从极限到微积分
数学科普极限思想(二)极限思维与微积分
（二）极限思维与微积分从小到大学了那么多年的数学，可如果你问我，最喜欢你所学的哪一块数学知识。
我会毫不犹豫的回答：微积分！在我心里，微积分是数学这门学科里面的类似于杀手锏的工具，也是整个现代数学的璀璨的基础理论之一！而微积分的思想简直太光彩夺目，个人觉得是人类思想史上的丰碑之一！说微积分就不得不说极限。
一、两个流传甚广的问题我们先看两个广泛流传的问题，你肯定也听说过，或者听说过它们的各种版本。
（1）0.91=这是网络上流传甚广的问题，用来向人们展现出数学匪夷所思的一面。
有的人将它们当成数学里面的矛盾或者悖论。
这实际上都是数学知识匮乏的一种表现。
这个问题学过微积分应该都能回答。
我们先来看网上的证明过程，如下 10.33130.33310.9=∴⨯=⨯∴= 因此有很多人都大吃一惊，因为0.9再怎么大，也不能达到1，永远是趋近于1，所以不可能与1相等。
但是上面的等式又实实在在的证明了0.91=。
问题出在哪里？问题就出在，等式这个概念上。
上面的式子并不是大众熟知的那种等式。
实际上无限循环小数化成一个分数，在数学上是用极限理论进行严格证明的，也就是说10.33=这中间不是我们所熟知的那种等号，而且极限意义下的相等；或者说是0.3的极限是13。
总之这里的等号代表的是极限证明的过程。
但是因为无限循环小数化成分数是普遍得到证明，而且方法也较为套路，所以在习惯上就直接写一个简单的等号来表示，而省略了极限求解的那个过程。
所以上面的式子，严格来说，每一步都应该读作“右边的极限等于左边”，而不是“右边等于左边”。
理解了上面的式子的等号的真正含义，就能明白，这根本不是一个矛盾。
只不过是人们习惯下，想书写简便的一个美丽的误会而已。
而这误会的背后，是极限理论的璀璨光辉。
（2）追不上的乌龟追不上的乌龟是芝诺的一个著名的悖论。
在这里重复叙述如下。
话说阿基里斯号称希腊第一勇士。
阿基里斯让乌龟先跑一百米。
阿基里斯再追这只乌龟，当阿基里斯追上乌龟原来的位置的时候，乌龟又已经跑出一段距离了。
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、导数、积分等基本概念和基本运算法则。
本文将介绍微积分的基本公式和计算方法。
1.极限：极限是微积分的基本概念之一，用来描述函数在特定点处的趋势。
极限的计算有以下几个基本公式：-基本极限公式：- $\lim_{x\to c} x = c$：常数函数的极限是其本身。
- $\lim_{x\to c} k f(x) = k \lim_{x\to c} f(x)$：常数倍法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to c} f(x) +\lim_{x\to c} g(x)$：和法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x\to c} f(x)\cdot \lim_{x\to c} g(x)$：积法则。
- $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)}$（假设$\lim_{x\to c} g(x) \neq 0$）：商法则。
-重要极限：- $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$：无穷小的定义。
- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$：著名的夹逼定理的应用。
- $\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$：自然对数的底数。
2.导数与微分：导数是函数在其中一点处的变化率，表示函数的斜率。
导数的计算有以下几个基本公式：-基本导数公式：- $\frac{d}{dx} (k f(x)) = k \frac{d}{dx} f(x)$：常数倍法则。
- $\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) +\frac{d}{dx} g(x)$：和法则。
数列极限在微积分学中的应用
数列极限在微积分学中的应用微积分是数学中的一个非常重要的分支，它涵盖了诸如数列、函数、极限、导数、积分等内容。
其中，数列极限在微积分学中被广泛应用，不仅在数学中有重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将介绍数列极限在微积分学中的应用。
一、数列的定义和极限的概念在介绍数列极限在微积分学中的应用之前，先来回顾一下数列和极限的定义。
数列是指一系列按一定规律排列的数，它可以用以下方式表示：（a1,a2,a3,……,an,……）其中，an 表示数列中的第 n 个数，省略号表示数列中的无限项。
极限是指当变量无限接近某个数时，其函数值也无限接近于某个值。
数列极限可以用一个数来描述数列的趋势，该数就是数列的极限。
如果数列的极限存在，那么这个数列就是收敛的，否则它就是发散的。
二、计算数列极限的方法为了应用数列极限在微积分学中，我们需要先学会计算数列的极限。
这里介绍两种计算数列极限的方法：1. 分类讨论法：如果数列是明显的递推数列或有明确的限制条件时，可以使用分类讨论法计算极限：例如，对于数列 {an} = {1, -1, 1, -1, ……}，它可以表示为：an = (-1)n-1当 n 为奇数时，an = 1；当 n 为偶数时，an = -1。
因此，当 n 无限接近无穷大时，这个数列既不存在上确界，也不存在下确界，由于数列没有极限。
2. 套路法：利用变形和数学运算来计算数列极限。
这种方法是在无法直接计算数列极限时使用的。
例如，对于数列{an} = {1, 1/2, 1/3,……, 1/n, ……}，它可以表示为：an =1/n因为当 n 无限接近无穷大时，1/n 无限接近于 0，也就是说这个数列的极限为 0。
利用套路法，我们可以通过以下方法来计算这个数列的极限：1/n < 11/n + 1/2n + 1/3n + …… + 1/nn < 1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/n （调和级数）通过比较大小，我们可以得到：0 < an < 1/n使用夹逼定理，可以证明数列 {an} 的极限为 0。
微积分的起源与发展
微积分的起源与发展主要内容：一、微积分为什么会产生二、中国古代数学对微积分创立的贡献三、对微积分理论有重要影响的重要科学家四、微积分的现代发展一、微积分为什么会产生微积分是微分学和积分学的统称,它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期.公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述.比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰,日取其半，万世不竭"。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》,开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
已知物体移动的距离表为时间的函数的公式,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.例如,计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离,因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。
但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的.第二类问题是求曲线的切线的问题.这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
困难在于:曲线的“切线"的定义本身就是一个没有解决的问题。
微积分知识点
微积分知识点微积分是现代数学的一个重要分支，它主要研究函数的变化和无穷小量的运算。
微积分的应用广泛，不仅在数学中有重要地位，在物理、工程、经济学等领域也都发挥着重要的作用。
本文将按照逐步思考的方式，介绍微积分的一些基本知识点。
1.极限极限是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
当自变量趋近于某一值时，函数的取值是否有限或者趋于无穷大，就可以通过极限来刻画。
例如，当自变量 x 趋近于 0 时，函数 f(x)=sin(x)/x 的极限可以用极限符号表示为lim(x→0) sin(x)/x = 1。
2.导数导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数曲线在该点的切线斜率。
导数可以通过极限的概念来定义，即函数在某一点的导数等于该点的函数值在该点的极限。
例如，函数 f(x)=x^2 在 x=2 的导数可以表示为f’(2) =lim(x→2) (f(x)-f(2))/(x-2) = 4。
3.积分积分是导数的反运算，它描述了函数在某一区间上的累积。
积分可以看作是将一个函数从一个点到另一个点的面积或曲线长度加总的过程。
例如，函数 f(x)=2x在区间 [0, 3] 上的积分可以表示为∫[0,3] 2x dx = x^2∣[0,3] = 9。
4.泰勒展开泰勒展开是一种将函数表示为幂级数的方法，通过利用函数在某一点的导数来近似计算函数在其他点的值。
泰勒展开可以将复杂的函数表达式近似为简单的多项式形式，从而简化计算。
例如，函数 f(x)=e^x 的泰勒展开形式为f(x)=1+x+x2/2!+x3/3!+…。
5.偏导数偏导数是多元函数的导数推广，它描述了函数在某一点关于其中一个自变量的变化率。
偏导数将函数的其他自变量视为常数，只关注某一自变量的变化对函数值的影响。
例如，函数 f(x, y)=x2+y2 的关于 x 的偏导数可以表示为∂f/∂x = 2x。
6.线性代数与微积分的关系微积分与线性代数密切相关。
微积分概念发展史
微积分概念发展史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。
着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。
2.建立成型时期。
3.成熟完善时期。
4.现代发展时期。
早期萌芽时期：1、古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。
公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。
此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。
2、古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。
另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。
此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。
祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。
建立成型时期：1.十七世纪上半叶：这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时间内取得了极大的发展。
天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。
意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。
极限思想与微积分学关系探讨
极限思想与微积分学关系探讨极限思想与微积分之间的联系紧密.在微积分的创立和发展过程中，牛顿、莱布尼兹等数学家以无穷思想为重要依据，成功地利用无穷小方法、无限过程之间的联系进行推理、运算，获得了一系列的研究成果.这为极限思想的发展和完善奠定了坚实的基础.通过数学家们的努力，极限理论逐步得到了完善.一、极限思想的应用人们很早就应用了极限的思想.例如欧多克索斯的穷竭法，阿基米得的圆、球、抛物线图形求积法.此外，我国古代数学家对此也做过很多的工作，如刘徽的割圆术、祖恒之的截面原理等.17 世纪上半叶，德国天文学家、数学家开普勒在（Kepler，1571-1630）1615 年发表的《酒桶的立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法.他的无限小元法是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积.他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积的和，从而得出球的体积是球的面积与球的半径乘积的1/3.他将圆周看成是有无限多个边的正多边形，于是圆就被视为以这些多边形的边为底、顶点在圆心的三角形之和，从而得出圆的面积等于圆周长与圆半径乘积的1/2.与此同时，他还用无穷小方法算出了圆环体、圆柱等的体积.虽然这些计算都是不严谨的，但是他得出的结果却是正确的.这些简单易行的方法，同我们现在采用的“微元法”有着相似之处.开普勒是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家，这是他对积分学的最大贡献.1629年，法国数学家费马首次获得了求函数极值的法则，用类似方法他还求出了平面曲线的切线，抛物线体积的重心和拐点;用极限求出了抛物线的面积等.意大利数学家、伽利略的学生、波伦那大学教授卡瓦列（Cavalieri，1598-1647）在开普勒和伽利略的影响下，得出不可分量法.1635年他在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法.他认为点运动形成线，线运动形成面，体积则是由无穷多个平行平面组成的，并分别把这些元素叫作线、面和体的不可分量.他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理），并利用不可分量法推算出椭圆的面积为πab.卡瓦列里的不可分量被看成是以几何形式表示的无穷小量，这种用不可分量法求和的思想为后来定积分概念的形成奠定了基础.但由于他的不可分量法回避了求极限的过程，因而在论证上缺乏严密性.英国的数学家巴罗（Barrow，1630-1677）是牛顿的老师，也是英国皇家学会的首批会员.他在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用所谓微分三角形或者特征三角形求出了曲线的斜率.他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小的项来求极限.这些先驱者在研究极限的过程中为微积分的创立积累了大量的资料，而这些资料无一不是以极限的思想为基石一步一步堆积起来的.二、微积分的创立1.牛顿的工作牛顿（Newton，1642 -1727）发现微积分首先得益于其老师巴罗，巴罗关于“微分三角形”的思想给他带来的影响极大，另外费马（Fermat，1601-1665）的切线方法和沃利斯（Wallis，1616-1703）的《无穷算术》也给了他很大的启发.牛顿是总结和发展了前人的思想，得出关于微积分的理论. 1666年，牛顿写出第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首先提出了流数概念.1671年，牛顿完成了《流数法与无穷级数》（1736年出版），牛顿进一步对自己的思想作了更广泛更明确的说明，系统的引进了他所独创的概念和记法.他将变量称作“流”，将变量的变化率称作“流数”.1676年，牛顿完成了另一部著作《求曲边形的面积》（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”两个新概念，并且明确的给出了将导数作为增量比的极限思想.1711年，牛顿发表了《运用无穷多项方程的分析学》.在这本书中，他运用了无限小的方法和二项式定理，扩大了微积分的应用范围.采用了面积的无限小矩形，找到了曲边梯形求积的一般方法.牛顿不仅给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且證明了面积可以用无穷小面积的和来表示，进而证明了这样的和能通过由求变化率的逆过程得到.牛顿将和的极限用于微分中得到我们今天所说的微积分基本定理.牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，经过20年左右的时间，他的微积分从以无穷小为基础，转变为以极限为基础.但由于时代或认识的局限性，牛顿始终没能给出无穷小和极限的严格定义，但瑕不掩瑜，他将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来.正是因为这，我们说牛顿创立了微积分.2.莱布尼茨的工作德国自然科学家、数学家、哲学家莱布尼茨（Leibniz，1646 -1716）从研究几何问题入手完成了微积分的基本计算理论，引进了常量、变量和参考变量的概念.他把微积分称为“无穷小算法”.他建立的微积分也是以无穷小为基础的.创建了微积分的符号及积分符号，并提出了函数的和、差、积、商的微分法则和在积分量下对参变量求微分的方法以及旋转体体积公式.1684年，莱布尼茨在《博学文摘》上发表了第一篇论文，文中提出了切线、极大值、极小值和拐点的方法.但他对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，由于缺少严密的定义，有时他把无穷小微分作为有限的确定的量，有时又作为无穷小舍去.然而，两位数学家的贡献也有所不同.牛顿较多的注重于创立微积分的体系和基本方法，从考虑变化率的角度出发解决面积和体积问题.而莱布尼茨更多地关心微积分运算公式的建立和推广，从而建立了微积分法则和公式.三、对极限和微积分的进一步研究继牛顿和莱布尼茨之后，17—18世纪初产生了不少极限与微积分成果.捷克数学家波尔查诺（Bolzano，1781-1848）是为微积分提供更加严密的基本概念的先驱.他给连续函数所下的定义第一次清楚表明，连续性观念的基础将在极限中找到.然而他的工作长期被忽略，没能引起数学家们的注意.瑞士数学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783年）整理了萊布尼茨的支持者——大陆派的微积分内容，先后发表了《无穷小分析应论》《微分学》《积分学》等著作.在这些著作与一系列论文中，欧拉对微积分的发展作出了伟大的贡献.（1）对函数概念进行了系统的探讨，定义了多元函数和超越函数概念，区分了显函数和隐函数，单值函数和多值函数;（2）给出了用累次积分计算有界区域的二重积分方法;（3）研究了数列极限的存在性，并把该极限记为e;对于发散级数，把实函数的许多结果都推广到复数域，从而推动了复变函数的理论发展;（5）通过对函数极值问题的研究，解决了一般函数问题的极值问题，并成功的找到了极值函数必须满足的微分方程——欧拉方程.法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（Joseph Louis lagrange，1736—1813年）试图彻底抛弃模糊不清的无穷小概念.在其名著《解析函数论》（1797年发表）中，他曾经尝试把微分、无穷小和极限与概念，从微积分中排除，用代数方法证明了泰勒展开式.由于对无穷小级数的收敛问题仍无法回避极限，因而他的“纯代数的微分学”尝试并未成功.但他对函数的抽象处理却可以说是实变函数的起点.此外，他还给出了泰勒级数的余项公式，运用极限思想研究了二元函数的极值，阐明了条件极值的理论，并研究了三重积分的变量代数式.德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）认识到微积分的基础必须建立在静态的极限的定义上.他提出了极限的静态的定义，这个定义就是我们至今仍在使用的极限的ε-N 定义.这个定义借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.该定义只用到了存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，排除了极限概念中运动的直观痕迹，给微积分提供了严谨的理论基础，也为极限思想在数学科学中赢得了合法的席位.大部分的数学家在解决问题时都不同程度地使用了无穷小方法，进而采用了极限的思想和方法，但都没有给出明确的定义，包括被誉为微积分的创始人牛顿和莱布尼兹，他们中有很多人在创立微积分的过程中也没有给出无穷小和极限的数学定义.但这丝毫也无损于这些科学伟人的历史功绩，因为任何科学理论的创立，都不是某个数学家凭空臆想出来的，而是社会发展的需要.从认识论的角度看，人的认识规律是由具体到抽象，那么人类对极限理论的认识和发展也不应例外.极限思想作为人类思想宝库中的一种重要思想，它的发展历程与微积分、积分学的发展有着密不可分的关系，并且极限思想在微积分发展中起了重要的作用.。
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
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从极限到微积分第一部分：极限一、极限概念的发展分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。
早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。
例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率□的。
随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。
但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。
直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础。
之上，从而得到举世一致的公认。
凡本质上与极限概念有关的数学分支统称为分析数学，以区别于完全不用这一概念的代数学。
几何学的各分支绝大部分也直接或间接地与极限概念密切相关。
极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。
首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。
为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.14159265......。
数列极限：定义：设是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，an无限接近（或趋近）于a，则称数列收敛，a称为的极限，或称数列收敛于a，记为liman=a。
或：an→a，当n→∞。
函数极限：设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M（>=a)，使得当x>M时有：|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)举两个例子说明一下1、0.999999 (1)谁都知道1/3＝0.333333……，而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。
2、“无理数”算是什么数？我们知道，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。
结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。
类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，物理可能才是真正的发展动力），比如瞬时速度的问题。
我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是0÷0，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出。
真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师，这对我们今天中学教师界而言，不能不说是意味深长的。
二、极限理论读理工和经济的人都知道，从初等数学到高等数学的第一个坎就是微积分的极限理论。
对极限理论的理解和处理是专业学数学和其他科系学数学的分水岭之一，这就是微积分教学中臭名昭著的数列极限ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论（ｅｐｓｉｌｏｎ——δ，函数极限为ｅｐｓｉｌｏｎ——Ｄｅｌｔａ理论）。
这个ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Ｄｅｌｔａ）理论诲涩难懂，令一拨刚从初等数学跳到高等数学的学生焦头烂额。
包括数学系的学生，一些人到了毕业，还对为什么要用如此抽象的ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Ｄｅｌｔａ）理论极限来描述微积分的极限理论的不甚了了。
以数列ｆ（ｎ）的极限为Ｌ为例，ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论是这么表述的：对一个任意给定的实数ε＞０（ｅｐｓｉｌｏｎ），存在一个相应的正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，｜ｆ（ｎ）－Ｌ｜＜ε成立。
我们就认为Ｌ是ｆ（ｎ）的极限。
微积分的极限理论的核心是，如果一个数列或函数无限地接近于一个常数，我们就说这个数是这个数列或函数的极限。
由于可用原数列或函数减去极限常数而构造新的数列或函数，问题就可变为“一个数列或函数无限地接近于０”，也就是微积分学的精髓无穷小量。
数学家以外的人一般就认为这个无穷小量就是０。
这里关键的东西是“无限地接近于”的表述。
什么是无限地接近？一般人可以说就是要多近就有多近。
在其他学科尤其是社会学科这么讲也说得过去了，但是数学家对它不满意，他们是一群追求逻辑完美的人，这样含糊的定性分析不能让他们止步。
你说毛主席和林彪在文革开始不也是要多近就有多近吗，后来不是照样掰了？数学家要的是完备的定量分析，这就是说，给你一个以０为极限的数列或函数，凭什么来度量它和０“要多近就有多近”？ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Ｄｅｌｔａ）理论就是要给出一个判定准则。
陈景润的讲座让众人耳目一新。
他先引庄子《天下篇》的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”说无限的思想从我们老祖宗那里就有啦。
大家不是都说这个ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）（Ｄｅｌｔａ）理论难懂吗？那现在我就用ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论来试试庄子这个中国命题，看看在座不是专门学数学的人能不能也听得懂这个ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）。
几百人的大教室里座无虚席，鸦雀无声，都想见识一下陈景润怎么剃这个刺头。
陈景润说，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”说的就是微积分学中的无穷小，也就是每天切割棒棰，最后棒棰长度的极限为０。
ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论翻译成庄子的话应该是，“一尺之棰，日取其半，切到某一天，没有了。
”注意，这里有和没有，决定于我们的观测水平。
如果用肉眼看，可能分到５００天就看不到了，我们就认为没有了。
但是换上一台显微镜来看，又可以看得到了。
于是我们继续切，再切到１００００天，这台显微镜也看不到了。
但是换上更高倍的显微镜，还是看得见。
我们就继续切下去。
ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论说的是，只要你给一个分辨率，不论是多么精确的显微镜，我总能给一个天数，当分到那一天之后，你的观测工具就看不见了。
于是，对任何数列或函数，都用这把尺子去量，以分辨它的极限是不是０。
满足这把尺子，极限为０，反之则不是。
这就是ε（伊普西龙）——δ（德尔塔）理论无穷小——极限为０的实质。
在“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这个具体问题里，Ｌ＝０；ｆ（ｎ）＝１／（２＾ｎ）：等分一尺之棰ｎ天以后的长度；ε：任意给出的长度（分辨率）；Ｎ：达到这个长度（分辨率）所需要的天数。
三、极限基本知识在微积分的入门课程中会首先接触到极限这个概念，在英文的wikibook中有一篇介绍极限的文章，可作为入门的参考。
这篇介绍文章包括了一些基本的概念，也介绍了极限在更高级的数学领域中的应用。
函数的极限：引子假设f(x)是一个实函数，C是一个实数，那么表示f(x)可以任意地靠近L，只要我们让x充分靠近c。
此时，我们说当x趋向c时，函数f(x)的极限是L。
值得特别指出的是，这个定义在的时候同样是成立的。
事实上，即使f(x)在c点没有定义，我们仍然可以定义上述的极限。
以下两个例子或许对理解这个概念有所帮助：考虑函数在x趋向2的时候的性质，此时f(x)在x = 2这点是有定义的，f(2) = 0.4。
点的取值和当x趋向这一点的极限值相同的时候，我们称f在x = c这一点是连续的。
当然，这是相当特殊的情况。
考虑那么当x趋于2的时候，g(x)的极限与前面的f(x)相同，都是0.4。
但是请注意，这就是说，g(x)在x = 2是不连续。
或者考虑这样一个例子，使得f(x)在x = c时没有定义：当x趋于1时，f(x)是没有定义的，但极限存在，即：实变量实值函数在有限处的极限：形式定义形式上讲，极限可以这样定义：命f是一个定义于包含c的开区间（或此开区间剔除c）上的实值函数，命L是一个实数，那么表示对于任意的，都存在一个对应的使得：当x满足时总有成立。
实变量实值函数在无穷远处的极限与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。
这个概念不能从字面上直接理解为，x距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比较距离无穷的远近。
因此，我们用x越来越大（如果讨论正无穷时）来替代。
例如考虑.f(100) = 1.9802f(1000) = 1.9980f(10000) = 1.9998当x非常大的时候，f(x)的值会趋于2。
事实上，f(x)与2之间的距离可以变得任意小，只要我们选取一个足够大的x就可以了。
此时，我们称f(x)趋向于（正）无穷时的极限是2。
可以写为形式上，我们可以这样定义：当且仅当对于任意的，存在n使得只要x > n，总有。
注意其中的n可能是与相关的。
类似地，我们也可以定义。
如果考虑将f的定义域推广到扩展的实数轴，那么函数在无穷远的极限也可以看作在给定点的极限的特例。
实数序列的极限考虑这个序列（sequence）：，通过观察可以发现，这一列数字趋向1.8，也就是我们所说的极限。
形式地讲，假设是一列实数，那么实数L称为这个序列的极限，即当且仅当对于任意的，存在一个自然数N0，使得对于任意的n > N0，都有成立。
注意这里的N0可能依赖于。
直观地说，这就说明序列的元素（element）越来越靠近L，因为上面的绝对值也可以用来刻画距离。
当然这并不是说每一项都比前一项更为靠近。
而且更一般地说，不是所有的序列都有极限的。
如果一个序列是有极限的，我们称其为收敛的，否则称为发散的。
可以证明，如果一个序列是收敛的，那么它有且仅有一个极限。
事实上，序列的极限和函数（function）的极限之间的关系是相当密切的。
一方面，序列的极限可以直接理解为一个定义在自然数集合上的函数趋于无穷时候的极限。
另一方面，一个函数在x处的极限（如果存在），与序列的极限是相同的。
拓扑网的极限在引入网的概念下，上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间。
事实上，现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的，上述的例子都是拓扑空间的具体化。
第二部分：微积分公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。