第三章34向量空间

第三章 向量组的线性相关性
§3.1 向量的概念和运算 §3.2 向量组的线性相关性 §3.3 向量组的秩 §3.4 向量空间
线性代数
§3.4
向量空间
3.4.1
3.4.2 3.4.3
向量空间的概念
基、维数与坐标 基变换与坐标变换
线性代数
3.4.1
向量空间的概念
定义3.4.1 设V是数域P上的 n维向量的非空 集合，如果α，βV, kP满足
是向量空间，称为由向量α1, α2 , …,αm生成的向 量空间，记为L(α1, α2 , …,αm)。
线性代数
例3.4.3 如果向量组α1, α2 , …,αs与向量组 β1 β2 …，βr等价，则 L(α1, α2 , …,αs)=L(β1 β2 …，βr)
线性代数
3.4.2
基、维数与坐标
定义3.4.3 设V是数域P上的向量空间，向量α1, α2 , …,αmV，如果 (1) α1, α2 , …,αm线性无关；
p 21 p 22 p2m
p m1 pm 2 p mm
线性代数
由矩阵的乘法 (β1 β2 …,βm)=(α1,α2 , …,αm)P （3.4.1） 称P为由基(α1,α2 , …,αm) 到(β1, β2,…,βm) 的过渡矩阵， 式 (3.4.1) 称为由基 (α1,α2 , …,αm)到基 (β1 β2 …,βm)的基底变换公式
线性代数
1 p11 1 p12 2 p1m m , p p p , 2 21 1 22 2 2m m m p m1 1 p m 2 2 p mm m .
记
p11 p12 P p 1m
线性代数
于是
1 2 3 3 5 1 (1 2 3 ) (1 2 3 ) 2 3 7 1 2 1 1 3 1 4 1 6
5 3 5 1 18 7 ( 1 2 3 ) 5 2 1 1 2 1 3 4 1 6 1 1
181 13 19 4 x1 y1 63 x y 2 = 9 13 2 2 y 99 x 3 3 10 7 4
（3.4.3）
或
(3.4.4)
线性代数
证毕。
线性代数
例3.4.4
已知 R 中的二组基
T
3
1 (1, 2, 1)T 2 (2, 3, 3)T 3 (3, 7, 1)T；
1 (3, 1, 4)
2 (5, 2, 1)
T
3 (1, 1, 6)T。
(1) 求由基 α1, α2 , α3到β1 β2 β3的过渡矩阵 及坐标变换公式； (2) 求向量β＝2β1 -β2 -β3 在基α1, α2 , α3下的 坐标； (3) 求由基α＝α1-2α2 +4α3在基β1 ,β2, β3下的 坐标。
线性代数
例 3.4.4 设 α1=( 1,0,2), α2 =(1,0,1), α3 =(-1,2,0),证明α1,α2, α3是向量空间 的 3 R 一组基，并求向量 α=( 2,-3,5) 在这组基 下的坐标。
线性代数
证明
以向量α1,α2, α3为列向量做矩阵
1 1 1 A 0 0 2 2 1 0
(a1 b1, a2 b2 , , an bn ) Rn
k (ka1 , ka2 ,, kan ) R n
故Rn,是一个向量空间。
线性代数
例3.4.2 （1）集合
证明
i 2,3,, n
V1 (0, a2 ,, an ) | ai R,
(2) V中任一向量都能由α1, α2 , …,αm表出， 则称α1,α2, …,αm为空间V的一组基（或基底）， m称为向量空间V的维数，记dimV＝m，并称V 是数域P上的m维向量空间。
零空间的维数规定为零。
线性代数
注意:
1.向量空间的维数和该空间中向量的维数是两 个不同的概念。 2. 若把向量空间V看作一个向量组，那么它的 基就是 V 的一个极大线性无关组， dimV 就是 V 的秩。 3.若向量空间 V的维数是 m，那么 V中任意 m个 线性无关的向量都是 V的一组基；对于向量空 间V的任一子空间V1，dimV1≤dimV。
x1 y1 x2 y2 P x y m m y1 x1 x y2 1 2 P y x m m
由基β1 β2 β3到α1, α2 , α3的过渡 矩阵为
181 13 19 4 63 P 1 9 13 2 99 10 7 4
线性代数
由此可得坐标变换公式
y1 x1 27 71 41 20 9 y 2 x2 = 9 x 4 12 8 y 3 3
解之，得
9 3 x1 , x 2 4, x3 2 2 于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为
9 ( , 2 3 4, ). 2
线性代数
3.4.3
基变换与坐标变换
•向量空间V的基不是唯一的，V中向量α在不同 的基下的坐标一般是不同的。 •下面讨论V中不同的两组基之间的关系与向量α 在不同的基下的坐标之间的关系。 设α1, α2 , …,αm与β1 β2 …，βm是向量空间V的两 组基,由基的定义，它们可以互相线性表出。用 α1, α2 , …,αm表示β1 β2 …，βm，则有
则
线性代数
由向量α在基α1,α2 , …,αm下坐标的唯 一性, 得
x1 y1 x2 y2 P x y m m
或
y1 x1 x y2 1 2 P y x m m
线性代数
定义3.4.3 设α1, α2 , …,αm为向量空间V的 一组基，αV有
x11 x2 2 xm m
则称有序数组x1,x2, …,xm为向量α在基α1, α2 , …,αm下的坐标。记为(x1,x2, …,xm)。 由定理3.2.2,向量α的表示也是唯一的， 因此α基下α1, α2 , …,αm下的坐标也是唯一 的。
线性代数
例.对于向量空间Rn，基本单位向量ε1, ε2, …, εn就是它的一组基，有dimRn=n,则称Rn 为n维实向量空间。 例.在四维向量空间R4中，向量组α1=(0, 0,0,1), α2=(0,1,0,1), α3=(-1,2,0,1), α4=(1,0,2,1) 线性无关，所以它们也是 R4 的一组基。
A的行列式|A|＝2≠0，所以α1,α2, α3线性 无关, 因此它们是R3的一组基。 设 x11 x2 2 x3 3 把α1,α2, α3代入，比较等式两端向量的 对应分量，可得线性方程组
线性代数
x1 x 2 x3 2 2 x3 3 2x x 5 2 1
27 71 41 (1 2 3 ) 9 20 9 4 12 8
线性代数
1
所以，由基 α1, α2 , α3到β1 β2 β3的过渡矩阵 为
27 71 41 P 9 20 9 4 12 8
线性代数
在 n 维向量空间 V 中，零空间和空间 V 也是它的 子空间，称为它的平凡子空间，除此之外，V的 其他子空间称为它的非平凡子空间。 设α1, α2 , …,αm为一组n维向量，容易证明它的线 性组合
V k11 k2 2 km m | ki R,1 i m
y1 y2 (1 , 2 , , m ) y m
由 (1 , 2 , , m ) (1 , 2 ,, m ) P
y1 y2 ( 1 2 n ) P y n
是一个向量空间；
（2）集合
V2 (1, a2 ,, an ) | ai R,
i 2,3,, n
不是一个向量空间。
线性代数
定义 3.4.2 设 V1 ， V2 是数域 P 上的两个向量空间，若 V1V2，则称V1是V2的子空间。 • V1 (0, a2 , , an ) | ai R, i 2,3, , n 是 n 维向量空间 Rn 的一个子空间； •实数域上任何 n 维向量的集合构成的向量空间都是 Rn 的子空间。 单独由一个零向量构成的集合{0}也是一个向量空间， 称为零空间。
(2) 由（3.4.3）式，向量β＝2β1 -β2 -β3 在 基α1, α2 , α3下的坐标为
x1 27 71 41 2 58 20 9 1 11 x2 9 x 4 12 8 1 12 3
（3.4.2）
（3.4.2）称为坐标变换公式。
线性代数
证
由题设
x11 x2 2 xm m
x1 (1 , 2 , , m ) x 2 x m y11 y2 2 ym m
线性代数ห้องสมุดไป่ตู้
这意味着β1 β2 …,βm线性相关。
线性代数
定理3.4.1 设 α1, α2 , …,αm与β1 β2 …， βm是向量空间V的两组基, 由α1, α2 , …,αm 到β1 β2 …，βm的过渡矩阵为P，如果V中任 意元素α在这两组基下的坐标分别为(x1,x2, y1 …,xm)T与 ( ,y2, …,ym)T，则