2021秋华师大版九年级数学上册课件：第21章《二次根式》单元小结复习
最新华东师大版九年级数学上册第21章二次根式PPT
归纳小结
（1）乘法法则：
a b ab;(a 0,b0)
（2）乘法法则的逆用：
ab a b;(a 0,b0)
二次根式的除法
4= 9
49 = 100
25
=
64
4 9 49 100 25 64
一般地, 有
a
a
____b____, (a
0, b
0)
b
二次根式的除法法则: 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除的商，
计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10)2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2
10 27 17
一般地，根据算术平方根的意义
a2
a
a（a 0）， a（a 0）.
化简：
(1) 8
(2) (5)2
解：(1) 8 22 2 2 2 (2) (5)2 52 5
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 . 4. a≥0, a ≥0 . ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,又可表示运算的结果.
1 3
27=
1 3
27=
9=3
积的算术平方根
试一试：请根据算术平方根填空：
华东师范大学出版,九年级数学上册,21章《二次根式》小结复习课件(PPT共25张)
4. ab a （ b a 0, b 0）
a a 5. （a 0, b＞0） b b
a 与 a
2
2
2
1.从运算顺序来看
a 先开方,后平方
a
2
3.从运算结果来看
先平方,后开方
2
想一想： 当a ____ ≥0 时，
2.从取值范围来看
a
a
2
a≥0
a取任何实数
a
＝(2 3 6 )2 (3 2 )2
＝ 12 12 2 6 18 ＝ 12 2
8.
x x2 4 x x 4
2
x x2 4 x x 4
2
x
2
解：原式＝
( x x 2 4 )( x x 2 4 ) ( x x 2 4 )( x x 2 4 ) 2 x ( x x 2 4 )( x x 2 4 ) ( x x 2 4 )( x x 2 4 )
3 1 3 3 4 3 4 3 把a 3 1代入得： 3 3 1 1 3
巩固练习
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.当x
≤3 时， 3 x有意义 . a=4 .
2.若 a 4 4 a有意义的条件是
3.求下列二次根式中字母的取值范围 1 x 5 说明：二次根式被开方数 3x
＝x 2 x 2
题型4:二次根式的求值.
9.先将（ 1 x）（ 1 x）化简，然后选一个合 适的x值，代入化简后的式子 求值.
解：原式 1 （ x） 1 x
x 0, x 0
取x 1 原式 1 1 0
华师版数学九年级上册第21章 复习课课件牛老师牛老师
1 2 14 7 .
2
2
2
B. x 5
C. x
随堂即练
D
D. x2 1
A. 8
B. 70 C. 99
D. 1 x
3．若１＜x＜４，则化简 (x 4)2 (x 1)2 的结果是
.
随堂即练
① 15 ④ a2 b2
② 3a
a<0③ x 100
-(a2+1)<0
⑤ a2 1
⑥ 144
(a-1)2≥0
⑦ a2 2a 1
⑧ 35
28 3 2 3 14 .
3
3
=12-7 =5.
随堂即练
（1）求a、b的值;
(2)若满足上式的a、b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角
形的面积.
1由题意，得
2 a 0,a
2， b 2.
b 2 0.
（ 2）2 1 1.
1 21 1. 2
22
2 2
2
7 2
14 . 2
第21章 二次根式
复习课
知识梳理
最简二次根式
三个ห้องสมุดไป่ตู้念 同类二次根式
有理化因式
ab a ba 0,b 0
二
两个性质
次
根
a a (a 0,b＞0)
bb
式
a 2 aa 0
两个公式
a2 a aa 0;
aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
知识梳理
1．二次根式的概念
一般地，形如__a__(a≥0)的式子叫做二次根式.
对于二次根式的理解： ①带有根号；②被开方数是非负数,即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没 有意义.
华师大版九年级数学上册课件：第21章《二次根式》单元小结复习(共23张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•Байду номын сангаас
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 2:23:05 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
华东师大版九年级上册数学 第21章小结与复习
情景导入
自学互研
知识模块一 二次根式
1．定义：形如 a (a≥0)的式子叫__二__次__根__式__，其 中a叫__被__开__方__数__，只有当a是一个非负数时， a 才有意义．
典例1 下列各式中不是二次根式的为( B )
A. b2＋1 B. a
C. 0
D. （a－b）2
2．二次根式的性质：
典例3 若把根号外的因式移到根号内，则化简
a －a1 ＝－___－__a__．
2．二次根式的除法：
ab＝ ba(a≥0，b＞0)．
典例4 计算： 3 223×(－81 15)÷12 52.
15
解：原式＝ － 2 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际
运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二 次根式．
(1)( a)2(a≥0)＝a； a（a＞0）
(2) a2＝|a|＝0（a＝0） ； －a（a＜0）
(3) ab＝ a· b(a≥0，b≥0)；
(4) ab＝ ba(a≥0，b＞0)．
典例2 当__a_≤__0_时a－ a2＝－2a.
知识模块二 二次根式的运算 1．二次根式的乘法：
a· b＝ ab(a≥0，b≥0)
第21章 小结与复习
【学习目标】 1．理解二次根式的意义，会化简二次根式，会进行 二次根式的乘除、加减混合运算； 2．经历探究二次根式概念及运算的过程，体会二次 根式的解题方法，在多解中进行比较，寻求有效快 捷的计算方法； 3．培养学生良好的运算习惯和不懈的探索精神． 【学习重点】 二次根式的化简以及运算． 【学习难点】 二次根式性质、法则的正确使用．
4．二次根式的混合运算： 先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算 括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的， 可适当改变运算顺序进行简便运算．
最新华师大版初三数学上册第21章 二次根式 全单元ppt课件
（3）二次根式的值
定义 二 次 根 式
a （a≥0）
a 0(a 0)
性质 （即 a 表示一个非负数）
a
2
a a 0 ;
a2 （ a a 0）
21.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根
两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？
让我们从研究乘法开始． 请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？
2
7= ？
特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！
讲授新课
一 二次根式的乘法法则及运算
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律？
1.
4×
9
6 =____
4 9 _____ 6
如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是
b 3
.
b-3
你认为下列各代数式有哪些共同特点？
a 2500
2
s π
b3
表示一些正数的算术平方根．
知识归纳 二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
两个必备特征 理解要点： ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开数a ≥0
x 1
的值.
当x=5时，
x 1 5 1 4 2.
思考：当x是怎样的实数时， x2在实数范围内有意义？ x为全体实数.
2 a 2 b 3 ( c 4 ) 0, 2.（1）若
则a-b+c=___ ；
(2)设y 1 x + x 1+2015,试求x 2 y的值.
华师大版九年级数学上册第21章二次根式PPT
二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1.理解二次根式的概念. 2.理解二次根式有意义的条件. (重点)
3.探索并掌握二次根式的性质. (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
问题导入 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
★2.根号内字母的取值范围 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. ★3.二次根式的值 将未知数的值代入二次根式，计算出二次根式的值.
课堂总结
定义 二 次 根 式
a（a≥0）
性质
（即
a 表示一个非负数）
a
2
a a 0 ;
a2 （ a a 0）
第21章
二次根式
21.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根
学习目标
1.理解二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质.(重点)
2.会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点)
3.运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算. (重点)
问题导入
问题1 什么叫二次根式？
形如 a( a 0 )的式子叫做二次根式.
一般地，有
性质1： ( a )2 a a 0 .
文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方等于这个 数. 由二次根式的定义我们还可以进一步知道:二次根式具 有双重非负性.到目前为止，非负数的三种表现形式 a2、 ︱a︱、 a .
新课讲解 练一练： 计算：
1 2 (1)( ) 2
2 (2)( 5) 2 3
2
0.52 0.5
02 0 又如
第21章二次根式章节复习(难点练)解析版
第21章二次根式章节复习（难点练）一、单选题1．（2021·四川省遂宁市第二中学校九年级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.A．BCD【答案】A【详解】根据最简二次根式的意义，可知=，不是最简二次根式.故选A.2．（2021·上海九年级专题练习）当4x =-的值为（ ）A ．1BC ．2D ．3【答案】A=--=1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．3．（2021·浙江九年级期末）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦、O e ⑥、等腰直角三角形②和都含45°角的角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤组成，已知2AB BC AI ==．如图2，在矩形PQMN 内，这个智力七巧板恰好能拼成一个滑滑梯，若O e 的直径是2，则矩形PQMN 的周长为（ ）A ．32B ．28+C ．22+D ．24+【答案】C【分析】根据勾股定理得出AI ，BG ，进而利用四边形的周长解答．【详解】解：如图，2AI ==Q ，2BG ==，2AB AI ==，4c \=，4a \==-28PQ a \=++=+，123PN =++=+，\四边形PQMN 的周长2()16622PQ PN =´+=+++=+，故选：C ．【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质利用勾股定理解答．4．（2021·山东淄博市·九年级期中）如图，正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为（ ）A ．4＋＋B ．2＋＋C ．4＋D ．2＋＋【答案】A【分析】分别求出∠ABF 和∠FCG 的度数，再利用正方形与等边三角形的性质，证明△ABF ≌△FCG ，可得AF =FG ，同理AF =AG BG =，设AB 中点为K ，连接AG ，GK ，,BG GK 交CD 于,N 可得△AKG 为直角三角形，再利用由勾股定理求得AG ，然后即可求得四边形AFGD 的周长．【详解】解： Q 正方形ABCD 边长为2，等边三角形BCF 、CDG 、2,90,60,AB BC BF FC CD CG ABC FBC \======Ð=°Ð=° 150,15,ABF BAF BFA \Ð=°Ð=Ð=°同理可得：360906060150,FCG Ð=°-°-°-°=° 所以△ABF ≌△FCG ，∴AF =FG ．设AB 中点为K ，连接AG ，GK ，,BG GK 交CD 于,N同理AF =AG ,BG = 则,GK AB ^ ,GK CD ^ 1,1,DN CN AK BK ==== 2,KN BC ==\ △AKG 为直角三角形，由三角形DCG 为等边三角形，则2,DG CG DC ===GN \==∴2KG =+由勾股定理得：AG ====+四边形AFGD 的周长为：AF +FG +GD +DA =2+2´故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的运算等知识点，此题有一定难度，属于难题．二、填空题5．（2021·湖北武汉市·九年级专题练习）化简并计算：...++=________．（结果中分母不含根式）【详解】解：原式=--==．．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．6．（2021·山东淄博市·九年级期中）如图，在△ABC 中，D 是AC 边的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BD C ¢，联结AC ¢．若AD ＝AC ¢＝2，BD ＝3，则点D 到BC ¢的距离为 __________．【分析】连接CC ¢，交BD 于点M ，过点D 作DH BC ¢^于点H ，由翻折知，△BDC ≌△BDC ¢，BD 垂直平分CC ¢，证△ADC ¢为等边三角形，利用解直角三角形求出DM =1，C M ¢=，BM =2，在Rt △BMC ¢中，利用勾股定理求出BC ¢的长，在△BDC ¢中利用面积法求出DH 的长，则可得出答案．【详解】解：如图，连接CC ¢，交BD 于点M ，过点D 作DH BC ¢^于点H ，∵AD AC ¢==2，D 是AC 边上的中点， ∴DC =AD =2，由翻折知，△BDC ≌△BDC ¢，,,DC DC BC BC ¢¢\==\ BD 垂直平分CC ¢，∴2,,DC DC CM C M ¢¢===∴2AD AC DC ¢¢===， ∴△ADC ¢为等边三角形，∴60,ADC AC D C AC ¢¢¢Ð=Ð=Ð=° ∵DC DC ¢=， ∴16030,2DCC DC C ¢¢Ð=Ð=´°=° 在Rt △C DM ¢中， 30,2,DC C DC ¢¢Ð=°=∴1,DM C M ¢=== ∴BM =BD -DM =3-1=2，在Rt △BMC ¢中，BC ¢==∵11,22BDC S BC DH BD C M ¢¢¢==V g g3=∴DH =∴点D 到BC'．【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，二次根式的乘除运算等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．7．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 在边AB 上，点N 在对角线AC 上，连接DM ，DN ．若AM ＝CN ，则(DM ＋DN )2的最小值为____．【答案】8+【分析】过点C 作CH ⊥AC ，使得CH =AD ，连接NH ，由题意易得∠NCH =∠MAD =90°，进而可得△NCH ≌△MAD ，然后可得DM =NH ，要使()2DM DN +的值为最小，只需DM +DN 的值为最小，即NH +DN的值为最小，所以可得D 、N 、H 三点共线时最小，则过点H 作HE ⊥DC 于点E ，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：过点C 作CH ⊥AC ，使得CH =AD ，连接NH ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，AB =2，∴∠MAD =∠DCB =90°，∠DCA =45°，AD =CH =AB =CD =2，∴∠NCH =∠MAD =90°，∵AM =CN ，∴△NCH ≌△MAD （SAS ），∴DM =NH ，若使()2DM DN +的值为最小，只需DM +DN 的值为最小，即NH +DN 的值为最小，所以可得D 、N 、H 三点共线时最小，则过点H 作HE ⊥DC 于点E ，如图所示：∴∠DCA =∠ECH =45°，∴△CEH 为等腰直角三角形，∴CE EH ===，∴2DE DC CE =+=+，∴在Rt △DEH 中，()(22222228DH DM DN DE EH =+=+=+=+∴()2DM DN +的最小值为8+；故答案为8+．【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键．三、解答题8．（2021·全国九年级专题练习）阅读下面的解答过程，然后作答：化简，若你能找到两个数 m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a+2可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m+n ）2化简．例如：∵=2+）2=）2请你仿照上例将下列各式化简（1，（2．【答案】（1）；（2-.【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【详解】解：（1）∵22241(1+=++=+，1=（2）∵2227-=-=，==.9．（2021·广东九年级专题练习）先化简，再求值：24211326x x x x -+æö-¸ç÷++èø，其中1x =..【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+æöæö¸=×=ç÷ç÷+++--èøèø.将1x =+=【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.10．（2021·全国九年级专题练习）阅读材料，请回答下列问题材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：S …①（其中a ，b ，c 为三角形的三边长，S 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S p ＝2a b c++）材料二：对于平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）公式逆用可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2，例：a 2﹣（b +c ）2＝（a +b +c ）（a ﹣b ﹣c ）（1）若已知三角形的三边长分别为3、4、5，请试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【答案】（1）三角形的面积为6；（2）见解析.【分析】（1）根据材料，代入公式即可求解；（2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导．【详解】解：（1）设a ＝3，b ＝4，c ＝5，∵32+42＝25，52＝25，∴a 2+b 2＝c 2，a 2b 2＝144，∴S ＝3452++＝6；∵p ＝2a b c++＝3452++＝6，p ﹣a ＝6﹣3＝3，p ﹣b ＝6﹣4＝2，p ﹣c ＝6﹣5＝1，S＝6．∴三角形的面积为6．（2）∵14[a 2b 2﹣（2222a b c +-）2]＝14[2244a b ﹣2222()4a b c +-]＝116[（a+b ）2﹣c 2][c 2﹣（a ﹣b ）2]＝116（a+b+c ）（a+b ﹣c ）（a+c ﹣b ）（b+c ﹣a ）＝116×2p•（2p ﹣2c ）（2p ﹣2b ）（2p ﹣2a ）＝p （p ﹣a ）（p ﹣b ）（p ﹣c ）【点睛】本题考查了二次根式的应用、平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式．11．（2021·上海九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务．古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为,,a b c ，记2a b cp ++=，那么三角形的面积是S =．印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为a b c d ,,,，记2a b c dp +++=，那么四边形的面积是S =其中，A 和C 表示四边形的一组对角的度数)根据上述信息解决下列问题：（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是 （2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形ABCD ，已知8AB =，12AD =，10BC =10CD =+，75B °Ð=，45D °=∠．求出这个零件平面图的面积．【答案】（1）；（2）【分析】(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可；【详解】(1)p=46892++=，∴三角形的面积是：S ====(2) 75,45B D °°Ð=Ð=Q ，∴2222754511coscos cos 60()2224B D Ð+а+°==°==，8,12,1010AB AD BC CD ===-=+Q ，∴20p ==，∴()()()()p p a p b p c p d ----20(208)(2012)(2010=---´(2010172800--=，又21cos812(10216024A C abcd +=´´´=，∴S ==，∴这个零件平面图的面积是．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力．12．（2021·广东九年级专题练习）先化简，再求值：2222421121a a a a a a a ---¸+--+，其中1a =-．【答案】21a +【详解】解:原式222(2)21(1)(1)(1)a a a a a a a --=-¸++--222(2)(1)1(1)(1)2a a a a a a a --=-×++--22(1)11a a a a -=-++2=1a +，把1a =代入，原式==13．（2021·黄山市黄山第二中学九年级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接CD ，CE ．（1）求证：AB=CD ；（2）若BC=10，∠ABC=45°，连接BE ，求△BCE 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）-50【分析】（1）结合题意，根据旋转的性质得AD=AB，AC=AE．∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，从而得到△ACE是等边三角形、∠AED=∠CED=30°；再通过证明△AED≌△CED，得AD=CD，结合AD=AB，即可完成证明；（2）过点A作AF⊥BC于点F，设BF=x，根据∠ABC=45°，AF⊥BC，得BF=AF=x；根据∠ACB=30°，∠ACE=60°，AF⊥BC得CF；根据BF+CF=BC=10，列方程并求解，即可得到CE，经计算从而得到答案．【详解】（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，∴AD=AB，AC=AE．∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=CE，∠ACE=∠AEC=60°，∴∠AED=∠CED=30°又∵DE=DE，AE=CE，∴△AED≌△CED（SAS），∴AD=CD又∵AD=AB，∴AB=CD（2）如图，过点A作AF⊥BC于点F设BF=x∵∠ABC=45°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠BAF=45°，∴BF=AF=x∵∠ACB=30°，∠ACE=60°，AF⊥BC，∴∠BCE=∠ACB +∠ACE =90°，AC=2x，∴==x∴CE=AC=2x．∵BF+CF=BC=10，∴x=10，∴，∴，∴△BCE的面积=12BC×CE=12´10´（）．【点睛】本题考查了旋转、等边三角形、全等三角形、勾股定理、直角三角形、一元一次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、全等三角形、勾股定理、直角三角形、一元一次方程、二次根式的性质，从而完成求解．14．（======请回答下列问题：（1=______；（2）利用上面的解法，请化简：+++×××++（3【答案】（1-21-；（3>，见解析【分析】（1）把分子分母都乘以+，然后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）由（1-=-=<【详解】解：（1=（2+×××+)1=+++×××++1=-+++×××+1=-（3）由（1）的方法可得，-==<>>．【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．15．（2021·全国九年级专题练习）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|1x+1y+1z|．|12+13+()15-|＝1930请解决下列问题：（1的值．（2）设S S的整数部分．（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz+|1x﹣1y﹣1z|取得最小值时，求x的取值范围．【答案】（1）712；（2）2019；（3）0＜x≤13【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；（2）将原式进行化简，再确定整数部分；（3）将原式化简为|13x+|+|13x-|，再根据|13x+|+|13x-|取最小值时，确定x的取值范围．【详解】解：（1＝|12+14+16-|＝712；（2）S，＝|1+1﹣12|+|1+12﹣13|+…+|1+12019﹣12020|，＝1+1﹣12+1+12﹣13+1+13﹣14+ (1)12019﹣12020，＝2019+2019 2020，故整数部分为2019；（3）由题意得，+|1x﹣1y﹣1z|，＝|1x+1y+1z|+|1x﹣1y﹣1z|，＝|1y zx yz++|+|1y zx yz+-|，又y+z＝3yz，原式＝|13x+|+|13x-|，因为|13x+|+|13x-|取最小值，所以﹣3≤1x≤3，而x＞0，因此，0＜x≤13，答：x的取值范围为0＜x≤13．【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算．16．（2021·北京九年级专题练习）已知x =，y =，求22x y y x +的值．【答案】970【分析】首先把x 和y 进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【详解】解：∵5x ===-，5y ===+∴原式===+245240245240=--++++970=．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x 和y 进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．17．（2021·全国九年级专题练习）阅读下列解题过程：；；＝；…解答下列各题：（1＝ ；（2＝ ．（3+）×+1）．-；（2+；（3）2020【答案】（13【分析】（1-，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；（2到答案；（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．-3-；3==++（3×+1）1+-）×+1）-）×+1）1-＝20211＝2020．【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．18．（2021·北京九年级二模）如图，在等腰直角△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是CA 延长线上一点，点E 是AB 延长线上一点，且AD ＝BE ，过点A 作DE 的垂线交DE 于点F ，交BC 的延长线于点G（1）依题意补全图形；（2）当∠AED ＝α，请你用含α的式子表示∠AGC ；（3）用等式表示线段CG 与AD 之间的数量关系，并写出证明思路【答案】（1）见解析；（2）45AGC Ð=°-a ；（3）CG =，见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）先证45ABC ACB Ð=Ð=°，再根据90ADE AED Ð+Ð=°与90ADE DAF Ð+Ð=°可得DAF AED a Ð=Ð=，则DAF CAG a Ð=Ð=，又因为45ACB CAG AGC Ð=Ð+Ð=°可得45AGC Ð=°-a ；（3）在AE 上截取AM AD =，连接DM ．先证BAC V 与ADM △是等腰直角三角形，接下来证ACG EMD △≌△，所以可得DM CG =，则可求CG DM ==．【详解】（1）根据题意补全图形如下：过点A 作DE 的垂线交DE 于点F ，交BC 的延长线于点G ．（2）证明：当AED a Ð=时，45AGC Ð=°-a ．推理如下：AB AC =Q ，90BAC Ð=°，45ABC ACB \Ð=Ð=°．90EAD Ð=°Q ，90ADE AED \Ð+Ð=°AF DE ^Q ，90DFA \Ð=°，90ADE DAF \Ð+Ð=°DAF AED a \Ð=Ð=，DAF CAG a \Ð=Ð=，45ACB CAG AGC Ð=Ð+Ð=°Q 45AGC a \Ð=°-．（3）CG =．证明：在AE 上截取AM AD =，连接DM ．∵=AM AD ，90BAC а＝∴ADM △是等腰直角三角形∴45AMD Ð=°∴180********DME AMD Ð=°-Ð=°-°=°∵=AB AC ，90BAC а＝∴BAC V 是等腰直角三角形∴45ACB Ð=°∴180********ACG ACB Ð=°-Ð=°-°=°∴135ACG DME Ð=Ð=°∵=AD BE ∴=AM BE∴+=+AM BM BE BM 即=AB EM ∵=AB AC ∴=EM AC∵FG DE ^，90BAC а＝∴90FAE E Ð+а＝,90FAE CAG Ð+а＝∴CAG EÐ=Ð又∵=AB EM ，135ACG DME Ð=Ð=°∴ACG EMD △≌△∴DM CG=又∵90BAC а＝ ，=AD AM∴利用勾股定理可得：DM ===∴DM CG ==．【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．。