东北三省三校2014年高三第二次联合模拟考试数学文试卷(WORD版)

东北三省三校2014年高三第二次联合模拟考试（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3},{5,6,7}U A B ===，则()()U U C A C B ＝ A. {4，8}B. {2，4，6，8}C. {1，3，5，7}D. {1，2，3，5，6，7}2. 已知复数122z =-+，则||z z +＝A. 122-- B. 12-C.12 D.12 3. 已知数列{}n a 满足1220,1n n a a a ++==，则数列{}n a 的前10项和10S 为 A.104(21)3- B.104(21)3+ C.104(21)3-- D.104(21)3-+ 4. 已知1sin cos 3αα+=，则2sin ()4πα-=A.118B.1718C.89D.5. 已知：3:,:11p x k q x ≥<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 A. [2,)+∞B. (2,)+∞C. [1,)+∞D. (,1]-∞-6. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若1cos ,sin 3sin 3A CB ==，且ABC S ∆=b =A. 1B.C.D. 37. 已知△ABC 中，||10,16,BC AB AC D =⋅=- 为边BC 的中点，则||AD等于A. 6B. 5C. 4D. 38. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 平均数B. 标准差C. 众数D. 中位数9. 已知某算法的流程图如图所示，若输入7,6x y ==，则输出的有序数对为A. （13，14）B. （12，13）C. （14，13）D. （13，12）10. 将函数()2sin(2)4h x x π=+的图象向右平移4π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的图象与函数()h x 的图象A. 关于直线0x =对称B. 关于直线1x =对称C. 关于点（1，0）对称D. 关于点（0，1）对称11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点1(,0)F c -、2(,0)F c (0)c >，过2F 的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点。

设1111,F B FC m F A F D n +=+=，则下列各式成立的是A. ||||m n >B. ||||m n <C. ||0m n -=D. ||0m n ->12. 设函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意x R ∈都有()()f x f x '>成立，则 A. (ln 2014)2014(0)f f < B. (ln 2014)2014(0)f f =C. (ln 2014)2014(0)f f >D. (ln 2014)f 与2014(0)f 的大小关系不确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分。

）13. 观察下列等式3233233323333211,123,1236,123410=+=++=+++=，…，根据上述规律，第n 个等式为__________。

14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为____________。

15. 设,x y 满足0010220x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨--≤⎪⎪-+≥⎩，则34z x y =-的最大值为___________。

16. P 为正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 上的一点，且1((0,1))BP BD λλ=∈。

下面结论：①11A D C P ⊥；②若1BD ⊥平面PAC ，则13λ=； ③若△PAC 为钝角三角形，则10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ④若2(,1)3λ∈，则△PAC 为锐角三角形。

其中正确的结论为___________。

（写出所有正确结论的序号）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设4log ||n n b a =，求数列11{}n n b b +⋅前n 项和n T 。

18. （本小题满分12分）某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分。

上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示。

（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率。

19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的菱形，11AA BD A A =⊥，∠BAD ＝∠1A AC ＝60°，点M 是棱1AA 的中点。

（Ⅰ）求证：1AC ∥平面BMD ； （Ⅱ）求点1C 到平面11BDD B 的距离。

20. （本小题满分12分）已知圆M ：22(2)1x y +-=，直线:1l y =-，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切，设动圆圆心P 的轨迹为E 。

（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且16OA OB ⋅=-，求证：直线AB 恒过定点。

21. （本小题满分12分）已知函数2()ln ,()()f x b x g x ax x a R ==-∈。

（Ⅰ）若曲线()f x 与()g x 在公共点A （1，0）处有相同的切线，求实数,a b 的值； （Ⅱ）在第（Ⅰ）的条件下，证明：()()f x g x ≤在(0,)+∞上恒成立；（Ⅲ）若1,2a b e =>，求方程()()f x g x x -=在区间(1,)be 内实根的个数（e 为自然对数的底数）。

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B ，C 两点，D 是圆上一点，且AB ∥CD ，DC 的延长线交PQ 于点Q 。

（Ⅰ）求证：2AC CQ AB =⋅；（Ⅱ）若2,2AQ AP AB BP ===，求QD 。

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 1的极坐标方程为2221sin ρθ=+，直线l 的极坐标方程为ρ=。

（Ⅰ）写出曲线1C 与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。

24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知222,,,1a b c R a b c ∈++=。

（Ⅰ）求证：||a b c =+≤；（Ⅱ）若不等式2|1||1|()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立，求实数x 的取值范围。

参考答案题号12345678910 11 12 答案ADCBBADBADCC 13．22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅+= 14．3 15．3 16．①②④ 17．（Ⅰ）解：当1=n 时，111151,4=+∴=-a S a …2分 又1151,51++=+=+ n n n n a S a S115,n n n a a a ++∴-= ………4分114n n a a +=-即∴数列{}n a 是首项为114=-a ，公比为14=-q 的等比数列， ∴1()4=-n n a ………6分 （Ⅱ）n b nn -=-=)41(log 4， ………8分所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++ ………10分 11111(1)()()22311n n T n n n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥++⎣⎦ ………12分18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 ………3分（Ⅱ）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ，由题意可知，分别抽取3个，2个，1个。

………6分 不妨设第三组抽到的是123,,A A A ；第四组抽到的是12,B B ；第五组抽到的是1C ，所含基本事件总数为：{}{}{}{}{}{}{}12132311121121,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A C A B{}{}{}{}{}2221313231,,,,,,,,,,A B A C A B A B A C {}{}{}121121,,,,,B B B C B C………10分所以31()155P A == ………12分 19．（Ⅰ）证明:连结MO1111////A M MA MO AC AO OC MO BMD AC BMD AC BMD =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面 ………4分（Ⅱ）设过1C 作1C H ⊥平面11BDD B 于H ，11BD AA BD AC BD A AC ⊥⊥⊥,得面于是1BD A O ⊥1111116022cos 60ABCDBAD AO AC AB AA A O AC A O ABCD A AC A O BD ⎫⎫⎫⎪⎪∠=⇒==⎬⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪∠=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⊥⎪⎭ 平面 ………8分又因为平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以点B 到平面1111A B C D 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离13A O = ………10分111111111111132232322B BCD C BB D V V AO C H C H --=⇔⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯⇒= ………12分 20．（Ⅰ）设(,)P x y2(1)18y x y =++⇒= ………4分（Ⅱ）设直线AB ：y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y将直线AB 代入到28x y =中得2880x kx b --=，所以12128,8x x k x x b +==-………6分又因为2221212121281664x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=- 4b ⇒= ………10分所以恒过定点(0,4) ………12分 21． （Ⅰ）''(),()21b f x g x ax x==- 则''(1)(1)01(1)(1)1g f a g f b ===⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩………3分 （Ⅱ）设()2()()()ln 0u x g x f x x x x x =-=-->()()'211()x x u x x+-=………4分令'()01u x x =⇒=x()0,11()1,+∞'()u x-+()u x↓极小↑所以，()()10u x u ≥= 即()()g x f x ≥ ………7分 (Ⅲ)设()2()()()ln (1,)bh x f x g x x b x xx e =--=-∈，2'2()b x h x x-=，令'()0h x x =⇒=>………8分 x⎛ ⎝1b e ⎫⎪⎪⎭'()h x+-()h x↑极大↓所以，原问题()ln 1022b b h x h ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大 ………10分又因为()()()()11,bbbh h eb e b e =-=-+设()xt x e x =-（()2,x e ∈+∞）'()10x t x e =->所以()t x 在()2,e +∞上单调递增，()()(2)00xbt x t e e x h e>>∴>∴<所以有两个交点 ………12分 22． （Ⅰ）2//~AB CD PAB AQCAQC ACB ACB CQAPA O PAB ACB AQ O QAC CBA AC ABAC AB CQ CQ AC⇒∠=∠⎫⎫⇒∠=∠⎬⎪⇒∆∆⇒∠=∠⎬⎭⎪⇒∠=∠⎭⇒=⇒=⋅为圆切线为圆切线 ………5分（Ⅱ）//113622,AB CD BP AP AB AP PC PQ QC QC PC AQ BP AB ⎫⎫⎪⎪⇒===⎬⎪=⇒==⎬⎪⎭⎪⎪==⎭AP 为O切线212AP PB PC QA ⇒=⋅=⇒=又因为AQ 为O切线2AQ QC QD QD ⇒=⋅⇒=………10分 23．（Ⅰ）221:22C x y +=，4l x += ………5分（Ⅱ）设),sin Qθθ，则点Q 到直线l 的距离d ==≥………8分 当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时取等 ………10分24．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，2222222()(111)()3a b c a b c ++≤++++=∴a b c ≤++≤所以a b c ++的取值范围是[ ………5分（Ⅱ）同理，2222222()[111]()3a b c a b c -+≤+-+++=（） ………7分 若不等式2|1|1()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为33(,][,)22-∞-⋃+∞………10分。