数学运算软件Mathematica

第一章 绪论
随着电子计算机的普及，数学软件也相继发展，选择一个合适的数学软件，以辅助庞大的数学运算也变得日益重要。

被美国Macworld 杂志誉为“不只是一套软件，更是一次划时代的革命”的Mathematica ，将改变我们对数学学习的感受，对日后数学及其它学科和工程计算的发展也将有深远的影响。

对Mathematica 而言，它不仅可以轻松地应付数值计算的任务，而且还能进行符号式的运算与有关图形的绘制。

除了一般的计算之外，Mathematica 还能做微分、积分、包括微分方程在内的方程和方程组的求解、数学式的化简和展开、因式分解、数据分析等等，从前被人们认为极为困难的数学问题都能在Mathematica 的辅助之下轻易解决。

国际上众多大学、研究所早已有计划地全面推广Mathematica 教学，国内也有多家大学做了这方面的尝试，将Mathematica 的学习加入到高等数学的学习中。

Mathematica 的独特功能和相对于Matlab 等软件较小的内存占用空间，使其在数学软件领域有很强的竞争力。

本讲义是基于Mathematica4.1版写成的，在各章节中均有相应的例题，供读者练习。

Mathematica 涉及的数学领域很多，本书的编写是为已经学习了高等数学和数值分析课程的非数学和计算机专业的研究生提供一本入门的教材。

因此，如果将来工作需要，同学们可以选读其它介绍更详细的书籍。

§1.1 数值计算与符号计算
计算机的诞生源于数值计算，“计算（Calculation ）”一词在过去仅仅是数值计算的意思。

现在的计算机除了传统的数值计算外，还可以进行数学符号的演算，Mathematica 的运算类型就包含了这两类计算，即数值计算（numerical calculation ）和符号计算（symbolic calculation ）。

如果计算过程和计算结果不包含任何未知数（代数），而是以具体的数值形式进行的，则称这一计算为数值计算，反之，如果运算过程中包含有代数的运算，则为符号计算。

对于符号计算，计算机处理的对象是符号（数学表达式）。

所谓符号，可以是字母、公式，也可以是数值，数值是表达式的最简单的形式。

通过计算机的符号运算功能，人们可以完成数学演算、数学推理甚至数学证明，故也将符号计算称为计算机代数。

联系我们以往学习过的数学分析和数值分析，可以认为：符号计算的功能与数学分析的相同，是以解析的方法进行有关的计算；而数值计算的功能与数值分析的相同，是以数值的形式进行有关计算，得到的分别为解析解和数值解。

数值计算可以求解符号计算所不能求解的一些问题。

前者更适工程计算的需要，而后者更适合理论推导的需要。

例如，对于简单的定积分⎰1
0)sin(dx x ，解析解或用Mathematica 进行符号计算的结果为)1cos(1-，用数值计算的结果为0.459698。

需要指出的是，为了使一些符号计算的结果给我们量的概念，可以将其转换成数值的
形式。

如对于上例，符号计算的结果)1cos(
1-对于我们只是一个符号，如果把它化为近似
的数值≈-)1cos(10.459698，就可以给我们以量的概念了。

Mathematica 可以轻松地完成这样的工作。

我们可以根据所要解决的数学问题的类型，决定所要使用的计算类型和计算结果的形式。

§1.2 数学计算软件简介
目前应用的数学计算软件有30多个，就软件进行数学处理的原始内核而言，可分为两大类：一类是数值计算型软件，如MA TLAB 、Xmath 、Gauss 、MLAB 等，它们对大批数据具有较强的管理、计算和可视化能力，运行效率高；另一类是数学分析型软件，如Mathematica 、Maple 、Macsyma 等，它们以符号计算见长，并可以得到符号解析解或任意精度解，但处理大量数据时运行效率较低。

两类软件均既可以进行数值计算，也可以进行符号计算，只是侧重点不同。

按1995年IEEE Spectrum 排行，居数值型软件的前两位是MA TLAB 和Xmath ，而符号型软件的前三位是Maple 、Mathematica 和Macsyma 。

下面对主要的软件加以简要的介绍。

1. Maple
Maple 是用C 语言编写的，由加拿大Waterloo 大学符号计算研究小组从1980年开始开发的。

1985年推出了第一个商业版本Maple3.3，Maple 系统每年都有更新，以吸收最好的算法。

现在在加拿大的Waterloo 和瑞士的Zuris 设有研究中心，继续进行软件的开发研究。

国内目前常见的是Maple Release 5.1版本。

Maple 系统由三部分组成：用户界面（Iris ）、代数运算器（Kernel ）、外部函数库（External library ）。

它的特点是它的帮助菜单非常丰富，简单易学，拥有大量的软件包，很适合初学者使用。

它的输出有多种形式，如Latex 、Fortran 、C ，也可由Scientific Word 等接受。

2. MA TLAB
上世纪70年代后期，身为美国新墨西哥大学计算机科学系系主任的Cleve Moler 在给学生开线性代数课程时为学生编写了使用方便的程序，取名MA TLAB ，意为“矩阵实验室（Matrix laboratory ）。

1984年MathWorks 公司成立，把MA TLAB 推向市场。

1993年第一个Windows 版本MATLAB3.5K 问世。

同年，从Maple 引进了符号计算工具箱。

2000年又推出了适用于网络的MATLAB6版本。

MATLAB 的基本数据单位是矩阵，它的指令形式与数学、工程中的常用形式十分相近。

例如，矩阵方程b=Ax ，在MATLAB 中被写成b=A*x 。

如果已知A 和b ，求x ，即求线性方程组的解，只需输入x=A\b 即可。

完全不需要编写程序。

目前，在欧美的各高等院校中MATLAB 已经成为应用线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；成为攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须具备的基本技能。

§1.3 Mathematica 简介
Mathematica 是由美国Wolfram Rearch 公司开发的一套专门用于数学计算的计算机软
件。

从1988年问世至今，已广泛地应用到工程、应用数学、计算机科学、财经、生命科学以及太空科学等领域，深受科研人员、教师、工程技术人员以及大学生和研究生的欢迎。

人们用Mathematica写作了数以万计的研究论文、科学报告、期刊杂志、图书资料、计算机绘图等等。

Mathematica除了提供数值计算与绘图的功能之外，还具有符号计算的能力，使使用者能够处理微积分、代数方程以及微分方程、数理统计等诸多数学问题，甚至可以制作电脑动画及音效等等。

Mathematica的最新版本是Mathematica4。

Mathematica4对计算机硬件的要求不高，只要能运行Office系列软件便能够运行Mathematica4。

建议您的计算机配置达到如下要求：
1 操作系统：Windows95或Windows NT 3.51以上的版本。

2 CPU处理器：Intel、Cyrix或AMD586以上的中央处理器。

3 硬盘空间：除了具备120MB的硬盘空间用以安装Mathematica4之外，还必须有
60MB的剩余硬盘空间作为交换文件（swap files）的存取空间。

若进
行较复杂的运算，则必须有100MB的剩余硬盘空间。

4 内存：至少32MB，建议64MB以上。

第二章Mathematica的视窗环境与基本操作
Mathematica的操作界面是用户与其计算核心（kernel）程序沟通的桥梁。

Mathematica 进行的所有运算都是通过操作界面激活计算核心程序，计算结束后再将计算结果显示在工作窗口中。

本章将简要地介绍Mathematica的基本概念、界面环境、操作方法、基本语法和与界面的互动等等。

为我们进入其它章节进行有关的数学计算打下基础。

§2.1 Mathematica的视窗环境
2.1.1 Mathematica的运行
双击Mathematica的快捷方式即可运行Mathematica的主程序。

如下图所示，主程序会同时打开一个新的工作窗口和一个基本输入工具栏（Basic input palette）。

工作窗口基本输入工具栏。