10-1 工程力学(静力学与材料力学)第二篇第十章弯曲内力
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材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
材料力学 第十章
qL2 2
②根据方程画内力图
⊕ M ( x) x
21
q0 解：①求支反力
L
RA
q0 L2 6 ⊕
RB Q(x)
3 L 3
q0L q0L RA ; RB 6 3
②内力方程
○
q0 L2 3
x
Q( x )
q0 2 (L 3x2) 6L
⊕
x
q0 x 2 2 M ( x) (L x ) 6L
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
9
③固定端
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式
XA
YA
MA
M — 集中力偶
①简支梁 q(x) — 分布力 ②悬臂梁
10
③外伸梁
q — 均布力
1
第十章
弯曲内力
§10–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §10–2 梁的剪力和弯矩
§10–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§10–4 剪力、弯矩与荷载集度间的关系及应用 §10–5 平面刚架和曲杆的内力图
2
§10–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
11
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
②根据方程画内力图
⊕ M ( x) x
21
q0 解：①求支反力
L
RA
q0 L2 6 ⊕
RB Q(x)
3 L 3
q0L q0L RA ; RB 6 3
②内力方程
○
q0 L2 3
x
Q( x )
q0 2 (L 3x2) 6L
⊕
x
q0 x 2 2 M ( x) (L x ) 6L
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
9
③固定端
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式
XA
YA
MA
M — 集中力偶
①简支梁 q(x) — 分布力 ②悬臂梁
10
③外伸梁
q — 均布力
1
第十章
弯曲内力
§10–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 §10–2 梁的剪力和弯矩
§10–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§10–4 剪力、弯矩与荷载集度间的关系及应用 §10–5 平面刚架和曲杆的内力图
2
§10–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
11
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³ ，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
理论力学10弯曲的应力分析和强度计算
T字型截面梁如图所示，试求梁横截面上最大正应力。
解 绘制弯矩图，得 M B = 10kN ⋅ m M C = 7.5kN ⋅ m
Q = Q(x)
--剪力方程
M = M (x)
--弯矩方程
梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来 表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
14
例2
如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为 已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解 1、求支座约束力
l−a
a
RA =
RB = P
火车轮轴简化为外伸梁
8
弯曲的应力分析和强度计算
二、剪力与弯矩
截面法求内力
∑F y =0 RA − P − Q = 01
∑M c = 0 M + P ( x − a ) − RA x =
01
Q = RA − P1
剪力
M = RA x − P ( x − a ) 弯矩1
9
弯曲的应力分析和强度计算
剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针 转动时为正，反之为负。
横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故 惯性积为零。
34
弯曲的应力分析和强度计算
} 1 M
=
ρ EI xz
σ =E y ρ
M
σ=y
IZ
--纯弯曲梁横截面正应力计算公式
横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。
σ max M
=
σ max M
=
ymax
WZ
IZIZ WZ =
弯曲截面系数
ymax 35
σa
−
σb
⊕
σc
−
解 绘制弯矩图，得 M B = 10kN ⋅ m M C = 7.5kN ⋅ m
Q = Q(x)
--剪力方程
M = M (x)
--弯矩方程
梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来 表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
14
例2
如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为 已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解 1、求支座约束力
l−a
a
RA =
RB = P
火车轮轴简化为外伸梁
8
弯曲的应力分析和强度计算
二、剪力与弯矩
截面法求内力
∑F y =0 RA − P − Q = 01
∑M c = 0 M + P ( x − a ) − RA x =
01
Q = RA − P1
剪力
M = RA x − P ( x − a ) 弯矩1
9
弯曲的应力分析和强度计算
剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针 转动时为正，反之为负。
横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故 惯性积为零。
34
弯曲的应力分析和强度计算
} 1 M
=
ρ EI xz
σ =E y ρ
M
σ=y
IZ
--纯弯曲梁横截面正应力计算公式
横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。
σ max M
=
σ max M
=
ymax
WZ
IZIZ WZ =
弯曲截面系数
ymax 35
σa
−
σb
⊕
σc
−
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交。
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
工程力学第10章弯曲内力
例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
材料力学课件：弯曲内力
例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
21
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
16
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
17
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。
0< x<l 0 xl
19
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
工程力学 第10章.弯曲内力
M (x)
FS (x)
FS ( x) dFS
M ( x) dM
M
C
0
dx M ( x) FS ( x)dx q( x)dx [ M ( x) dM ( x)] 0 2
dM ( x ) dx2 Fs ( x ) 略去二阶微量 q ( x) ，得： dx 2
弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力 FS。 弯矩图上某点切线斜率等于该点的剪力值。
面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§10-2 梁的计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
E 3
x=3.1m
3.8
3.8
1.41
M
(kN· m) 3 2.2
[例6] 已知F图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。 F(kN) 2 1
+
1m 3 – 2m
+
1m
x
5kN
1kN
q=2kN/m
M(kN· m) 1 + 1.25 x
–
1
练习
P211:10-5
作业
P211:10-5 (b),(d),(f)
例题10 梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。
x
A a C l
F B b
解： 1、求支反力
FA Fb Fa , FB l l
工程力学10弯曲内力PPT课件
P
Y 0
A 4Pa
B
C
FsC YA 0
YA
a
a
2a YB
Fs C
P 2
4Pa
MC
mo 0
A
M C YA a 4Pa 0
• C Fs
MC
7 Pa 2
YA
P 2
（3）计算 B 截面内力
Y 0
A
Fs B YB 0
YA
Fs B
3 2
P
mo 0
M B YB 0 0
MB 0
P 4Pa
b
任意载
1. 分布载荷q(x) ――连续作用在一段长度的载荷。 例如：自重、惯性力、液压等， 单位：kg/cm，
N/m。
q(x)
a dx
b
因为每个小微段（dx）可以看成一个小的集中力 [q (x)dx]，根据平行力系求合力：
合力 b q(x) dx （载荷图面积） a
合力着力点：――在载荷图的面积形心上
Fb/l
+
x a Fbx / l Fab/ l x a Fa(l x) / l Fa(l a) / l Fab/ l
－
Fab/l
+
Fa/l
F
C处存在集中力F
剪力图上发生突变
突变的大小为
F Fb / l (Fa / l) Fl / l F
若梁上某点作用一向下（上） 的集中力，则在剪力图上该点的极
FA FB q 6 0 FB 3.5kN
[2]取CA段中任意截面的左侧部分加以
分析:
FS (x) qx 3x (0 x 2) C A
M (x) 1 qx2 3 qx2 (0 x 2) 2m
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2. FS 与 M 的最大值
FS,max FS (0) F
dM ( ) 2 F 1 0 d l
单辉祖,材料力学教程
l 2
l Fl M max M 2 4
23
补充例题：
例
简支梁受力如图 a 所示。试写出梁的剪力方程
和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 q A C (a) l/2 l/2 FA 解：1. 求支座约束力
梁的类型
常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁
外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁 静不定梁 约束反力数超过有效平衡方程数的梁
单辉祖,材料力学教程 8
§3 剪力与弯矩
剪力与弯矩 正负符号规定 剪力与弯矩计算 例题
单辉祖,材料力学教程
1 FSB左 ql 8
(a)
B
x
(b)
3l 8
x 1 ql 8
26
补充例题：
M图：
q (a) A C
AC段内 弯矩方程是x的二
次函数，表明弯矩图为二次 曲线，需求出两个端截面的 弯矩。
1 2 M C ql MA 0 16 需判断顶点位置，该处弯矩
B
l/2
x
l/2
FS 3 ql 8 (b) 3l 8
M max
4. 讨论
在 Me 作用处，左右横截面 上的剪力相同，弯矩值突变
单辉祖,材料力学教程
M 右 M左 Me
22
例 4-3 载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩
解：1. FS 与 M 图
( l ) F FAy l ( l )F FS ( ) FAy l
M ( ) FAy F 1 l
第4章
弯曲内力
本章主要研究: 直梁弯曲内力 载荷与弯曲内力间的微分关系 刚架弯曲内力
单辉祖,材料力学教程 1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 梁的外力与计算简图 剪力与弯矩 剪力、弯矩方程与图 FS , M 与 q 间的微分关系 非均布载荷梁的剪力与弯矩 刚架的内力
2
单辉祖,材料力学教程
FS－剪力 M－弯矩
Fy 0 , FAy F1 FS 0
故 FS FAy F1 故 M FAybF1 ( ba )
n i 1
M C 0,
M F1 ( b a ) FAyb 0
FS ( Fi )一侧
i 1 n
M ( mCi )一侧
在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反 的外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正 单辉祖,材料力学教 程
画弯矩图
M ql q x x2 2 2
－二次抛物线
土建等类技术部门画法
单辉祖,材料力学教程 18
例 题
例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
FAy bF l FBy aF l
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AC 段 bF FS1 FAy , (0 x1 a ) l bF M 1 FAy x1 x1 , (0 x1 a ) l 单辉祖,材料力学教程 CB 段 aF FS2 FBy , (0 x2 b ) l aF M 2 FBy x2 x2 , (0 x2 b ) l 19
单辉祖,材料力学教程 5
§2 梁的外力与计算简图
约束形式与反力 梁的类型
单辉祖,材料力学教程
6
约束形式与反力
主要约束形式与反力
可动铰支座，垂直于支承平面的支反力 FR 固定铰支座，支反力 FRx 与 FRy 固定端，支反力 FRx , FRy与矩为 M 的支反力偶
单辉祖,材料力学教程 7
l/2 FS 3 ql 8
C
l/2
B
x
(b)
3l 8
x 1 ql 8 x
(c) M 1 ql2 9 ql2 16 128
31
本堂结束！
单辉祖,材料力学教程
32
作 业
• 10-3，10-4
33
qa 2 M 2 qax2 2 (0 x2 a )
21
(0 x1 a )
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
弯矩图：
FS2 qa
qa 2 M 2 qax2 2 qa 2 2
qx12 M1 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
x 1 ql 8 x
(c) M 1 ql2 9 ql2 16 128
取得极值。
d M ( x) 0 dx 3 x l 8 ( FS1 ( x) 0) 3 9 M1( l) ql 2 8 128
27
补充例题：
CB段内 弯矩方程是x的一次函数，分别求出两个端点的 弯矩，并连成直线即可。
1 2 M C ql 16
解：
F
y
0, FSE FAy 0
FSE FAy 2F
l M E M e FAy 0 2
l M 0 , M F E Ay M e 0 C 2
FSA FAy 2F
单辉祖,材料力学教程
M A M e FAy Δ Fl
29
补充例题：
（b）从剪力图可见，随x的增大剪力FS由正值逐渐变 为负值，故弯矩图切线的斜率 d M x 也应随x的增大而由 dx 正值逐渐变为负值；且在 FS 0 的截面处d M x 0 ，即 dx 弯矩图切线的斜率为零而弯矩有极值；
q (a)
A
l/2 FS 3 ql 8
C
3. 画剪力与弯矩图 剪力图:
FS1 bF l FS2 aF l
弯矩图:
M1
bF x1 l
M2
aF x2 l
最大值:
FS, max
bF （b a 时） l
M max
Fab l
4. 讨论
在 F 作用处, 左右横截面上 的弯矩相同, 剪力值突变
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q (a) A C B l/2 x
MB 0
l/2
FS 3 ql 8
我们可以发现，对于该梁
来说有
d FS x q dx d M x FS x dx d 2 M x q 2 dx
(b)
3l 8
x 1 ql 8 x
(c) M
1 ql2 9 ql2 16 128
28
补充例题：
而且，这微分关系也体现在该梁的剪力图和弯矩图中： （a） 当梁上有向下的均布荷载时，剪力图为一条 直线，其斜率 d FS x 为负； dx
q (a) A l/2 FS 3 ql 8 (b) 3l 8 C l/2 B x
x 1 ql 8 x
(c)
M
1 ql2 9 ql2 16 128
9
剪力与弯矩
FS－剪力 M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
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正负符号规定
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶部受 压的弯矩为正
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11
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12
剪力与弯矩计算
l/2
B
x
(b) (c) M
3l 8
x 1 ql 8 x
1 ql2 9 ql2 16 128
30
补充例题：
d 2 M x d 2 M x q 可知，弯矩图的曲率 （c）由 为 2 2 dx dx 负，亦即在弯矩图的纵坐标如图中那样取向下为正时，
弯矩图为下凸的二次曲线。
q (a)
A
25
CB段：
补充例题：
3．求控制截面内力，绘FS , M图 FS图：
AC段内 剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求
出两个端截面的剪力值即可
3 1 FS A右 ql FSC左 ql 8 8 CB段内 剪力方程为常
q
A l/2 FS 3 ql 8 C l/2
数，求出其中任一截 面的内力值连一水平 线即为该段剪力图。
FS 右 FS左 F
20
例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
qa 2 FCy qa , M C 2
BC 段
FS1 qx1 (0 x1 a )
qx12 M1 2
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FS2 qa (0 x2 a )
ql 2
FS , M 沿杆轴（x轴）变化的解析表达式
FS FS ( x ) －剪力方程
M M ( x ) －弯矩方程
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剪力与弯矩图
表示 FS 与 M 沿杆轴（ x轴）变化情况 的图线，分别称为剪力图与弯矩图 画剪力图
ql qx －直线 2 ql ql FS (0) , FS ( l ) 2 2 FS
§1 引 言
弯曲实例
弯曲及其特征
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3
弯曲实例
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4
弯曲及其特征
三 种 外 载 荷 形 式 外力特征： 外力或外力偶的矢量垂直于杆轴
变形特征：杆轴由直线变为曲线 弯曲与梁： 以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲 以弯曲为主要变形的杆件－梁
计算简图：画计算简图时，通常以轴线代表梁