人教版数学八年级下册《菱形的性质》培优训练(含答案)
人教版八年级数学下册 18.2.2.1菱形的性质 同步练习(包含答案)
人教版八年级数学下册18.2.2.1 菱形的性质同步练习一、选择题（共10小题，3*10=30）1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm3. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是()A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．BD＝DC D．AD＝BD4. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是()A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 35. 如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′. 当CA′的长度最小时，CQ的长为()A．5 B．7 C．8 D. 106.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为()A．4B．4.8 C．2.4D．3.27. 已知菱形的周长为4 5 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )A ．2 B. 5 C ．3 D ．48. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝4，BD ＝16，将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C 重合时，点A 与点B′之间的距离为( )A ．6B ．8C ．10D ．129. 如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( )A ．245B ．125C ．5D ．410．如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE ＝1，AF ＝2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋FP 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 菱形的两条对角线长分别是5和12，则此菱形的边长是_______，面积是_______．12．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AB ＝7 cm ，则周长是________cm.13. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠ABC ＝110°，则∠BAD ＝________°， ∠ABD ＝________°，∠BCA ＝________°.14．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为_______．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为________．16．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为_______．17. 如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于________.18. 如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD 的周长为________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，已知菱形的周长为40 cm，两邻角度数之比为1∶2.(1)求菱形的两条对角线的长；(2)求菱形的面积．20．(6分) 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.21．(6分) 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE，若∠E＝50°，求∠BAO的大小．22．(6分) 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF.23．(6分) 如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.24．(8分) 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，∠DAC＝30°，BD＝12(1)求∠ABC的度数；(2)求菱形ABCD的面积．25．(8分) 在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．参考答案1-5DABBB 6-10 DDCAC11. 6.5，3012. 2813. 70，55，3514. 24 15. 2 316. 1217．4518．2419. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，两邻角度数之比为1∶2， ∴∠ABC=∠BAC=60°又∵菱形的周长为40 cm ，AC ＝AB=10 cm ，BD ＝2BO=2×AB 2-AO 2 =2×102-52 =10 3 cm(2)S 菱形＝12BD·AC ＝50 3 cm 2 20. 解：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠DOC ＝90°，∴四边形OCED 是矩形，∴OE ＝CD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝BC ，∴OE ＝BC21. 解：菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∵BE ＝AB ，∴BC ＝BE ，∴∠BCE ＝∠E ＝50°，∴∠CBE ＝180°－50°×2＝80°，∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝∠CBE ＝80°，∴∠BAO ＝12×80°＝40°. 22. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∵点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，∴AD ＝2DF ，CD ＝2DE ，∴DE ＝DF ，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，∴△ADE ≌△CDF(SAS)．23. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC ， ∴∠BPA ＝∠DAE ，∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE ，∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BPA ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE ， ∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA)(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF ，∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF24. 解：(1)∵菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠DAC ＝30°， ∴∠BAD ＝2∠DAC ＝60°，∵AD ∥BC ，∴∠ABC ＝180°－60°＝120°；(2)∵菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，BD ＝12，∴AC ⊥BD ，DO ＝12BD ＝6， 又∵∠DAC ＝30°，∴AD ＝2DO ＝12，∴Rt △AOD 中，AO ＝122－62＝63，∴AC ＝2AO ＝123，∴菱形ABCD 的面积＝12×AC×BD ＝12×12×123＝72 3. 25. 解：(1)连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∵∠AEF ＝60°，∴∠FEC ＝90°－60°＝30°，∵∠C ＝180°－∠B ＝120°，∠C ＋∠EFC ＋∠FEC ＝180°， ∴∠EFC ＝30°，∴∠FEC ＝∠EFC ，∴CE ＝CF ，∵BC ＝CD ，∴BC －CE ＝CD －CF ，即BE ＝DF(2)连接AC ，由(1)得△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ， ∵∠BAE ＋∠EAC ＝60°，∠EAF ＝∠CAF ＋∠EAC ＝60°，∴∠BAE ＝∠CAF ，∵四边形ABCD 是菱形，∠B ＝60°，∴∠ACF ＝12∠BCD ＝∠B ＝60°， ∴△ABE ≌△ACF(ASA)，∴AE ＝AF ， 又∵∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形。
新人教版初中数学八年级下册菱形的性质练习题及答案-精品试卷
《菱形的性质》练习一、选择——基础知识运用1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD的中点，则下列式子中不一定成立的是（）A．BC=2OE B．CD=2OE C．CE=OE D．OC=OE2．菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为4和2，若直线l满足：①点A到直线l的距离为 ；②B、D两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，F、F为垂足，AE=ED，则∠EBF等于（）A．75°B．60°C．50°D．45°4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，过A作AE ⊥BC，垂足为E，则AE的长是（）A．24 B．36 C．48 D．4.85．在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（）A．120°B．100°C．80°D．60°6．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1）B．（3，-1） C．（1，-3） D．（1，3）二、解答——知识提高运用7．菱形ABCD的周长为20，面积为24，则较长的对角线的长度为。
8．如图，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，△AEF 的三边长和菱形边长相等，求∠BAD的大小。
9．如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，DE=CE，AE⊥CD，沿对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。
10．如图所示，菱形ABCD的周长为32cm，菱形的相邻两内角之比为1：2，求菱形的面积。
11．菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，质点P从点A出发沿着AB-BD-DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC-CB-BD作匀速运动。
18.2.3 菱形的性质 人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册18.2.3 菱形的性质同步练习夯实基础篇一、单选题：1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等【答案】D【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．2．菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据菱形的面积公式即可求解．【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为和，∴面积为故选：A．【点睛】本题主要考查菱形的面积，解题的关键是熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半．3．已知菱形，，，则菱形的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】过点作于点，根据题意求得，进而可得，勾股定理求得，根据菱形的面积公式进行计算即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，∵四边形是菱形，∴，，∴，则，∴，∴菱形的面积为（cm2）．故选D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握菱形的面积计算方法是解题的关键．4．菱形的周长为，两个相邻的内角度数之比为，则较短的对角线长度是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，所以x+2x=180°，所以x=60°，画出其图形，根据含30度角的直角三角形的性质，可以得到其中较短的对角线的长．【详解】解：如图所示：∵菱形的周长为24cm，∴菱形的边长为6cm，AC⊥BD，∠ABC+∠BCD=180°，∵两邻角之比为1：2，∴较小角60°，∴∠ABO=30°，AB=6cm，∴最短边为AC，AO=AB=3cm，∴AC=2AO=6cm．故选：A．【点睛】此题主要考查菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质，理解菱形的性质是解题的关键．5．如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据坐标意义，点A坐标与垂线段有关，过点A向x轴垂线段AE，求得OE、AE的长即可知点A 坐标．【详解】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO=90°，∵，∠AEO=90°∴，∴∵菱形的边长为2即AO=2，∠AEO=90°，∴，即解得：．∴点A坐标为，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质，等角对等边，勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键．6．如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ）A．4B．4.5C．5D．5.5【答案】B【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE 的大小为（ ）A．21B．65C．42D．56【答案】B【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可．【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．故选：B．【点睛】此题考查求角的度数，解题的关键是熟记菱形的性质并能应用．8．如图，菱形的周长为，对角线、相交于点O，，垂足为E，，则为（）A．B．C．D．4cm【答案】B【分析】根据菱形的性质和周长，求出边长，利用勾股定理，分别求出利用等积法求出即可．【详解】解：∵菱形的周长为，∴，∵，垂足为E，，∴，∴，∴，∵，即：，∴；故选B．【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．二、填空题：9．如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBA＝50°，则∠ACB＝_____．【答案】25°##25度【分析】由线段垂直平分线的性质可得AF＝BF，由等腰三角形的性质可得∠FAB＝∠FBA＝50°，由菱形的性质可得∠BAC＝∠BAD＝25°，AB＝BC，即可求解．【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FAB＝∠FBA＝50°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD＝25°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．10．如图，在荾形中，对角线，分别为和，于点，则______．【答案】【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】解：如图，设与的交点为O，∵四边形是菱形，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．11．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______．【答案】48【分析】由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面积，故答案为：48．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．12．如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则______°．【答案】40【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CBF，可得∠BAF=∠BCF，由平行线的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF=∠BCF，∵∠AED=40°，AD∥BC，∴∠AED=∠BAF，∴∠BCF=40°，故答案为：40．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．13.如图，在菱形中，，垂足为点．与交于点，连接．若，则的大小为______．【答案】【分析】根据菱形的性质，得出，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据菱形的性质，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，进而即可得出结果．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，即．故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．三、解答题：14．已知：如图，菱形花坛ABCD的边长为10m，∠BCD＝120°，沿对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．【答案】两条小路的长分别为10（m），10m；花坛的面积为（）【分析】直接利用菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而得出AO，BO的长，即可得出答案；利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．【详解】解：∵菱形花坛ABCD的边长为10m，∠BCD＝120°，∴AB＝BC＝DC＝AD＝10m，＝，∴△ABC是等边三角形，，∴AC＝10m，设交于点，∴AO＝5m，∴BO＝（m），则BD＝10m，AC＝10m；花坛的面积为：×10×10（）＝（），答：两条小路的长分别为10m，10m；花坛的面积为（）．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确掌握菱形对角线的关系以及对角线与面积的关系是解题关键．15．如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小．【答案】120°【分析】根据DE垂直平分BC，可得，根据菱形的性质可得，即为等边三角形，则，则问题得解．【详解】解：在菱形ABCD中，有，且，∵DE垂直平分BC，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，即∠ABC的度数为120°．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行的性质等知识，证明是等边三角形是解答本题的关键．16．如图，菱形，、分别是，上的点，，，求的度数．【答案】【分析】连接,根据菱形的性质，可知为等边三角形，，，从而可得，进而可得【详解】连接，∵四边形是菱形，∴为等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∵，且，∴【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键17．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD＝5，求：(1)∠BAC的度数；(2)AC的长．【答案】(1)∠BAC＝30°；(2)AC＝．【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AC平分∠BAD，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAD＝60°，从而得到∠BAC的度数；（2）根据菱形的性质得到OA＝OC，BO＝OD＝，BD⊥AC，利用勾股定理求出OA，从而得到AC的长．（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，AC平分∠BAD，∵AB＝BD＝5，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠BAC＝30°；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC，BO＝OD＝BD＝，BD⊥AC，在Rt△AOB中，OA＝，∴AC＝2OA＝．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．18．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于H，连接．(1)求证：．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先根据菱形的性质得，则利用得到，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质证明结论；（2）先根据菱形的性质得，，，再根据勾股定理计算出，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形的面积即可得出结论．【详解】（1）∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵四边形是菱形，∴，，，∴，，在中，，∴∴∴∴．【点睛】本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角），解决（1）小题的关键是判断为直角三角形斜边上的中线．能力提升篇一、单选题：1．如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，（ ）A．15°B．30°C．40°D．50°【答案】B【分析】连接，利用判定，从而得到，根据已知可得出的度数，从而得的度数．【详解】如图，连接，∵四边形是菱形，∴，，在和中，∵，∴∴∵垂直平分，，∴∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，菱形的性质，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，利用判定是关键．2．如图，在菱形ABCD中，对角线，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动和过程中，的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，可得此时EP+FP的值最小，最小值为NF，再由菱形的性质证得四边形ANFB是平行四边形，然后根据勾股定理求出AB，即可求解．【详解】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，∴PN=PE，∴PE+PF=PN+PF，∴此时EP+FP的值最小，最小值为NF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，，∵E为AB的中点，∴N在AD上，且N为AD的中点，∵，∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，∴AN=CF，∴，∴AP=CP，即P为AC中点，∵O为AC中点，∴P、O重合，即NF过O点，∵，AN=BF，∴四边形ANFB是平行四边形，∴NF=AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=3，BO=BD=4，由勾股定理得：AB=5，即NF=5，∴的最小值是5．故选：C【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题：3．已知，在菱形中，，对角线和相交于点O，在上取点P，连接，若，则的度数为______．【答案】或【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可．【详解】解：∵在菱形中，，对角线和相交于点O，∴互相垂直平分，∵，∴，当点如下图点所在位置时：∵，∴，∴；当点如下图点所在位置时：∵，∴，∴；综上：的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论．4．如图，菱形的周长为20，面积为24，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______【答案】【分析】首先利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：连接，如图，∵菱形ABCD的周长为20，∴，∴，∴，而，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角．也考查了三角形的面积公式．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是对角线AC上一个动点，点F是边AB上一个动点，连接EF，EB，则的最小值为______．【答案】【分析】连接DE、DF；当D、E、F在同一直线上且DF AB时，最短．【详解】解：连接DE、DF．∵四边形ABCD是菱形，∴DE=BE，∴EB+EF=ED+EF，当D、E、F在同一直线上且DF AB时，最短，∵AB=4，，，∴，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用菱形的性质、直角三角形的性质是解决本题的关键．三、解答题：6．如图，已知菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上．(1)求点的坐标；(2)如图，对角线，相交于点，求，的长及点的坐标．【答案】(1)(2)，，．【分析】（1）根据菱形的性质得，在中，由勾股定理得，，从而得出点C 的坐标（2）利用勾股定理分别求出和的长，再利用中点坐标公式可得点的坐标．【详解】（1），的坐标分别为，，，，四边形是菱形，∴，在中，由勾股定理得，，∴；（2）在中，由勾股定理得，，∵，，四边形是菱形，∴G为AC的中点．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7．在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、．(1)如图1，当是线段的中点时，和的数量关系是__________．(2)如图2，当点不是线段的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)BE=EF(2)成立，证明见解析【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA=60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论；（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°，然后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°．∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE．∵CF=AE，∴CE=CF，∴，∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF．故答案为：BE=EF；（2）结论成立，证明如下：如图，过点E作EG∥BC交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°．又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°．又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°．∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF．又∵CF=AE，∴GE=CF．即在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，综合性强，较难．熟练掌握上述知识并正确的作出辅助线是解题关键．。
人教版八年级数学下册 18.2.2.2菱形的判定 培优训练(含答案)
人教版八年级数学下册18.2.2.2 菱形的判定培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列命题中，正确的是( )A．有一个角是60°的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形2．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝13，AC＝24，DB＝10，则四边形ABCD是() A．一般的平行四边形B．长方形C．菱形D．形状不能确定3. 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③4. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有()C．AC＝BD D．∠1＝∠26. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD7. 如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是() A．AF＝EF B．AB＝EFC．AE＝AF D．AF＝BE8. 四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是( )A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为()A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm10. 如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG; ④FH＝14BD.其中正确的结论是()二．填空题（共8小题，3*8=24）11.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．12. 如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，则四边形OCED 的形状是_________．13. 如图,在长方形ABCD中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG 为等腰直角三角形,则EF的长为_________．14. 如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为_________．15．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是__________(填序号)．16. 把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，17. 如图,把长方形纸片ABCD折叠,使其对角顶点C与A重合.若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折痕EF的长度为_________．18. 在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB=5，AE=4，则线段CE的长为．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2 cm，求平行四边形ABCD的周长为.20．(6分) 如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是菱形；21．(6分) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE∥AC、DF∥AB，分别交AB、AC于点E、F.求证：四边形AEDF是菱形．22．(6分) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形．23．(6分) 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．24．(8分) 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．25．(8分) 如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.求证：(1)∠ABE＝30°；(2)四边形BFB′E为菱形．参考答案1-5DCACC 6-10 CCCAC11. AB=AD或AC⊥BD12. 菱形13.10 214.315. ①③⑤16. 6017.2 518. 2或819. 解：如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝DC，四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8.20. 证明：连接BD，交AC于O.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形；21. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠EDA＝∠BAD，∴四边形AEDF 是菱形．22. 证明：(方法不唯一)由折叠性质知：AE ＝DE ，AF ＝DF ， ∴∠DAE ＝∠EDA ，∠ADF ＝∠FAD ， ∵∠DAE ＝∠FAD ，∴∠DAE ＝∠ADF ，∠DAF ＝∠EDA ， ∴DF ∥AE ，DE ∥AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵AE ＝DE ，∴四边形AEDF 是菱形23. (1)证明：∵在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，BD ＝8，∴AO ＝12AC＝3，BO ＝12BD ＝4，∵AB ＝5，且32＋42＝52， ∴AO 2＋BO 2＝AB 2，∴△AOB 是直角三角形，且∠AOB ＝90°， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形． (2)解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ＝AB ＝5，∵S △ABC ＝12AC·BO ＝12BC·AH ，∴12×6×4＝12×5×AH ，解得：AH ＝245.24. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝90°， AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，AB ＝CD ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF(HL)(2)解：当AC ⊥EF 时，四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF ， ∵BC ＝AD ，∴CE ＝AF ， ∵CE ∥AF ，∴四边形AECF 是平行四边形， 又∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°，∴∠ABE＝30°(2)∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE＝B′E，BF＝B′F.∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠FEB′＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BFB′E为菱形。
八年级数学下册 菱形的性质与判定 提高练习(含答案)
菱形的性质与判定提高练习一、选择题：1.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形2.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )A.14B.15C.16D.173.如图,将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD、BD,则下列结论:①AD=BC;②BD、AC互相平分;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.34.下列命题中错误的是( )A.平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直C.同旁内角互补D.矩形的对角线相等5..如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若EF=,BD=2,则菱形ABCD的面积为( )A.22B.422C.6D.826.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( )A.10B.8C.6D.57.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°8.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;第三步,连接DE、DF,则可以得到四边形AEDF的形状( )A.仅仅只是平行四边形B.是矩形C.是菱形D.无法判断9.已知▱ABCD,给出下列条件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使▱ABCD成为菱形的条件是( )A.①③B.②③C.③④D.①②③10.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )A.4B.2.4C.4.8D.511.平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0),B(0,2),C(3,0),D(0,-2),则四边形ABCD是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形12.已知菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,∠BAD=120°,AC=4,则该菱形的面积是( )A.163B.16C.83D.813.如图,已知矩形ABCD中,AB=8 cm,AD=10 cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH的面积等于________cm2.14.如图,在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则这个菱形的边长为________.15.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).16.如图,已知矩形ABCD的对角线长为8 cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH的周长等于________cm.17.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长为________.18.如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.19.在图中所示的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点),若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则该菱形的面积为________.20.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为________.三、解答题：21.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.(1)求证:四边形BFCE是平行四边形;(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,则当BE=______时,四边形BFCE是菱形.22.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.求证:四边形ADCF是菱形.23.如图，已知在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.(1)求证:△ABM≌△DCM;(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;(3)当AD：AB=__________时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明).24.(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1 图225.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD 的中点时,有AF=DE,AF⊥DE成立.试探究下列问题:(1)如图17①,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)(2)如图17②,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)如图17③,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.参考答案1.答案为：D ；2.答案为：C ；3.答案为：D ；4.答案为：C ；5.答案为：A ；6.答案为：D ；7.答案为：D ；解析：画出所剪的图形示意图如图.8.答案为：C ；10.答案为：C ；11.答案为：B ；12.答案为：C ；13.答案为：4014.答案为：5;15.答案为：C ；B=BF 或BE ⊥CF 或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)16.答案为：16.17.答案为：24；18.答案为：83cm 2;43cm ；19.答案为：12；20.答案为：23-2解析：当等腰△PBC 以∠PBC 为顶角时,点P 在以B 为圆心,BC 为半径的圆弧AC 上.连接AC 、BD 相交于点O.若使PD 最短,则点P 在如图所示的位置处.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,∠ABO=21∠ABC=30°,∴AO=21AB=1, ∴BO=3,∴BD=2BO=23,∵PB=BC=2,∴PD=BD-PB=23-2.当等腰△PBC 以∠PCB 为顶角时,易知点P 与点D 重合(不合题意,舍去)或点P 与点A 重合,则PD=2.当等腰△PBC 以BC 为底边时,如图,作BC 的垂直平分线交BC 于点E,易知该直线过点A,则点P 在线段AE 上(不含点E).当P 与A 重合时,PD 最短,此时PD=2.∵2-2<2,∴PD 的最小值是2-2.21.(1)证明:∵AB=DC,∴AB+BC=DC+BC,∴AC=DB.在△AEC 和△DFB 中,AC=DB,∠A=∠D,AE=DF ∴△AEC ≌△DFB(SAS), ∴EC=BF,∠ACE=∠DBF.∴EC ∥BF,∴四边形BFCE 是平行四边形.(2)4.当四边形BFCE 是菱形时,BE=CE,∵AD=10,AB=CD=3,∴BC=10-3-3=4,∵∠EBD=60°,∴BE=BC=4,∴当BE=4时,四边形BFCE 是菱形.22.证明：∵AF ∥BC,∴∠EAF=∠ECD,∠EFA=∠EDC,又∵E 是AC 的中点,∴AE=CE,∴△AEF ≌△CED.∴AF=CD,又AF ∥CD,∴四边形ADCF 是平行四边形.∵AC=2AB,E 为AC 的中点,∴AE=AB,由已知得∠EAD=∠BAD,又AD=AD,∴△AED ≌△ABD.∴∠AED=∠B=90°,即DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形.23.解：(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=DC,∠A=∠D=90°. ∵M 为AD 的中点,∴AM=DM.在△ABM 和△DCM 中,AM=DM,∠A=∠D,AB=CD ∴△ABM ≌△DCM(SAS).(2)四边形MENF 是菱形.∵N 、E 、F 分别是BC 、BM 、CM 的中点,∴NE ∥CM,NE=21CM,MF=21CM,∴NE=FM,∴四边形MENF 是平行四边形. ∵△ABM ≌△DCM,∴BM=CM. ∵E 、F 分别是BM 、CM 的中点,∴ME=21BM,MF=21MC,∴ME=MF, ∴平行四边形MENF 是菱形.(3)2:1.24.解：(1)C.(2)①证明:∵AD=BC=5,S ▱ABCD =15,AE ⊥BC,∴AE=3.如图,∵EF=4,∴在Rt △AEF 中,AF=5.∴AF=AD=5.又△AEF 经平移得到△DE'F',∴AF ∥DF',AF=DF',∴四边形AFF'D 是平行四边形.又AF=AD,∴四边形AFF'D 是菱形.②如图,连接AF',DF.在Rt △DE'F 中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,∴DF=10.在Rt △AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,∴AF'=310. ∴四边形AFF'D 的两条对角线长分别为10,310.25解：(1)成立.(2)成立.理由:∵四边形ABCD 为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°. 在△ADF 和△DCE 中,DF=CE,∠ADC=∠BCD,AD=CD ∴△ADF ≌△DCE(SAS), ∴AF=DE,∠DAF=∠CDE.∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,即AF ⊥DE.(3)四边形MNPQ 是正方形.理由:如图,设MQ 交AF 于点O,PQ 交DE 于点H,∵点M,N,P,Q 分别为AE,EF,FD,AD 的中点,∴MQ=PN=21DE,PQ=MN=21AF,MQ ∥DE ∥PN,PQ ∥AF ∥MN, ∴四边形GHQO 是平行四边形,∵AF=DE,∴MQ=PQ=PN=MN,∴四边形MNPQ 是菱形.∵AF ⊥DE,∴∠AGD=90°,∴∠HQO=∠AOQ=∠AGD=90°,∴四边形MNPQ 是正方形.。
八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)
八年级数学下册《菱形》练习题(附含答案)一、单选题1．下列属于菱形具有的性质是（）A．对角线相等B．邻角相等C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：13．已知某菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形的面积为（）A．28cm2cm B．26cm D．24cm C．24．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（）A．BA＝BC B．AC＝BDC．AB∥CD D．AC、BD互相平分5．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．对角线相等的四边形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝8cm，则OH的长为（）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm7．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，∠ABC=70°，Ev 是线段AO 上一点，则BEC ∠的度数可能是（ ）A ．100︒B ．70︒C ．50︒D ．20︒8．如图，在菱形ABCD 中，70ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 中点，则COE ∠的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．35°9．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，120ADC ∠=︒，过点O 的直线与AD ，BC 分别交于点E ，F ，若四边形BEDF 是矩形，则∠DOE 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°10．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）．A ．48B ．24C ．12D ．6二、填空题11．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=10，BD=24，则菱形ABCD 的周长为_____．12．菱形一条对角线长为12cm ，周长为40cm ，则菱形的面积为_________平方厘米13．如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点，O 经过点A ，B ，C ，若O 的半径为2，OD=4，则BC 的长为______．14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，DE AB ⊥于点E ，连接OE ，若2BAD α∠=，则DEO ∠为______(用含α的代数式表示)．15．如图，点,,,E F G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点，下列结论：①EH EF =；②当AB=CD ，EG 平分HGF ∠；③当AB CD ⊥时，四边形EFGH 是矩形；其中正确的结论序号是_____________．三、解答题16．如图，在ABC 中，B D ∠=∠．请用尺规作图法，在ABC 外求作一点C ，使得四边形ABCD 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由．18．图①、图②都是由边长为1的小菱形构成6×6的网格，每个小菱形的顶点称为格点．请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图（1）在图①中，画出一个矩形ABCD，使C、D两点在格点上；（2）在图②中，若∠P＝60°，画一个矩形EFGH，使矩形的各顶点不在格点上，且两边长分别为3和2．DE=2．19．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，AD=(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)求四边形OCED的面积．20．如图，将一张长方形纸片ABCD沿CE折叠，使点B与AD边上的点B′重合．过点B′作B′F//EB交CE于点F，连接EB′与BF．(1)求证：BE＝BF；(2)若DC＝3，AB′＝1，求四边形EBFB′的周长．参考答案1．C2．B3．A4．D5．D6．C7．B8．C9．A10．C11．5212．9613．314．α15．②③16．解：如图所示∵分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C=∴BC BA=DC DA∵B D∠=∠∴AB AD=∴CB CD AD AB===∴四边形ABCD是菱形，即点C是所求作的点．17．解：添加AB=BC∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形．18．解：（1）如图①，矩形ABCD即为所求；（2）如图②，矩形EFGH即为所求．19．(1)证明：∵CE BD∥∥DE AC∴四边形OCED是平行四边形．∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴OD=OC∴平行四边形OCED是菱形．(2)连接OE，如图∵DE=2∴AC=2OC=2DE=4∵AD=23∴DC2222--=4(23)2AC AD∵DE AC∥，AO=OC=DE∴四边形AOED是平行四边形．∴OE=AD=23∴菱形OCED 的面积为232DC OE ⨯= 20． (1)证明：由翻折可知：∠B ′EF ＝∠BEF ，BE ＝B ′E ∵B ′F //EB∴∠B ′FE ＝∠BEF∴∠B ′FE ＝∠B ′EF∴B ′F ＝B ′E∴BE ＝B ′F∴四边形BE B ′F 是平行四边形∵B ′F ＝B ′E∴四边形BE B ′F 是菱形∴BE ＝BF ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°∵AB ＝DC ＝3，AB ′＝1∴AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣B ′E在Rt △AEB ′中，根据勾股定理得：AE 2+AB ′2＝B ′E 2∴（3﹣B ′E ）2+12＝B ′E 2解得B ′E ＝53∵四边形EBFB ′是菱形∴四边形EBFB ′的周长＝4B ′E ＝4×53＝203．。
人教版数学八年级下册《菱形的性质》培优训练(含答案)
人教版数学八年级下册《菱形的性质》培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．(十堰中考)菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2. 如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为( )A．2 3 B．3 3 C．4 3 D．33．如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( )A．30° B．25° C．20° D．15°4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°5. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是()A．18 3 －9π B．18－3πC．9 3 －9π D．18 3 －3π6. 求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O. 求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是()A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为()A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm8. 如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()A． 5 B．4 3 C．4 5 D．209. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为() A．2 2 B．2 5 C．4 2 D．21010. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( )A．(2， 3 ) B．( 3 ，2) C．( 3 ，3) D．(3， 3 )二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为________．12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若若AC＝8 cm，BD＝6 cm，则该菱形的面积为________cm2，周长为________cm.13．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝140°，则∠BAD＝________°，∠ABD＝________°，∠BCA＝________°；14．如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为______.15. 如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD 的周长为______.16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为______.17. 如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是___________．18. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是______.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2.20．(6分) 已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？21．(6分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．22．(6分) 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC＝2，求BD的长．23．(6分) 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH ⊥AB于H.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DH的长．24．(8分) 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，求EP＋FP的最小值.25．(8分) 如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.参考答案1-5BBDBA 6-10 BDCCD11. 312. 24，2013. 40，70，20 14. 2 3 cm 215．2416．10 17. (33，0) 18．119. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，在△ADF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠D ＝∠D ，DF ＝DE ，∴△ADF ≌△CDE(SAS)，∴∠1＝∠220. 解：四边形DECF 是菱形．理由如下：∵DE ∥FC ，DF ∥EC ，∴四边形DECF 为平行四边形．由AC ∥DE ，知∠2＝∠3.∵CD 平分∠ACB ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE ＝EC ，∴平行四边形DECF 为菱形．21. 解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD. ∵AC ＝6 cm ，BD ＝12 cm ，∴AO ＝3 cm ，BO ＝6 cm.在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB ＝AO 2＋BO 2＝32＋62＝3 5 cm ， ∴菱形的周长＝4AB=4×3 5 =12 5 cm.22. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2.∴菱形ABCD 的周长为8.(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ＝12AC ＝1，OB ＝OD ，且∠AOB ＝90°. ∴OB ＝AB 2－OA 2＝22－12＝ 3.∴BD ＝2OB ＝2 3.23. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×6×8＝24(cm 2)． (2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝4 cm ，OB ＝OD ＝3 cm ， ∴在直角三角形AOB 中，AB ＝OB 2＋OA 2＝32＋42＝5 cm ，∴DH ＝S 菱形ABCD AB＝4.8 cm. 24. 解：如图，作F 点关于BD 的对称点F′，则PF ＝PF′，连接EF′交BD 于点P.∴EP ＋FP ＝EP ＋F′P.由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F′在一条直线上时，EP ＋FP 的值最小，此时EP ＋FP ＝EP ＋F′P ＝EF′.∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝3，AB ∥CD ，∵AF ＝2，AE ＝1，∴DF′＝DF ＝AE ＝1，∴四边形AEF′D 是平行四边形，∴EF′＝AD ＝3.∴EP ＋FP 的最小值为3.25. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC .∴∠BP A ＝∠DAE .∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE .∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BP A ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE .∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴BF ＝AE ，AF ＝DE .∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF .。
人教版 八年级数学下册 18.2.2 菱形 培优练习(含答案)
人教版 八年级数学下册 18.2.2 菱形 培优练习（含答案）一、单选题（共有9道小题）1.如图，下列哪个条件能使□ABCD 成为菱形的（ ）①AC ⊥BD ②AB ∥CD ③AB=BC ④AB=CDA. ①③B.②③C.③④D.①②③ 2.下列命题中，正确的是（ ） A ．梯形的对角线相等 B ．菱形的对角线不相等 C ．矩形的对角线不能互相垂直 D ．平行四边形的对角线可以互相垂直3.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A ．20B ．24C ．40D ．484.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线互相分5.以下四个命题正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等6.平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，下列条件中能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）①ABC=90°②AC ⊥BD ③AB=BC④AC 平分∠BAD⑤AO=DOA.②③④B.①②③C.③④⑤D.①②⑤A BCD O ABCD7.如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA8.如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤A BCDEFP FEDCBA9.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）A.25B. 35C.5D.6 二、填空题（共有7道小题）10.木工做菱形窗框时总要保持四条边框一样长，道理是_______________________ ． 11.顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．12.如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是 ，面积是 。
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人教版数学八年级下册《菱形的性质》培优训练
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．(十堰中考)菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等B．对角线一定相等
C．是轴对称图形D．是中心对称图形
2. 如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为( )
A．2 3 B．3 3 C．4 3 D．3
3．如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( )
A．30° B．25° C．20° D．15°
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
5. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是()
A．18 3 －9π B．18－3π
C．9 3 －9π D．18 3 －3π
6. 求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O. 求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：
①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是()
A．③→②→①→④B．③→④→①→②
C．①→②→④→③D．①→④→③→②
7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为()
A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm
8. 如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()
A． 5 B．4 3 C．4 5 D．20
9. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为() A．2 2 B．2 5 C．4 2 D．210
10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( )
A．(2， 3 ) B．( 3 ，2) C．( 3 ，3) D．(3， 3 )
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为________．
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若若AC＝8 cm，BD＝6 cm，则该菱形的面积为________cm2，周长为________cm.
13．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝140°，则∠BAD＝________°，
∠ABD＝________°，∠BCA＝________°；
14．如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为______.
15. 如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD 的周长为______.
16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为______.
17. 如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是___________．
18. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是______.
三．解答题（共7小题，46分）
19．(6分) 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的点，DE＝DF，
求证：∠1＝∠2.
20．(6分) 已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？
21．(6分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．
22．(6分) 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)若AC＝2，求BD的长．
23．(6分) 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH ⊥AB于H.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求DH的长．
24．(8分) 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，求EP＋FP的最小值.
25．(8分) 如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.
求证：(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝BF＋EF.
参考答案
1-5BBDBA 6-10 BDCCD
11. 3
12. 24，20
13. 40，70，20 14. 2 3 cm 2
15．24
16．10 17. (33
，0) 18．1
19. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，
在△ADF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠D ＝∠D ，DF ＝DE ，
∴△ADF ≌△CDE(SAS)，∴∠1＝∠2
20. 解：四边形DECF 是菱形．理由如下：
∵DE ∥FC ，DF ∥EC ，
∴四边形DECF 为平行四边形．
由AC ∥DE ，知∠2＝∠3.
∵CD 平分∠ACB ，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴DE ＝EC ，
∴平行四边形DECF 为菱形．
21. 解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12
BD. ∵AC ＝6 cm ，BD ＝12 cm ，
∴AO ＝3 cm ，BO ＝6 cm.
在Rt △ABO 中，由勾股定理，
得AB ＝AO 2＋BO 2＝32＋62＝3 5 cm ， ∴菱形的周长＝4AB=4×3 5 =12 5 cm.
22. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2.
∴菱形ABCD 的周长为8.
(2)∵四边形ABCD 是菱形，
∴OA ＝OC ＝12
AC ＝1，OB ＝OD ，且∠AOB ＝90°. ∴OB ＝AB 2－OA 2＝22－12＝ 3.
∴BD ＝2OB ＝2 3.
23. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，
AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，
∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12
×6×8＝24(cm 2)． (2)∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12
AC ＝4 cm ，OB ＝OD ＝3 cm ， ∴在直角三角形AOB 中，AB ＝OB 2＋OA 2＝32＋42＝5 cm ，
∴DH ＝S 菱形ABCD AB
＝4.8 cm. 24. 解：如图，作F 点关于BD 的对称点F′，则PF ＝PF′，连接EF′交BD 于点P.
∴EP ＋FP ＝EP ＋F′P.
由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F′在一条直线上时，EP ＋FP 的值最小，此时EP ＋FP ＝EP ＋F′P ＝EF′.
∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，
∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝3，AB ∥CD ，
∵AF ＝2，AE ＝1，∴DF′＝DF ＝AE ＝1，
∴四边形AEF′D 是平行四边形，
∴EF′＝AD ＝3.
∴EP ＋FP 的最小值为3.
25. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC .
∴∠BP A ＝∠DAE .
∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE .
∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BP A ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE .
∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．
(2)∵△ABF ≌△DAE ，
∴BF ＝AE ，AF ＝DE .
∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF .。