浅谈求物理极值的数学方法
物理解题方法二极值法
四、用二次函数判别式求极值
若所求物理量的表达式为二次函数“Y=ax2+bx+c”的 形式，将该表达式整理得方程“ax2+bx+(c-y)=0”，要 使方程有解，该函数判别式△=b2-4a(c-y)≥0，由此可 解极值。
[例5]一点光源从离凸透镜无限远处沿主轴移到焦点， 移动过程中，点光源和所成的像间距离的变化情况是 ： （）
六、用假设推理法求极值
通过假设法使研究对象处于临界状态，然后再利 用物理规律求得极值。（“临界”法）
[例7]如图，能承受最大拉力为10N的细OA与竖直方向成450，能 承受最大拉力为5N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力， 为使OA和OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体P最重不得超过多 少？
二、利用三角函数法求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数， 可利用三角函数求极值。 1．若所求物理量表达式可化为“y=A sinθ cosθ”形式（即y= sin2θ）,则在θ=45o时，y有极 值A/2。
[例2]如图，n个倾角不同的光滑斜面具有共同 的底边ＡＢ，当物体沿不同的倾角无初速从顶 端滑到底端，下列哪种说法正确（ ） （A）倾角为30o时,所需时间最短。 （B）倾角为45o时,所需时间最短。 （C）倾角为75o时,所需时间最短。 （D）所需时间均相等。
七、用图象法求极值
通过分析物理过程中遵循的物理规律，找到变量间 的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。
[例8]两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶， 速度均为V0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停止 时，后车以前车刹车时的加速度开时刹车，已知前车在刹 车过程中行驶距离为S。在上述过程中要使两车不相撞， 则两车在匀速运动时，报持的距离至少应为：（ ）
物理解题方法 极值法0
三、 用不等式法求极值 如果所求物理量表达式可化为“Y=Kab”的形式，其中均为a、b变量，但a+b=恒量（a>0、b>0），则可根据不等式性质ab≤(a+b)2/2求极值。（“定和求积法”） [例4]一个下端封闭,上端开口的粗细均匀的玻璃管,竖直放置,管全长90厘米,管中有一段长20厘米的水银柱,在温度270C时,水银柱下面空气柱长为60厘米,若外界大气压P0=76cmHg,要使管中水银全部溢出,温度至少应升到多少?
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二、利用三角函数法求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数， 可利用三角函数求极值。 1．若所求物理量表达式可化为“y=A sinθ cosθ”形式（即y= sin2θ）,则在θ=45o时，y有极 值A/2。
[例2]如图，n个倾角不同的光滑斜面具有共同的底边ＡＢ，当物体沿不同的倾角无初速从顶端滑到底端，下列哪种说法正确（ ） （A）倾角为30o时,所需时间最短。 （B）倾角为45o时,所需时间最短。 （C）倾角为75o时,所需时间最短。 （D）所需时间均相等。
六、用假设推理法求极值 通过假设法使研究对象处于临界状态，然后再利用物理规律求得极值。（“临界”法）
[例7]如图，能承受最大拉力为10N的细OA与竖直方向成450，能承受最大拉力为5N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力，为使OA和OB均不被拉断，OC下端所悬y=asinθ +bcosθ ”,则将该式化为“y=a2+b2 sin(θ +Φ )”从而得出y的极值a2+b2 。（即“和差化积”法） [例3]质量为10千克的木箱置于水平地面上，它与地面间滑动摩擦因数µ= ，受到一个与水平方向成角θ斜 向上的拉力F，为使木箱作匀速直线运动，拉力F最小值为多大？
应用数学方式求物理极值问题
应用数学方式求物理极值问题宁夏中卫市第一中学 闫保臻在物理和数学的关系中，很多时侯都把物理比喻成皇帝，数学比喻成皇后，不能分开。
一个物理学家他第一是一个数学家。
数学是科学的语言，它能简练、准确地表达物理概念和推导证明物理规律，是物理学的重要工具，物理是数学的灵魂。
运用数学方式解决物理问题的能力是新课程改革高中物理教学的目标之一，同时也是新高考能力考查目标之一，数学掌握的好能够帮忙咱们加倍简捷的解决物理问题。
下面，笔者就运用数学方式在物理极值求解中的常常利用方式总结如下。
一、用一元二次方程判别式求解极值一元二次方程，当它的判别式B 2-4AC≥0时，此方程有实数解。
若咱们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。
使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。
例题1：一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3m 的墙外，从喷口算起，墙高4m ，若空气阻力不计，取2/10s m g =。
求：所需的最小初速度及对应的喷射仰角。
分析：本题的解题思路是按照题目描述的物理情景，写出喷射速度的的数学表达式，再用数学工具进行求解。
解答：设喷射速度为v ，喷射仰角为θ，按照题意得：在水平方向：3=vcos θ·t ①竖直方向：4=vsin θ·t －221gt ② 联立①、②消去时刻t ，能够取得喷射出的水的轨迹方程为4=3tan θ－θ22cos 45v ，该式中含有两个未知量θ和v,现以tan θ为变量，以v 参量，化简该式得：θ2tan － 01454tan 1522=++v v θ ③ 要使③式有解，必需要使其判别式大于等于零，即：b 2-4ac 0≥，在上述方程中，a=一、b=152v -、c=14542+v ，所以b 2－4ac=（152v -）2－4×1×（14542+v ）0≥ ④ 该不等式只含有一个未知量v ，解 ④式能够取得v 的有效解为：90≥v m/s ，所以喷射的最小速度为：90min =v m/s 。
物理极值求解中常用的数学方法
物理极值求解中常用的数学方法作者：伦玉玲来源：《理科考试研究·高中》2013年第09期数学是科学的语言，是物理学的重要工具.运用数学方法解决物理问题的能力是新课程改革高中物理教学的目标之一，同时也是新高考能力考查目标之一，数学掌握的好可以帮助我们更加简捷的解决物理问题.极值问题是高中物理学习的重点，也是学生学习过程中的一个难点.运用数学知识求解物理极值，不仅可以简化物理过程的分析，而且容易被学生接受.下面把求解物理极值问题的常用数学的方法总结一下.一、利用三角函数求极值三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在高中物理问题中，由于涉及到矢量的计算和讨论，三角函数在物理解题中有较广泛的应用.利用三角函数求极值在物理问题中是非常常见的.本题先用“积化和差”，再用正弦函数的单调变化的临界状态求取F的最小值，使判断变得直观简单.运用三角函数求极值在物理问题的讨论中非常普遍，在各块内容中都有不同程度的应用，尤其在力学、机械能、交流电、电磁学、几何光学中的运用尤为突出，值得重视和推广.二、利用二次函数求极值在物理运动学中追及问题是常见题型，常常要求最远距离或最近距离.可根据题意先列出函数表达式，根据函数表达式的具体表现求极大值或极小值，即最远距离或最近距离.本题运用二次函数求得两车间的最大距离，通俗易懂，省去了物理过程的分析，非常容易被学生接受和运用.此种方法尤其在运动学中其应用频率相当高，值得我们重视.运用二次函数求极值，首先要根据物理过程中物理量的关系运用公式准确列出关于所求问题的一元二次方程，然后由方程中物理量的关系求得极值.三、利用图像求极值高中物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化.利用图像求极值不失为一个好方法，在选择题和填空题的极值计算中其表现尤其突出.本题运用了v-t图象找到了F的最小值，在明确物理过程的基础上，画出物体各自的运动图象，这样两物体的运动特点就很明显了.利用图线与坐标轴所夹面积的关系明确物体间的位移关系，可省略一些物理量的计算，从而快速、简捷地解答问题.利用图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果.甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力，运用图象则会使你豁然开朗，尤其在求解变化分析中的极值类问题.四、利用均值不等式求极值在物理问题中运用最频繁的均值不等式定理的内容：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.而在物理中主要运用的是从以上均值不等式定理得到的以下结论.对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值.例4设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上.假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比A.地球与月球间的万有引力将变大B.地球与月球间的万有引力将变小C.月球绕地球做圆周运动的周期将变长D.月球绕地球做圆周运动的周期将变短分析地球质量为M，月球质量为m，M、m的和不变为基础，长时间地搬运，导致M、m 的差值变大，即M、m的乘积变小，从而确定二者间万有引力减小.B选项的确定就充分的利用了均值不等式的结论.总之，解决一个问题的方法可以是多方面的，但适当的选取合理有效的方法可以让我们少走弯路，对于一些巧妙的物理问题则必须采取一些有效而适当的方法进行求解，希望大家在学习中多思考、多总结.。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结（一）利用分式的性质求极值[例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30º角，如图示。
使A作匀速直线运动。
试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30º=μ（G+Fsin30º），得F=由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30º－μcos30º=0时得μ=tg30º=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。
（二）利用一元二次方程求根公式求极值有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。
它的根就可能是要求的极值。
这种方法应用是很普遍的。
（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值[例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。
将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。
今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。
证明，当m>M 时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。
由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=由此二式得N=2mg－3mgcosθ（1）上式中，N>0，即cosθ<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg （3）将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。
有2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）（4）式是关于cosθ的一元二次方程。
cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。
高中物理极值问题求解的数学和物理方法例析(1)
求解高中物理极值问题的数学和物理方法例析高中物理思想方法之一物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。
物理极值问题是物理计算中的基本问题之一。
为了迅速的求出不同情况下的物理量的最大值和最小值，不仅要弄清物理基本概念，掌握基本的物理规律，还要熟悉解决物理极值的各种方法。
中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”．高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，所以极值的计算在教学中频繁出现。
应该得到足够重视。
求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考， 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1、利用一元二次方程配方法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：则当x=A=-ab2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。
则当x=A=-ab2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；例题1、在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中。
设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节（取）。
求：（1）运动员到达B 点的速度与高度h 的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离为多少？（3）若图中H ＝4m ，L ＝5m ，动摩擦因数，则水平运动距离要达到7m ，h 值应为多少？答案详解（1）由A 到B 过程中，①（2）平抛运动过程②解得当时，x有最大值，（3）=2③可得到④求出解析:过程分析：运动员在AB段做匀加速运动，重力做正功，摩擦力做负功。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结高中物理中，求极值是一个重要的数学应用问题。
很多物理问题都需要通过求极值来进行分析和解决，因此掌握求极值方法和常用结论是十分重要的。
下面将为你总结高中物理求极值的方法和常用结论。
一、求极值的方法1.寻找最值法：通过寻找物理问题的最大值或最小值来求出极值。
2.解析法：通过建立数学模型，对其求导或使用其他数学方法得出极值。
3.几何方法：通过几何图形的性质和分析来求出极值。
二、常用结论1.极大值与极小值：对于一元函数f(x)，若在x=a处，f'(a)=0，并且在a点左侧由正变负，在a点右侧由负变正，则a称为f(x)的极大值点；若在x=b处，f'(b)=0，并且在b点左侧由负变正，在b点右侧由正变负，则b称为f(x)的极小值点。
2.拐点与拐点性质：对于函数f(x)，若在x=c处f''(c)=0，并且在c点左侧由负变正，在c点右侧由正变负，则c称为f(x)的拐点。
拐点的性质为：由凹变凸的拐点称为极小值点，由凸变凹的拐点称为极大值点。
3.一元二次函数的最值结论：一元二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0）的最值点可以通过如下结论求得：当a>0时，最小值为：y_min=c-b^2/(4a)当a<0时，最大值为：y_max=c-b^2/(4a)4.相对速度最小值结论：当两个运动着的物体相对于一些静止参考系运动时，它们的相对速度最小值出现在它们的运动方向夹角为0°或者180°时。
5.成千上万法：在解决物理问题中，当数据较多时，可以通过逐个数值代入进行计算。
6.速度为零但加速度不为零时的移动物体：当一个物体在其中一时刻速度为零（静止），但加速度不为零时，可以通过如下结论求出物体在这一时刻的位置：位移s = (1/2)at^2，其中a为加速度，t为时间。
7.物体自由落体的最高点：自由落体的物体在竖直上抛运动中，最高点时速度为零，也就是物体停止上升，准备掉下来。
自用教案：物理极值的几种数学求法
物理极值的几种数学求法河南省汝阳县实验高中——师儆愈高中物理中有许多极值类问题，为使同学们能够全面了解极值类问题的求法，现做简单归纳如下：【典例解析】 一、利用三角函数求极值1、利用三角函数的有界性求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的有界性求极值。
若所求物理量表达式可化为“ααcos sin A y =”的形式，可变为α2sin 21A y =，当︒=45α时，y 有极值2A。
2、利用“化一”法求三角函数极值对于复杂的三角函数，例如θθcos sin b a y +=，要求极值时,先需要把不同名的三角函数θsin 和θcos ，变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一”。
)cos sin (cos sin 222222θθθθbabba ab a b a y ++++=+=)cos sin sin (cos 22θφθφ++=b a ab b a =++=φφθtan )sin(22其中 故y 的极大值为22b a +。
【类型Ⅰ】三角函数()θθθθ2sin 2cos sin AA f ==（其中θ为锐角）。
当 45=θ时，三角函数()θf 取最大值()2max Af =θ。
【例1-1】如图所示,底边恒定为b,当斜面与底边所成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。
【解析】设斜面倾角为θ时，斜面长为S ，物体受力如图所示，由图知θcos bS =由匀变速运动规律得：221at S =由牛顿第二定律提：mgsin θ=ma …………③一.数学方法 几何法：切割线定理求极值函数法均值不等式法正弦定理法根的判别式法 三角函数法利用三角函数的有界性求极值利用三角函数 “化一”法求三角函数极值二次函数顶点法 二次函数法 配方法 求导数法联立解得：θθθ2sin 4cos sin 22g bg b aSt ===可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°时，sin2θ有最大值，t 有最小值。
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浅谈求物理极值的数学方法
作者：赵玉祥
来源：《理科考试研究·高中》2015年第07期
本文从一道抛体的极值问题入手，对物理极值的数学应用做一点有益的总结，例题如下：
如图1所示，从A点以某一初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，不考虑空气阻力，问小球至少以多大的速度才能使小球恰好越过墙壁.
三角函数类型
解一当小球到达B点时，其位移矢量与水平面夹角为a且 .如图2所示，将抛体运动视为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动的叠加，由正弦定理得
12gt2sin（θ-a）=v0tsin（π2+a）=h2+s2sin（π2-θ）
解得
v0=gh2+s2cos2a2cosθsin（θ-a）=gscosαsin（2θ-a）-sina
2θ-a=π2即θ=π4+a2时取最小
v0=gscosα1-sinα=g（h+h2+s2）
说明本解也可以AB连线为x轴建立斜坐标，将重力加速度分解，再利用三角函数，由于限于篇幅，具体求解过程读者自行验证.
二次函数类型
解二小球在A点以最小的初速度到达B点，由于斜面倾角确定，与在A点以初速度斜抛要使射程极大的物理过程等价，如图3所示，由位移矢量图形可得：
s2[WB]=（v0t）2-（12gt2+h）2
[DW]=-14g2t4+（v20-gh）t2-h2
当t2=-b2a时，s2=4ac-b24a有极值， s2=v20（v20-2gh）g2
当s确定，v0最小，取实解得 v0=g（h+h2+s2）
矢量图解类型
解三小球要以最小的速度抛出恰能击中斜面的最高点与以某一确定的初速度斜抛到斜面上要使射程最大的问题本质相同.设小球的初速度为v0，小球到达B点时的速度为vt，由能量守恒得vt=v20-2gh
小球的水平射程s=t×v0cosθ=gt×v0cosθg
如图4所示，gt×v0cosθ是小球的速度矢量的三角形的面积的两倍，由于末速度一定，所以当
v0⊥vt时三角形面积最大，即位移取极大值 s=v0vtg=v0v20-2ghg
当s确定时，v0最小，取实解得
v0=g（h+h2+s2）
不等式类型
解四如图5所示，将抛体运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动，得
（vtt）2=s2+（h+12gt2）2
v0=s2+h2t2+14g2t2+gh
由不等式知当s2+h2t2=14g2t2时取最小值
v0=g（h+h2+s2）
说明也可将速度分解，小球水平初速度vx=st，由h=vyt-12gt2可得vy=ht+12gt，再通过
v0=v2x+v2y同样也能得到和上解一样的不等式，但不如上解的过程清晰，故未采用，请读者自行验证.
求导类型
解五建立以A为坐标原点的水平坐标系，设初速度v0与水平面夹角为θ，得
s=v0cosθ×th=v0sinθ×t-12gt2
联立两式得轨道方程h=stanθ-12gs2v20cos2θ
注意到1cos2θ=1+tan2θ
v20=gs22cos2θ（stanθ-h）=gs22tan2θ+1stanθ-h
由tanθ的单调性得
dv20dtanθ=gs222tanθ（stanθ-h）-s（tan2θ+1）（stanθ-h）2=0
化简得tanθ=h+h2+s2s
代入得 v0=g（h+h2+s2）
说明当v20取极值，v0也取极值，且tanθ在[0，π2）内为单调递增，所以不需要
dv0dθ=0，将大大简化计算量，对物理过程的理解和物理量的含义是正确运用数学工具的前提.
综上所述，三角函数，二次函数，不等式，尤其是导数，是我[JP3]们解决极值问题的重要工具，应该充分利用好这些数学工具.。