-2,0) 。
7) n 个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n －1次。
8) 高次插值容易产生________龙格（R u n g e ）现象。
9) R n 上的两个范数||x||p , ||x||q 等价指的是_∃C,D ∈R,_C_||x||q _≤||x||p ≤D ||x||q _； R n 上的两个范数_一定__是等价的。
（选
填“一定”或“不一定”）。
2.曲线151.03+-=x x y 与89.14.22-=x y 在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值1+k x ，使5110-+≤-k k x x 。
解 两曲线的导数分别为51.032-='x y 和x y 8.4='，两曲线相切，导数相等，故有
051.08.432=--x x
令51.08.43)(2--=x x x f ，则f(1)<0,f(2)>0，故区间[1,2]是f(x)=0的有根区间，又当]2,1[∈x 时，08.46)(>-='x x f ，因此f(x)=0在[1,2]上有惟一实根x*，对f(x)应用牛顿迭代法，得计算公式
,2,1,0,8
.4651.08.4321=----=+k x x x x x k k k k k 由于06)(>=''x f ，故取20=x 迭代计算一定收敛，计算结果如表7-6所示。
表7-6
k
k x k k x 0
2.0 3 1.706815287 1
2.293055556 4 1.700025611 2 1.817783592 5 1.7
继续计算仍得7.16=x ，故7.1*=x 。
注 本题也可令89.14.2151.02
3-=+-x x x ，解得切点横坐标满足方程089.2514.2)(23=+--=x x x x f ，用有重根时的牛顿迭代法（7.15）式计算，此时m=2，仍取x0=2，经四步可得x*=1.7。
3.设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321
321321x x x x x x x x x
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
解：雅可比法的迭代矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+=-022101220)(1U L D B J 10)(,2<==-J J B B I ρλλ
故雅可比迭代法收敛。
高斯-塞德尔法的迭代矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=-200320220))(1U L D B s 12)()2(2>=-=-s s B B I ρλλλ
故高斯-塞德尔迭代法不收敛。
4.回答下列问题：
（1）什么叫样条函数？P42
（2）确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？ （3） 三转角法中参数m i 的数学意义是什么？
答：（1）1）是S （x ）在[a,b]上具有二阶连续导数；
2）对[a,b]上的划分)(,...10x S b x x x a n =<<<=在每一个区间],[1+i i x x 上是一个不高于三次的多项式。
（2）4n 个
（3） m i =S /(x i ) 即样条函数在节点x i 处的一阶导数。
5.证明：{ϕ0,…,ϕn }为点集{x i }m i=1上的线性无关族⇔法方程G T Ga =G T y 有唯一解。
其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()()()()()()()(101111000100m n m m
n n x x x x x x x x x G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 证：充分性。
首先注意到若a 0,a 1,..,a n
为方程组
a 0ϕ0+a 1ϕ1+…+a n ϕn =0 （9）
的解，则必为方程组
的解。
事实上，令ϕ0, ϕ1,…,ϕn 分别与(9)两端作内积得(10)，知也！ 设|G T G |≠0⇒（10）仅有0解⇒(9) 也仅有0解故{ϕ0,…,ϕn }无关。
证必要性）。
{ϕ0,…,ϕn }无关⇒ (9)仅有0解 即
∀a =(a 0,a 1,..,a n )≠0⇒Ga ≠0⇒a T G T Ga =(Ga )T (Ga ) (ϕ0,ϕ0) a 0+ (ϕ1,ϕ0)a 1 +…+(ϕn ,ϕ0)a n =0 (ϕ0,ϕ1) a 0+ (ϕ1,ϕ1)a 1 +…+(ϕn ,ϕ1)a n =0 ….. (ϕ0,ϕn ) a 0+ (ϕ1,ϕn )a 1 +…+(ϕn ,ϕn )a n =0 (10)
=||Ga ||22>0⇒G T G 正定⇒|G T G |>0∴|G T G |≠0.
6.用复化梯形公式计算积分1
0()f x dx ⎰,要把区间[0,1] 一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要
求（这里假定()f x 任意阶导数存在，且()()1k f x ∞
≤） 解：)]()(2)([21
b f x f a f h
T n k k n ++=∑-=
余项)('')(122
ηf a b h R --=
00005.0<R
求得n=41。