安徽省枞阳县钱桥初级中学八年级数学下册 17.4 一元二次方程根与系数的关系教案1 (新版)沪科版
安徽省枞阳县钱桥初级中学八年级数学下册 17.4 一元二次方程根与系数的关系教案1 (新版)沪科版
一元二次方程根与系数关系一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十七章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？（3）什么叫做分式方程？问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫．2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”．“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的．这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断．3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；（3）-x5＝0 （4）6x2＝x；（5）2x2＝5y；（6）-x2＝04．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．6．练习1：教材P．5中1，2．要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项．8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．（四）总结、扩展引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．四、布置作业1．思考题：1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式。
沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1
沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1一. 教材分析《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》是沪科版数学八年级下册的一个重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、根的判别式的基础上，进一步引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的抽象概括能力，也为后续学习一元二次方程的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了方程的基本概念和解法，对根的判别式也有了一定的了解。
但学生对于根与系数之间的关系可能存在一定的困惑，因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、实验、猜想、验证等方法，逐步发现并理解根与系数之间的关系。
三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.培养学生通过观察、实验、猜想、验证等方法探索问题的能力。
3.提高学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解并运用根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师引导学生通过观察、实验、猜想、验证等方法，发现并理解根与系数之间的关系。
2.互动法：教师与学生进行提问、讨论，促进学生对知识的理解和运用。
3.案例分析法：教师给出实际问题，引导学生运用一元二次方程解决。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.实际问题：准备一些实际问题，用于引导学生运用一元二次方程解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法和根的判别式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生观察、实验、猜想、验证，让学生通过自主学习发现并理解这一关系。
3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固对根与系数之间关系的理解。
4.巩固（10分钟）教师继续给出练习题，让学生进一步巩固对根与系数之间关系的理解。
八年级数学下册教案-17.4 一元二次方程的根与系数的关系8-沪科版
《一元二次方程的根与系数的关系》教案
一、基本信息
二、教学目标
知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，能不解方程
求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单
的问题。
过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，使
学生经历观察、思考、猜想、证明、归纳概括等数学活动过程，发展学生的推理能力。
在运用关系解决问题的过程中，培养学
生解决问题能力，渗透整体的数学思想。
情感态度与价值观：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，使学生感受成功的喜悦，激发学生应用数学
的热情。
培养科学探究精神。
三、学习者分析
1．学生已学习一元二次方程的各种解法。
2．本课的教学对象是
初中八年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注
意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。
这为学生猜想韦
达定理提供必要条件3.学生已掌握基本的公式及相关运算法则，为
证明一元二次方程的根与系数的关系提供必要条件。
四、教学重难点分析及解决措施
重点：一元二次方程的根与系数的关系。
难点：一元二次方程的根与系数的发现及应用。
解决措施：课始，我让学生回顾一元二次方程的各种解法，再让学生练习解方程（完成表格），顺利过渡到观察方程的两根的和与积与方程系数的关系，从而能正确猜想结论。
在教学中，我采用了2人或4人一组，让学生在合作中互相学习，并给学生展示探究结果的机会，鼓励学生大胆猜想，严密论证。
整节课师生在和谐的氛围中教学和学习，身心得到愉悦。
八年级数学下册教案-17.4 一元二次方程的根与系数的关系5-沪科版
2、生口述师板书过程
生先独立思考
找两个不同方法的学生板书过程
对比性教学
师：这两种方法都过于复杂，如果本节课你能认真听讲，30秒解决这个题目
大家想不想学简单方法？
我们之前学过根与系数的一个关系，请问什么地方？
二、新知
师：填写下表
方程
两个根
两根之和
两根之积
+
猜想：
如果一元二次方程 的两个根
分别是 、 那么 + =， =。你可以发现什么结论？能证明上面的猜想吗？
生：1、代入方程验根
2、解方程
生：求根公式
生独立完成表格并思考之后讨论
生黑板板书证明过程
调动学生的兴趣
复习求根公式为后面证明做铺垫
小组讨论的目的是充分照顾每一个学生
一元二次方程根与系数的关系：
如果一元二次方程 的两个根分别是 、 那么 ， 这个关系通常称为韦达定理。
贯穿“由特殊到一般”的思想
练习
1、口答下列方程的两根之和与两根之积
课题
17.4一元二次方程根与系数的关系
教学目标
1、了解一元二次方程根与系数的关系。
2、通过由特殊到一般，培养学生观察、分析，猜测规律的能力。
重点、难点
一元二次方程根与系数的关系的应用
教学方法
讲练结合、小组合作
教具学具及多
媒体使用情况
PPT
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、复习引入
方程下面括号内的两个数是不是它的根？
1 ②
3 ④
2、已知一元二次方程的 两根分别为-2和1，则：p =; q=。
3、用新知识解决引例。
三、例题精析
最新2015初级中学八年级数学下17.4一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
ax bx c 0 a 0
2
方程的判别式
当∆＞０时，方程才有解，可以用求根公 式写出它的根
求根公式
b 4ac
2
2
b b 4ac x 2a
x1 x2
x 5x 6 0
2
x1 x2
2 x 5x 3 0
2
6x x 2 0
6 2x 5
3 x 5
3 k 2 5 5
3 k 5(2 ) 7 5
例2
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两
个根的（1）平方和
（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1
x2那么 3 1 x1+x2 =-— x .x =— 1 2 2 2.
（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 ∴ x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 3 1 13 2 =（-2 —） -2（-—）=— 4
2
请大家再仔细的观察这张表,能不能发现 x1 x2, x1 x2 与方程的系数有什么关系
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的 商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项 系数所得的商. 请根据以上的观察发现进一步猜想:方 b c=0(a≠0)的 x1 x2, x1 x与 程 ax² +bx+c 2 系数a,b,c的关系 .
3 x1+x2 1 1 2 （2）—+— = ———— = ——— =3 1
2
x 1 x2
x1.x2
2
探究小结：
一元二次方程根与系数的关系 两根之和等于一次项系数除以二次项 系数的商的相反数,两根之积等于常数项除 以二次项系数所得的商.
1一元二次方程的根与系数的关系第2课时课件初中数学沪科版八年级下册
常见求值：
(1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1
(2)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
(3) 1 1 x1 x2
x1 x2
x1x2
x2 x1 (x1 x2 )2 2x1x2
x1 x2
x1x2
三、典型例题
总结： 1.求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之 和,两根之积的情势,再整体代入. 2.进行方程根倒数计算时，要注意根是否为0.
=2.5+0.5+1=4
三、典型例题
例1.已知x1、x2是方程2x2-5x+1=0的两个实数根，求下列各式的值：
(4)x12+x22
(5)1 1
x1 x2
(4)x12+x22=x12+2x1x2+x22-2x1x2
=(x1+x2)2-2x1x2
=2.52-2×0.5=5.25
(5) 1 1 x2 x1 x2 x1
(2)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2
(3) 1 1 x1 x2
x1 x2
x1x2
x2 x1 (x1 x2 )2 2x1x2
x1 x2
x1x2
【当堂检测】
6.已知互不相等的实数m、n，且满足m23m50,n23n50,则m3-2n2+mn-
8m的值. 解：根据根的定义可知：m、n是方程x2+3x-5=0的两个根
∴m+n=-3，mn=-5
一元二次方程的根与系数之间的关系
一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是数学中经常遇到的一类方程，它由一个未知数的二次多项式等于一个常数构成，通常的一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。
解一元二次方程的根是求出使得方程成立的未知数的值。
在研究一元二次方程的根之前，我们先来了解一下一元二次方程的系数。
系数是指方程中各个项的系数，即a、b和c。
在一元二次方程中，系数与根之间存在着一些规律和关系。
首先，我们来探讨一元二次方程的两个根与系数之间的关系。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
从该公式中可以看出，根的值与方程的系数a、b和c有关。
具体来说，b^2 - 4ac称为判别式，它决定了方程有多少个根以及根的性质。
1. 当判别式大于0时（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴交于两个点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为实数，且有两个解分别为x1和x2。
可以推导出，这两个解与系数的关系为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a2. 当判别式等于0时（b^2 - 4ac = 0），方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴有且只有一个交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为0，解的公式变为：x = -b/(2a)。
可以看出，根与系数的关系为：x1 = x2 = -b/(2a)3. 当判别式小于0时（b^2 - 4ac < 0），方程没有实根，而是有两个共轭复根。
也就是说，方程在坐标系中与x轴没有交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为纯虚数，解的公式可以写成：x = (-b ± i√(|b^2 - 4ac|)) / (2a)，其中i为虚数单位。
因此，系数与根的关系可以表示为： x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = -c/a由上述关系可知，一元二次方程的根与系数之间确实存在一些规律。
八年级数学下册 17.4 一元二次方程根与系数的关系学案(新版)沪科版
八年级数学下册 17.4 一元二次方程根与系数的关系学案（新版）沪科版17、4 一元二次方程根与系数的关系一、学习内容：一元二次方程根与系数的关系。
二、学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和。
三、学习过程：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x2－2x＝0 （2）x2＋3x－4＝0 （3）x2－5x＋6＝0、探索一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知太妙了！我想知道为什么？乘以 x1=,x2= 能得出以下结果：x1＋x2= 即：两根之和等于 x1•x2= 即：两根之积等于 =+ = = = === 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x1+x2=，x1x2= 如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2＋ x＋＝0(a≠0)，则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（）x＋x1x2＝0(a≠0)例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；解：设方程的另一个根是x1，那么（为什么？）∴ x1= 又x1+2= （为什么？）∴ k= 想一想，还有没有别的做法？例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的（1）平方和（2）倒数和解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2= （1）∵ （x1+x2）2= x12+2 +x22 ∴x12+x22=（x1+x2）2-2 = （2）例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是解：所求的方程是x2-（）x＋（）＝0 (为什么？)即x2+ x- ＝0 或6x2+ x- ＝0例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程根与系数关系
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．
（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．
（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．
2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．
三、教学步骤
（一）明确目标
1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．
2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？
教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．
板书：“第十七章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知
通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？
（3）什么叫做分式方程？
问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫．
2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．
一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”．“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后
而言的．这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断．
3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；
（3）-x5＝0 （4）6x2＝x；
（5）2x2＝5y；（6）-x2＝0
4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．
一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．
5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？
教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．6．练习1：教材P．5中1，2．要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．
练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项．
8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．
教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．（四）总结、扩展
引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？
1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．
2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．
3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．
四、布置作业
1．思考题：
1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”
2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式。