2019届湖北省武汉市部分市级示范高中高三12月联考数学(理科)试题(解析版)

2019届武汉市部分市级示范高中高三12月联考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则（）A. 4B. -4C. 0D.【答案】D【解析】【分析】先化简，然后根据复数为纯虚数，得到实部为零，虚部不为零，由此求得的值【详解】复数为纯虚数，故，解得，故选.【点睛】本小题主要考查复数的平方运算，考查纯虚数的概念.属于基础题. 纯虚数是实部为零，虚部不为零的复数.2.设集合,,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。

3.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，且，可得，故4.设等差数列的公差，，若是与的等比中项，则（）A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】利用等比中项的性质列方程，并转化为的形式，解方程可求得的值.【详解】由于是与的等比中项，所以，故，将代入，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查利用基本元的思想求等差数列基本量的问题.属于基础题.5.由，，及轴所围成的平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出三个函数的图像，求出它们交点的坐标，利用定积分计算图形的面积.【详解】画出图像如下图所示，由图可知，所围成的平面图形的面积.故选D.【点睛】本小题主要考查利用定积分来计算曲边图形的面积，考查了数形结合的数学思想方法.属于基础题.6.下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】利用特殊值对四个选项逐一进行排除，从而得到正确选项.【详解】对于A选项，当时，不成立，故A选项错误.当时，，故B选项错误. 当时，，故C选项错误，故选项正确.所以选D.【点睛】本小题主要考查不等式的基本性质，由于题目是选择题，故采用特殊值举反例的方法，对选项进行排除.属于基础题.不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不改变.两边同时乘以零，那么两边都变为令.两边同时乘以负数，不等号要改变方向.同向不等式可以相加，不能相减.7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面与底面垂直，过作，垂足为，底面底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积故选D．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键．8.函数（为自然对数的底数）的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题解析：函数为偶函数，图象关于轴对称，排除B、D，若时，，当，当时，，，，则，函数在上为减函数，选A.考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象.9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】开始，输入，则，判断，否，循环，，则，判断，否，循环，则，判断，否，循环，则，判断，是，输出，结束.故选择C.10.设双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，即，故双曲线的渐近线方程为．由题意得，整理得，∴．选B．点睛：求双曲线的离心率时，将条件中给出的提供的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．11.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A：则，故A错；对于B：则，故B错；对于C：则，故C错；对于D：=，又，所以，所以，即，成立，D对；故选D12.已知函数的定义域为，对任意，有，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：取，则原不等式可化为．考点：函数与不等式．【方法点晴】本题主要考查函数的图像与不等式，涉及从一般到特殊思想、数形结合思想、函数与不等式思想和转化思想，考查逻辑推理能力、转化能力和计算能力，具有一定的综合性，属于较难题型．首先利用从一般到特殊思想取，进而利用转化思想将原不等式转化为，进而化简为，可化为，解得．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，向量与向量的夹角为，则__________．【答案】7【解析】由题可得：14.已知满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为__________．【答案】或【解析】由题可知若取得最大值的最优解不唯一则必平行于可行域的某一边界，如图：要Z最大则直线与y轴的截距最大即可，当a<0时，则平行AC直线即可故a=-2，当a>0时，则直线平行AB即可，故a=1点睛：线性规划为常考题型，解决此题务必要理解最优解个数为无数个时的条件是什么，然后根据几何关系求解即可15.已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于点，则的值是__________．【答案】1【解析】设 ,则 ,由与联立方程消得 ,因此16.已知四面体，，，，，则该四面体外接球的半径为__________．【答案】【解析】如图，设的外心是，作平面，则是中心，再作，则，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，因为，所以在中，由勾股定理可得，即，解之得，所以，应填答案。

点睛：解答本题的关键是确定三棱锥的外接球的球心与半径及如何利用题设条件探求。

求解时先依据题设中的数据，画出三棱锥的几何直观图形，再通过构造直角三角形求解，从而使得问题获解。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用降次公式和辅助角公式，将化简为的形式，然后利用正弦函数的单调增区间求得的单调增区间.（2）利用（1）画出函数在区间的图像，平移的图像与有两个交点，由此求得的取值范围.【详解】解：（1）令∴∴函数的单调递增区间为.（2）方程移项得：，方程有两解等价于函数与函数有两个交点，画出两函数在区间的图像如下：∴.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换的公式中的降次公式、辅助角公式等，还考查了三角函数单调性的求法，以及三角函数在给定区间上的图像问题.属于中档题.辅助角公式是三角恒等变换中的重要公式，它的作用在于将同角的但不同名的三角函数，合并成的形式.18.函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（1）求函数的解折式；（2）在中，角满足，且其外接圆的半径，求的面积的最大值．【答案】（1）sin（2）【解析】(1)由图知＝4，解得ω＝2.∵f＝sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)．由－<φ<，得φ＝，∴f(x)＝sin，∴f＝sin＝sin，即函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝sin.(2)∵2sin2＝g＋1，∴1－cos(A＋B)＝1＋sin，∵cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos 2C，于是上式变为cos C＝cos 2C，即cos C＝2cos2C－1，整理得2cos2C－cos C－1＝0，解得cos C＝－或1(舍)，∴C＝π.由正弦定理得＝2R＝4，解得c＝2，于是由余弦定理得cos C＝－＝，∴a2＋b2＝12－ab≥2ab，∴ab≤4(当且仅当a＝b时等号成立)，∴S△ABC＝ab sin C＝ab≤.∴△ABC的面积的最大值为.19.已知正项数列满足，数列的前项和满足．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）,.（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，利用前n项和与通项公式的关系可得的通项公式为.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列的前项和.试题解析：（1）因为，所以，，因为，所以，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知，所以.20.如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，交于点，设中点为，连接，，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，再证明平面，从而可得平面，进而可得平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果试题解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，即．因为平面，平面，所以．因为是菱形，所以．因为，所以平面．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解法：因为直线与平面所成角为，所以，所以．所以，故△为等边三角形．设的中点为，连接，则．以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．则，，，，，，．设平面的法向量为，则即则所以．设平面的法向量为，则即令则所以．设二面角的大小为，由于为钝角，所以．所以二面角的余弦值为．【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.椭圆：经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据点坐标得到的值，根据离心率得到的值，结合，可求得的值，从而求得椭圆方程.（2）写出直线的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，然后计算直线和直线点的斜率之和，化简后可得定值为.【详解】解：（1）由题设知：，，结合，解得，所以椭圆的方程为.（2）由题设知：直线的方程为，代入，得：，由已知，设，，则，，从而直线的斜率之和为.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系.椭圆方程有两个参数，故需要两个条件就可以求解出来.求解时要注意题目是否给定椭圆焦点在哪个坐标轴上.直线和椭圆的位置关系，要熟练掌握将直线方程代入椭圆方程，化简后写出韦达定理这一个步骤.22.已知函数，.（1）求函数的极值；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）对函数求导得到，讨论和0和1 的大小关系，在不同情况下求得导函数的正负即得到原函数的单调性，根据极值的概念得到结果；（2）设，构造以上函数，研究函数的单调性，求得函数的最值，使得最小值大于等于0即可.解析：（Ⅰ），，∵的定义域为.①即时，在上递减，在上递增，，无极大值.②即时，在和上递增，在上递减，，.③即时，在上递增，没有极值.④即时，在和上递增，在上递减，∴，.综上可知：时，，无极大值；时，，；时，没有极值；时，，.（Ⅱ）设，，设，则，，，∴在上递增，∴的值域为，①当时，，为上的增函数，∴，适合条件.②当时，∵，∴不适合条件.③当时，对于，，令，，存在，使得时，，∴在上单调递减，∴，即在时，，∴不适合条件.综上，的取值范围为.点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.。