江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试数学试卷 PDF版含答案

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2021届江苏省南通市高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

2021届江苏省南通市高三第一次模拟考试数学(理)试题(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体枳公式：心济=仍，其中S 为柱体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.1 .已知集合庆={1, 3}, B={0, 1},贝IJ 集合 AUB=.2 .己知复数z=：二一3八3为虚数单位)，则复数z 的模为3 .某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下:4 .如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为.5 .有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参这两位同学参加不同兴趣小组的概率为. 6 .已知正四棱柱的底而边长是3 cm,侧而的对角线长是3小cm, 四棱柱的体积为 c/7 .若实数x, y 满足xWyW2x+3,则x+y 的最小值为•0&在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线/=2px(p>0)的准线为L 直线1与双曲线宁一y'=l 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB=加，贝Up 的值为.9 .在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y = 3x + t 与曲线y=as 。

x+bcos x(a, b, t £R)相切于点 (0,1),则(a+b) t 的值为 o10 .已知数列{aj 是等比数列，有下列四个命题：①数列{11}是等比数列； ②数列瓜a+J 是等比数列；f .③数列］工堤等比数列； ④数列{痣蜴是等比数列.其中正确的命题有个.11 .已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)=f(x).当0<xWl 时，f(x)=V — ax+1,则实数a 的值为.12 .在平而四边形 ABCD 中，AB=1, DA=DB, AB -AC=3, AC -AD=2,则 AC + 2AD 的最小值为.13 .在平而直角坐标系xOy 中，圆0： x £+y ：=l,圆C ： (x —4)-+y'=4.若存在过点P(m, 0)的直线1, 直线1被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是.14 .已知函数 f(x) = (2x+a)(|x-a +|x + 2a )(a<0).若 f (1)+f (2)+f (3) + …+ f (672) =0,则满足f(x) =2 019的x 的值为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.加一个，则则这个正15.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧而PADJ_底而ABCD,底面ABCD是矩形, DA=DP.求证：(1)MN〃平面PBC：(2)MDL平而PAB.16.(本小题满分14分)在△ ABC中，a, b, c分别为角A, B» C所对边的长,acos B=A/2bcos A, cos A=坐(1)求角B的值：(2)若&=乖,求AABC的面积.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=± + 1A x(a€R). x(1)讨论函数F(x)的单调性：(2)设函数f(x)的导函数为f (x),若函数f(x)有两个不相同的零点用，自①求实数a的取值范围；② 证明：X，(义)+££ (照)>21n a+2.20.(本小题满分16分)已知等差数列5｝满足a,=4,前8项和数=36.(1)求数列UJ的通项公式：(2)若数列｛bj满足-(bxa=n+x.a) +2a a=3(2n-l) (nER*). k=l①证明：｛儿｝为等比数列：②求集合,(卬，P)£=中，m,数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21.【选做题】本题包括4 5、。

江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试化学试题含参考答案

化学本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷满分100分，考试时间90分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必在答题纸姓名栏内写上自己的姓名、考试科目、准考证号等，并用2B铅笔涂写在答题纸上。

2.每小题选出正确答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题号的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试题卷上。

3.考试结束，将答题纸交田。

可能用到的相对原子质量：H 一1C 一12N 一140一16Cl-35.5选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

I .下列物质不属于高分子化合物的是A.纤维素B.聚丙烯2.下列有关化学用语表示正确的是A.硫化氢的电子式：H ＋［：豆：tH+B叫结构示意图：＠对c.,ffi;糖c.质子数为53，中子数为78的腆原子：：：I D .碳酸的电离方程式：H 2C03�2H →＋co�－3.下列有关物质性质与用途对应关系正确的是A.液氮汽化时要吸收大量的热，可用作制冷剂B.二氧化硅熔点高硬度大，可用于制光导纤维c.四氯化碳的密度比水大，可用于萃取澳水中的澳D.浓硫酸具有强氧化性，可用作乙酸和乙醇反应的催化剂4.常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.lmol/L的硫酸氢铀溶液中：NHS,AP ＋、Cl 一、CH3COO-B. lmol/L 的BaCh溶液中：Na ＋、K ＋、NOi 、OH 一C.ImoνL 的NaCI O 溶液中z K +, Na ＋、Cl －、so�－ D.蛋白质D.水电离出的c(H +)= Ix I 0·12mol/L 的溶液中：K ＋、Fe 3＋、NOi,sor江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试5.X、Y、Z、W是原子序数依次增大的短周期主族元素。

Y是同周期元素中非金属性最强的元素，Z 是短周期中金属性最强的元素，W 的单质晶体是应用最广泛的半导体材料，X原子的最外层电子数等于Z、W原子最外层电子数之和。

江苏省南通市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)

南通市2021－2022(上)高三期中调研测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩(C U B )＝A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，4)D ．[2，4)2．已知z ＝1－2i ，|z -－z |＝A ．2B ．4C ．4iD ．－4i3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，有下列四个等式甲：a 1＝1；乙：a 4＝4；丙：S 3＝9；丁：S 5＝25．如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．经研究发现，某昆虫释放信息素t s 后，在距释放处x m 的地方测得信息素浓度y 满足ln y ＝－12ln t －K tx 2＋A ，其中A ，K 为非零常数．已知释放1s 后，在距释放处2m 的地方测得信息素浓度为a ，则释放信息素4s 后，信息素浓度为a2的位置距释放处的距离为A ．14mB ．12m C ．2m D ．4m5．已知圆锥SO 的顶点为S ，母线SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝6，则圆锥 SO 的体积为A ．182πB ．542πC ．163πD ．483π6．函数y ＝2sin xx 2＋1(x ∈[－2，2)的图象大致为7．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且e a－e－12＝a＋12，eb－e－13＝b＋13，ec－2－15＝c＋15，则A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．由倍角公式cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．－般地，存在一个n 次多项式P n (t )，使得cos nx ＝P n (cos x )这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．Tschebyscheff )多项式．例如cos2x ＝P 2(cos x )＝2cos 2x －1，记作P 2(t )＝2t 2－1．利用P 3(t )求得sin18°＝A ．5－14 B ．3－52 C ．5－12 D ．5＋18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每/小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＞b ，则A ．ln(a 2＋1)＞ln(b 2＋1) B ．a 13＞b 13C ．1a ＜1bD ．(13)a ＜(13)b10．已知把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝f (x )图象，则A ．f (x )＝sin(2x －π3)B ．f (x )＝sin(2x －π6)C ．f (x )＝cos(2x －5π6)D ．f (x )＝cos(2x －2π3)11．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则12．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 在线段AD 1上，点N 在线段BD 上，则 A ．当M 为AD 1的中点时，AC 1⊥MNB ．当MN //平面CC 1D 1D 时，AM ＝BNC ．当N 为BD 的中点时，三棱锥C 1－BMN 的体积为16D ．当M 为AD 1的中点时，以M 为球心，MN 为半径的球被平面BB 1D 1D 截得的圆的面积的最小值为π4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知中心为O 的正六边形ABCDEF 的边长为2，则→OA ·→OC ＝．14．已知函数f (x )＝(x －a )(x －3)2(a ∈R )，当x ＝3时，f (x )有极大值．写出符合上述要求的一个a 的值为．15．设函数f (x )的定义域为R ，f (x )为偶函数，f (x ＋1)为奇函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝a ·2x＋b ，若f (0)＋f (1)＝－4，则f (72)＝．16．如图，将矩形纸片ABCD 的右下角折起，使得点B 落在CD 边上点B 1处，得到折痕MN 已知AB ＝5cm ，BC ＝4cm ，则当tan ∠BMN ＝时，折痕MN 最短，其长度的最小值为 cm ．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，且a 1＝2，a 3＝a 2＋4． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ．【解析】18．(本题满分12分) 函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos2x ．(1)求f (0)，f (π12)；(2)求函数f (x )在[－π4，π4]上的最大值与最小值．【解析】19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD //BC ，P A ⊥CD ，AB ＝BC ＝P A ＝PC ＝1，AD ＝2． (1)证明：CD ⊥平面P AC ；(2)若AC ＝1，求二面角A －PD －C 的正弦值．【解析】20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1e x(a ∈R ) ． (1)当a ＝－2时，求f (x )的单调区间； (2)当x ≥0时，f (x )≤1，求a 的取值范围．【解析】21．(本题满分12分)在△ABC 中，已知D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，且AC －CD ＝32．(1)若AB ＝2BD ＝5，求△ABC 的面积； (2)若AB ＋BD ＝6，求AD ．【解析】22．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝x ln x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设x 1，x 2为两个不相等的正数，且f (x 1)＝f (x 2)，证明：2e ＜x 1＋x 2＜1．【解析】∴2e ＜x 1＋x 2＜1．。

2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案

2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试，一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，清将答案填写在等呼下相应的位置上.)1 .已知集合 A={x|-1 vxv3} , B= { - L 0, 1, 2, 3},则 A 「| B=.2 .已知复数z 满足(l + i)z =3 —i (其中i 为虚数单位)，则复数z 的模为. 3 .双曲线下一丁二 1的顶点到渐近线的距离为.4 54 . 口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1, 2, 3, 4,若从袋中一次性摸出2个球, 则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为.5 .函数/*) = J ； — log4(x — l)的定义域为.|x + 2|,-2<x<0八 c c ，贝4/(/(17))-tan ——,0< x< 24的值为.7 .设函数/。

)=碗(5・+ 土)(2>0)，若f(x)< /(£)对任意的实数X 都成立，则出的最小值为8 4v <n8 .己知函数/(x)=,则不等式/(制>一1+ 1的解集为 ________lgM x>09 .设aeR,函数/(x) = 3f —为奇函数，则函数/(X)的极大值为10・已知 sin(a - £)=金，0 < a < 三，则 cos(a + 二)= 6 5 2 12 11 .已知Iog2〃 + log2^ = 2,则2"+2,的最小值为 12 .如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC±BD, BC=2, 则B A B C=.13 .在锐角AABC 中，设角A, B, C 的对边分别为a, 6, c ,若」的取值范围为14 .定义在 R 上的函数 “X), »(X), /7(x),若对 Vx £R,点(主，h(x) ) > (x 9 g(x))关于点(x , f (x))对称，则称函数〃(x)是函数g(x)关于函数/‘(X)的"对称函数”.已知函数/z(x)是函数 g(X)=。

2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学(理)试题Word版含解析

2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}1,0,A a =-， {}0,B a =.若B A ⊆,则实数a 的值为__________．【答案】1【解析】∵B A ⊆， ∴a A ∈． ∴a a =，解得1a =或0a =（舍去）．答案：12．[2018·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．【答案】【解析】，所以复数的实部为3．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400， 400， 500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取_________名学生. 【答案】25【解析】由分层抽样得应从高三年级抽取50065=25400+400+500⨯名学生4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_________.【答案】10【解析】执行循环得=2,3;=5,5;=10,5;S i S i S i === 结束循环，输出=10S5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.【答案】12【解析】从4个社团中随机选择2个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为31=626．若实数,x y 满足1,{3, 10,x y x y ≥≤--≤则2x y -的最大值为________. 【答案】5【解析】作可行域，如图，则直线2x y z -=过点A(4,3)时z 取最大值5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为________.【答案】65【解析】()2,0F , 双曲线221169x y -=的渐近线为340x y ±=，距离为|32+0|6=55⨯8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________. 3【解析】由8646a a a =+得4223263,3,3q q q q a a q =+∴====9．在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为_________. 【答案】6π【解析】函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位得sin 223y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为过坐标原点，所以()-2036226k k k Z πππππϕπϕϕϕ+=∈∴=-<<∴=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.10．若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为_________. 【答案】2e -【解析】因为ln 1y x '=+ ，所以()()2ln11ln 11ln 2,t t t e -++=-∴=-=11．11．如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_________.（不计损耗）【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为，则12．如图，已知矩形的边长，.点，分别在边，上，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】以A 坐标原点，AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，设所以因为，所以因为，所以因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -， ()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ， PD ，切点分别为C ， D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________. 【答案】32【解析】由射影定理得2224OD OM OP OM OP =⋅∴⋅==设()()1111,,,4,4y y M x y P x y x x ==∴= 2214x y x x+∴=因为11144x y +=- ，所以11x 1,44x yx +⋅=- 14x x y x=- 所以2222221114400,+-222x y y x x y y x x y y x+⎛⎫⎛⎫∴=->∴+-+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因此线段AM =点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．14．已知函数()()221,{ ,x ax a f x ln x --+=- 0,0,x x ≥< ()212g x x a =+-，若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得()()min 01,12f a g x a =-=-．（1）当1a >时， ()()2010,410f a a a =-∆=+-，如图，函数()y f x =有2个零点，即11x =-，20x >．又()min 120g x a =-<，故方程2121220x a x a =-+=->和方程22210x a x =-+>各有两个解， ∴方程()0g x =有4个解．∴函数()()y f g x =有4个零点．故1a >满足题意．（2）当1a =时， ()00,40f =∆=>，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >，30x >．又()min 10g x =-<，结合（1）中的方法可得方程()211,2,3i x x i =+=有5个解． ∴函数()()y f g x =有5个零点．故1a =不满足题意．（3）当1a <时， ()010f a =->， ①若()2410a a ∆=+->，即5112a -<<时，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >， 30x >．又()min 121g x a =->-，故当11x =-时，方程2220x a =-<无解．所以要是函数()()y f g x =有4个零点，需满足()12{120a af a -<->，解得113a <<，故5112a -<<．②当512a -≤时，结合图象可得，函数()()y f g x =不会有4个零点．综上可得5112a -<<或1a >．故实数a 的取值范围是()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．答案： ()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中， AB PC ⊥， CA CB =， M 是AB 的中点.点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点.求证：（1）//MD 平面PAC ；（2）平面ABN ⊥平面PMC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得//MD AN ，再根据线面平行判定定理得结论（2）由等腰三角形性质得AB MC ⊥，再由已知AB PC ⊥，以及线面垂直判定定理得AB ⊥平面PMC .最后根据面面垂直判定定理得结论试题解析：（1）在ABN ∆中， M 是AB 的中点， D 是BN 的中点，所以//MD AN .又因为AN ⊂平面PAC ， MD ⊄平面PAC ，所以//MD 平面PAC .（2）在ABC ∆中， CA CB =， M 是AB 的中点，所以AB MC ⊥，又因为AB PC ⊥， PC ⊂平面PMC ， MC ⊂平面PMC ， PC MC C ⋂=，所以AB ⊥平面PMC .又因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC .16．在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且222a b c bc =+-， 15a =. （1）求sin B 的值；（2）求cos 12C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（152）10 【解析】试题分析：（1）根据余弦定理得3A π=.再根据正弦定理得sin B 的值（2）根据同角三角函数平方关系得cos B ，再根据三角形内角关系以及两角差余弦公式得结果试题解析：（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-得， 2221cos 22b c a A bc +-==. 又因为()0,A π∈，所以3A π=.在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B =得， sin sin bB A a =3515==. （2）因为15a b =>，所以A B >，即得03B π<<. 又5sin 5B =，所以225cos 1sin 5B B =-=. 在ABC ∆中， A B C π++=，所以cos cos 1212C A B πππ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ cos cos sin sin 44B B ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭252525252⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 1010=-. 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为22，两条准线之间的距离为42.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）220x y ++=， 220x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据两条准线之间的距离为22a c，联立离心率条件解得2a =， 2c =2b =.（2）由面积关系得M 为AB 中点，由直线AB 点斜式方程与椭圆方程联立解得B 坐标，由中点坐标公式得M 坐标，代入圆方程解得直线AB 斜率试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得， 22c a =，2242a c= 解得2a =， 2c =2b =所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以()2,0A -.设()00,M x y ，则()0022,2B x y +.所以220089x y +=①，()()2200222142x y ++=②，由①②得20918160x x --=，解得023x =-， 083x =（舍去）.把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±，因此，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为()2y k x =+.由()221,{ 422,x y y k x +==+得()2222128840k x k x k +++-=，所以()()22212420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，解得222412B k x k -=+，所以()2224212B M x k x k +--==+， ()22212M M ky k x k =+=+，代入2289x y +=得2222242812129k k k k ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得422820k k +-=，即()()2272410k k +-=，解得12k =±，所以，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.18．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离；（2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）5m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，联立直线OB 方程与圆方程解得P 点纵坐标，即得点P 到AD 的距离；（2）①先求点P 到AD 的距离为40sin θ，再根据三角形相似得EF 的长度；②根据三角形面积公式求三个三角形面积，再用总面积相减得绿化区域面积，最后利用导数求函数最值试题解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =，半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥，由()2222,{400,y x x y y =+=≥得5y =所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+. 所以， EF 的长度为 ()F E f x x θ=- 80sin sin 2θθ=+， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭ 6400sin 2θ=+，区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯ 180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭ 21600sin sin 2θθ=+，所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()16004≥ )64001=-.当且仅当t =sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)264001m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.19．已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明： ()73M a <-.【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭（2）见解析【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式试题解析：（1）因为()()'x x f x e x a e =++ ()1x x a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()f x 取得极小值. 因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=，化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭.（2）因为()()()F x f x g x =- ()()32x x a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213x x a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦()()()1133x x a e x a x a =++-++-- ()()133x x a e x a =++-++记()33x h x e x a =-++，则()'3x h x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =.所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值，此时， ()ln3ln33ln33h ea =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+ 23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.令()'0F x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值.所以()()1M a F a =--= ()()()()()3211111a a e a a a b a -------+--+--()()2112a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记()()21t m t e t t =--- 32t e t t =-+-， 1t <-，则()2'32t m t e t t =-+-， 1t <-. 因为10t e e --<-<， 2325t t ->，所以()'0m t >，所以()m t 单调递增.所以()172233t m t e -<--<--=-，所以()73M a <-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20．若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列.【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列{}n b 通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当n 为奇数时， ()()1212130n n a a n n +-=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时， ()121210n n a a n n +-=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“()2R 数列”. （2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ，数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ，数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤，所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++，所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=，则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=，所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+，()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113db n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313db n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n db b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列. 21．如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.【答案】【解析】试题分析：作辅助线，即延长交与点，连结，，，则过点．则得，然后证得，根据相似三角形的性质可得，从而可求得.试题解析：延长交与点，连结，，，则过点．由切割线定理得：.因为，与均为等腰三角形，所以，所以，所以，即.又，所以.22．已知R x ∈，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与1A -.【答案】2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦【解析】试题分析：由向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量可得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由此可求得,x λ，从而可得A ，然后根据逆矩阵的定义并由待定系数法求得1A -．试题解析：由已知得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2,{0.x λ==所以1[ 0A = 02⎤⎥⎦.设1[ a A c -= b d ⎤⎥⎦，则11[ 0AA -= 0[ 2a c ⎤⎥⎦ b d ⎤⎥⎦ 1[ 0= 01⎤⎥⎦，即[ 2ac 1[ 20bd ⎤=⎥⎦ 01⎤⎥⎦.解得1a =， 0b c ==， 12d =，所以11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.综上2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线21,{ 1x t y t =-=-（t 为参数）相交于A ， B 两点，求线段AB 的长.【解析】试题分析：先把曲线的参数方程化成普通方程，然后将曲线方程和直线方程联立解方程组，从而得到点A ， B 的坐标，再用两点间的距离公式求解．试题解析：由21,{1x t y t =-=-消去参数t 得22y x x =+，所以曲线的普通方程为22y x x =+. 解方程组2,{2,y x y x x ==+得0,{x y ==或1,{1,x y =-=-所以()0,0A ， ()1,1B --，所以AB ==即线段AB ．24．已知1a >， 1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】试题分析：根据基本不等式得()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-，再两式相加即得22811b a a b +≥--.即可得最小值试题解析：因为1a >， 1b >，所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-. 两式相加：()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +，所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立. 即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中， AP ， AB ， AD 两两垂直， //BC AD ，且4AP AB AD ===， 2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PHPC的值. 【答案】（1）23（2）13λ=【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果（2）设PH PC λ=，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得λ，即为PH PC 的值. 试题解析：以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ， ()4,0,0B ， ()4,2,0C ， ()0,4,0D ， ()0,0,4P （1）由题意可知， ()0,4,4DP =-， ()4,2,0DC =-.设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =，则110{ 0n DP n DC ⋅=⋅=即440{ 420y z x y -+=-=令1x =，则2y =， 2z =.所以()11,2,2n =.平面ACD 的法向量为()20,0,1n =，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅==，所以二面角P CD A --的余弦值23.（2）由题意可知， ()4,2,4PC =-， ()4,2,0DC =-，设()4,2,4PH PC λλλλ==-，则DH DP PH =+= ()4,24,44λλλ--，因为DC DH =，所以()()()2224244420λλλ+-+-=化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=.又因为点H 异于点C ，所以13λ=. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.26．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+= 1sin 12122sin 2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）；（2）求234sin 2sin3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin 6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（220152【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为6π，即得所求的值试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-. 那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++()1sin 12cos 1122sin 2k x k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++()()11sin 12sin cos 1122122sin 2k x x x k x x ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦=- ()()()111sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2k x x k x x x k x x +-+++=- ()()11sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x x x +++=- 1sin 112122sin 2k x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+= 1sin 201812122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-，两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 所以232018sin 2sin 3sin 2018sin 6666ππππ----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin 12πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=20152= 所以2342018sin2sin 3sin 4sin 2018sin 66666πππππ++++⋅⋅⋅+20152=.。

2021届江苏省南通市通州区高三上学期一诊考试数学试卷及答案

2021届江苏省南通市通州区高三上学期一诊考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．函数()f x =的定义域为 A ．[1,3] B ．(1,3] C ．(-∞,1) D ．[3,+∞)2．已知a ,b ,c ,d ∈R,则下列命题正确的是A ．若a ＞b ,n N *∈,则n n a b >B ．若a ＞b ,c ＜d ,则a ﹣c ＞b ﹣dC ．若a ＞b ,c ＞d ,则ac ＞bdD ．若a ＞b ,则11a b< 3．集合M ＝8N N 1y y x y x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，，的非空子集个数是 A ．3 B ．7 C ．15 D ．314．已知131()2a -=,13log 2b =,121()3c =,则a ,b ,c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为A ．(1,+∞)B ．(0,1)C ．(12-,1)D ．(-∞,12-)和(1,+∞) 7．某种物体放在空气中冷却,如果原来的温度是1θ℃,空气的温度是0θ℃,那么t min 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()e t θθθθ-=+-．若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ,2t ,则21t t -的值为（取ln2＝0.7,e=2.718…）A ．72-B ．27-C ．72D ．278．已知函数()ln a f x x x =+,∀m ,n ∈[1,2],m ≠n 时,都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-,则实数a 的取值范围是A ．(-∞,1)B ．(-∞,1]C ．(-∞,2)D ．(-∞,2]二、多项选择题（本大题共4小题,每小题5分, 共计20分．在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列命题正确的是A.“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件B ．“M＞N”是“lgM＞lgN”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R,x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R,使得x 2＋1＜0”D ．设函数()f x 的导数为()f x ',则“()f x '＝0”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件10．设a ＞b ＞0,则下列不等式一定成立的是A ．0a b b a -<B ．20201a b ->C ．2ab a b<+．b a a b > 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R,(2)()f x f x +=成立D ．当x ∈(0,1]时,()e 1x f x =-,则函数()f x 在区间[1＋4k ,3＋4k ](k ∈Z)上单调递减（其中。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理(含解析)

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

江苏省南通市通州区高三第一次诊断测试第15题讲评-构造函数

数学巩固
已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图像为一条连续不断的
曲线，f(1+x)=f(1-x),f(1)=a 且对于任意的 0<x<1 都有
f′(x)<f(x),在 f(x)在区间[2015,2016]的最大值为
.
f(x)
g(x)= x
e
-a
南通市通州区2021届高三第一次诊断测试第15题讲评
构造函数
数学情景
引例 (南通市通州区 2021 届高三第一次诊断测试第 15 题)
已知偶函数 f(x) (x≠0)的导函数为 f′(x)，f(e)=e,当 x＞0 时,x
1
f′(x)-2f(x)>0,则使 f(x-1)> e (x-1)2 成立的 x 的取值范围
(-∞,-4)∪(0,4)
南通市通州区2021届高三第一次诊断测试第15题讲评
g(x)=xf(x)
南通市通州区2021届高三第一次诊断测试第15题讲评
南通市通州区2021届高三第一次诊断测试第15题讲评
南通市通州区2021届高三第一次诊断测试第15题讲评
g(x)=xf(x)
变式 2：f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x>0 时，2f(x)>xf′(x),
数学应用
其他常见构造：
对于 f′(x)>k,构造 g(x)=f(x)-kx+b
2
对于 f′(x)+2xf(x)>0,构造 g(x)=e f(x)
对于 f′(x)+lnaf(x)>0,构造 g(x)=axf(x)
f′(x)
对于
>0,构造 g(x)=lnf(x)
f(x)
f(x)

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13. 2 ；14. 5 2 6 ；15. (,1 e) (1 e, ) ；16.（1）16 16 2 （2） 13 . 2
四、解答题
17. 解： B {x | log2 (1 x) 1, x R} [1,1) ， A {x | x a 0, x R} {x | (x a)(x 1) 0, x R} ， x 1 当 a 1 时， A (1, a) ；
令 h(x) ex1 bx b ln x ， x
则 h(x)
ex1(x 1) x2
b(1 x
x)
( ex1 x
b)(x 1) x
，
x
0，
设 ( x)
e x 1 x
b
，令 (x)
ex1( x x2
1)
0
，得
x
1，
当 x 1时， (x) 0 ，所以(x) 在 (1, ) 上单调递增；
……6 分
…5 分
函数 f (x) 的极大值为 f (2) 16 ，极小值为 f (2) 16 ，而 f (3) 3 ， f (3) 3 ．
3
3
所以函数 f (x) 在区间 [3,3] 上的最大值为 16 ，最小值为 16 ．
3
3
……7 分
（2）因为 f (x) 1 x3 (k 1)x2 (k 2 2k 3)x ， 3
（2） a
1 5
5 i 1
yi 25 yi1 25
1 (54 5 60
50 54
46 50
43 46
40 ) 43
0.92 ．
（3）由（1）（2）知， x, y 之间的关系为 y 60 0.92x 25 ，
……5 分
……6 分 ……7 分
高三数学参考答案第 2 页共 5 页
因为 85 ℃开水冷至 35 ℃到 40 ℃（温水）饮用对身体更有益，所以 35 60 0.92x 25 40 ，
……9 分
即 1 0.92x 1 ，
6
4
所以 4
1 0.92x
6
，
1 又因为
0.9216.6
4,
1 0.9221.5
6，
所以16.6 x 21.5 ．
……11 分
所以在 25 ℃室温下， 85 ℃开水至少大约放置 17min 才能冷至到对身体有益温度. ……12 分
21．解：（1）因为 f (x) (x 2) ln x x 1 ，
所以 f (x) x2 2(k 1)x (k 2 2k 3) (x k 3)(x k 1) ，
令 f (x) 0 ，得 x 3 k 或 x 1 k ，
……9 分
因为函数 f (x) 在区间 (0, 2) 内不单调，
所以 0 3 k 2 或 0 1 k 2 ，
……11 分
……7 分 ……8 分
所以选择②，则实数 a 的取值范围是 (1, ) ．
……10 分
若选择③ B ðR A ，
当 a 1 时， A (1, a) ， ðR A (, 1] [a, ) ，而 B [1,1) ，不满足题意；…6 分
当 a 1 时， A ， ðR A R ，而 B [1,1) ，满足题意；
…7 分
当 a 1 时， A (a, 1) ， ðR A (, a] [1, ) ，而 B [1,1) ，满足题意． …8 分
所以选择③，则实数 a 的取值范围是 (, 1] ．
…10 分
（注意：若解答过程中不是先讨论集合 A ，而是在求解过程中讨论，则每种情况 2 分）
18．解：（1）因为不等式 f (x) 0 的解集为 (2,3) ，即 x2 ax b 0 的解集为 (2,3) ，
所以函数 f (x) 在 x 1 处取得极大值．
……6 分
因为 f (x1) f (x2 ) ， x1 x2 , x1, x2 R ，所以不妨设 0 x1 1, x2 1 ，令 h(x) f (x) f (2 x) ， 0 x 1，
则 h(x)
f (x)
f (2 x) ln x 2
……8 分
令 t x ln x ，则 t≥1，则原问题等价于 et1 bt≥0 ，对 t≥1恒成立，
等价于 b≤ et1 ，对 t≥1恒成立， t
令
p(t)
et 1 t
， t≥1，则
p(t )
et
1
(t t2
1)
≥0
，
所以 p(t) 在 [1, ) 上单调递增，所以 p(t)min 1 ，
所以，实数 b 的取值范围为 (,1] ．
所以 k 1．此时 f (x) 1 x3 4x ，
3 f (x) x2 4 (x 2)(x 2) ， x [3,3] ，令 f (x) 0 ，则 x 2 或 x 2 ，
…2 分
x
3 (3, 2)
2
(2, 2)
2
(2,3) 3
f (x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
……6 分
令 h(x) x ln x ，由 h(x) 1 1 x 1 0 得 x 1 ， xx
所以当 x 1时， h(x) 0 ，所以函数 h(x) 在 (1, ) 上单调递增，
当 0 x 1时， h(x) 0 ，所以函数 h(x) 在 (0,1) 上单调递减．
所以 h(x)≥h(1) 1 ．
……8 分
当 a 1 时， A (a, 1) 不满足题意．
……9 分
所以选择①，则实数 a 的取值范围是 [1,1] ．若选择② A I B ，
……10 分
当 a 1 时， A (1, a) ， B [1,1) ，满足题意；
……6 分
当 a 1 时， A ，不满足题意；当 a 1 时， A (a, 1) ， B [1,1) ，不满足题意．
所以 f (x) ln x x 2 1 ， x
……1 分
所以 f (1) 0 ，
而 f (1) 0 ，
所以曲线 y f (x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 y 0 ．
（2）由（1）得 f (x) ln x x 2 1 ln x 2 2 ，
x
x
令 g(x) ln x 2 2 ， x 0 ， x
令 f (x) ex1 a 0 ，得 x ln(a) 1 ，所以 f (x) 在 (ln(a) 1， ) 上单调递增，
令 f (x) ex1 a 0 ，得 x ln(a) 1 ，所以 f (x) 在 (0，ln(a) 1) 上单调递减．……4 分
综上，当 a≥ 1 时，函数 f (x) 在 (0， ) 上单调递增； e
……10 分 ……12 分
22．解：（1）因为 f (x) ex1 ax ，则 f (x) ex1 a ， x 0 ，
……1 分
高三数学参考答案第 3 页共 5 页
1 当 a≥ 1 时， f (x) e1 a≥0 ，所以 f (x) 在 (0， ) 上单调递增； e
……2 分
2 当 a 1 时， e
把 x 0, y 85 代入，得 85 25 矛盾；
……1 分
若选择② y kax 25(k R,0<a 1, x 0) ，
把 x 0, y 85 代入，得 k 60 ．
所以应该选择② y kax 25(k R,0<a 1, x 0) ，其中 k 的值为 60 ．
……3 分
2 ln(2 x) 2 x
2 2x
ln x(2 x) 4
4 x(2 x) ，
因为
0
x
1，所以
0
x(2
x)
1
，所以Βιβλιοθήκη lnx(2x)0,
4
4 x(2
x)
0
，
所以 h(x) 0 ，即函数 h(x) f (x) f (2 x) 在 (0,1) 上单调递减，
……8 分
而 h(1) f (1) f (1) 0 ，
所以 h(x) h(1) 0 在 (0,1) 上恒成立，即 f (x) f (2 x) 在 (0,1) 上恒成立，
所以 f (x1) f (2 x1) 在 (0,1) 上恒成立，因为 f (x1) f (x2 ) ，所以 f (x2 ) f (2 x1) ，因为 0 x1 1, x2 1 ，所以 2 x1 1 ，而函数 f (x) 在 (1, ) 上单调递增，所以 x2 2 x1 ，即 x1 x2 2 ．所以得证．
当 a 1 时，函数 f (x) 在 (ln(a) 1， ) 上单调递增，在 (0，ln(a) 1) 上单调递减. …5 分 e
（2）当 a 0 时， f (x) xg(x) 对 x 0 恒成立 ex1≥bx2 bx ln x 对 x 0 恒成立，
【方法 1】条件 ex1 bx b ln x≥0 对 x 0 恒成立， x
……2 分 ……3 分
当 a 1 时， A ；
……4 分
当 a 1 时， A (a, 1) ．若选择① A B A ，则 A B ，
……5 分 ……6 分
当 a 1 时，要使 (1, a) [1,1) ，则 a 1 ，所以 1 a 1 ；
……7 分
当 a 1 时， A ，满足题意；
2021 届高三第一次调研考试
数学参考答案与评分细则
一、单选题（每题 5 分）
1. B；2. B；3. C；4. D；5. C；6. A；7. C；8. D；
二、多选题（每题 5 分，漏选得 3 分，错选得 0 分）
9. AB；10. BC；11. ABD；12. BC
三、填空题（每题 5 分，注意 16 题第一空 2 分，第二空 3 分）
……10 分 ……12 分