7年级含有绝对值、参数的不等式的解法例题

一、含有参数的不等式的解法例题当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。

下面举例说明，以供同学们学习。

一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。

小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。

⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。

⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。

牛刀小试：解关于x 的不等式)0(,04)1(22>>++-a x a ax思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。

具体解答请同学们自己完成。

二、含参数的分式不等式的解法： 例2：解关于x 的不等式0212>---x x ax分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax －1中的a 进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。

解：原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax 当a =0时，原不等式等价于0)1)(2(<+-x x解得21<<-x ，此时原不等式得解集为{x|21<<-x }； 当a >0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax ,则：当,21时=a 原不等式的解集为{}21|≠->x x x 且；当0<,21时<a 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<->211|x a x x 或； 当,21时>a 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-211|x a x x 或； 当a <0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1(<+--x x ax ，则当1-=a 时, 原不等式的解集为{}12|-≠<x x x 且； 当01<<-a 时, 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<211|x a xx 或；当1-<a 时, 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<211|x a xx 或；小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略a =0的情况以及对a1，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。

⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。

⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。

牛刀小试：解关于x 的不等式)1(,12)1(≠>--a x x a思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数a 分两级讨论：先按a >1和a <1分为两类，再在a <1的情况下，又要按两根12--a a 与2的大小关系分为100,0<<=<a a a 和三种情况。

有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。

具体解答请同学们自己完成。

三、含参数的绝对值不等式的解法：例3：解关于x 的不等式)0,0(,|2|>>≥-b a bx ax分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形)()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f ≥-≤⇔≥或，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就a 、b 两个参数间的大小关系分类讨论求解。

解：2)(2)(22|2|≥-≤+⇔≥--≤-⇔≥-x b a x b a bx ax bx ax bx ax 或或 当0>>b a 时，2)(2)(≥-≤+x b a x b a 或ba x ba x -≥+≤⇔22或此时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥+≤b a x ba xx 22|或；当0>=b a 时，由无解而得2)(,22)(≥-+≤≤+x b a ba x xb a ，此时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤b a xx 2|；当b a <<0时，2)(2)(≥-≤+x b a x b a 或ba x ba x ba x +≤⇔-≤+≤⇔222或此时此时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤b a xx 2|；综上所述，当0>>b a 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥+≤b a x ba xx 22|或；当0>≥a b 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤b a xx 2|。

小结：去掉绝对值符号的方法有①定义法：)0()0({||≥<-=a a a a a ②平方法：⇔≤|)(||)(|x g x f)()(22x g x f ≤③利用同解变形：);0(,||);0(,||>>-<⇔>><<-⇔<a a x a x a x a a x a a x 或);()()()(|)(|x g x f x g x g x f ≤≤-⇔≤)()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f ≥-≤⇔≥或；精选例题：解关于x 的不等式)(,01|1|R a a x ∈>++-思路点拨：⑴将原不等式化为a x ->-1|1|然后对a 进行分类讨论求解。

⑵要注意的解集为时a x a <≤||,0空集；;||0;0||0R a x a x a x a 的解集为时，的解时，><≠>=⑶抓住绝对值的意义，在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误。

具体解答请同学们自己完成。

二、带有绝对值的不等式试题带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。

解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。

去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。

一. 注意绝对值的定义，用公式法即若a x a ><0，||，则-<<a x a ；若a x a >>0，||，则x a >或x a <-。

例1. 解不等式||2331x x -<+解：由题意知310x +>，原不等式转化为-+<-<+()312331x x x⇔->---<++>⎧⎨⎪⎩⎪⇔>>-⇔>>-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪233123313102542513x x x x x x x x x ,,,,二. 注意绝对值的非负性，用平方法题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到||x x 22=。

例2. 解不等式||||x x +<+123两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。

解：原不等式⇔+<+⇔+<+⇔+-+>||||()()()()x x x x x x 1231232310222222解得x x <->-243或故原不等式的解集为{|}x x x <->-243或三. 注意分类讨论，用零点分段法不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。

例3. 解不等式||||x x ++->213解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -=10和x +=20得分界点x x ==-12、于是，可分区间(),[][,)-∞--+∞，，，2211讨论原不等式⇒x x x x x x x x x <--++-->⎧⎨⎩-≤<+-->⎧⎨⎩≥++->⎧⎨⎩2213212131213,()[()],(),()或或 解得x x ><-12或综上不等式的解为x ∈-∞-⋃+∞()()，，21四. 平方法+定义法有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。

例4. 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+解：化为|log ||log |122+<+a a x x 后，通常分l o g l o g a a x x <--≤<12120，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。

改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得4414422(lo g )lo g (lo g )|lo g |a a a a x x x x ++<++。

再由定义去绝对值号，有： （1）lo g ,(lo g )lo g a a a x x x ≥<⎧⎨⎩⇒≤<01012；（2）lo g ,lo g lo g lo g a a a a x x x x <+-<⎧⎨⎩⇒-<<03830302。