2017-2018学年高一暑假作业：三角函数--《三角函数的图像与性质》 Word版含解析
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的一类特殊函数，以其图像的周期性和性质的多样性而被广泛研究和应用。
本文将介绍三角函数的图像特点和基本性质。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
其图像为周期性曲线，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的值在[-1,1]之间变化。
图像在x轴上的零点是正弦函数的特殊点，记为x=kπ，其中k为整数。
正弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
正弦函数的性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。
余弦函数的图像也是周期性曲线，其周期同样为2π。
在一个周期内，余弦函数的值同样在[-1,1]之间变化。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
余弦函数的性质：1. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中另一个常见的函数，用tan(x)表示。
正切函数的图像为周期性曲线，其周期为π。
正切函数的图像在x=kπ+π/2时会出现无穷大的间断点，即tan(x)在这些点是无界的。
正切函数的性质：1. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数在过一个周期后会重复。
2. 奇偶性：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他与它们密切相关的三角函数。
1. 反正弦函数：用arcsin(x)表示，表示一个角的正弦值等于x，返回值在[-π/2, π/2]之间。
三角函数图像与性质
三角函数图像与性质在数学中，三角函数是研究角与角度关系的一类函数。
其中最重要的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，尤其是在研究周期性现象时起到了关键作用。
本文将详细介绍三角函数的图像特征和性质。
正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用符号$\\sin$表示。
它的图像是一条连续的波浪线，呈现出周期性的特点。
正弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，正弦函数的取值分别为0、1、0、-1和0。
正弦函数是奇函数，即$\\sin(-x)=-\\sin(x)$，具有对称性。
余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用符号$\\cos$表示。
它的图像类似于正弦函数，也是一条连续的波浪线，同样呈现周期性。
余弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，余弦函数的取值分别为1、0、-1、0和1。
余弦函数是偶函数，即$\\cos(-x)=\\cos(x)$，具有对称性。
正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用符号$\\tan$表示。
它的图像是一组相互平行的直线，具有间断点。
正切函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，在某些特殊角度上可能不存在定义，例如在90度和270度时。
正切函数的值域为整个实数集$\\mathbb{R}$。
正切函数是奇函数，即$\\tan(-x)=-\\tan(x)$。
三角函数的性质除了上述基本性质外，三角函数还有一些重要的性质：1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$范围内图像重复；2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；3.最值：正弦函数和余弦函数的最大值为1，最小值为-1；正切函数在定义域内取值范围较广；4.单调性：正弦函数、余弦函数和正切函数在各自的定义域上具有不同的单调性特点。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要函数，由于其广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域，对三角函数的图像和性质进行了深入的研究。
本文将就三角函数的图像和性质展开讨论。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示，其中x是一个实数。
正弦函数的图像可以通过绘制函数y = sin(x)来得到，横坐标x 表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示sin(x)的值。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期是2π（360度）。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。
3. 定义域和值域：正弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。
4. 最值：正弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数的另一个重要代表，用cos(x)表示，其中x是一个实数。
余弦函数的图像可以通过绘制函数y = cos(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示cos(x)的值。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数也是周期性函数，其周期是2π（360度）。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。
3. 定义域和值域：余弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。
4. 最值：余弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种形式，用tan(x)表示，其中x是一个实数。
正切函数的图像可以通过绘制函数y = tan(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示tan(x)的值。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数是周期性函数，其周期是π（180度）。
2. 对称性：正切函数是奇函数，即满足tan(-x) = -tan(x)。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。
在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。
2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
幅度越大，波峰和波谷的差值越大。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。
举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。
举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。
初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习5.4 三角函数的图像与性质(学生版)
5.4三角函数的图象与性质【知识梳理】知识点正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )|π【基础自测】1．函数f (x )＝－2tan x ()A.∈R |x ≠π6B.∈R |x ≠－π12C.∈R |x ≠k π＋π6(k ∈Z )D.∈R |x ≠k π2＋π6(k ∈Z )2．下列函数中周期为π2，且为偶函数的是()A ．y ＝sin 4xB ．y ＝cos 14xC ．y ＝xD ．y ＝3．y ＝cos [0，π]上的单调递减区间为()A.π4，3π4B.0，π4C.3π4，π D.π4，π4．函数y ＝3cos x ＝________时，y 取最大值．5．函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈－π4，π4的值域为________．【例题详解】一、三角函数的定义域例1(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)函数y ＝tan ()A.|x ≠π4 B.|x ≠－π4C.|x ≠k π＋π4，k ∈ZD.|x ≠k π＋3π4，k ∈Z 跟踪训练1(1)函数f (x )＝ln(cos x )的定义域为()A.π－π2，k πk ∈Z B ．(k π，k π＋π)，k ∈ZC.k π－π2，2k πk ∈ZD ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z(2)函数y =的定义域为__________．二、三角函数的值域例2(1)函数12sin y x =+，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是（）A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．1322⎡⎢⎣⎦D ．[]0,2(2)函数y =tan （2x +4π），x ∈（0，6π]的值域是______．(3)函数y ＝4cos 2x ＋4cos x －2的值域是（）A ．[]2,6B ．[]3,6-C ．[]2,4－D ．[]3,8-跟踪训练2(1)函数cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为（）A ．[0，1]B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)函数()2cos 2sin 1=-+f x x x ，,26x ππ⎡∈⎤-⎢⎣⎦的值域为____________．题型三、三角函数的周期性例3(1)下列函数中，是周期函数的为()A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)0(2)在函数①，②，③,④中，最小正周期为的所有函数为A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③跟踪训练3下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A ．sin(22y x π=-B ．cos(22y x π=-C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=+题型四、三角函数的对称性例4(1)若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（）A ．12x π=-B ．0x =C ．6x π=D ．23x π=(2)函数()2tan 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心可以是（）A ．π ,06⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π ,018⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π ,16⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π ,118⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)已知函数()()sin 2f x x ϕ=+的图像关于直线3x π=对称，则ϕ可能取值是（）.A ．2πB ．12π-C ．6πD ．6π-跟踪训练4(1)函数3cos 28y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个对称中心是（）A ．,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,016π⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,016π⎛⎫⎪⎝⎭(2)如果函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点4(,0)3π对称，那么|φ|的最小值为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π题型五、三角函数的单调性例5(1)函数12tan(23y x π=-++的单调递增区间是（）A ．5(2,2)33k k ππππ-+，Z k ∈B ．5(2,2)33k k ππππ-+，Z k ∈C ．5(,)33k k ππππ-+，Z k ∈D ．5(,)33k k ππππ-+，Z k ∈(2)已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan(7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b<c<a C ．c b a <<D ．c<a<b(3)函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为___________.跟踪训练5(1)函数π)3y x -的单调增区间是__________．(2)下列各式中正确的是（）A ．3tantan 55ππ>B ．tan2tan3>C ．1723cos cos 45ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【课堂巩固】1．函数2tan 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是（）A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．2⎡⎤-⎣⎦D ．⎡⎤⎣⎦2．设sin 33,cos 55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>3．下列关系中，正确的是（）A ．526log 4log 3log 4<<B ．135246311422⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．sin1sin 2sin 3<<D ．cos 2cos 3cos 4>>4．已知函数()2tan(2)f x x φ=-+，(0)2πφ<<，其函数图象的一个对称中心是(,0)12π，则该函数的一个单调递减区间是（）A ．5(,)66ππ-B ．ππ(,)63-C ．(,)36ππ-D ．5(,)1212ππ-5．已知函数()sin()2f x x x R π=-∈，下面结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称D ．函数()f x 是奇函数6．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．15[,]24B ．13[,24C ．1(0,]2D ．(0,2]7．已知函数()1tan 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 的值域是{}0y y y ∈≠R 且C ．直线53x π=是函数()f x 图像的一条对称轴D ．()f x 的递减区间是22,233k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦，k ∈Z 8．函数3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[](),0x π∈-的单调递增区间为__________．9．函数()1)f x x =-的定义域为_____________．10．已知sin1,cos1,tan1a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为__________.11．关于下列命题：①若,αβ是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；②函数sin()2y x ππ=-是偶函数；③函数sin(2)3y x π=-的一个对称中心是(,0)6π；④函数5sin(23y x π=-+在,1212π5π[-上是增函数，所有正确命题的序号是_____．12．已知函数()13tan()23f x x π=-.(1)求()f x 的定义域、值域；(2)探究()f x 的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性.【课时作业】1．函数1sin y x =-的最大值为（）A ．1B ．0C ．2D ．1-2．已知2a log 3=，121b ()3=，c tan2=，则下列关系中正确的是()A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b>>3．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的说法的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数()()26x f x tan π=-的单调递增区间是（）A ．24[2,2]33k k ππππ-+，k ∈Z B ．242,233k k ππππ-+（，k ∈Z C ．24[4,4]33k k ππππ-+，k ∈Z D ．244,433k k ππππ-+（，k ∈Z 5．已知函数()()()2sin 10,f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是（）A ．513,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈B ．713,336k k πππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈C ．212,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈D ．112,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈6．已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，且()0f ，则不等式()10f x + 的解集为（）A ．()72,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()72,21212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5114,466k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()74,466k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦7．设()cos f x x =,()ln2a f =,()ln b f π=,c 1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系式正确的是（______）A ． a b c >>B ．.b c a >>C ． a c b >>D ．b ac >>8．函数()ln ,0sin 4,04x x x f x x x ππ+>⎧⎪=⎨⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有（）个不同的零点A ．3B ．4C ．5D ．69．（多选）若函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（）A ．函数()y f x =的图象与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象重合B ．33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．062f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．存在唯一的00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0910f x =10．函数 y cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为________.11．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，()0,ϕπ∈是偶函数，则ϕ=______.12．已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=-在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是_______．13．若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是__________（写出一个满足题意m 的值即可）．14．给出下列四个命题：①函数()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴是712x π=；②函数()tan =f x x 的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；③若12sin 2sin 2044x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12x x k π-=，其中Z k ∈；④函数2cos sin y x x =+的最小值为1-.以上四个命题中错误的个数为____________个.15．已知函数()()2cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）求()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值.16．已知函数()π2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)令()π3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．17．若x ∈[－3π，4π]，求函数y ＝21cos x ＋2tanx ＋1的最值及相应的x 的值．18．求下列函数的值域：（1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π；（2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ．。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要的函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），以及它们的倒数函数（csc，sec，cot）。
下面是关于三角函数的一些图像与性质：1. 正弦函数（sin）的图像：正弦函数是一个周期函数，它的图像在一个周期内呈现出振荡的形式，取值范围在-1到1之间。
当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，正弦函数的值为0、1、0、-1，分别对应于函数的最小值、最大值、0点和最大负值。
2. 余弦函数（cos）的图像：余弦函数也是一个周期函数，它的图像与正弦函数的图像非常相似，只是相位差了π/2。
余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，余弦函数的值依次为1、0、-1、0。
3. 正切函数（tan）的图像：正切函数的图像在每个周期上有无穷多个交点，它的值可以为任何实数。
正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，即tan(x) =sin(x) / cos(x)。
当自变量取π/2、3π/2、5π/2等特殊值时，正切函数的值为正无穷大；取-π/2、-3π/2、-5π/2等特殊值时，正切函数的值为负无穷大。
4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，它们的周期分别为2π、2π和π。
这意味着，当自变量增加一个周期时，函数的值将重复出现。
例如，sin(x + 2π) = sin(x)。
5. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) =f(x)。
这些是关于三角函数图像与性质的一些基本信息，三角函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三角函数的定义、图像和性质
极值点：函数 在其周期内取 得最大值和最 小值的点，即 最值点的横坐 标
0 4
诱导公式
三角函数的诱导 公式是三角函数 性质的重要组成 部分，它可以帮 助我们简化复杂 的三角函数计算。
添加标题
诱导公式包括正 弦、余弦和正切 的诱导公式，它 们可以通过三角 函数的周期性和 对称性推导出来。
添加标题
奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x) 的函数
偶函数：满足f(-x)=f(x) 的函数
奇偶性的判断方法：根据 定义来判断
奇偶性在三角函数中的应 用：判断函数的图像对称
性
最值和零点
最大值和最小 值：三角函数 在其周期内可 以达到的最大 和最小值
0 1
零点：函数值 为零的点，即 解方程的根
0 2
周期性：三角 函数图像呈现 周期性变化， 每个周期内存 在一个最大值 和一个最小值
利用诱导公式， 我们可以将任意 角的三角函数转 化为锐角或0到 360度之间的角的 三角函数，从而
简化计算。
添加标题
诱导公式在三角 函数的图像和性 质中有着广泛的 应用，可以帮助 我们更好地理解 三角函数的性质
和图像。
添加标题
THANK YOU
汇报人：XX
三角函数的定义、 图像和性质
汇报人：XX
目录
01 三 角 函 数 的 定 义 02 三 角 函 数 的 图 像 03 三 角 函 数 的 性 质
01
三角函数的定义
正弦函数
定义：正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。 图像：正弦函数的图像是一个周期函数，形状类似于波浪。 性质：正弦函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
2017-2018学年高一数学暑假作业(三角函数图像及性质及应用)
高一年级数学数学暑假作业作业4：三角函数图像和性质及应用作业时间：60分钟；完成时间：月日一．选择题（共6小题）1．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．22．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．3．若函数y=Asin（ωx+φ）+h的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下列符合条件的函数解析式是（）A．y=2sin（4x+）+2 B．y=2sin（4x+）+2C．y=2sin（2x+）+2 D．y=4sin（4x+）4．已知函数f（x）=sin（2x+），下列说法正确的是（）A．关于直线x=﹣对称B．关于点（）对称C．f（x）是定义在R上的奇函数D．最小正周期为2π5．设函数（），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．6．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x∈R，都有，若函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣2，则的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．二．填空题（共3小题）7．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则=．8．设函数y=cos x的图象位于y轴右侧的所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，A n，…，则A50的坐标是．9．已知函数f（x）=πcos（+），如果存在实数x1、x2，使得对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是．三．解答题（共3小题）10．已知a=2（cosωx，cosωx），b=（cosωx，sinωx）（其中0＜ω＜1），函数f （x）=a•b，若直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴，（1）试求ω的值；（2）先列表再作出函数f（x）在区间[﹣π，π]上的图象．11．在△ABC中，∠C=60°，BC=a，AC=b，a+b=16．（1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．（2）当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f （x﹣2）+2．（1）分别写出该商品每件的出厂价函数f（x）、售价函数g（x）的解析式；（2）问哪几个月能盈利？高一年级数学数学暑假作业参考答案及解析作业4：三角函数图像和性质及应用作业时间：60分钟；完成时间：月日一．选择题（共6小题）1．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．2【分析】可令F（x）=|sinx﹣cosx|求其最大值即可．【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx令F（x）=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系．属基础题．2．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．。
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2017-2018学年三角函数的图像与性质
【知识回顾】
1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：（自己填写）
2.三角函数的图像变换：
法一：函数错误！未找到引用源。
的图象上所有点向左（右）平移错误！未找到引用源。
个单位长度，得到函数错误！未找到引用源。
的图象；再将函数错误！未找到引用源。
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的错误！未找到引用源。
倍（纵坐标不变），得到函数错误！未找到引用源。
的图象；再将函数错误！未找到引用源。
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的错误！未找到引用源。
倍（横坐标不变），得到函数错误！未找到引用源。
的图象．
法二：函数错误！未找到引用源。
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的错误！未找到引用源。
倍（纵坐标不变），得到函数错误！未找到引用源。
的图象；再将函数错误！未找到引用源。
的图象上所有点向左（右）平移错误！未找到引用源。
个单位长度，得到函数错误！未找到引用源。
的图象；再将函数错误！未找到引用源。
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的错误！未找到引用源。
倍（横坐标不变），得到函数错误！未找到引用源。
的图象．
正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质有哪些？
1．设错误！未找到引用源。
，则（ ）
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
2．已知函数错误！未找到引用源。
下面结论错误的是（ ）
A ．函数错误！未找到引用源。
的最小正周期为错误！未找到引用源。
B ．函数
错误！未找到引用源。
是偶函数
C ．函数错误！未找到引用源。
的图象关于错误！未找到引用源。
对称
D ．函数
错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上是增函数
3．将函数错误！未找到引用源。
的图象向左平移错误！未找到引用源。
个单位，得到函数错
误！未找到引用源。
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．错误！未找到引用源。
是偶函数
B ．错误！未找到引用源。
的周期是错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
的图象关于直线错误！未找到引用源。
对称
D ．错误！未找到引
用源。
的图象关于点
错误！未找到引用源。
对称 4．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是（ ） 错误！未找到引用源。
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ． 错误！未找到引用源。
5．函数错误！未找到引用源。
的一个单调减区间是（ ）
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
6．函数错误！未找到引用源。
的对称中心错误！未找到引用源。
为（ ）
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
7．给出：
①函数错误！未找到引用源。
是奇函数；
②若错误！未找到引用源。
是第一象限角且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
； ③错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上的最小值是－2，最大值是错误！未找到引用源。
； ④错误！未找到引用源。
是函数错误！未找到引用源。
的一条对称轴。
其中正确的序号是 ．
8．函数错误！未找到引用源。
的图象向右平移错误！未找到引用源。
个单位，得到函数
错误！
未找到引用源。
的图象恰好关于错误！未找到引用源。
对称，则函数
错误！未找到引用源。
的单调增区间为________．
9．函数错误！未找到引用源。
，（错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
）的部分图
象如图所示，则错误！未找到引用源。
的值为_________．
10．已知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
的值域．
11．（本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。
的图象在错误！未找到引用源。
轴
上的截距为错误！未找到引用源。
，它在错误！未找到引用源。
轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
，
（1）求函数错误！未找到引用源。
的解析式； （2）求函数错误！未找到引用源。
的单调减区间．
12．函数错误！未找到引用源。
，当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
．
（1）求常数错误！未找到引用源。
的值；
（2）设错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
，求错误！未
找到引用源。
的单调增区间．
三角函数的图像与性质
1．C
【解析】
试题分析：由b =sin 35 ，c =
sin 35
，故
sin 33 < sin 35
<
sin 35
，所cos 35 cos 35
以.
c > b > a
考点：三角函数值的大小比较. 2．C
【解析】
⎛ 3π ⎫
试题分析：利用诱导公式有,
f (x ) = sin 2 x
+
⎪ = -cos 2x
,最小正周期
⎝
2 ⎭
T = 2π
= π ,选项 A 正确；因为
,所
f ( - x ) = - cos( -2 x ) = - cos 2 x = f ( x ) 2
以 2 x = k π, k ∈ z ,当
2
x = k π = π , k = 1 不是整数,不符合,故选项 C 错误；当 0 ≤ x ≤ π 时,
2 2 4
2
⎡ π ⎤
0 ≤ 2x ≤ π , y = cos 2x 在 为减函数,则
⎢
0, ⎥
⎣ 2 ⎦
⎛
3π ⎫
⎡ π ⎤
f (x ) = sin
2 x +
⎪ = -cos 2x
在区间
⎢ 0,
2 ⎥ 上是增函数,选项 D 正确.故
⎝ 2
⎭ ⎣ ⎦
选 C.
考点：1.诱导公式；2.三角函数的性质. 3．C
【解析】
试题分析：由题意得 y = ⎛ π ⎫
= -sin x ，函数是奇函数，周 f ( x ) = cos x +
⎪
⎝
2 ⎭
期为 ，关于直线 x = π
2π 对称
2
考点：三角函数图像平移及性质
4．D
【解析】
试题分析：由题意 T
4 = 12π - ( - π6 ) ，T = π ，则 ω = 2ππ
= 2 ，
sin(2 ⨯ 12π - π
6 ) = 0 ，不合题意，而 cos(2 ⨯ 12π - π
6 ) =1 长凳题意，故选D 考点： f ( x ) = A sin(ωx + φ) 或 f ( x ) = A cos(ωx + φ) 的图象．
5．C 【解析】
试题分析：
2 kπ + π ≤ 2 x - π ≤ 2 kπ + 3π ( k ∈ Z ) ，
2 4 2
kπ + 3π ≤ x ≤ kπ + 7π ( k ∈ Z ) ，
时，
3π ≤ x ≤ 7π
k = 0 ，故选 C ． 8 8 8 8
考点：三角函数的单调性．
6．B
【解析】
2x= kπ x = kπ ，则函数的对称中心为试题分析：令，即y =3 tan 2x
2 4
k π , 0) .
( ( k∈Z )
4
考点：正切型函数的性质. 7．①④
【解析】
试题分析：①y=cos(3
2x+
π
2)= -sin2
3
x，函数为奇函数；②0< α < β <
π
2
时可得tanα <tanβ；③中函数y=2 sin 3
2x，当
x ∈-π
,
π
]∴ 3 ⎡ - π 3 ⎤
x ∈ , π ∴ sin 2 x∈ -1,1 ，所以函数值最大值为 2；
⎥
⎢ [ ]
3 22 ⎣ 2
4 ⎦。