大学微积分练习题1函数与极限
微积分复习题集带参考答案(二)
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
大一微积分期末试题
大一微积分期末试题题目一：函数的极限与连续性1.计算极限 $\\lim\\limits_{x \\to 2} \\frac{x^2 - 4}{x - 2}$，并证明你的答案。
2.已知函数 $f(x) = \\begin{cases} 2x -1, & \\text{若} x < 1 \\\\ 3x^2, &\\text{若} x \\geq 1 \\end{cases}$，求函数f(x)在x=1处的极限，并判断f(x)在x=1处是否连续。
题目二：函数的导数与应用1.求函数f(x)=3x2−2x的导数。
2.已知函数y=f(x)的导数为$f'(x) = \\frac{1}{3x^2}$，且f(1)=4，求函数f(x)的解析式。
3.某物体的位移与时间之间的关系为s(t)=3t2−4t+1，求物体在t=2时的瞬时速度。
题目三：定积分计算1.计算定积分 $\\int_0^1 (3x^2 - 2x) dx$。
2.已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，求证必存在 $\\xi \\in (a,b)$，使得 $\\int_a^b f(x) dx = f(\\xi)(b-a)$。
题目四：不定积分计算1.计算不定积分 $\\int (x^3 - 2x^2 + 3x - 4) dx$。
2.计算不定积分 $\\int \\frac{2x^3 - 5x^2 - 4}{x^2} dx$。
题目五：微分方程求解1.求微分方程 $\\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$ 的通解。
2.已知微分方程 $\\frac{dy}{dx} + 2xy = 0$ 的通解为y=ce−x2，其中c是常数，求满足初始条件y(0)=2的特解。
以上是一份大一微积分期末试题，包含了函数的极限与连续性、函数的导数与应用、定积分计算、不定积分计算和微分方程求解等方面的内容。
这些题目旨在考察同学们对微积分基本概念和定理的理解和运用能力。
微积分各章习题及详细答案(供参考)
微积分各章习题及详细答案(供参考)第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x) 1cos x ，则 f (cos x)。
2(4 3x)22、 lim2)。
xx(1 x3、 x 0 时， tan x sin x 是 x 的阶无量小。
4、 lim xksin10 建立的 k 为。
xx5、 lim e x arctan xx6、 f ( x)ex1, xb,7、 limln( 3x1)x 06x。
x 0在 x 0处连续，则 b 。
x 0。
8、设 f (x) 的定义域是 [ 0,1] ，则 f (ln x) 的定义域是 __________ 。
9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _________。
10、设 a 是非零常数，则 lim (xa) x ________ 。
xx a111、已知当 x 0时， (1 ax 2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a ________。
12、函数 f ( x)arcsin3x的定义域是 __________ 。
1 x13、 lim ( x 22x 2 2)____________ 。
x14、设 lim (x2a ) x 8 ，则 a________。
xx a15、 lim ( n n 1)( n 2n) =____________ 。
n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 [ l , l ] 上的偶函数， h( x) 是 [ l , l ] 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ） f ( x) g( x) ；（Ｂ） f ( x) h( x) ；（ C ） f (x)[ g(x) h( x)] ；（ D ） f ( x) g( x) h(x) 。
2、1 x3x( x)，( x)1x ，则当时有。
1 x1（Ａ） 是比 高阶的无量小； （Ｂ） 是比 低阶的无量小；（ C ）与 是同阶无量小；（ D ）~。
3、函数 f (x)1 x 1 ,x 0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1 x 1 。
大学微积分练习题1函数与极限
一、 极限与连续一、填空题1、极限=-+∞→xx x x 1sin 2357lim 2 2、若b x a x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛---→421lim 22，则=ab 3、21sin(1)lim 1x x x →-=- 4、设1,0,(),ln(1),0x e x f x x x x+⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩0x =为)(x f 间断点 5、若03sin()2lim ,23x mx x →=，则m =二、选择题1、“)(x f 在点0x x =处有定义”是“0x x →时，)(x f 有极限”的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．无关条件2、下列函数中，（ ）在点0=x 补充定义可成为连续函数A ．2sin 2)(x x x f =B ．x e x f 1)(=C ．x x f 1sin )(=D ．211)(xx x x f +-= 3、若161912)(lim 23-=-+-→x x x f x ，则=)(x f （ ） A ．2+x B ．5+x C ．13+x D ．6+x4、下列极限中（ ）正确A ．1sin lim =∞→x x xB ．11sin lim =∞→xx x C ．11sin 1lim=∞→xx x D ．1sin 1lim =∞→x x x 5、当0→x 时，下列变量（ ）与x 为等价无穷小A ．x xsin B ．x x sin C ．x x --+11 D ．xx 1cos三、计算题1、 221lim ++∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 2、1lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝⎭ 3、 111lim x x x -→ 4、 10lim 1+)x x x xe →（ 5、0tan sin lim x x x x →- 6、30tan sin lim sin x x x x →- 7、11lim 31--→x x x 8、4x → 9、3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭10、已知21lim 51x x ax b x →++=-，求,a b 的值。
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin+=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分练习1
C.非奇非偶函数
函数奇, 偶性定义 : 1.若对任意x, 恒有f ( x) = f ( x), 则称f ( x)为偶函数.
2.若对任意x, 恒有f ( x) = f ( x), 则称f ( x)为奇函数.
解: 设f ( x) = x sin x, 则 f ( x) = ( x) sin( x) = ( x)( sin x) = x sin x = f ( x)
说明 : 函数的间断点一般是使 分母为0的点.
解 : 令x + 1 = 0 x = 1
导数基本公式
(1) ( 2) (3) ( 4) (5) ( 6) (7 ) (8) (9 ) (10 ) (c )' = 0 (c为常数 ) (α为任意实数 ) ( a > 0, a ≠ 1) ( a > 0, a ≠ 1) ( x α ) ' = α xα 1 ( a x ) ' = a x ln a (e x ) ' = e x (log a x ) ' = 1 x ln a
2
ax + bx+ c < 0
2
(a, b, c均为常数 且a > 0) , x > x2或 x < x1 x <x<x
1
2
( x位于两根之外 )
( x位于两根之内)
堂上练习: 1 1 函数f ( x) = , 的定义域是 (2,3) U (3,+∞) . ln( x 2) 1 2, 函数f ( x) = + 5 x的定义域是 ( 1,0 ) U (0,5] . ln( x + 1)
x →0 x →0
.
B .2
C.1
D .0
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一、 极限与连续
一、填空题
1、极限=-+∞→x
x x x 1sin 2357lim 2 2、若b x a x x =⎪⎭⎫ ⎝
⎛---→421lim 22，则=ab 3、21sin(1)lim 1
x x x →-=- 4、设1,0,(),ln(1),0x e x f x x x x
+⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩0x =为)(x f 间断点 5、若03sin()2lim ,23
x mx x →=，则m =
二、选择题
1、“)(x f 在点0x x =处有定义”是“0x x →时，)(x f 有极限”的（ ）
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充分必要条件
D ．无关条件
2、下列函数中，（ ）在点0=x 补充定义可成为连续函数
A ．2sin 2)(x x x f =
B ．x e x f 1)(=
C ．x x f 1sin )(=
D ．211)(x
x x x f +-= 3、若1619
12)(lim 23-=-+-→x x x f x ，则=)(x f （ ） A ．2+x B ．5+x C ．13+x D ．6+x
4、下列极限中（ ）正确
A ．1sin lim =∞→x x x
B ．11sin lim =∞→x
x x
C ．11sin 1lim
=∞→x
x x D ．1sin 1lim =∞→x x x 5、当0→x 时，下列变量（ ）与x 为等价无穷小 A ．x x
sin B ．x
x sin C ．x x --+11 D ．x x 1cos
三、计算题
1、 221lim ++∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 2
、1lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝⎭ 3、 111lim x x x -→ 4、 10lim 1+)x x x xe →（ 5、0tan sin lim x x x x →- 6、30tan sin lim sin x x x x →- 7、1
1lim 31--→x x x 8
、x → 9、3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝
⎭ 10、已知21lim 51x x ax b x →++=-，求,a b 的值。
四、应用题
1、 设函数1
11)(--=x e x x f ,补充定义)0(f ，使)(x f 在0=x 处连续。
2、求下列函数的间断点，并判断间断点的类型。
1）20 1()21, 121, 2x f x x x x x ⎧<⎪=+≤<⎨⎪+≥⎩， 2）sin , 0()0, 0, 0x x x x f x x e x -⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩
3、下列函数中，问k 为何值时，函数()f x 在其定义域内连续。
1) 1sin 0
() 01sin 1 0x x x f x k x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩2) 2sin 2 0()32 0x x f x x x x k x ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩，，
五、证明题 1、 设2)(-=x e x f ，求证：在区间)2,0(内至少存在一点0x ，使00)(x x f =。
2、 若)(x f 在],[b a 上连续，b x x a <<<21，试证：一定存在介于b a ,之间的一点ξ，
使得)()()()(21ξβαβαf x f x f +=+ 成立，其中0,0>>βα。
答案：
一、1．37 2．1 3．2 4．跳跃 5． 49
二、1．D 2．A 3．C 4．B 5．C
三、1、1 2、1 3、1
e - 4、e 5、0 6、
12 7、23 8、 3 9、1 10、 7,6a b =-= 四、1、
12
2、 1）1x =为跳跃间断点 2）0x = 可去间断点
3、 1） 1k = 2） 2k = 五、提示：用零点定理。
各位同学：
刚开始学习大学微积分，可能还有点不适应，不过没有关系，慢慢来，先复习复习再做篇子吧。
要加油呢！我相信你们！！。