高二下期期末模拟试题理科2011.12.31

宁远一中高二年级质量检测试题（必修5+选修2-1）
理 科 数 学 2011.12.31
一、选择题（每小题5分，共60分．只有一项是符合题目要求的）
1、等差数列{}n a 中，52a =,则9S 等于( ) A ．2 B ．9 C ．18 D ．20
2、下列各式中最小值为2的是（ ）B A
．
2 B
C ．b a a b +
D ．1sin sin x x +
3、在ABC ∆中，60,2,A AB =︒=
且ABC S ∆=
，则BC=( ) A
． B ．3 C
D ．7 4、设:11p x x <->或; :21q x x <->或,则p q ⌝⌝是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5、在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B B C C =++,则A ∠=（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒
6、如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．()+∞,0
B ．()2,0
C ．()+∞,1
D ．()1,0
7、在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是( )
A.AB
→与A′C′→ B.AB →与C′A′→ C.AB
→与A′D′→ D.AB →与B′A′→ 8、在R 上定义了运算“*”： (1)x y x y *=-;若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,1-
B ．()1,2
C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．31,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
二、填空题（本大题共5个小题，共25分）
9、命题“实数x 都有立方根”的否定是 。

10、若1234,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则2345
22a a
a a ++= 。

11、若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 12、设,x y R +∈ 且19
1x y
+=,则x y +的最小值为________.
13、点P 是抛物线y 2 = 4x 上一动点，则点P 到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离
之和的最小值是 .
14、已知a ，b ，c 两两夹角都是60°，其模都是1，则|a －b ＋2c|＝________.
15、下列判断：
（1）命题“若q则p”与“若p
⌝则q
⌝”互为逆否命题；
(2)“22
am bm
<”是“a b
<”的充要条件；
（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；
（4）命题“{}
1,2
∅⊆”为真命题，其中正确的序号是。

11、______________ 12、______________ 13、______________
14、______________ 15、______________
三、解答题（本大题共5个小题，共75分）
16、(本题满分12分)已知命题p：2c<c,和命题q：2
x x4cx10
R
∀∈++>
，且p∨q 为真，p∧q为假，求实数c的取值范围。

17、(本题满分12分) 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csin A.
(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，且△ABC的面积为33
2，求a＋b的值．
18．(本题满分13分)某工厂用64万元引进一条年产值38万元的生产线，为维持该生产线的正常工作，第一年需各种费用5万元，从第二年开始，包括各种费用在内，每年所需费用均比上一年增加2万元。

（Ⅰ）该生产线第几年开始盈利（总收入减去成本及所需费用之差为正值）？ （Ⅱ）到哪一年的年平均盈利最大，最大盈利是多少？
19、如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．
（1）求O 点到面ABC 的距离；
（2）求异面直线BE 与AC 所成的角余弦值； （3）求二面角E AB C --的大小余弦值．
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
20．(本小题满分13分)已知椭圆的两焦点为1F (，2F ，离心率e = （Ⅰ）求此椭圆的方程。

（Ⅱ）设直线2
x
y m =
+与椭圆交于P,Q 两点，且PQ 的长等于椭圆的短轴长，求m 的值。

21．(本小题满分13分)
在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足()20n n n n S S a a -+=
（Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求n S 和数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅲ）设n n S
b n
=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
宁远一中高二年级质量检测题参考答案
一、选择 CBAA CDBC 二、填空
9、存在实数x 没有立方根 10、1/4 11、（±0,7） 12、16
13、2 14、5 15、（1）（3）(4) 三、解答题
16．解：由不等式2c <c ,得01c <<，即命题p ：01c <<，所以命题p ⌝：0c ≤或1c ≥，
又由2(4)40c -<，得1122c -<<，得命题q ：1122c -<< 故q ⌝：12c ≤-或1
2
c ≥，
由题知：p 和q 必有一个为真一个为假。

当p 真q 假时：112c ≤<
当q 真p 假时：1
02c -<≤
故c 的取值范围是： 102c -<≤或1
12c ≤<。

17．(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，a c ＝
2sin A 3
＝sin A sin C . ∵sin A ≠0，∴sin C ＝3
2. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π
3
.
(2)∵c ＝7，C ＝π3，由面积公式得 12ab sin π3＝33
2，即ab ＝6.①
由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π
3＝7， 即a 2＋b 2－ab ＝7，
∴(a ＋b )2
＝7＋3ab .② 由①②得(a ＋b )2
＝25，故a ＋b ＝5.
18．解：（Ⅰ）设第n 年的盈利为y 万元，则：2238(4)643464y n n n n n =-+-=-+-
由0y >，得232n << 所以，从第三年开始，生产线开始盈利。

（Ⅱ）年平均盈利为2346464343418y n n n n n n -+-==--+≤-=
当且仅当64
n n
=，即8n =时，等号成立。

所以，到第8年的年平均盈利最大，最大盈利为18万元。

19、解OH=
OA OD AD 3∙＝＝
，BM ＝2.
由余弦定理可求得cos ∠BEM ＝
25，cos θ 20．解：（1）2
3
,
3=
=a c c ，3,2==⇒c a ，所以1=b 所以，椭圆的方程为：2
214
x y +=。

（2）由题联立方程m
x y y x +==+2
1
1
422
消去y ，得到关于x 的方程：222220x mx m ++->
由△2244(22)0m m =--> 解得：22m <
设P 11(,)x y ，Q 22(,)x y 122x x m +=-，21222x x m =-
PQ =
=
=
2=
所以：m = （3）设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ，MN 的中点为P (,)x y
又1212x +x x y +y 2y ==2，，1212y -y 1
x -x 2=
即20x y +=
因为P
在椭圆内部，可求得x
<所以线段MN 的中点P 的轨迹方程为20x y +=（x <
21．解：（Ⅰ）∵1(2),n n n a S S n -=-≥且()20n n n n S S a a -+=
∴1120n n n n S S S S --+-=（） 即n n-1111
2
S S -
= 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1
2为公差的等差数列。

（Ⅱ）∵n 1n+1
2S =
∴n 2n+1S = ∴当n 2≥时，n n n-12a n n+1S S -=-=（）
因为11a =不满足上式
所以
（Ⅲ）n n b n S =，
∴n 2b n n =，（+1）∴n 2n
n 1
T =+
22112222x 4y 4x 4y 4
+=+= 两式相减得1
2
121212
y -y x +x y +y 0x -x =（）+4（） 1n 2
n n n+1-≥， =1
，2
（）
∴n a =。