各地高考数学模拟考试试卷
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
2024年高考数学仿真模拟(一)含解析(题型同九省联考,共 19 个题)
2024年高考仿真模拟数试题（一） 试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（ ） A ．150B ．120C ．75D ．68A ．672B ．864C ．936D ．1056说法正确的是（ ）（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．10．已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（ ）11．已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2024年高考仿真模拟数试题（一）带答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7A ．150B ．120C ．75D ．68此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ， 又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选D.5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式． A ．672 B ．864 C ．936 D ．1056A ．P 的轨迹为圆B ．P 到原点最短距离为1C ．P 点轨迹是一个菱形D ．点P 的轨迹所围成的图形面积为4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=答案 ABC解析 对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+ ，解得()01f =或()02f =， 若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．O O 当外接球的球心O在线段12 =OO h四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）。
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷含解析
2025届山东省六地市部分学校高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变2．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,33．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．34．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ） A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 5．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC =,则AC =（ ）A ．5B ．5或1C ．5或1D ．57．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3π B ．23π C ．2π D ．π 9．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加 10．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．22312．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024_年普通高等学校招生全国统一考试数学新高考Ⅰ卷模拟试卷
２０２４年普通高等学校招生全国统一考试数学新高考Ⅰ卷模拟试卷李昌成(乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００９４－１０收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:李昌成ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁单选题:本大题共８小题ꎬ共４０.０分.在每小题列出的选项中ꎬ选出符合题目的一项.１.设集合Ｕ＝ＲꎬＡ＝ｘ１<ｘ<３{}ꎬＢ＝ｘｘ<２{}ꎬ则图１中阴影部分表示的集合为(㊀㊀).㊀Ａ.{ｘ｜ｘȡ２}㊀㊀㊀㊀Ｂ.{ｘ｜ｘɤ２}Ｃ.ｘ１<ｘɤ２{}Ｄ.{ｘ｜２ɤｘ<３}图１㊀第１题图２.已知复数ｚ满足２ｚ－ｚ＝１＋３ｉꎬ则ｚｉ＝(㊀㊀).Ａ.－１＋ｉ㊀Ｂ.１－ｉ㊀Ｃ.１＋ｉ㊀Ｄ.－１－ｉ３.正方形ＡＢＣＤ中ꎬＭꎬＮ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ若ＡＣң＝λＡＭң＋μＢＮңꎬ则λ＋μ＝(㊀㊀).Ａ.６５㊀㊀㊀Ｂ.８５㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀㊀Ｄ.８３４.已知三棱台ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬ三棱锥Ａ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积为４ꎬ三棱锥Ａ１－ＡＢＣ的体积为８ꎬ则该三棱台的体积为(㊀㊀).Ａ.１２＋３３㊀㊀㊀Ｂ.１２＋４２Ｃ.１２＋４３Ｄ.１２＋４７５.从装有３个红球㊁２个白球的袋中任取２个球ꎬ则所取的２个球中至少有１个白球的概率是(㊀㊀).Ａ.１１０㊀㊀㊀Ｂ.３１０㊀㊀㊀Ｃ.７１０㊀㊀㊀Ｄ.３５６.已知函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬ－π<φ<０)的部分图象如图２所示ꎬ则下列判断错误的是(㊀㊀).Ａ.函数ｆ(ｘ)的最小正周期为２Ｂ.函数ｆ(ｘ)的值域为[－４ꎬ４]Ｃ.函数ｆ(ｘ)的图象关于点(１０３ꎬ０)中心对称Ｄ.函数ｆ(ｘ)的图象向左平移π３个单位长度后得到ｙ＝Ａｓｉｎωｘ的图象图２㊀第６题图４９７.若ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ则下列结论正确的是(㊀㊀).Ａ.ａｃ<ｂｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ａｌｏｇｂｃ<ｂｌｏｇａｃＣ.ａｂｃ<ｂａｃＤ.ｌｏｇａｃ<ｌｏｇｂｃ８.某四棱锥的底面为正方形ꎬ顶点在底面的射影为正方形中心ꎬ该四棱锥内有一个半径为１的球ꎬ则该四棱锥的表面积的最小值是(㊀㊀).Ａ.１６㊀㊀Ｂ.８㊀㊀Ｃ.３２㊀㊀Ｄ.２４二㊁多选题:本大题共４小题ꎬ共２０.０分.在每小题有多项符合题目要求.９.如图３ꎬ在棱长为１的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬ点Ｐ是线段ＡＤ１上的动点ꎬ则下列命题正确的是(㊀㊀).Ａ.异面直线Ｃ１Ｐ与ＣＢ１所成角的大小为定值Ｂ.三棱锥Ｄ－ＢＰＣ１的体积是定值Ｃ.直线ＣＰ和平面ＡＢＣ１Ｄ１所成的角的大小是定值Ｄ.若点Ｑ是线段ＢＤ上动点ꎬ则直线ＰＱ与Ａ１Ｃ不可能平行图３㊀第９题图１０.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－ｘ＋１ꎬｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ａｘ(ａɪＲ)ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｘ)有两个极值点Ｂ.ｆ(ｘ)的图象与ｘ轴有三个交点Ｃ.点(０ꎬ１)是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心Ｄ.若ｇ(ｘ)存在单调递减区间ꎬ则ａȡ－１１１.已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｙ的焦点为Ｆꎬ准线为ｌꎬＡꎬＢ是Ｃ上的两点ꎬＯ为坐标原点ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｌ的方程为ｙ＝－１Ｂ.若ＡＦ＝３２ꎬ则әＡＯＦ的面积为２４Ｃ.若ＯＡң ＯＢң＝０ꎬ则ＯＡ ＯＢȡ８Ｄ.若øＡＦＢ＝１２０ʎꎬ过ＡＢ的中点Ｄ作ＤＥʅｌ于点Ｅꎬ则ＡＢȡ５ＤＥ１２.设函数ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘꎬｇ(ｘ)＝１２ｘ２ꎬ给定下列命题ꎬ其中正确的是(㊀㊀).Ａ.若方程ｆ(ｘ)＝ｋ有两个不同的实数根ꎬ则ｋɪ(－１ｅꎬ０)Ｂ.若方程ｋｆ(ｘ)＝ｘ２恰好只有一个实数根ꎬ则ｋ<０㊀Ｃ.若ｘ１>ｘ２>０ꎬ总有ｍ[ｇ(ｘ１)－ｇ(ｘ２)]>ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)恒成立ꎬ则ｍȡ１Ｄ.若函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－２ａｇ(ｘ)有两个极值点ꎬ则实数ａɪ(０ꎬ１２)三㊁填空题:本大题共４小题ꎬ共２０.０分１３.(ｘ２－ｘ＋２)５的展开式中ｘ３的系数为.１４.已知圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ＋１＝０ꎬ点Ｐ是直线ｙ＝４上的动点ꎬ过Ｐ作圆的两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢꎬ则ＡＢ的最小值为.１５.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ｍｘꎬ若ｆ(ｅｘ)ȡｆ(ｘ＋１)对ｘɪＲ恒成立ꎬ则实数ｍ的取值范围为.１６.已知椭圆Ｅ:ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬ椭圆的左右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ点Ａ(ｍꎬｎ)为椭圆上一点且ｍ>０ꎬｎ>０ꎬ过Ａ作椭圆Ｅ的切线ｌꎬ分别交ｘ＝２ꎬｘ＝－２于点ＣꎬＤ.连接ＣＦ１ꎬＤＦ２ꎬＣＦ１与ＤＦ２交于点Ｇꎬ并连接ＡＧ.若直线ｌꎬＡＧ的斜率之和为３２ꎬ则点Ａ坐标为.四㊁解答题:本大题共６小题ꎬ共７０.０分.解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤.１７.已知数列ａｎ{}满足ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ａｎ＋２ꎬ数列ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ且Ｓｎ＝２－ｂｎ.(１)求数列ａｎ{}ꎬｂｎ{}的通项公式ꎻ５９(２)设ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎꎬ求数列ｃｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.已知әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣｃ＋ｂ－ａ＝ｓｉｎＣ＋ｓｉｎＡａ－ｂꎬ且ａ＝１３.(１)求әＡＢＣ外接圆的半径ꎻ(２)若ｃ＝３ꎬ求әＡＢＣ的面积.１９.如图４ꎬ直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬＡＡ１＝ＡＢ＝ＡＣ＝１ꎬＥꎬＦ分别是ＣＣ１ꎬＢＣ的中点ꎬＡＥʅＡ１Ｂ１ꎬＤ为棱Ａ１Ｂ１上的点.图４㊀第１９题图(１)证明:ＤＦʅＡＥꎻ(２)是否存在一点Ｄꎬ使得平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ的夹角的余弦值为１４１４若存在ꎬ说明点Ｄ的位置ꎬ若不存在ꎬ说明理由.２０.某剧场的座位数量是固定的ꎬ管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价ｘｉ(单位:元)和上座率ｙｉ(上座人数与总座位数的比值)的数据ꎬ其中ｉ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ并根据统计数据得到如图５的散点图:图５㊀第２０题图(１)由散点图判断ｙ＝ｂｘ＋ａ与ｙ＝ｃｌｎｘ＋ｄ哪个模型能更好地对ｙ与ｘ的关系进行拟合(给出判断即可ꎬ不必说明理由)ꎬ并根据你的判断结果求回归方程ꎻ(２)根据(１)所求的回归方程ꎬ预测票价为多少时ꎬ剧场的门票收入最多.参考数据:ｘ＝２４０ꎬｙ＝０.５ꎬð５ｉ＝１ｘ２ｉ＝３６５０００ꎬð５ｉ＝１ｘｉｙｉ＝４５７.５ꎻ设ｚｉ＝ｌｎｘｉꎬ则ð５ｉ＝１ｚｉʈ２７ꎬð５ｉ＝１ｚ２ｉʈ１４７.４ꎬð５ｉ＝１ｚｉｙｉʈ１２.７ꎻｅ５.２ʈ１８０ꎬｅ５.４ʈ２２０ꎬｅ６.４ʈ６００.参考公式:对于一组数据(ｕ１｜ｖ１)ꎬ(ｕ２｜ｖ２)ꎬ ꎬ(ｕｎ｜ｖｎ)ꎬ其回归直线ｖ︿＝α︿＋β︿ｕ的斜率和截距的最小二乘估计分别为:β＝ðｎｉ＝１ｕｉｖｉ－ｎｕｖðｎｉ＝１ｕ２ｉ－ｎｕ＝ðｎｉ＝１(ｕｉ－ｕ)(ｖｉ－ｖ)ðｎｉ＝１(ｕｉ－ｕ)２ꎬα︿＝ｖ－β︿ｕ.２１.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)经过点Ｐ(４ꎬ２)ꎬ双曲线Ｃ的右焦点Ｆ到其渐近线的距离为２.(１)求双曲线Ｃ的方程ꎻ(２)已知Ｑ(０ꎬ－２)ꎬＤ为ＰＱ的中点ꎬ作ＰＱ的平行线ｌ与双曲线Ｃ交于不同的两点ＡꎬＢꎬ直线ＡＱ与双曲线Ｃ交于另一点Ｍꎬ直线ＢＱ与双曲线Ｃ交于另一点Ｎꎬ证明:ＭꎬＮꎬＤ三点共线.２２.已知函数ｆ(ｘ)＝ａｌｎ(ｘ＋１)－ｓｉｎｘ.(１)若ｙ＝ｆ(ｘ)在[π４ꎬπ２]上单调递减ꎬ求ａ的取值范围ꎻ(２)证明:当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)在(π２ꎬ＋ɕ)上有且仅有一个零点.参考答案１.由Ｖｅｎｎ图可知ꎬ阴影部分的元素由属于集合Ａ但不属于集合Ｂ的元素构成ꎬ所以阴影部分表示的集合为Ａɘ(∁ＵＢ).因为集合Ｕ＝ＲꎬＡ＝{ｘ｜１<ｘ<３}ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ<２}ꎬ所以∁ＵＢ＝{ｘ｜ｘȡ２}.所以Ａɘ(∁ＵＢ)＝{ｘ｜２ɤｘ<３}.所以图中阴影部分表示６９的集合为{ｘ｜２ɤｘ<３}.故选Ｄ.２.设ｚ＝ａ＋ｂｉ(ａꎬｂɪＲ)ꎬ则２ｚ－ｚ－＝２(ａ＋ｂｉ)－(ａ－ｂｉ)＝ａ＋３ｂｉ＝１＋３ｉ.所以ａ＝１ꎬ３ｂ＝３ꎬ{即ａ＝１ꎬｂ＝１.所以ｚ＝１＋ｉ.所以ｚｉ＝１＋ｉｉ＝(１＋ｉ)(－ｉ)ｉ(－ｉ)＝１－ｉ.故选Ｂ.３.以ＡＢꎬＡＤ为坐标轴建立平面直角坐标系ꎬ如图６ꎬ设正方形边长为１ꎬＭꎬＮ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ所以ＡＭң＝(１ꎬ１２)ꎬＢＮң＝(－１２ꎬ１)ꎬＡＣң＝(１ꎬ１).图６㊀第３题解析图因为ＡＣң＝λＡＭң＋μＢＮңꎬ所以λ－１２μ＝１ꎬ１２λ＋μ＝１.ìîíïïïï所以λ＝６５ꎬμ＝２５.所以λ＋μ＝８５.故选Ｂ.４.设ＳәＡＢＣ＝Ｓ１ꎬＳәＡ１Ｂ１Ｃ１＝Ｓ２ꎬ棱台的高为ｈꎬ由已知ꎬ得ＶＡ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝１３Ｓ２ｈ＝４ꎬ得Ｓ２＝１２ｈꎬＶＡ１－ＡＢＣ＝１３Ｓ１ｈ＝８ꎬ则Ｓ１＝２４ｈ.所以三棱台ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积Ｖ＝１３ｈ(Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ１Ｓ２)＝１３ｈ(１２ｈ＋２４ｈ２＋１２ˑ２４ｈ２)＝１２＋４２.故选Ｂ.５.根据题意ꎬ首先分析从５个球中任取２个球ꎬ设３个红球为ａ１ꎬａ２ꎬａ３ꎬꎬ２个白球为ｂ１ꎬｂ２ꎬ所以样本空间Ω＝{ａ１ａ２ꎬａ１ａ３ꎬａ１ｂ１ꎬａ１ｂ２ꎬａ２ａ３ꎬａ２ｂ１ꎬａ２ｂ２ꎬａ３ｂ１ꎬａ３ｂ２ꎬｂ１ｂ２}ꎬ共１０个等可能的样本点.设事件Ａ＝ 所取的２个球中至少有１个白球 ꎬ则事件Ａ＝所取的２个球中没有白球 ꎬＡ＝{ａ１ａ２ꎬａ１ａ３ꎬａ２ａ３}ꎬ则Ｐ(Ａ)＝３１０ꎬＰ(Ａ)＝１－３１０＝７１０.则所取的３个球中至少有１个白球的概率是７１０.故选Ｃ.６.根据题意可得ꎬ１２Ｔ＝４３－１３ꎬ解得Ｔ＝２ꎬ故函数ｆ(ｘ)的最小正周期为２ꎬＡ正确.所以ω＝２πＴ＝π.又因为函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬ－π<φ<０)的图象过点(１３ꎬ０)ꎬ所以Ａｓｉｎ(π３＋φ)＝０ꎬ解得φ＝ｋπ－π３ꎬｋɪＺ.又因为－π<φ<０ꎬ所以φ＝－π３.而函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)的图象过点(０ꎬ－２３)ꎬ所以Ａｓｉｎ(πˑ０－π３)＝－２３ꎬ解得Ａ＝４ꎬ即ｆ(ｘ)的值域为[－４ꎬ４]ꎬ故Ｂ正确.所以ｆ(ｘ)＝４ｓｉｎ(πｘ－π３).令πｘ－π３＝ｋπꎬ解得ｘ＝ｋ＋１３ꎬｋɪＺꎬ其中一个对称中心为(１０３ꎬ０)ꎬＣ正确.所以ｆ(ｘ)的图象向左移１３个单位长度后得到ｙ＝４ｓｉｎπｘꎬＤ错误.故选Ｄ.７.因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ａｃ>ｂｃꎬ故Ａ错误.ａｌｏｇｂｃ＝ａｌｏｇｃｃｌｏｇｃｂ＝ａｌｏｇｃｂꎬ７９ｂｌｏｇａｃ＝ｂｌｏｇｃｃｌｏｇｃａ＝ｂｌｏｇｃａꎬａｌｏｇｃｂ－ｂｌｏｇｃａ＝ｌｏｇｃ(ａａ/ｂｂ)ｌｏｇｃａ ｌｏｇｃｂꎬ因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ａａ>ｂａ>ｂｂ.即ａａｂｂ>１.所以ｌｏｇｃａａｂｂ<０ꎬｌｏｇｃａ<０ꎬｌｏｇｃｂ<０.所以ａｌｏｇｃｂ<ｂｌｏｇｃａ.即ａｌｏｇｂｃ<ｂｌｏｇａｃꎬ故Ｂ正确.ａｂｃｂａｃ＝(ａｂ)１－ｃꎬ因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ａｂ>１ꎬ１－ｃ>０.㊀所以(ａｂ)１－ｃ>(ａｂ)０＝１.所以ａｂｃｂａｃ>１.即ａｂｃ>ｂａｃꎬ故Ｃ错误.因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ｌｏｇａｃ>ｌｏｇｂｃꎬ故Ｄ错误.故选Ｂ.８.因为四棱锥的底面为正方形ꎬ顶点在底面的射影为正方形中心ꎬ所以该四棱锥是正四棱锥ꎬ设正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤꎬ当半径为１的球是正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的内切球时ꎬ该四棱锥的表面积最小ꎬ设正方形ＡＢＣＤ的边长为２ａꎬ设ＡＣɘＢＤ＝Ｏꎬ连接ＰＯꎬ则ＰＯʅ面ＡＢＣＤꎬ所以正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的高为ＰＯꎬ设ＰＯ＝ｈꎬ正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的表面积为Ｓꎬ由Ｖ＝１３ ＳＡＢＣＤ ＰＯ＝１３(４ＳәＰＡＢ＋Ｓ四边形ＡＢＣＤ)ˑ１＝１３Ｓꎬ即为１３ˑ２ａˑ２ａｈ＝１３(４ˑ１２ˑ２ａˑａ２＋ｈ２＋２ａˑ２ａ)ˑ１ꎬ整理可得:ａ(ｈ－１)＝ａ２＋ｈ２.所以ａ２(ｈ－１)２＝ａ２＋ｈ２ꎬ可得ａ２＝ｈ２ｈ２－２ｈ.所以正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ体积为Ｖ＝１３ˑ４ａ２ｈ.则Ｓ＝３Ｖ＝３ˑ１３ˑ４ａ２ˑｈ＝４ａ２ｈ＝４ａ３ｈ２－２ｈ＝４ｈ２ｈ－２(ｈ>２).设ｔ＝ｈ－２>０ꎬ可得ｈ＝ｔ＋２.所以Ｓ＝４(ｔ＋２)２ｔ＝４(ｔ＋４ｔ＋４)ȡ４(２ｔ４ｔ＋４)＝３２ꎬ当且仅当ｔ＝４ｔ即ｔ＝２ꎬｈ＝４时ꎬ等号成立.该四棱锥的表面积最小值是３２.故选Ｃ.９.因为ＣＢ１ʅＢＣ１ꎬＣＢ１ʅＡＢꎬＢＣ１ɘＡＢ＝Ｂꎬ所以ＣＢ１ʅ平面ＡＢＣ１Ｄ１.又Ｃ１Ｐ⊂平面ＡＢＣ１Ｄ１ꎬ得ＣＢ１ʅＣ１Ｐꎬ所以异面直线Ｃ１Ｐ与ＣＢ１垂直ꎬ选项Ａ正确.三棱锥Ｄ－ＢＰＣ１以ＢＤＣ１为底面ꎬ因为ＡＤ１ʊ平面ＢＤＣ１ꎬ所以点Ｐ到平面ＢＤＣ１的距离为定值ꎬ故三棱锥Ｄ－ＢＰＣ１的体积是定值ꎬ选项Ｂ正确.点Ｃ在平面ＡＢＣ１Ｄ１的射影是定点(ＢＣ１与Ｂ１Ｃ的交点)ꎬ线段ＣＰ长度显然随位置变化而变化ꎬ故直线ＣＰ和平面ＡＢＣ１Ｄ１所成的角的正弦在变化ꎬ角的大小不是定值ꎬ选项Ｃ错误.以点Ｄ为原点ꎬＤＡꎬＤＣꎬＤＤ１所在的直线分别为ｘꎬｙꎬｚ轴ꎬ建立如图７所示空间直角坐标系ꎬ则ＣＡ１ң＝(１ꎬ－１ꎬ１)ꎬ点Ｐ坐标取(２３ꎬ０ꎬ１３)ꎬ点Ｑ坐标取(１３ꎬ１３ꎬ０)时ꎬＰＱң＝(－１３ꎬ１３ꎬ－１３)ꎬＰＱ//Ａ１Ｃ成立ꎬ选项Ｄ错误.故选ＡＢ.图７㊀第９题解析图８９１０.已知ｆ(ｘ)＝ｘ３－ｘ＋１ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２－１.由ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ得ｘ<－３３或ｘ>３３ꎻ由ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ得－３３<ｘ<３３ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ－３３)ꎬ(３３ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ在(－３３ꎬ３３)上单调递减.则当ｘ＝－３３时ꎬ函数ｆ(ｘ)取得极大值ꎬ当ｘ＝３３时ꎬ函数ｆ(ｘ)取得极小值ꎬ故Ａ项正确.而ｆ(－３３)＝１＋２３９>０ꎬｆ(３３)＝１－２３９>０ꎬ得函数ｆ(ｘ)的图象与ｘ轴有一个交点ꎬ故Ｂ项错误.㊀令ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２－１＝ｈ(ｘ)ꎬ得ｈᶄ(ｘ)＝６ｘ＝０ꎬ得ｘ＝０ꎬ此时ｆ(０)＝１ꎬ得曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心为(０ꎬ１)ꎬ故Ｃ项正确.由ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ａｘꎬ得ｇᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)－ａ＝３ｘ２－１－ａꎬ若ｇ(ｘ)存在单调递减区间ꎬ即ｇᶄ(ｘ)<０有解ꎬ得ａ>３ｘ２－１有解ꎬ等价于ａ>(３ｘ２－１)ｍｉｎꎬ则ａ>－１ꎬ故Ｄ项错误.故选ＡＣ.１１.Ａ选项:ｌ的方程为ｙ＝－１２ꎬ错误ꎻＢ选项:因为｜ＡＦ｜＝３２ꎬ可得ｙＡ＝１ꎬ｜ｘＡ｜＝２ꎬＳәＡＯＦ＝１２｜ＯＦ｜ ｜ｘＡ｜＝２４ꎬ正确ꎻＣ选项:设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ＯＡң ＯＢң＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０ꎬ即ｘ１ｘ２＝－ｙ１ｙ２ꎬ而ｙ１ｙ２＝(ｘ１ｘ２２)２＝－ｘ１ｘ２ꎬ解得ｘ１ｘ２＝－４ꎬｙ１ｙ２＝４ꎬ(｜ＯＡ｜ ｜ＯＢ｜)２＝(ｘ２１＋ｙ２１)(ｘ２２＋ｙ２２)＝３２＋ｘ２１ｙ２２＋ｘ２２ｙ２１ȡ３２＋２｜ｘ１ｘ２｜ ｜ｙ１ｙ２｜＝６４ꎬ所以｜ＯＡ｜ ｜ＯＢ｜ȡ８ꎬ正确ꎻＤ选项:如图８ꎬ过点Ａ作ＡＡ１ʅｌ于点Ａ１ꎬ过点Ｂ作ＢＢ１ʅｌ于点Ｂ１ꎬ设｜ＡＦ｜＝ａꎬ｜ＢＦ｜＝ｂꎬ所以｜ＤＥ｜＝１２(ａ＋ｂ).因为｜ＡＢ｜２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂ ｃｏｓøＡＦＢ＝ａ２＋ｂ２＋ａｂ＝(ａ＋ｂ)２－ａｂȡ(ａ＋ｂ)２－(ａ＋ｂ２)２＝３ (ａ＋ｂ２)２＝３｜ＤＥ｜２ꎬ所以｜ＡＢ｜ȡ３｜ＤＥ｜ꎬ错误.故选ＢＣ.图８㊀第１１题解析图１２.对于Ａꎬｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ＋ɕ)ꎬｆᶄ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ꎬ令ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ得到ｘ>１ｅꎬ令ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ得到０<ｘ<１ｅ.所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ１ｅ)上单调递减ꎬ在(１ｅꎬ＋ɕ)上单调递增.所以[ｆ(ｘ)]ｍｉｎ＝ｆ(１ｅ)＝－１ｅꎬ且当ｘң０时ꎬｆ(ｘ)ң０.又ｆ(１)＝０ꎬ从而要使方程ｆ(ｘ)＝ｋ有两个不同的实根ꎬ即ｙ＝ｆ(ｘ)与ｙ＝ｋ有两个不同的交点ꎬ所以ｋɪ(－１ｅꎬ０)ꎬ故Ａ正确.对于Ｂꎬ易知ｘ＝１不是该方程的根ꎬ当ｘʂ１时ꎬｆ(ｘ)ʂ０ꎬ方程ｋｆ(ｘ)＝ｘ２有且只有一个实数根ꎬ等价于ｙ＝ｋ和ｙ＝ｘｌｎｘ只有一个交点ꎬｙᶄ＝ｌｎｘ－１(ｌｎｘ)２ꎬ又ｘ>０且ｘʂ１ꎬ令ｙᶄ>０ꎬ有ｘ>ｅꎬ令ｙᶄ<０ꎬ有０<ｘ<１或１<ｘ<ｅꎬ所以函数ｙ＝ｘｌｎｘ在(０ꎬ１)和(１ꎬｅ)单调递减ꎬ在(ｅꎬ＋ɕ)单调递增ꎬｘ＝１是一条渐近线ꎬ极小值为ｅ.由ｙ＝ｘｌｎｘ的大致图象(如图９)可知ｋ<９９０或ｋ＝ｅꎬ故Ｂ错.图９㊀第１２题解析图对于Ｃꎬ当ｘ１>ｘ２>０时ꎬｍ[ｇ(ｘ１)－ｇ(ｘ２)]>ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)恒成立ꎬ等价于ｍｇ(ｘ１)－ｆ(ｘ１)>ｍｇ(ｘ２)－ｆ(ｘ２)恒成立ꎬ即函数ｙ＝ｍｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ所以ｙᶄ＝ｍｇᶄ(ｘ)－ｆᶄ(ｘ)＝ｍｘ－ｌｎｘ－１ȡ０恒成立ꎬ即ｍȡｌｎｘ＋１ｘ在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立.令ｒ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ｘꎬ则ｒᶄ(ｘ)＝－ｌｎｘｘ２.令ｒᶄ(ｘ)>０得０<ｘ<１ꎬ令ｒᶄ(ｘ)<０得ｘ>１ꎬ从而ｒ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递增ꎬ在(１ꎬ＋ɕ)上单调递减ꎬ则ｒ(ｘ)ｍａｘ＝ｒ(１)＝１ꎬ于是ｍȡ１ꎬ故Ｃ正确.对于Ｄꎬ函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－２ａｇ(ｘ)有两个极值点ꎬ即Ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘ－ａｘ２(ｘ>０)有两个不同极值点ꎬ等价于Ｆᶄ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１－２ａｘ＝０有两个不同的正根ꎬ即方程２ａ＝ｌｎｘ＋１ｘ有两个不同的正根ꎬ由Ｃ可知ꎬ０<２ａ<１ꎬ即０<ａ<１２ꎬ则Ｄ正确.故选ＡＣＤ.１３.式子(ｘ２－ｘ＋２)５＝[(ｘ２－ｘ)＋２]５的展开式的通项公式为Ｔｒ＋１＝Ｃｒ５ (ｘ２－ｘ)５－ｒ ２ｒꎬ对于(ｘ２－ｘ)５－ｒꎬ它的通项公式为Ｔｒᶄ＋１＝(－１)ｒᶄ Ｃｒᶄ５－ｒｘ１０－２ｒ－ｒᶄꎬ其中ꎬ０ɤｒᶄɤ５－ｒꎬ０ɤｒɤ５ꎬｒꎬｒᶄ都是自然数.令１０－２ｒ－ｒᶄ＝３ꎬ可得ｒ＝２ꎬｒᶄ＝３{或ｒ＝３ꎬｒᶄ＝１.{故ｘ３项的系数为Ｃ２５２２(－Ｃ３３)＋Ｃ３５２３(－Ｃ１２)＝－２００ꎬ故答案为－２００.１４.圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ＋１＝０ꎬ即(ｘ－２)２＋(ｙ－１)２＝４.图１０㊀第１４题解析图如图１０ꎬ由于ＰＡꎬＰＢ分别切圆Ｃ于点ＡꎬＢꎬ则ＰＡ＝ＰＢꎬＣＡʅＰＡꎬＣＢʅＰＢꎬ所以Ｓ四边形ＡＰＢＣ＝２ＳәＡＣＰ＝ＣＡ ＰＡ.因为ＣＡ＝ＣＢ＝ｒ＝２ꎬ所以Ｓ四边形ＡＰＢＣ＝２ＰＡ.又ＰＣʅＡＢꎬ所以Ｓ四边形ＡＰＢＣ＝１２ＡＢ ＣＰ.所以ＰＡ＝１４ＡＢ ＣＰ.即ＡＢ＝４ＰＡＣＰ＝４１－４ＣＰ２.所以ＡＢ最短时ꎬＣＰ最短ꎬ点Ｃ到直线ｙ＝４的距离即为ＣＰ的最小值ꎬ所以ＣＰｍｉｎ＝３.所以ＡＢ的最小值为４１－４９＝４５３.故答案为４５３.１５.令ｙ＝ｅｘ－(ｘ＋１)ꎬ所以ｙᶄ＝ｅｘ－１.显然当ｘ>０时ꎬｙᶄ>０ꎬ则ｙ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎻ当ｘ<０时ꎬｙᶄ<０ꎬ则ｙ在(－ɕꎬ０)上单调递减.即ｘ＝０时取得最小值ｙｍｉｎ＝０ꎬ故ｅｘȡｘ＋１恒成立.若ｆ(ｅｘ)ȡｆ(ｘ＋１)对ｘɪＲ恒成立ꎬ则ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎬ则ｆᶄ(ｘ)ȡ０恒成立ꎬｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２＋ｍȡ０ꎬｍȡ－３ｘ２ꎬ又(－３ｘ２)ｍａｘ＝０ꎬ故ｍȡ０.故答案为[０ꎬ＋ɕ).１６.设直线ｌ的方程ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ由ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬｘ２４＋ｙ２＝１{得００１(１＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｂｘ＋４ｂ２－４＝０.如图１１ꎬ因为直线ｌ与椭圆Ｅ相切ꎬ所以ә＝(８ｋｂ)２－４(４ｋ２＋１)(４ｂ２－４)＝０ꎬ解得４ｋ２＝ｂ２－１.因为ｍ＝－４ｋｂ１＋４ｋ２ꎬｎ＝ｋｍ＋ｂꎬ所以ｎ＝ｂ１＋４ｋ２.所以ｍｎ＝－４ｋꎬ即ｋ＝－ｍ４ｎꎬｂ＝１ｎ.所以直线ｌ的方程为ｍｘ４＋ｎｙ＝１.图１１㊀第１６题解析图分别令ｘ＝２和ｘ＝－２ꎬ得Ｃ(２ꎬ１ｎ(１－ｍ２))ꎬＤ(－２ꎬ１ｎ(１＋ｍ２))ꎬ所以直线ＤＦ２方程为ｙ＝－(１/ｎ)(１＋ｍ/２)２＋３(ｘ－３)ꎬ直线ＣＦ１方程为ｙ＝(１/ｎ)(１－ｍ/２)２＋３(ｘ＋３).联立得ＤＦ２与ＣＦ１交点Ｇ(３２ｍꎬ(２３－３)ｎ).因为ｋＡＥ＝(２３－４)ｎ３ｍ/２－ｍ＝４ｎｍꎬ所以ｋＡＧ ｋｌ＝４ｎｍ.(－ｍ４ｎ)＝－１.所以由ｋＡＧ ｋｌ＝－１ꎬｋＡＧ＋ｋｌ＝３２ꎬ得ｋｌ＝－ｍ４ｎ＝－１２ꎬｋＡＧ＝２.即ｍ＝２ｎ.又ｍ２４＋ｎ２＝１ꎬ则ｍ＝２ꎬｎ＝２２ꎬ即Ａ(２ꎬ２２).１７.(１)由题知ꎬａ１＝１ꎬａｎ＋１－ａｎ＝２ꎬ所以数列{ａｎ}是首项为１ꎬ公差为２的等差数列.所以ａｎ＝１＋(ｎ－１)ˑ２＝２ｎ－１.当ｎ＝１时ꎬｂ１＝Ｓ１＝２－ｂ１ꎬ所以ｂ１＝１.当ｎȡ２时ꎬＳｎ＝２－ｂｎꎬ①Ｓｎ－１＝２－ｂｎ－１.②由①－②ꎬ得ｂｎ＝－ｂｎ＋ｂｎ－１.即ｂｎｂｎ－１＝１２(ｎȡ２).所以数列{ｂｎ}是首项为１ꎬ公比为１２的等比数列ꎬ故ｂｎ＝(１２)ｎ－１.(２)由(１)知ꎬｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ＝２ｎ－１＋(１２)ｎ－１.利用分组求和可得ꎬＴｎ＝ｎ(１＋２ｎ－１)２＋１－(１/２)ｎ１－１/２＝ｎ２＋２－(１２)ｎ－１.１８.(１)依题意ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)ｓｉｎＣ＋ｓｉｎＡ＝ｃ＋ｂ－ａａ－ｂ.即ｂｃ＋ａ＝ｃ＋ｂ－ａａ－ｂ＝ｃａ－ｂ－１.整理ꎬ得ｂ２＋ｃ２－ａ２＝－ｂｃ.所以ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝－１２.因为０<Ａ<πꎬ所以Ａ＝２π３.故所求外接圆半径ｒ＝ａ２ｓｉｎＡ＝１３３＝３９３.(２)因为ａ＝１３ꎬｃ＝３ꎬＡ＝２π３ꎬ所以由余弦定理ꎬ得１３＝ｂ２＋９－２ˑ３ˑｂˑｃｏｓ２π３.解得ｂ＝１或ｂ＝－４(舍).则ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ˑ１ˑ３ˑ３２＝３３４.１９.(１)因为ＡＥʅＡ１Ｂ１ꎬＡ１Ｂ１ʊＡＢꎬ１０１所以ＡＥʅＡＢ.又因为ＡＡ１ʅ平面ＡＢＣꎬＡＢ⊂平面ＡＢＣꎬ所以ＡＡ１ʅＡＢ.又ＡＡ１ɘＡＥ＝ＡꎬＡＡ１ꎬＡＥ⊂平面Ａ１ＡＣＣ１ꎬ所以ＡＢʅ平面Ａ１ＡＣＣ１.图１２㊀第１９题解析图又因为ＡＣ⊂平面Ａ１ＡＣＣ１ꎬ所以ＡＢʅＡＣ.所以ＡＢꎬＡＣꎬＡＡ１两两垂直.以Ａ为原点建立如图１２所示的空间直角坐标系Ａ－ｘｙｚꎬ则有Ａ(０ꎬ０ꎬ０)ꎬＥ(０ꎬ１ꎬ１２)ꎬＦ(１２ꎬ１２ꎬ０)ꎬＡ１(０ꎬ０ꎬ１)ꎬＢ１(１ꎬ０ꎬ１)ꎬ设Ｄ(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬＡ１Ｄң＝λＡ１Ｂ１ңꎬ且λɪ[０ꎬ１]ꎬ即(ｘꎬｙꎬｚ－１)＝λ(１ꎬ０ꎬ０).则Ｄ(λꎬ０ꎬ１)ꎬＤＦң＝(１２－λꎬ１２ꎬ－１).因为ＡＥң＝(０ꎬ１ꎬ１２)ꎬ所以ＤＦң ＡＥң＝０.所以ＤＦʅＡＥ.(２)存在一点Ｄ且Ｄ为Ａ１Ｂ１的中点ꎬ使平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为１４１４.理由如下:由题可知面ＡＢＣ的法向量ｍ＝(０ꎬ０ꎬ１)ꎬ设面ＤＥＦ的法向量为ｎ＝(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ则ｎ ＦＥң＝０ꎬｎ ＤＦң＝０.{则－ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ꎬ(１－２λ)ｘ＋ｙ－２ｚ＝０.{令ｘ＝３ꎬ则ｙ＝１＋２λꎬｚ＝２(１－λ).则ｎ＝(３ꎬ１＋２λꎬ２(１－λ)).因为平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为１４１４ꎬ所以｜ｃｏｓ<ｍꎬｎ>｜＝｜ｍ ｎ｜ｍ｜ ｜ｎ｜｜＝１４１４.即｜２(１－λ)｜９＋(１＋２λ)２＋４(１－λ)２＝１４１４.解得λ＝１２或λ＝７４(舍).所以当Ｄ为Ａ１Ｂ１中点时满足要求.２０.(１)ｙ＝ｃｌｎｘ＋ｄ能更好地对ｙ与ｘ的关系进行拟合.设ｚ＝ｌｎｘꎬ先求ｙ关于ｚ的线性回归方程.由已知得ｚ＝１５ð５ｉ＝１ｚｉʈ２７５＝５.４ꎬ所以ｃ＝ð５ｉ＝１ｚｉｙｉ－５ｚｙð５ｉ＝１ｚ２ｉ－５ｚ２ʈ１２.７－５ˑ５.４ˑ０.５１４７.４－５ˑ５.４２＝１２.７－１３.５１４７.４－１４５.８＝－０.８１.６＝－０.５ꎬｄ＝ｙ－ｃｚ＝０.５－(－０.５)ˑ５.４＝３.２ꎬ所以ｙ关于ｚ的线性回归方程为ｙ＝－０.５ｚ＋３.２.所以ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ＝－０.５ｌｎｘ＋３.２.(２)设该剧场的总座位数为Ｍꎬ由题意得门票收入为Ｍ(－０.５ｘｌｎｘ＋３.２ｘ)ꎬ设函数ｆ(ｘ)＝－０.５ｘｌｎｘ＋３.２ｘꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝－０.５ｌｎｘ＋２.７ꎬ当ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ即ｘ>ｅ５.４时ꎬ函数单调递减ꎬ当ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ即０<ｘ<ｅ５.４时ꎬ函数单调递增ꎬ所以ｆ(ｘ)在ｘ＝ｅ５.４ʈ２２０处取最大值.故预测票价为２２０元时ꎬ剧场的门票收入最多.２１.(１)因为双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ所以双曲线Ｃ的右焦点Ｆ到其渐近线的距离为ｂｃａ２＋ｂ２＝ｂ＝２.因为双曲线Ｃ经过点Ｐ(４ꎬ２)ꎬ所以１６ａ２－４２２＝１ꎬ解得ａ２＝８.故双曲线Ｃ的方程为ｘ２８－ｙ２４＝１.(２)因为Ｐ(４ꎬ２)ꎬＱ(０ꎬ－２)ꎬＤ为ＰＱ的中点ꎬ所以Ｄ(２ꎬ０)ꎬｋＰＱ＝１.设直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ＋ｍꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＭ(ｘＭꎬｙＭ)ꎬＮ(ｘＮꎬｙＮ)ꎬ２０１所以ｋＡＱ＝ｙ１＋２ｘ１ꎬｋＢＱ＝ｙ２＋２ｘ２.直线ＡＱ的方程为ｙ＝ｙ１＋２ｘ１ｘ－２ꎬ直线ＢＱ的方程为ｙ＝ｙ２＋２ｘ２ｘ－２.联立ｙ＝ｙ１＋２ｘ１ｘ－２ꎬｘ２８－ｙ２４＝１ꎬìîíïïïï可得[１－２(ｙ１＋２)２ｘ２１]ｘ２＋８(ｙ１＋２)ｘ１ｘ－１６＝０.所以ｘ１＋ｘＭ＝－８(ｙ１＋２)/ｘ１１－２(ｙ１＋２)２/ｘ２１＝－８ｘ１(ｙ１＋２)ｘ１２－２(ｙ１＋２)２.又因为ｘ２１８－ｙ２１４＝１ꎬ所以ｘ１＋ｘＭ＝ｘ１＋２ｘ１ｙ１.则ｘＭ＝２ｘ１ｙ１ꎬｙＭ＝ｙ１＋２ｘ１ｘＭ－２＝４ｙ１.同理可得ｘＮ＝２ｘ２ｙ２ꎬｙＮ＝４ｙ２.ｋＭＮ＝４/ｙ１－４/ｙ２２ｘ１/ｙ１－２ｘ２/ｙ２＝２ˑｙ２－ｙ１ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝２ˑｘ２－ｘ１ｘ１(ｘ２＋ｍ)－ｘ２(ｘ１＋ｍ)＝－２ｍꎬｋＭＤ＝４/ｙ１－０２ｘ１/ｙ１－２＝２ｘ１－ｙ１＝－２ｍꎬ所以ｋＭＮ＝ｋＭＤ.故ＭꎬＮꎬＤ三点共线.２２.(１)由题意得:函数定义域为(－１ꎬ＋ɕ).ｆᶄ(ｘ)＝ａｘ＋１－ｃｏｓｘ.若ｆ(ｘ)在[π４ꎬπ２]上单调递减ꎬ则ｆᶄ(ｘ)ɤ０在[π４ꎬπ２]上恒成立.所以ａɤ(ｘ＋１)ｃｏｓｘ在[π４ꎬπ２]上恒成立.令ｇ(ｘ)＝(ｘ＋１)ｃｏｓｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ－(ｘ＋１)ｓｉｎｘ.当ｘɪ[π４ꎬπ２)时ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ[１－(ｘ＋１) ｔａｎｘ].因为当ｘɪ[π４ꎬπ２)时ꎬｃｏｓｘ>０ꎬｘ＋１>１ꎬｔａｎｘ>１ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)<０.所以ｇ(ｘ)在[π４ꎬπ２)上单调递减ꎬ所以当ｘɪ[π４ꎬπ２]时ꎬｇ(ｘ)ȡｇ(π２)＝(π２＋１)ｃｏｓπ２＝０.所以ａɤ[ｇ(ｘ)]ｍｉｎ＝０.即ａ的取值范围为(－ɕꎬ０].(２)当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋１)－ｓｉｎｘꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋１－ｃｏｓｘ.当ｘ>ｅ－１时ꎬｌｎ(ｘ＋１)>ｌｎｅ＝１ȡｓｉｎｘꎬ所以ｆ(ｘ)>０在(ｅ－１ꎬ＋ɕ)上恒成立.所以只需证ｆ(ｘ)在(π２ꎬｅ－１]上有且仅有一个零点.因为ｅ－１<πꎬ所以当ｘɪ(π２ꎬｅ－１]时ꎬｃｏｓｘ<０ꎬ１ｘ＋１>０.所以ｆᶄ(ｘ)>０在(π２ꎬｅ－１]上恒成立.所以ｆ(ｘ)在(π２ꎬｅ－１]上单调递增.又ｆ(π２)＝ｌｎ(π２＋１)－ｓｉｎπ２＝ｌｎ(π２＋１)－１<０ꎬｆ(ｅ－１)＝１－ｓｉｎ(ｅ－１)>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在(π２ꎬｅ－１]上有且仅有一个零点.即ｆ(ｘ)在(π２ꎬ＋ɕ)上有且仅有一个零点.[责任编辑:李㊀璟]３０１。
备战2024年高考数学模拟卷(新高考Ⅰ卷专用)含解析
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）黄金卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要A．51 62 a b+C．51 63 a b+【答案】CA ．242B ．24【答案】B【详解】如图所示，在正四棱锥P ABCD -连接OP ，则底面边长32AB =，对角线又5BP =，故高224OP BP BO =-=故该正四棱锥体积为()21323V =⨯⨯故选：B5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果可以表示为两个素数的和身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于将APQ △翻折后，PQ A Q '⊥，PQ BQ ⊥，又平面平面A PQ ' 平面BCPQ PQ =，A Q '⊂平面A PQ '，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q '⊥平面显然A P '，BP 的中点D ，E 分别为A PQ ' ，四边形BCPQ 则DO ⊥平面A PQ '，EO ⊥平面BCPQ ，因此//DO BQ 取PQ 的中点F ，连接,DF FE 则有////EF BQ DO ，DF 四边形EFDO 为矩形，设A Q x '=且023x <<，DO 设球O 的半径R ，有22223324A P R DO x x '⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭当23x =时，()22R =，所以球O 表面积的最小值为故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
A ．正方体11ABCD A B C -B ．两条异面直线1D C 和C ．直线BC 与平面ABC D ．点D 到面1ACD 的距离为【答案】BC【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定的角的大小即为直线1D C 和进而求得直线BC 与平面ABC 判定D 错误.【详解】对于A 中，正方体所以内切球的半径12R =，所以对于B 中，如图所示，连接因为11//AB C D 且11AB C D =所以异面直线1D C 和1BC 所成的角的大小即为直线又因为112AC AD D C ===对于C 中，如图所示，连接B 因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C 又因为1AB BC B =I ，AB ⊂所以1B C ⊥平面11ABC D ，所以直线所以C 正确；对于D 中，如图所示，设点D 所以111πsin 23ACD S AC AD =⨯⨯V 又因为12ACD S AD CD =⨯⨯=V 即111133ACD ACD S h S DD ⨯⨯=⨯⨯ 故选：BC.10．已知函数321()3f x x x =-A ．()f x 为奇函数C ．()f x 在[1,)-+∞上单调递增【答案】BC【分析】根据奇函数的定义判断12．已知函数()f x 及其导函数f 则（）A ．(1)(4)f f -=B ．g ⎛- ⎝【答案】ABD【分析】由题意分析得到()f x 关于直线【详解】因为3(2)2f x -为偶函数，所以所以()f x 关于直线32x =对称，令因为33()()22f x f x -=+，所以f '所以()()21g x g x +=--，因为所以()()21g x g x -=--，即(g 则()g x 的一个周期为2.因为(f x 所以33022g f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭，所以g 因为()()1g x g x +=-，所以(2g 设()()h x f x c =+（c 为常数），定义域为3322h x f x c ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又f ⎛ ⎝显然()()h x f x c =+也满足题设，即()f x 上下平移均满足题设，显然()0f 的值不确定，故C 错误.故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届河南省部分名校高三下学期高考仿真模拟考试数学试卷
2024届河南省部分名校高三下学期高考仿真模拟考试数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 若复数，则（）A．1B．C．D．(★★) 3. 在矩形中，，，则矩形的面积为（）A．5B．10C．20D．25(★★) 4. 6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有（）A．240种B．192种C．144种D．96种(★★★) 5. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，的平分线交边AC于点D，且，则（）A．B．C．6D．(★★) 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与的上、下底面及侧面均相切，则的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若，是关于x的方程在内的两个不同的根，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数，，若函数没有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 下列命题正确的是（）A．已知变量，的线性回归方程，且，则B．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11C．已知随机变量最大，则的取值为3或4D．已知随机变量，则(★★★) 10. 下列函数中，最小值为1的是（）A．B．C．D．(★★★★) 11. 在平面直角坐标系xOy中，为曲线上任意一点，则（）A．E与曲线有4个公共点B．P点不可能在圆外C．满足且的点P有5个D．P到x轴的最大距离为三、填空题(★★★) 12. 已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为 ______ ．(★★★) 13. 已知P，Q是抛物线上的两个动点，，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4，若直线PQ与直线平行，则直线PQ与之间的距离等于 ______ ．(★★★) 14. 如图，在平行四边形中，，，且交于点，现沿折痕将折起，直至折起后的，此时的面积为 ______ ．四、解答题(★★★) 15. 甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为，乙打出8环、9环、10环的概率分别为，且甲、乙两人射击的结果相互独立．(1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率；(2)若进行三场比赛，其中场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望．(★★★)16. 如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.(1)证明：；(2)若，点满足，求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 17. 已知数列的前n项和为，，，(1)求；(2)若，求数列的前1012项和．(★★★★) 18. 已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为M，N，点是E上一点，且直线PM，PN的斜率之积为．(1)求的值；(2)过F且斜率为1的直线l交E于A，B两点，O为坐标原点，C为E上一点，满足，的面积为，求E的方程．(★★★★) 19. 已知函数．(1)若对恒成立，求的取值范围；(2)当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，求的取值范围，并证明：．。
2024届山东省联合模拟考试数学试题(解析版)
2024年全国普通高考模拟考试数学试题2024．5注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A.3B.3.5C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的求法计算即可.【详解】易知730% 2.1⨯=，则该组数据的第三个数4为第30百分位数.故选：C2.已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =+≤≤()0a >，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A.()0,2024 B.(]0,2024 C.()0,2023 D.(]0,2023【答案】B 【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，则集合B 中最小元素a 应在集合A 中，即可得到a 的取值范围.【详解】由题意A B ⋂≠∅，再由0a >，所以集合B 中最小元素a 应在集合A 中，所以02024a <≤，即a 的取值范围是(]0,2024.故选：B.3.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线=3y -的距离为5，则PF =（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知()0,1F ，抛物线的准线为1y =-，而PF 与P 到准线的距离相等，所以()()5133PF =----=.故选：C4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120B.72C.64D.48【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为2334A 62A 127=⨯=.故选：B5.已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b - ，则a 与b 的夹角为（）A.60° B.120°C.135°D.150°【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可.【详解】易知a 在b上的投影向量为cos ,55cos ,88a b a b a b a b b b ⋅=-⇒=- ，而51cos ,82b a b a =-⋅=-，所以a 与b 的夹角为120 .故选：B6.已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.内含【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求a 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆M ：2220x y ay ++=⇒()222x y a a ++=，所以圆心()0,M a -，半径为a .==，且0a >，所以112a =.又圆N 的圆心()2,2N -，半径为：1.所以2MN ==，912a -=.由922<，所以两圆内含.故选：D7.已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则23a a +可能取的值是（）A.2-B.3- C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据题意，令12cos a θ=，42sin a θ=，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.【详解】设12cos a θ=，42sin a θ=，则1243π)4a a a a θ=+++=，所以23[a a ∈+-，故选：A.8.已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A.12B.2C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【详解】由题意化简()11cos 4sin(4)22121f x x x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭11sin(42)sin 2(21)2121x x x x πππ=-+=-+--，21y x =-与()f x 图象有交点，则1sin 2(21)2121x x x π-+=--有实根，令21t x =-，则12t x +=，则化为1sin 2t t t π+=，即1sin 2t t tπ=-的所有实根之和，即()sin 2g t t π=与1()h t t t =-所有交点横坐标之和，显然()g t 是周期为1的奇函数，()h t 为奇函数且在(0,)+∞上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,t t t t t t ，它们的和为0，则12345612345616322t t t t t tx x x x x x ++++++++++=⨯+=，故选：D .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知1z ，2z 为复数，则（）A.1212z z z z +=+ B.若12z z =，则2121z z z =C.若11z =，则12z -的最小值为2 D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =【答案】BD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；设()1i,,R z a b a b =+∈，由复数的几何意义计算模长判断C ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断D.【详解】对于A ，若121i,1i =+=-z z ，则121i 1i 2z z +=++-=，121i 1i z z +=++-=1212z z z z +≠+，故A 错误；对于B ，设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z z =，故B 正确；对于C ，设()1i,,R z a b a b =+∈，因为11z =，所以221a b +=，所以()1i 22a b z =-+===-，因为11a -≤≤，所以1549a ≤-≤，所以12z -的最小值为1，故C 错误；对于D ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故D 正确.故选：BD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.()15P A =B.()1|3P B C =C.事件A 与B 是互斥事件D.事件B 与C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件,,A B C 的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以()2326C 31C 155P A ===；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以()2326C 3411C 155P B =-=-=；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以()2326C 22C 5P C =⨯=；A B +表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以()1P A B +=；BC 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以()2326C 1C 5P BC ==.因为()()()|P BC P B C P C =12=，故B 错误；因为()()()P A B P A P B +=+，所以,A B 互斥，故C 正确；因为()()()P BC P B P C ≠⋅，所以,B C 不独立，故D 错误.故选：AC11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，过C 的右焦点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，1F AB 的内切圆分别切直线1F A ，1F B ，AB 于点P ，Q ，M ，内切圆的圆心为I，半径为，则（）A.CB.切点M 与右焦点2F 重合C.11F BI F AI ABI S S S +-=△△△D.17cos 9AF B ∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据渐近线方程求出2a =，得到离心率；B 选项，由双曲线定义和切线长定理得到22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，得到切点M 与右焦点2F 重合；C 选项，根据双曲线定义和1F AB 的内切圆的半径得到11F BI F AI ABI S S S +-=△△△；D 选项，作出辅助线，得到112tan 4PI AF I PF ∠==，利用万能公式得到答案.【详解】A 选项，由题意得112a =，解得2a =，故离心率c e a ===A 正确；B 选项，11,,AP AM F P FQ QB BM ===，由双曲线定义可得1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，两式相减得1122AF BF AF BF -=-，即22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，故切点M 与右焦点2F 重合，B 正确；C 选项，1F AB 的内切圆的半径为2r =故()111111111122222F BI F AI ABI S S S F A r F B r AB r F A F B AB +-=+-=+- ()11112424222F A AM F B BM a =-+-=⨯=C 错误；D 选项，连接1F I ，则1F I 平分1AF B ∠，其中111224F P AF AP AF AF a =-=-==，故112tan 4PI AF I PF ∠==，所以2221111212112c i os cos co s s c s n s s in o in AF I AF IAF I AF I AF I AF IAF B ∠-∠∠-=∠=+∠∠∠2212212141tan 71tan 9214AF I AF I ⎛⎫-⎪-∠⎝⎭===+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M 与右焦点2F 重合，从而推理得到四个选项的正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为10，则=a ___________．【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.【详解】易知二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()5152155C C rr rr rr r T x a x a x ---+=⋅=⋅，显然1r =时，115C 102a a =⇒=.故答案为：213.若函数()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为___________．【答案】π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化简，再判断1sin 02ϕ+≠，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出ϕ.【详解】因为()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭ππcos cos sin sin sin coscos sin 33x x x x ϕϕ=+++1cos cos sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若1sin 02ϕ+=，则cos 2ϕ=±，所以()0f x =或()f x x =，显然不满足()f x 的最大值为2，所以1sin 02ϕ+≠，则()()f x x θ=+，（其中3cos 2tan 1sin 2ϕθϕ+=+），依题意可得2213sin cos 422ϕϕ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即sin 2ϕϕ+=，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.故答案为：π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）14.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2AB =，AF =，若PA PE ⊥，当四面体PAQE 体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________．【答案】222-或84352362+-【解析】【分析】先确定P 点的轨迹，确定四面体P AQE -体积最大时，P ，Q 点的位置，再利用体积法求内切球半径.【详解】如图：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BE ⊂平面ABEF ，且BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD .AP ⊂平面ABCD ，所以BE AP ⊥，又⊥PE AP ，,PE BE ⊂平面PBE ，所以AP ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以AP PB ⊥.又P 在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹是如图所示的以AB 为直径的半圆，作PH AB ⊥于H ，则PH 是三棱锥P AQE -的高.所以当AQE 的面积和PH 都取得最大值时，四面体PAQE 的体积最大.此时Q 点应该与B 或F 重合，P 为正方形ABCD 的中心.如图：当Q 点与B 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 1PEQ S = ，1PAQ S = ，APE V 中，因为AP PE ⊥，2AP =，2PE =，所以2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：2222222r ==+.如图：当Q 点与F 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 3PEQ S = ，1PAQ S = ，2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：22231r =++84352362+--=.综上可知，当四面体PAQE 的体积最大时，其内切球半径为：222-或84352362+-.故答案为：222或84352362+-【点睛】关键点点睛：根据PA PE ⊥得到P 点在以AE 为直径的球面上，又P 点在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹就是球面与平面ABCD 的交线上，即以AB 为直径的半圆上.明确P 点轨迹是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()1ln f x x kx =-．（1）若曲线()f x 在e x =处的切线与直线y x =垂直，求k 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1k =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合题意有，()()e ln e 1f k ='-=-，即可求解k 值；（2）对函数求导，分0k >和0k <两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.【小问1详解】因为()()1ln f x x kx =-，0k ≠，所以()()ln f x kx =-'，曲线()f x 在e x =处的切线与y x =垂直，所以()()e ln e 1f k ='-=-，得1k =；【小问2详解】由()()1ln f x x kx =-得()()ln f x kx =-'，当0k >时，()f x 的定义域为()0,∞+，令()0f x '=得1x k=，当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 的定义域为(),0∞-，令()0f x '=得1x k=当1,x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,0x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0k >时，()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点．（1）证明：111C D B E ⊥；（2）若1124BC B C ==，1B E =，求直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接1EC ，可得1AB C E ⊥，由已知得11AB B C ⊥，所以得AB ⊥平面11B C E ，可得11C D ⊥平面11B C E ，则可得111C D B E ⊥；（2）以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出1BC的坐标及平面11CDD C 的一个法向量n的坐标，由1BC 和n夹角的余弦值的绝对值即为直线1BC 与平面11CDD C 所成角正弦值，由向量夹角的余弦公式算出，再算出直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值.【小问1详解】连接1EC ，因为1ABC 为等边三角形，所以1AB C E ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AB BC⊥在四棱台1111ABCD A B C D -中，11//BC B C ，所以11AB B C ⊥，又1111111,,B C C E C B C C E ⋂=⊂平面11B C E ，所以AB ⊥平面11B C E ，因为11//AB C D ，所以11C D ⊥平面11B C E ，因为1B E ⊂平面11B C E ，所以111C D B E ⊥；.【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，所以4AB BC ==，所以1C E =因为1B E =，112B C =，所以2221111C B B E C E +=，所以111B E B C ⊥，又由（1）111C D B E ⊥，且11111C D B C C = ，1111,C D B C ⊂平面1111D C B A ，所以1B E ⊥平面1111D C B A ，即1B E ⊥平面ABCD ，取CD 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，以EB ，EF，1EB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0B ，()2,4,0C，(10,2,C ，()2,4,0D -，所以(12,2,BC =-，(12,2,CC =-- ，()4,0,0CD =-，设(),,n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，所以100n CC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22040x y x ⎧-+-+=⎪⎨=⎪⎩，得()n = ，直线1BC 与平面11CDD C所成角正弦值为113BC n BC n⋅==⋅，则直线1BC 与平面11CDD C3=.17.已知数列{}n a 满足12a =，1nn n a a d q +-=⋅，*n ∈N ．（1）若1q =，{}n a 为递增数列，且2，5a ，73a +成等比数列，求d ；（2）若1d =，12q =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）12d =（2）()1171332nnn a --=+⋅【解析】【分析】（1）利用数列{}n a 为单调递增数列，得到1n n a a d +-=，再根据2，5a ，73a +成等比数列，得到28230d d +-=，即可求出的值.（2）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得212221n n n n a a a a +--<-．可得()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭；由数列{}2n a 是递减数列得出2120n n a a +-<，可得()1112n n n naa ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】因为12a =，且{}n a 为递增数列，所以1n n a a d +-=，所以{}n a 为等差数列，因为2，5a ，73a +成等比数列，所以()()2114263a d a d +=++，整理得28230d d +-=，得12d =，34d =-，因为{}n a 为递增数列，所以12d =.【小问2详解】由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．②又①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，④由③，④即知，()1112n n n na a ++--=，于是()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- ()1211111112221222212n nn --⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+-++=++ ()1171332nn --=+⋅，故数列{}n a 的通项公式为()1171332nnn a --=+⋅．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）数列{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质即可；（2）根据数列{}21n a -是递增数列得，21210n n a a +-->，数列{}2n a 是递减数列得，2120n n a a +-<，综合数列{}21n a -和{}2n a 即可得()1112n n n naa ++--=，最后利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左焦点为F ，点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且以AB为直径的圆经过点F ．（1）求C 的方程；（2）过点()5,0G -的直线l 交C 于D ，E 两点，线段DE 上存在点M 满足DM GE DG EM ⋅=⋅，过G与l 垂直的直线交y 轴于点N ，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）221189x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆中,,a b c 的关系，求出,,a b c 的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线l ：()5y k x =+，再设()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，把直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出12x x +，12x x ，并用,,120x x x 表示条件DM GE DG EM ⋅=⋅，整理得0x 为定值；再结合弦长公式表示出GM ，利用两点间的距离公式求GN ，表示出GMN 的面积，利用基本（均值）不等式求最值.【小问1详解】由题意知()0,A b ，(),0F c -，因为点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2221619b a b+=⇒218a =，由以AB 为直径的圆经过点F ，知0FA FB ⋅= ，得22403b c c -+=①，又222b c a +=②，由①②得3c =，3b =，所以C 的方程为：221189x y +=.【小问2详解】如图：由题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()5y k x =+，且()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，将()5y k x =+代入221189x y +=，整理可得()2222122050180kxk x k +++-=，()()()2222Δ2041250180kk k =-+->，解得77k -<<，由根与系数的关系可得21222012k x x k +=-+，2122501812k x x k -=+，根据DM GE DG EM = ，得01120255x x x x x x -+=-+，解得()22221212021225018202525121218201051012k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫-+-⎪++++⎝⎭===-++-++，设与直线l 垂直的直线方程为()15y x k=-+，令0x =，则5y k =-，即50,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故GN ==，()1855GM =--=，记GMN 面积为S ，则12S GM GN =⨯==7272==，当且仅当1k =±时取等号，所以GMN 面积的最小值为7．【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.19.设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n n i M a a a a a i n i =∈≤≤∈N L，从集合n M 中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）求3M 中(),2d A B =的点对的个数；（2）从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）【答案】（1）12对（2）①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk kk D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【小问1详解】当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.【小问2详解】①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n nn n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯⨯+⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且1C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n n n n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
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各地高考数学模拟考试试卷
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)＝P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k
次的概率：P n (k)＝C n k P k (1－P)n －k
球的表面积公式：S ＝4πR 2(其中R 表示球的半径)
球的体积公式：V 球＝43
πR 3(其中R 表示球的半径) 第I 卷(选择题共40分)
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项
中,选出符合题目要求的一项.
1、在复平面内，复数 21i
+ 对应的点与原点的距离是( ) A. 1
B. C.2
D.
2、在△ABC 中，若 BC a CA b AB c === ，，且 a b b c c a == , 则△ABC
的形状是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
3、函数=)(x f 1log +x a (0<a<1)的图像大致为下图的( )
A
B
C D
x
4、 “0=a ”是“函数),0()(2+∞+=在区间ax x x f 上是增函数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5、已知圆()2212x y +-=上任一点P (),x y ，其坐标均使得不等式x y m ++≥0恒成立，
则实数m 的取值范围是( )
A.[)1,+∞
B.(],1-∞
C.[)3,-+∞
D.(],3-∞-
6、已知函数()f x 的定义域是R ，且()2
x k k p p ? Z ，函数()f x 满足()()f x f x p =+，当(, )22x p p ?时，()2s i n f x x x =+, 设(1),a f =-， (2), (3)b f c f =-=-则 ( )
A. c b a <<
B. b c a <<
C. a c b <<
D. c a b <<
7、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 ( )
A 10种
B 20种
C 30种
D 60种
8、椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则|
|||OH FA 的最大值为 ( ) A ．21 B ．31 C ．41 D ．1
9、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是
( )
10、设a ∈R ，函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数 . 若曲线
()y f x =的一条切线的斜率是32
，则切点的横坐标为( ) A. ln 22- B.ln 2- C.ln 22
D. ln 2
11、设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i ＋ j 被4除的余数 , ,0,1,2,3,4,5i j =.则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
12、已知双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为
A B C D ．第II 卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13、若 2313lim 23x x ax x →++=+，则
a ＝______________.若()()23*12311,n n x a x a x a x x n +=+++++∈N ，且12:1:3a a =，则=n __________.
14、已知A B C ，，三点在球心为O ，半径为3的球面上，且几何体O ABC -为正四面体，
那么A B ，两点的球面距离为__________；点O 到平面ABC 的距离为__________ .
15、在正项等比数列}{n a 中，a 3a 7＝4，则数列{n a 2log }的前9项之和为 .
16、设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点(3,0)处(允许重复过此点)，则质点不同的运动方法共有___________种(用数字作答)；若经过m 次跳动质点落在点(n ,0)处(允许重复过此点)，其中m n ≥，且m n -为偶数，则质点不同的运动方法共有_______种.
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过
程.
17、 (本小题满分12分)
已知x R ∈，向量2(cos ,1),3sin 2)OA a x OB a x a ==
- ，()f x OA OB =⋅ ，
0a ≠. (Ⅰ)求函数)(x f 解析式，并求当a >0时，)(x f 的单调递增区间；
(Ⅱ)当]2,0[π
∈x 时,)(x f 的最大值为5，求a 的值.
18、 (本小题满分12分)盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分 . 现从盒内任取3个球.
(Ⅰ)求取出的3个球颜色互不相同的概率；
(Ⅱ)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
(Ⅲ)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望.
19、 (本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，
AB ＝BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角.
(I)求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；
(II)求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；
(III)求二面角B —B 1C —A 的大小.
20、(本小题满分12分)
已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数)，且a 1＝1，a 3＝4.
(I)求λ的值；
(II)求数列}{n a 的通项公式a n ；
(III)设数列}{n na 的前n 项和为T n ，试比较2
n T 与S n 的大小.
21、 (本小题共12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1, 0)、B (1, 0), 动点C 满足
条件：△ABC 的周长为2+ 记动点C 的轨迹为曲线W .
(Ⅰ)求W 的方程；
(Ⅱ)经过点(0, 且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ， 求k 的取值范围；
(Ⅲ)已知点M )，N (0, 1)，在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与MN 共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.
22、 (本小题共14分)
一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”．
(I)判断()1f x =，()2f x x =，()23f x x =中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
(II)如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三
角形函数”；
(III)若函数()sin F x x =，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值．
(可以利用公式sin sin 2sin
cos 22
x y x y x y +-+=) 23.(本小题满分14分)
已知函数].1,1[,)(3-∈-=x cx ax x f (I)若a ＝4，c ＝3，求证：对任意]1,1[-∈x ，恒有1|)(|≤x f ；
(II)若对任意]1,1[-∈x ，恒有1|)(|≤x f ，求证：|a |≤4.
24. (本题满分14分)
根据定义在集合A 上的函数y ＝)(x f ，构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据A x ∈0，计算出)(01x f x =；
②若A x ∉0，则数列发生器结束工作；
若A x ∈0，则输出1x ，并将1x 反馈回输入端，再计算出)(12x f x =。
并依此规律继续下去。
现在有{}10<<=x x A ，x m mx x f -+=1)(()
*∈N m 。
(1)求证：对任意A x ∈0，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{}n x ；
(2)若210=x ，记n n x a 1=()
*∈N n ，求数列{}n a 的通项公式； (3)在(2)的条件下，证明
3141≤<m x ()
*∈N m 。