第八章超静定结构解法
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结构力学 力矩分配法计算超静定结构
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力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法。两种方法的共同特点都是 要列方程和解联立方程，计算烦琐。而力矩分配法是建立在位移法基础上的一 种渐近解法，计算过程按照重复步骤进行，结果逐渐接近真实解答。它无须解 联立方程而直接计算出杆端弯矩，方法简便，适合手算。适用范围是连续梁和 无侧移刚架的内力计算。
情景二 用力矩分配法计算连续梁 学习能力目标
掌握力矩分配法计算连续梁并绘制弯矩图。
项目表述
运用力矩分配法计算多跨连续梁结构。
学习进程
情景二 用力矩分配法计算连续梁
项目实施
案例 3 – 17 图 3 – 62a 所示为两跨梁，试用力矩分配法求杆端弯矩，并作 M 图。
解答：（1）计算分配系数 同一结点各杆分配系数之和等于 1，把算好的μ 值填在表格 3 – 5中B结点处。 （2）计算固端弯矩（查表 3 – 4） （3）放松刚结点 B 进行力矩分配 （4）计算传递弯矩 （5）计算杆端弯矩 把同一杆端的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加（代数和），即得杆端弯
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
知识链接
加于刚结点 1 的外力矩按分配系数分配给各杆的 1 端（近端），称 其 为分配弯矩。
3．传递系数 C 如图 3 – 60 所示，当外力矩 M 加于结点 1 时，该结点发生转角.1 ， 于是各杆近端和远端都将产生杆端弯矩，这些杆端弯矩值如下
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
解答：① 求分配系数。 ② 锁住结点 B、C，求各杆的固端 M。 ③ 先放松结点 C，按单结点直接把M=150kN.m进行分配、传递，此时 C
暂时平衡，将结果填入表中。求出此时结点B的不平衡力矩。 ④ 再放松结点 B，将（ - MB ）进行分配、传递，此时 B 暂时平衡，而由
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法。两种方法的共同特点都是 要列方程和解联立方程，计算烦琐。而力矩分配法是建立在位移法基础上的一 种渐近解法，计算过程按照重复步骤进行，结果逐渐接近真实解答。它无须解 联立方程而直接计算出杆端弯矩，方法简便，适合手算。适用范围是连续梁和 无侧移刚架的内力计算。
情景二 用力矩分配法计算连续梁 学习能力目标
掌握力矩分配法计算连续梁并绘制弯矩图。
项目表述
运用力矩分配法计算多跨连续梁结构。
学习进程
情景二 用力矩分配法计算连续梁
项目实施
案例 3 – 17 图 3 – 62a 所示为两跨梁，试用力矩分配法求杆端弯矩，并作 M 图。
解答：（1）计算分配系数 同一结点各杆分配系数之和等于 1，把算好的μ 值填在表格 3 – 5中B结点处。 （2）计算固端弯矩（查表 3 – 4） （3）放松刚结点 B 进行力矩分配 （4）计算传递弯矩 （5）计算杆端弯矩 把同一杆端的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加（代数和），即得杆端弯
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
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加于刚结点 1 的外力矩按分配系数分配给各杆的 1 端（近端），称 其 为分配弯矩。
3．传递系数 C 如图 3 – 60 所示，当外力矩 M 加于结点 1 时，该结点发生转角.1 ， 于是各杆近端和远端都将产生杆端弯矩，这些杆端弯矩值如下
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
解答：① 求分配系数。 ② 锁住结点 B、C，求各杆的固端 M。 ③ 先放松结点 C，按单结点直接把M=150kN.m进行分配、传递，此时 C
暂时平衡，将结果填入表中。求出此时结点B的不平衡力矩。 ④ 再放松结点 B，将（ - MB ）进行分配、传递，此时 B 暂时平衡，而由
材料力学第8章-能量法3-1
d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移， 则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所 作的功。
W Wi
* e
e
*
外力虚功
内力虚功
l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa
1
2a 5a/3
2
3a/2
-
2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题 力法 例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能
超静定结构内力计算.pptx
μ
MBC= 0.429×(－24) = －10.3kNm
传递弯矩：
c MCB= 0
c
MAB= 0.5×(－13.7) = －6.85kNm
最后杆端弯矩：
MCB= 0
MAB= MFAB＋ MCAB = －66.85kNm
MBA= MFBA＋ MμBA = 46.3kNm
MBC= MFBC＋ MμBC = －46.3kNm
M
f AB
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
P A
3 Pl 16
B
M
f BA
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
M
f AB
1 8
ql 2
M
f BA
1 8
ql 2
第17页/共24页
1、计算各杆的固端 弯矩Mf
MfAB=0
M
f BA
1 8
ql 2=1/8×4×62=18
MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5 MfCB=1/8PL=1/8×30×6=22.5
所以，结点角位移的数目 等于该结构的刚结点数！
由于A、B、C为固定端支座，所以 其位移均已知为零，不需作为未知量； 而同一刚结点处各杆的杆端转角相等， 所以每个刚结点处只有一个独立的结 点转角未知量。故上图刚架只有一个 结点转角未知量。
第5页/共24页
2、独立结点线位移
在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形 前后保持不变，即杆长保持不变。
A
SAB = 3 i
B
A
SAB = i
θ =1
= B
A
B
当θ ≠ 1时: MAB = SAB θ
第八章超静定结构解法
第八章超静定结构解法
超静定结构是指结构中的节点数超过了杆件数，即结构中的自由度超过了平衡条件的数量。
对于超静定结构的解法，需要进行位移计算和支反力计算。
位移计算可以通过以下步骤进行：
1.建立结构的刚度方程。
根据杆件的刚度和支座的自由度约束，可以建立结构的刚度矩阵。
刚度矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是结构的自由度数量。
2.确定约束条件。
根据结构的支座约束，可以确定支座位移为零的约束条件。
3.应用边界条件。
将约束条件应用到刚度方程中，可以得到一个未知位移的方程组。
4.解未知位移。
通过解这个方程组，可以得到结构的未知位移值。
支反力计算可以通过以下步骤进行：
1.利用位移计算中得到的未知位移值，计算杆件的应力。
应力可以通过应变和材料的本构关系得到。
2.根据杆件的几何特征和应力，计算杆件的应力。
应力可以根据杆件的截面积和应力得到。
3.根据杆件的几何特征和应力，计算杆件的内力。
内力可以根据截面受力平衡的条件得到。
4.根据内力和支座约束，计算支座的反力。
反力可以通过力的平衡条件得到。
总的来说，超静定结构的解法需要进行位移计算和支反力计算。
在位移计算中，需要建立结构的刚度方程，并将约束条件以及边界条件应用到方程中，来解未知位移。
在支反力计算中，需要利用位移计算中得到的未知位移值，计算杆件的应力和内力，并根据杆件的几何特征和应力来计算支座的反力。
超静定问题
2.4m
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
超静定问题——精选推荐
西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室第八章简单的超静定问题§8-1 概述静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的全部未知的约束反力或内力FAB2A F1BααC平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程独立平衡方程数：超静定结构(静不定结构): 仅凭静力学平衡方程不能求解全部未知内力或反力的结构。
超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数。
BD C A 132FααF F CF B F A BC ABCADA FααF N1y xF N3F N2BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1y xF N3F N2•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。
•超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。
•注意：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的。
超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问题。
F F CF B F A BC A•补充方程的数目=多余未知力的数目=多余约束数。
•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的力的补充方程。
•补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧与关键。
此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。
BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1yxF N3F N2§8.2 拉压超静定问题1拉压超静定问题解法例两端固定的等直杆AB ，在C 处承受轴向力F 如图，杆的拉压刚度为EA ，求杆的支反力.解：一次超静定问题=−+F F F B A F BA F AB ablFC (1) 由节点A 的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程（2）变形：补充方程(变形协调条件)可选取固定端B 为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力F B ，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统注意原超静定结构的 B 端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在B 点的位移为零。
超静定问题及其解法
核心问题：静力平衡方程不够？一 寻求补充方程
•确定超静定次数，列出静力平衡方程;
•根据变形协调条件列出变形相容方程； •将物理关系代入变形相容方程得补充方 程； •联立补充方程与静力平衡方程求 解; •求解杆件的内力，应力与变形等。
♦超静定问题及其解法 _
♦超静定问题及1
多余约束
♦超静定问题及其解法
(2).与多余约束相对应的反力称为多余未知力，多 余未知力的数目称为结构的超静定次数。
—次超静定
♦超静定问题及其解法
—次超静定
♦超静定问题及其解法
q
M
二次超静定
♦超静定问题及其解法 _
多次超静定
♦超静定问题及其解法
二.超静定问题的一般解法
超静定问题及其解法
♦超静定问题及其解法
—、= 本概念
1.静定问题：结构的约束反力或构件内力通过静力 学平衡方程可以确定的问题。
拉压静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转静定问题
弯曲静定问题
.超静定问题及其解法 ，
2.超静定问题：单凭静力平衡方程不能完全确定结 构约束反力或构件内力的问题。
拉压超静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转超静定问题 弯曲超静定问题
♦超静定问题及其解法
超静定问题的工程实例
大型空间 桁架结构
♦超静定问题及其解法 _
大型桥梁结构
♦超静定问题及其解法 _
大型塔吊结构
♦超静定问题及其解法 _
大型铣床
♦超静定问题及其解法
3.多余约束与超静定次数 (1).在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须 的约束称为多余约束。
•确定超静定次数，列出静力平衡方程;
•根据变形协调条件列出变形相容方程； •将物理关系代入变形相容方程得补充方 程； •联立补充方程与静力平衡方程求 解; •求解杆件的内力，应力与变形等。
♦超静定问题及其解法 _
♦超静定问题及1
多余约束
♦超静定问题及其解法
(2).与多余约束相对应的反力称为多余未知力，多 余未知力的数目称为结构的超静定次数。
—次超静定
♦超静定问题及其解法
—次超静定
♦超静定问题及其解法
q
M
二次超静定
♦超静定问题及其解法 _
多次超静定
♦超静定问题及其解法
二.超静定问题的一般解法
超静定问题及其解法
♦超静定问题及其解法
—、= 本概念
1.静定问题：结构的约束反力或构件内力通过静力 学平衡方程可以确定的问题。
拉压静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转静定问题
弯曲静定问题
.超静定问题及其解法 ，
2.超静定问题：单凭静力平衡方程不能完全确定结 构约束反力或构件内力的问题。
拉压超静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转超静定问题 弯曲超静定问题
♦超静定问题及其解法
超静定问题的工程实例
大型空间 桁架结构
♦超静定问题及其解法 _
大型桥梁结构
♦超静定问题及其解法 _
大型塔吊结构
♦超静定问题及其解法 _
大型铣床
♦超静定问题及其解法
3.多余约束与超静定次数 (1).在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须 的约束称为多余约束。
超静定结构的力矩分配法计算
M
F B
)
M B D
BD(
M
F B
)
5、传递系数 远端为固定支座：
1 C= 2 远端为铰支座： C =0
远端为双滑动支座： C = -1
6、远端传递弯矩 近端杆端分配弯矩可通过固端弯矩按比例分配得到， 而远端传递弯矩则可通过近端分配弯矩得到。
M AB CBAM B A
M CB CBCM B C
BC
S BC SB
BD
S BD SB
一个杆件的杆端分配系数等于自身杆端转动刚度 除以杆端结点所连各杆的杆端转动刚度之和。
各结点分配系数之和等于1 BA BC BD 1
4、近端分配弯矩
将不平衡力矩变号后按比例分配得到各杆的近端分 配弯矩。
M B A
BA (
M
F B
)
M B C
BC (
M D B CBDM B D
建筑力学
力矩分配法中结点弯矩正负号规定： 结点弯矩使结点逆时针转为正 。
1.2 力矩分配法的要素
1、固端弯矩、固端剪力 固端弯矩是荷载引起的杆件在分配结点处固定时产 生的杆端弯矩 固端剪力是荷载引起的杆件在分配结点处固定时产 生的杆端剪力
固端弯矩、固端剪力可通过查表13.1获得 i称为线刚度： i EI
l
其中：EI是杆件的抗弯刚度；l 是杆长。
序 号
梁的简图
1
2
3
杆端弯矩
MAB
MBA
4i
i EI
2i
l
ql2
ql 2
12 12
杆端剪力
FQAB
FQBA
6i 6i
l
l
ql 2
ql 2
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8-1 超静定结构及超静定次数的确定
超静定结构也叫静不定结构，是工程中常见的一类结构。从结构 组成分析来讲，就是有多余约束的几何不变体。由于有多余约束存在， 相应地就有多余约束力，因此单靠静力学平衡方程就不能确定所有未 知力，故名静不定。
求解超静定问题的方法有多种，力法是最基本、也是历史最悠 久的一种。它是以多余约束力为未知数，列出变形补充方程求解后， 其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。
l /2
(e)
M
0 3
11 (f )
本题为刚架，用图形互乘法求解较方便。作出外载和各单位荷载在 静定基上的内力图 (c ,d ,e ,f )，不难求得典型方程中各系数如下：
end
1PE1IP22l23l3PE3lI
2PE1IP22l12l4PE3lI
1 P2l P2l 3PEI 2 12EI
11E2Il22 23l32El3I 22E 2I1 22 l23 ll222 l17lE 23 I 33E2I12l11l1E 3l I
退出
目的：了解力法、位移法求解超静定结构的过程。 要求：能正确判定超静定次数，恰当地选好求解
的方法；了解矩阵位移法的解题过程及超 静定结构的性质。
退出
8-1 超静定结构及超静定次数的确定 8-2 力法和典型方程 8-3 对称性的利用 *8-4 超静定结构在温度变化和支座移动时的计算 8-5 位移法的基本概念 8-6 转角位移方程解法 *8-7 矩阵位移法 8-8 力矩分配法
12210 23320 23320 1331E2Il22 1El2I
式中, 12=21=0，23=32=0是由于M10和M30图形对于结构的对称轴来说是
正对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半的图形完全重合)；而 图形M20则是反对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半图形的坐 标值大小相等而符号相反)。正、反对称图形互乘后，所得位移恒为零。
同理也可求出其他内力X2，X3在此三方向上所引起的位移。由于 结构在C处是连续的，因此，所有外荷载及各多余约束力在该处引起 的相对变形应为零。
end
1
1P
11X1
12X2
13X3
0
2 2P21X122X2 23X3 0
3 3P31X132X2 33X3 0
(8-1)
典型方程
其中
iP i
li MEi0iM Ii Pdsi
将上述系数代入典型方程后得：
end
2 3
l3X
1
l2
X
3
1 3
Pl
3
0
7 12
l3X
2
1 4
Pl
3
0
l2 X 1
3 lX
3
1 2
Pl
2
0
解之得：
X1
P 2
X2
3P 7
X3 0
根据 M M P X 1 M 1 0 X 2 M 2 0 X 3 M 3 0 作图
3 Pl B
14
3 Pl 14
M M P X 1 M 1 0 X 2 M 2 0 X 3 M 3 0
(6)校核：对力法计算结果的校核，主要是看解算典型方程时是否有 问题。因为从理论上讲，满足超静定结构平衡方程的多余约束力可有无 限多，但只有又满足变形连续条件的那一组多余约束力，才是超静定结 构中唯一的那组真实的力。所以在求得多余约束力后，再按计算静定结 构位移的方法，计算一下超静定结构的位移，看它是否满足巳知的变形 条件或连续性条件。如满足，则结果正确。
C
M0
M0
3 Pl
A 3 Pl
D
77(a)()(c)1M AB Pl1 2Pl7 3P2 l7 2Pl
所谓超静定次数，就是多余约束的个数，它可从超静定结构中 解除多余约束的个数来确定，即它等于将有多余约束的几何不变体 变为无多余约束的几何不变体时所要解除的约束数。
end
★ 切断一根链杆或在杆件内添加一个铰，相当于解除1个约束； ★ 而在体系内去掉一个铰，则相当于解除2个约束； ★ 切断一根梁(杆)则相当于解除3个约束。
ij i
li M E i0 iM Ii0 jdi si
li M E 0 jiM Iii0di s ji
ij ji ——位移互等定理
对于n次的超静定结构，当然也可以写出类似的n个变形补充方程， 可解出n个多余约束力。多余约束力解出后，问题就变成静定的了，其他 未知反力、内力、位移等都可按静定结构的计算方式进行计算。
超静定次数的多少就等于使超静定结构成为无多余约束的几何不变体所 要解除的约束数。
(a) 1次 (c) 1次
(b) 2次
(e) 1次
(f) 3次
(c) 4次
(g) 3次
(i) 4次
(h) 9次
end
8-2 力法和典型方程
以一封闭刚架为例来说明其解法，并由此导得用力法求解超静定问题 的一个典型方程。
C P
end
例 8-1 图示一对称刚架，即平分刚架的左、右两半部分，不但由轴线所构
成的几何图形是对称的，而且所用材料、截面尺寸、支座条件也是相同的。
设尺寸和受力如图，杆的刚度为EI，试作其弯矩图。
B
C
X2
X3
X3
P
l
P X1
X1
P
l
EI
X2
MP
A
D
(a)
(b)
(c)
11
M
0 1
ll (d)
M
0 2
l /2
1X1 11X1 2X1 21X1 3X1 31X1
1P
3P
P
2P
(c)
31
11
31
21 21
(d)
31 32 21
22
22
32
(e)
33
13
33
23 23
(f )
式中 11,21,31分别是X1方向的单位荷载在X1，X2，X3方向所引
起的位移，见图(d)
end
总结一下力法的解题步骤如下：
(1)判断结构的超静定次数；
(2)解除多余约束，代以相应的多余约束力Xi，选好静定基； (3)分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相
应的位移 iP , ij ；
(4)将iP , ij 代入典型方程，求出多余约束力Xi； (5) 用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种计算。 以作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为：
(a)
A
B
X2
X3
X3
P X1
X1
X2
(b)
今设在刚架中央截面C处截开，则得两个半刚架的静定基，超静定
次数为3，故加三对多余约束力X1， X2， X3以取代解除的约束作用；
end
然后再分别求出外荷载P及各未知内力例如X1在解除约束处的相 应位移 1 P , 2 P , 3 P , 1 X 1, 2 X 1, 3 X 1 。由于是线弹性结构，所以：
8-1 超静定结构及超静定次数的确定
超静定结构也叫静不定结构，是工程中常见的一类结构。从结构 组成分析来讲，就是有多余约束的几何不变体。由于有多余约束存在， 相应地就有多余约束力，因此单靠静力学平衡方程就不能确定所有未 知力，故名静不定。
求解超静定问题的方法有多种，力法是最基本、也是历史最悠 久的一种。它是以多余约束力为未知数，列出变形补充方程求解后， 其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。
l /2
(e)
M
0 3
11 (f )
本题为刚架，用图形互乘法求解较方便。作出外载和各单位荷载在 静定基上的内力图 (c ,d ,e ,f )，不难求得典型方程中各系数如下：
end
1PE1IP22l23l3PE3lI
2PE1IP22l12l4PE3lI
1 P2l P2l 3PEI 2 12EI
11E2Il22 23l32El3I 22E 2I1 22 l23 ll222 l17lE 23 I 33E2I12l11l1E 3l I
退出
目的：了解力法、位移法求解超静定结构的过程。 要求：能正确判定超静定次数，恰当地选好求解
的方法；了解矩阵位移法的解题过程及超 静定结构的性质。
退出
8-1 超静定结构及超静定次数的确定 8-2 力法和典型方程 8-3 对称性的利用 *8-4 超静定结构在温度变化和支座移动时的计算 8-5 位移法的基本概念 8-6 转角位移方程解法 *8-7 矩阵位移法 8-8 力矩分配法
12210 23320 23320 1331E2Il22 1El2I
式中, 12=21=0，23=32=0是由于M10和M30图形对于结构的对称轴来说是
正对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半的图形完全重合)；而 图形M20则是反对称的(即图形的左半绕对称轴转180o后，和右半图形的坐 标值大小相等而符号相反)。正、反对称图形互乘后，所得位移恒为零。
同理也可求出其他内力X2，X3在此三方向上所引起的位移。由于 结构在C处是连续的，因此，所有外荷载及各多余约束力在该处引起 的相对变形应为零。
end
1
1P
11X1
12X2
13X3
0
2 2P21X122X2 23X3 0
3 3P31X132X2 33X3 0
(8-1)
典型方程
其中
iP i
li MEi0iM Ii Pdsi
将上述系数代入典型方程后得：
end
2 3
l3X
1
l2
X
3
1 3
Pl
3
0
7 12
l3X
2
1 4
Pl
3
0
l2 X 1
3 lX
3
1 2
Pl
2
0
解之得：
X1
P 2
X2
3P 7
X3 0
根据 M M P X 1 M 1 0 X 2 M 2 0 X 3 M 3 0 作图
3 Pl B
14
3 Pl 14
M M P X 1 M 1 0 X 2 M 2 0 X 3 M 3 0
(6)校核：对力法计算结果的校核，主要是看解算典型方程时是否有 问题。因为从理论上讲，满足超静定结构平衡方程的多余约束力可有无 限多，但只有又满足变形连续条件的那一组多余约束力，才是超静定结 构中唯一的那组真实的力。所以在求得多余约束力后，再按计算静定结 构位移的方法，计算一下超静定结构的位移，看它是否满足巳知的变形 条件或连续性条件。如满足，则结果正确。
C
M0
M0
3 Pl
A 3 Pl
D
77(a)()(c)1M AB Pl1 2Pl7 3P2 l7 2Pl
所谓超静定次数，就是多余约束的个数，它可从超静定结构中 解除多余约束的个数来确定，即它等于将有多余约束的几何不变体 变为无多余约束的几何不变体时所要解除的约束数。
end
★ 切断一根链杆或在杆件内添加一个铰，相当于解除1个约束； ★ 而在体系内去掉一个铰，则相当于解除2个约束； ★ 切断一根梁(杆)则相当于解除3个约束。
ij i
li M E i0 iM Ii0 jdi si
li M E 0 jiM Iii0di s ji
ij ji ——位移互等定理
对于n次的超静定结构，当然也可以写出类似的n个变形补充方程， 可解出n个多余约束力。多余约束力解出后，问题就变成静定的了，其他 未知反力、内力、位移等都可按静定结构的计算方式进行计算。
超静定次数的多少就等于使超静定结构成为无多余约束的几何不变体所 要解除的约束数。
(a) 1次 (c) 1次
(b) 2次
(e) 1次
(f) 3次
(c) 4次
(g) 3次
(i) 4次
(h) 9次
end
8-2 力法和典型方程
以一封闭刚架为例来说明其解法，并由此导得用力法求解超静定问题 的一个典型方程。
C P
end
例 8-1 图示一对称刚架，即平分刚架的左、右两半部分，不但由轴线所构
成的几何图形是对称的，而且所用材料、截面尺寸、支座条件也是相同的。
设尺寸和受力如图，杆的刚度为EI，试作其弯矩图。
B
C
X2
X3
X3
P
l
P X1
X1
P
l
EI
X2
MP
A
D
(a)
(b)
(c)
11
M
0 1
ll (d)
M
0 2
l /2
1X1 11X1 2X1 21X1 3X1 31X1
1P
3P
P
2P
(c)
31
11
31
21 21
(d)
31 32 21
22
22
32
(e)
33
13
33
23 23
(f )
式中 11,21,31分别是X1方向的单位荷载在X1，X2，X3方向所引
起的位移，见图(d)
end
总结一下力法的解题步骤如下：
(1)判断结构的超静定次数；
(2)解除多余约束，代以相应的多余约束力Xi，选好静定基； (3)分别求出外荷载和多余约束力在静定基的解除约束处和其约束相
应的位移 iP , ij ；
(4)将iP , ij 代入典型方程，求出多余约束力Xi； (5) 用叠加法作出超静定结构的内力图后，可进行各种计算。 以作弯矩图为例，本题中的弯矩计算式可写为：
(a)
A
B
X2
X3
X3
P X1
X1
X2
(b)
今设在刚架中央截面C处截开，则得两个半刚架的静定基，超静定
次数为3，故加三对多余约束力X1， X2， X3以取代解除的约束作用；
end
然后再分别求出外荷载P及各未知内力例如X1在解除约束处的相 应位移 1 P , 2 P , 3 P , 1 X 1, 2 X 1, 3 X 1 。由于是线弹性结构，所以：