超静定梁
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力法的计算步骤和举例
q a2
a
3 4
a
19qa4 4 8Ε Ι
2F
1 1.5ΕΙ
1 2
q a2
a
1 2
a
q a4 6ΕΙ
4）解方程求多余未知力。
5 6
Χ1
1 3
Χ2
19 qa 48
0
12 1 3 Χ1 9 Χ2 6 qa 0
Χ1
7 16
qa
Χ2
3 32
qa
5）绘制内力图。利用叠加公式M M1X1 M2 X2 MF
Ι1 Ι2
Χ 2
ql2 8
0
4）解方程求多余未知
力。令
Ι 2 /Ι1 k
Χ1
ql2 4
k2 3k 4
Χ2
ql 4
k 3k
4
负号表示未知力
和
1
的实际方向与所设方向相
2
反。
5）绘制弯矩图。由叠加公式 M M1X1 M2X2 MF 计 算各控制截面上的弯矩值,用叠加法绘制最后弯矩图， 如图5.14（f）所示。
４.解力法方程求多余未知力。 ５.绘制原结构的内力图。
一、超静定梁和超静定刚架
1.超静定梁
【例5.1】 图5.13(a)所示为一两端固定的超静定梁,全 跨承受均布荷载q的作用,试用力法计算并绘制内力图。
【解】 1）选取基本结构。如图5.13(b)所示。
q
A
EI
B
l
X1
q
X2
X3
A
B
l
(a)原结构
(b)基本结构
【解】1）选取基本结构。如图 5.15（b）所示。 2）建立力法方程。C点的水 平和竖向位移为零
01-静定梁和超定结构知识点小结
第3章 静定梁和静定刚架（知识点小结）一、杆件内力分析方法1、内力分量轴力N F 是横截面上的应力沿截面法线方向的合力，一般以拉力为正，压力为负。
剪力S F 是横截面上的应力沿截面切线方向的合力，以绕截面处微段隔离体顺时针方向转动为正，反之为负。
弯矩M 是横截面上的应力对截面形心取矩的代数和，一般不规定正负号。
有时按习惯也可规定，在水平杆件中弯矩使杆件截面的下侧纤维受拉时为正，上侧受拉时为负。
2、截面法截面法是计算指定截面内力的基本方法，即沿指定截面假想将结构截开，切开后截面内力暴露为外力，取截面左侧（或右侧）作为隔离体，作隔离体受力图，建立平衡方程，从而可确定指定截面的内力。
由截面法可得截面上三个内力分量的运算规则如下：（1）轴力N F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面法线方向的投影代数和；（2）剪力S F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面切线方向的投影代数和；（3）弯矩M 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）对截面形心取矩的代数和。
3、内力图内力图表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形，包括M 图、S F 图和N F 图。
内力图用平行于杆轴线方向的坐标表示横截面位置（又称基线），用垂直于杆轴线的坐标（又称竖标）表示相应截面的内力值。
轴力图、剪力图中，竖标正、负值分别画在杆件基线的两侧，要标明正负号；弯矩图画在杆件的受拉侧，不标正负。
内力图要画上竖标，标注某些控制截面处的竖标值，并写明图名和单位。
4、内力图的形状特征直杆段上内力图的形状特征归纳如表3-1所示。
熟练掌握内力图的这些形状特征，对于以后正确、迅速地绘制内力图、校核内力图是非常有帮助的。
5、区段叠加法作M图对承受横向荷载作用的任意结构中直杆段，都可采用区段叠加法作其弯矩图：先采用截面法求出该段两个杆端截面弯矩值并将其连以一虚线，然后以此虚线为基线，叠加相应简支梁在跨间相应荷载作用下的弯矩图，如图3-1所示。
超静定结构的概述
量，梁会产生向上弯曲变形，故梁会因温度改变而产生内力。
(a)
(b)
图 11-3
除上述主要特征外，超静定结构还具有整体性强、变形小、受力较为 均匀等特点，因而这种结构在实际工程中被广泛采用。例如，图11-4a 所 示的两跨连续梁较图11-4b 所示的两跨简支梁，在力 F 作用点处的弯矩和 挠度均为小。
（a） 静定结构
（b） 超静定结构
（c） 静定结构受力图
算上来说，静定结构的静力特征是用静力平衡条件就能求得全 部反力和内力；而超静定结构的静力特征是仅用静力平衡条件不能求得 全部反力和内力。例如，对图11-1a 所示的静定梁，其受力图如图11-1c 所示，梁的反力（FAx、FAy、FB）和内力（FN、FQ、M）分别由三个静 力平衡方程求得。 而对图 11-lb 所示的连续梁，其受力图如图 11-ld 所示， 梁的反力共有四个(FAx、FAy、Fx1、FB），其中Fx1称为多余约束所对应 的多余未知力，用三个静力平衡方程不可能将此四个反力全部求得，只 要有一个反力尚未确定，梁的内力就不能确定。因此，还须补充其他条 件，才能求解。
【例11-3】确定图11-13a 所示结构的超静定次数。
解：图11-13a 所示刚架，具有一个多余约束。若将横梁某处改为铰接， 即相当于去掉一个约束，得到如图11-13b 所示的静定结构，故原结构 n = l。
若去掉支座 B 处的水平支杆，则得图11-13c 所示的静定结构。 但是，若去掉支座 B 或支座 A 的竖向支杆，即成可变体系如图11-13d 所 示，显然这是不允许的，所以此刚架支座处的竖向支杆不能作为多余约束。
图 11-6
② 去掉一个单铰，相当于去掉两个约束 。 如图11-7a 所示的结构，去掉一个单铰而变成静定结构，如图11-7b 所示。 因 n = 2，故该结构为两次超静定 。
(a)
(b)
图 11-3
除上述主要特征外，超静定结构还具有整体性强、变形小、受力较为 均匀等特点，因而这种结构在实际工程中被广泛采用。例如，图11-4a 所 示的两跨连续梁较图11-4b 所示的两跨简支梁，在力 F 作用点处的弯矩和 挠度均为小。
（a） 静定结构
（b） 超静定结构
（c） 静定结构受力图
算上来说，静定结构的静力特征是用静力平衡条件就能求得全 部反力和内力；而超静定结构的静力特征是仅用静力平衡条件不能求得 全部反力和内力。例如，对图11-1a 所示的静定梁，其受力图如图11-1c 所示，梁的反力（FAx、FAy、FB）和内力（FN、FQ、M）分别由三个静 力平衡方程求得。 而对图 11-lb 所示的连续梁，其受力图如图 11-ld 所示， 梁的反力共有四个(FAx、FAy、Fx1、FB），其中Fx1称为多余约束所对应 的多余未知力，用三个静力平衡方程不可能将此四个反力全部求得，只 要有一个反力尚未确定，梁的内力就不能确定。因此，还须补充其他条 件，才能求解。
【例11-3】确定图11-13a 所示结构的超静定次数。
解：图11-13a 所示刚架，具有一个多余约束。若将横梁某处改为铰接， 即相当于去掉一个约束，得到如图11-13b 所示的静定结构，故原结构 n = l。
若去掉支座 B 处的水平支杆，则得图11-13c 所示的静定结构。 但是，若去掉支座 B 或支座 A 的竖向支杆，即成可变体系如图11-13d 所 示，显然这是不允许的，所以此刚架支座处的竖向支杆不能作为多余约束。
图 11-6
② 去掉一个单铰，相当于去掉两个约束 。 如图11-7a 所示的结构，去掉一个单铰而变成静定结构，如图11-7b 所示。 因 n = 2，故该结构为两次超静定 。
超静定梁
和弯矩图。已知 EI 5103 KN . m2
20KN
m
30KN C
A 4m
B 3m
D 2m
例题 6 -10 图
解：这是一次超 静定问题 A 取支座 B 截面上 的相对转动约束 为多余约束。 基本静定系为在
20KN
m
30KN C D 3m 2m
B 4m
20KN
B 支座截面上安
置绞的静定梁，
m
RB
图 6 -11
超静定梁在多余约束处 的约束条件，就是原超 静定梁的变形相容条件。 图（b）中悬臂梁在 B点的 挠度等于零，就是超静定梁 （a）的变形相容条件。
(a)Biblioteka q B Al(b)
fB 0
根据变形相容条件得
变形几何方程
RA
mA
A
q B
RB
图 6 -11
fB 0
RA
mA
q A q B A B RB
f B f Bq f B R
变形几何方程为
B
f Bq f B R 0
B
（c）
f Bq
将力与变形的关系代入 变形几何方程，得补充 方程。
（d）
A B
f BRB
RB
f Bq f B R 0
B
RA
mA
q A q B A B RB
由附录 1V 查得
ql f Bq 8EI 3 RB l f B RB 3EI
铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同 样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 a, 试求钢杆 AD 内的拉 力 N。
20KN
m
30KN C
A 4m
B 3m
D 2m
例题 6 -10 图
解：这是一次超 静定问题 A 取支座 B 截面上 的相对转动约束 为多余约束。 基本静定系为在
20KN
m
30KN C D 3m 2m
B 4m
20KN
B 支座截面上安
置绞的静定梁，
m
RB
图 6 -11
超静定梁在多余约束处 的约束条件，就是原超 静定梁的变形相容条件。 图（b）中悬臂梁在 B点的 挠度等于零，就是超静定梁 （a）的变形相容条件。
(a)Biblioteka q B Al(b)
fB 0
根据变形相容条件得
变形几何方程
RA
mA
A
q B
RB
图 6 -11
fB 0
RA
mA
q A q B A B RB
f B f Bq f B R
变形几何方程为
B
f Bq f B R 0
B
（c）
f Bq
将力与变形的关系代入 变形几何方程，得补充 方程。
（d）
A B
f BRB
RB
f Bq f B R 0
B
RA
mA
q A q B A B RB
由附录 1V 查得
ql f Bq 8EI 3 RB l f B RB 3EI
铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同 样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 a, 试求钢杆 AD 内的拉 力 N。
材料力学
5 Pa RD a RD a 6 EI 3EI 3EI
如何得到？
A D
P
B
自行完成
C D
RD
例题 6
图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA，
已知P、L、a。求CD杆所受的拉力。
D
a
A
C
L
2
L
B
2
P
解：变形协调条件为 wC lCD
D
a
C
FC
A
( P FC ) L wC 48EI FC L lCD EA
温度应力：
FB E t A
6 1 12 . 5 10 碳素钢线胀系数为 C0
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使构
件膨胀或收缩而产生的附加应力。
不容忽视！！！
路、桥、建筑物中的伸缩缝 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节
例题 11
图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离=1mm， 材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的横截 面面积分别为600平方毫米和300平方毫米。试 作杆的轴力图。
C
A
FA
B
L2
FC
FA FB FC qL 0
L2
M
A
0
FB
变形协调方程
L qL2 FC FB L 0 2 2
3 FB qL 16
FA 3 qL 16
C q C FC 0
7.5kNm
5qL4 FC L3 5 0 FC qL 8 384 EI Z 48EI Z
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在 工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
●超静定问题的解法：
17讲 简单超静定梁
l
A l/2 B
F
而
C l/2
wB lBD
（1）
wB wBF wBF
2
N
FN
A B
F
C
Fx 5Fl wBF (3l x) () l 6 EI 48 EI x
wBFN l 3 FN ( ) 2 () 3EI
2
3
l/2
l/2
代入（1）：5 Fl 3
FN l FN l 48 EI 24 EI EA
静定梁(基本静定基) — 将超静定梁的多余约束解除，得到相应
的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。
q
多余约束的数目=超静定次数
B
多余约束的数目=1
L
静定梁(基本静定基)选取
q A L B
(1)解除B支座的约束,以 FBy代替， 即选择A端固定B端自由的悬臂梁 作为基本静定梁。
仅有 FBy作用，B点挠度为：
y BF
FByl 3 3EI
yB yBF yBq
解得:
ql 4 FByl 3 0 8EI 3EI
q
A l B
3 FBy ql () 8
FBy
5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。
本例： (1)
MA
q
F
B
x
0 0
A
FAx 0,
3
FN
A l/2
F C l/2
B
解得：
5F 1 FN 2 (1 24 I ) Al 2 3、在基本静定梁上由叠加法求 wC 。
超静定结构的概述
超静定结构的概述
（4）将刚性连接改成单铰连接或将固定支座改为固 定铰支座，相当于去掉一个转动约束，用一个多余未知力 代替，此结构就是一次超静定，如图15-3（d）所示。
图15-3
超静定结构的概述
（5）对于封闭框格结构，如图定结构的概述
超静定结构的计算方法较多，基本方法有力法 和位移法，对连续梁和无侧移刚架，用力矩分配法 比较简单。
工程力学
若有n个封闭框格就是3 n次超静定。如图15-5所示 的封闭框格结构，有8个封闭 框格，其超静定次数为3× 8 =24次。
图15-5
超静定结构的概述
去掉多余结构约束后，用相应的未知力来代替 而得到的静定结构称为原结构的基本结构。对于一 个超静定结构可以采用多种方式去掉多余约束，从 而得到不同的基本结构。但是所去掉的多余约束的 数目是相同的。
工程力学
超静定结构的概述
1.1
超静定结构的概念
从受力上看，如果未知的支座反力或各截面的内力 不能完全由静力平衡条件唯一地确定，就称为超静定结 构。如图15-1（a）所示的连续梁就是超静定结构。从 几何组成看，该连续梁多余一个支座链杆。
图15-1
超静定结构的概述
由此可见，超静定结构在静力方面的特征是仅由静力平衡条 件不能确定其全部反力和内力，而在几何组成上的特征是几何不变 体系且具有多余约束。常见的超静定结构有超静定梁、超静定刚架、 超静定桁架、超静定拱及超静定组合结构，如图15-2所示。
图15-2
超静定结构的概述
1.2
超静定次数的确定
超静定结构中多余约束的数目称为 超静定次数。确定任何结构的超静定次 数，一般采用去掉多余约束的方法，将 超静定结构变为静定结构。例如，在图 15-1（a）所示结构中有一个多余约束， 超静定次数为1，见图15-1（b）。
梁的极限荷载
2M u A
B
Mu
B
A
1 L
B
1 0.5L
21 L
表示B截面左侧转角。代入后整理得
qu
20M u 3L2
---------------------------（1）
θA Δ1 θB-
Mu Δ2
Mu
A
Δ3 D
2Mu
B
Mu
C
Mu
2Mu
第二跨：2
q
A
B
L
解：①当荷载q≤qy时，梁处于弹性阶段，作出如下的弯矩图，
并求得最大正弯矩发生在离B端 处3，L Mmax=
8
qL2 14.22
qL2/8
qL2/14.22 3L/8
②随着荷载的增加，A截面首先出现塑性铰。若荷载继续增加， 梁变为简支梁。增加的荷载由简支梁承担。
Mu
Mu
③由于增加的荷载由简支梁承担，最大正弯矩的位置将发生 变化。设第二个塑性铰的位置距离B端 x 处
L/2
弹性阶段
M PL 4
PyL/4
L/2
L/2
弹性极限阶段
My
Py L 4
静力法求极限荷载 Pu
Mu
L/2
L/2
极限荷载阶段
Mu
Pu L 4
Pu
4M u L
虚位移法求极限荷载 Pu
θ L/2
Mu
θ L/2
极限荷载阶段
Pu 2M u
L
2 L
2
Pu
2M u
4M u L
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A
C
C. 既有弯矩又有剪力；
L2
L2
D. 既无弯矩又无剪力；
例题 6.13 等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结
构,则__A___.
A. 多余约束力为FC，变形协调条件为ωC=0; B. 多余约束力为FC，变形协调条件为θC=0; C. 多余约束力为MC，变形协调条件为ωC=0; D. 多余约束力为MC，变形协调条件为θC=0;
q
A
C
L2
B
L2
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.同时把与之 相应的支座反力称为多余未知力。
F
A
RA
F RC
RB
BA
B
C
多余未知力个数与平衡方程数之差,称为 超静定次数或静不定次数
比如上面两个例子称为1次超静定，下面 就是2次超静定。
解：这是一次超静定问题
取支座 B 截面上的相对 转动约束为多余约束.
A
基本静定系为在 B 支座 截面上安置绞的静定梁， 如图 所示. 多余反力为分别作用于 简支梁AB 和 BC 的 B端 处的一对弯矩 MB.
变形相容条件为，简支梁 A AB的 B 截面转角和 BC 梁 B 截面的转角相等.
B B
RA RC F
RD
RB
A
B
C
D
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.
变形协调：由于杆件各部分的变形均与其所受的约束相适应，在这些变形之间必 定存在一定的制约，这种条件称为变形协调条件，它反应的是梁实际的变形情况。
4.简单超静定梁
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
l
MB
42 5M B EI 3EI
A
B
B
B
30kN
C D
补充方程为:
A
1280 4M B 42 5MB 24EI 3EI EI 3EI
20kN/m
B 4m
30kN
C D
3m
2m
解得:
M B 31.80kN m
负号表示B截面弯矩 与假设相反.
20kN/m MB
30kN
A
C
B
B D
ql
2
3 ql 8
9 ql 2 128
kNm
B2 建立补充方程求解多余未知力
B FB
利用变形协调建立补充方程求解多余未知力， 然后解出其他反力内力，称为力法
例题 9 求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图. 已知 EI = 5 103 kN.m3 .
20kN/m
A B
30kN
C
D
4m
3m
2m
若梁具有一个或更多的中间支座，称为连续梁。对于连 续梁选取中间支座截面上阻止截面相对转动的约束为多 余约束，所得静定体系为一系列简支梁。
20kN/m
ห้องสมุดไป่ตู้B 4m
30kN
C
D
3m
2m
20kN/m MB
30kN
C
B B
B D
4m
3m
2m
由表中查得:
B
20 43 24EI
MB4 3EI
( 1280 4M B) 24EI 3EI
20kN/m
A B
4m
30kN
C D
3m
2m
B
30
3 2(5 6EI 5
2)
MB 3EI
5
20kN/m
B2
B FB
如果能求出FB，则所有问题都迎刃而解
4.简单超静定梁
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
L
q
A
EI Z
l
A EI Z
l
例题 6.6
B
B
FB
B1 B2 0
mA
1 ql2 qL4 8 8EIZ
3FEBqLIZ3
A
FA
5 8
ql
L
5
ql
8
3 FB 8 ql
0
B
3 FB 8 ql
kN
B
1
B18
内力和应力。
温度改变
1、对静定梁不产生温度应力 2、对超静定梁产生温度应力。
例题 6.10 当系统的温度升高时,下列结构中的__A__不会
产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.12 图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连
接.在截面C上__D___.
A. 有弯矩，无剪力；
q
B
B. 有剪力，无弯矩；
第六章 简单的超静定问题
1.超静定问题及其解法
q
A
B
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅
l
由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称
为静定问题,相应的结构称为静定结构.
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这 类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
B
由基本静定系的平衡方程 可求得其余反力
RA 32.05KN RB 66.35KN RC 11.6KN
在基本静定系上绘出剪力图 和弯矩图.
20kN/m
A B
4m
30kN
C D
3m
2m
32.05
+
1.603m
18.40
+
-
47.95 31.80
-
11.64
+
25.68
-
+
23.28
支座沉降
1、对静定梁只影响其外形 2、对超静定梁不只影响外形，同时影响其
A EI Z
l
例题 6.6
B 左图为一次超静定梁
B
FB
以支座B为多余约束，设它反力为FB, 假想地解除这个约束，代之以反力FB， 此时受力状态和变形形态与原结构完
全一样，但从超静定结构变为静定结
构。称为超静定梁的基本结构。
B B1
对于基本结构来说，梁由两种荷载，一种 是原有的均布荷载q，另一种是未知力FB,