福建省福州一中2015届高三5月质量检测试卷数学(理) Word版含答案

福州一中2014-2015学年高三校质检试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh 24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集R U =，}0)3(|{<+=x x x M ，}1|{-<=x x N ，则图中阴影部分表示的集合为 A ．}03|{<<-x x B ．}1|{-≥x xC ．}3|{-≤x xD ．}01|{<≤-x x （第1题图）2.若11a i i i+=-（i 为虚数单位），则a 的值为 A . i B . i - C . 2i - D . 2i 3.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线的离心率等于 A ．5 B ．5 C ．25D ．454.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则3253S S S S --的值为A ．2B ．3C ．2-D ．3-5.下列判断不正确的是A ．若)25.0,4(~B ξ，则1=ξEB ．命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是“200,0x R x ∃∈<”C ．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D ．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等 6.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点)0,6(π对称 D ．关于直线6π=x 对称7．设点（,a b ）是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为ABCD8.如图，在棱长均为2的四棱锥P ABCD -中，点E 为 PC 的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PAD的距离为3C .BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角大于30 第8题图 D .BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角小于30 9．称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的“距离”.若向量,a b 满足： ①||1b =； ②a b ≠； ③对任意的t R ∈，恒有(,)(,)d a tb d a b ≥． 则以下结论一定成立的是A ．a b ⊥B ．()b a b ⊥-C ．()a a b ⊥-D ．()()a b a b +⊥-10．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点(1,0)的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 有且只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．若4(4),0(),(2012)cos ,0xf x x f x f tdt x π->⎧⎪==⎨≤⎪⎩⎰则 ．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．13．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时 该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=， 再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=， 则tan OPQ ∠的值为 ．14．在2015(2)x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，则当2x =时，S 等于 ．15．已知a 为[0,1]上的任意实数，函数1()f x x a =-，22()1f x x =-+，323()f x x x =-+． 则以下结论：①对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≥； ②对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≤； ③对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x >； ④对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x <． 其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）(第12题图)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD相交于点O ，若060=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =.（Ⅰ）求证：FC ∥∥平面EAD ； （Ⅱ）求二面角A FC B --的余弦值.（第17题图）18．（本小题满分13分）设m R ∈，函数（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，，求()f A 的取值范围．EA B CDFO19．（本小题满分13分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数23()1x f x x +=+，()ln()g x x x p =--. （Ⅰ）求函数()f x 的图象在点11(,())33f 处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()g x 的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足：03n a <≤，*n N ∈，且1220153()2015a a a +++=．若不等式122015()()()()f a f a f a g x +++≤在(,)x p ∈+∞时恒成立，求实数p 的最小值.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵11a M b ⎛⎫=⎪⎝⎭的一个特征值1所对应的特征向量为10⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 和曲线C 相交于A 、B 两点，求AB 的长.（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足2226a b c ++=． （Ⅰ）求2a b c ++的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||x x m M +++≥恒成立，求实数m 的取值范围．福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：11.2 12. 313214. 40292 15. ①④选择题10简解：依题意可设直线l ：1x my =+，（1）代入24y x =，得2440y m y --=，△=216(1)m +，把（1）代入22)1(r y x =+-设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，||||AC BD =，即1324||||y y y y -=-，若1324()y y y y -=--，则1234y y y y +=+，0m =.即22(1)r m =+，故当2r >时，l 有三条．从而本题应该选D .三、解答题：16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===，14115528(1)25C P X C C ===， 115511(2)25P X C C ===，…………………10分8 7 5 6 9826甲 乙5 57 2 58 5随机变量X 的分布列是：160122525255EX =⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………13分17.（I ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以BC AD ∥，BF DE ∥.因为FBC AD 平面⊄，FBC D 平面⊄E ，所以FBC AD 平面∥，FBC DE 平面∥…………………………………………………2分 又AD DE D ⋂=，EAD AD 平面⊂，EAD DE 平面⊂， 所以EAD 平面∥平面FBC 又FBC FC 平面⊂，所以EAD FC 平面∥…………………………………………………………………………4分 （II ）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且060=∠DBF ， 所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥， 又因为O 为AC 中点,且FC FA =， 所以FO AC ⊥又AC BD O ⋂=，所以ABCD FO 平面⊥………………………………………………6分 由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -设2=AB ，因为四边形ABCD 为菱形，060=∠DAB ，则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -…8分所以)0,1,3(),3,0,3(==→→CB CF 设平面BFC 的一个法向量为),,(z y x n =→，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00CB n CF n ,所以⎩⎨⎧=+=+03033y x z x ，令1=x ，则)1,3,1(--=→n …………………………………………………………………10分 因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为)0,1,0(OB =→. 因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，则51553,cos cos =-=⋅⋅=><=→→→→→→OBn OBn OB n θ. 所以二面角B FC --A 的余弦值为515…………………………………………………13分 18．解：（I2分…………………………………4分5分，k Z ∈7分（II ……………………………………………………………………………………………8分11分12分13分19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =1c =．故椭圆C 的方程为22143x y +=.…………………………………………………………4分⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．…………………………………………………5分 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………8分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切． ……………………………………………………………………………………………9分 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．………………………………………10分点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分20. 解:（Ⅰ）222222(1)2(3)61'()(1)(1)x x x x x f x x x +-+--+==++，……………………………1分 2121199'()1310(1)9f --+∴==-+，又1()33f =，所以函数()f x 在13x =的切线方程为913()103y x -=--， 即9331010y x =-+.……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）11'()1()x p g x x p x p x p--=-=>-- 当(,1)x p p ∈+时，'()0,g x <所以()g x 在(,1)p p +单调递减； 当(1,)x p ∈++∞时，'()0,g x >所以()g x 在(,1)p p +单调递增；所以 1x p =+时，min ()(1)1g x g p p =+=+.……………………………………………5分 ①当10p +>，即1p >-时，()g x 的零点个数为0； ②当10p +=，即1p =-时，()g x 的零点个数为1；③当10p +<即1p <-时，此时(1)0g p +<，(0)ln()0g p =-->，()ln 0p p p p g p e p e e e +=+-=>（或,()x p g x →→+∞）因为()g x 在定义域上连续，由零点存在定理及()g x 的单调性，知()g x 在(,1)p p +有且只有一个零点，()g x 在(1,)p ++∞有且只有一个零点， 所以1p <-时，()g x 的零点个数为2.综上所述，当1p <-时，()g x 的零点个数为2；1p =-时，()g x 的零点个数为1；1p >-时，()g x 的零点个数为0. …………………………………………………………………9分(Ⅲ)1220153()2015,a a a +++=当12201513a a a ====时，有1()33f =.所以1220151()()()2015()60453f a f a f a f +++=⨯=.………………………10分接下来证明:122015()()()6045f a f a f a +++≤.由(I)知，函数23()1x f x x +=+在13x =的切线方程为9331010y x =-+.而当03x <≤时，2239331()(3)()0110103x f x x x x x +=≤-+⇔--≤+成立. 所以，当03,n a n N *<≤∈时,有9333()(113)101010n n n f a a a ≤-+=-………………12分 所以，1220151220153()()()[1120153()]6045,10f a f a f a a a a +++≤⨯-+++=所以，当12201513a a a ====时，122015()()()f a f a f a +++的最大值为6045.再由(II)知，min ()1,g x p =+60451,p ∴≤+得6044.p ≥所以p 的最小值为6044.……………………………………………………………14分21．解：（1）（Ⅰ）依题意，1111100a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a =，0b =.…2分所以1101M ⎛⎫=⎪⎝⎭.因为det 1M =，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭.………………………………4分（Ⅱ）曲线C ：22221x xy y ++=上任意一点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到''(,)x y ，则''1101x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得''x x y y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，即'''x x y y y⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 代入方程22221x xy y ++=得'2'2()()1x y +=.因此，曲线C 在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为221x y +=.…………7分 （2）（Ⅰ）由12x ty t=⎧⎨=+⎩，得直线l 的直角坐标方程为：210x y -+=.………………2分由)4πρθ=+，得coscos sin )2sin 2cos 44ππρθθθθ=+=+， 22sin 2cos ρρθρθ=+，得曲线C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-=.……4分（Ⅱ）圆心(1,1)到直线l 的距离d ==，圆的半径R ,||5AB ===.……………………………………………………7分（3）（Ⅰ）由柯西不等式，2222222()(121)(2)a b c a b c ++++≥++，即有2(2)36a b c ++≤，……………………………………………………………………2分 又a 、b 、c 是正数，∴26a b c ++≤即2a b c ++的最大值为6，当且仅当121a b c==，即当1,2a c b ===时取得最大值．……………………………4分（Ⅱ）因为1|||1()||1|x x m x x m m +++≥+-+=-，由题意及（Ⅰ）得，16m -≥，得7m ≥或5m ≤-.综上，实数m 的取值范围为7m ≥或5m ≤-.……………………………………………7分。