第四章态和力学量表象

且
ˆ 即： Qun ( x) = Qnun ( x)
用力学量算符Q的本征函数展开 波函数 ψ ( x, t ) 用力学量算符 的本征函数展开
∫ u ( x)u
* n
m
( x)dx = δ nm
ψ ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
an (t ) = ∫ u ( x )ψ ( x, t )dx
2
= ∫ ∫ dp′dpc( p′, t )* c( p, t )δ ( p − p′) ′, t )*δ ( p − p′)dp′] = ∫ dpc( p, t )[ ∫ c( p
= ∫ dpc( p, t )c( p, t ) = ∫ c( p, t ) dp = 1
*
2
∫ c ( p, t )
相当于
Ax A = Ay A z
除了坐标表象、动量表象，还有能量表象、 除了坐标表象、动量表象，还有能量表象、 角动量表象等。 角动量表象等。
u 有无限多， 由于{ n }有无限多，则态矢量所在空间 是无限多维的空间，称为希尔伯特空间。 是无限多维的空间，称为希尔伯特空间。
a1 (t ) a (t ) 2 M Ψ = a n (t ) M a (t ) q
* * * * Ψ+ = a1 (t) a2 (t) ⋅ ⋅ ⋅ an (t) ⋅ ⋅ ⋅ aq (t)
2
的概率。 为 Qn 的概率。
(
)
Ψ Ψ =1
(
)
3.归一化条件 归一化条件
ψ ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
* * ψ ( x, t ) dx = ∫ ∑ am (t )um ( x)∑ an (t )un ( x)dx ∫ 2
* = ∑ am (t )an (t ) ∫ u ( x)un ( x)dx nm
m
n * m
类比： 类比： 态ψ
是球坐标系的单位矢量或基矢量
分别是三个方向上的分量。 Ar , Aθ , Aϕ 分别是三个方向上的分量。
r 作为矢量，称为态矢量。 作为矢量，称为态矢量。 （相当于 A ）
选取力学量Q表象。 选取力学量 表象。 表象
（相当于选坐标系） 相当于选坐标系）
ˆ , u , Q 的本征函数 u1 , u2r⋅ ⋅ ⋅r n rL 是Q表象中基矢。 表象中基矢。 表象中基矢 （相当于 i , j , k ）
§4.1
态的表象
1 i ψ p (x) = ex p( px) 1/ 2 h (2πh) r ˆ 且组成完全系， 且组成完全系，态 ψ ( x , t )可以用 p 的本征函数展开
r ˆ 动量 p 本征函数
一、波函数 ψ ( x , t ) 在动量表象中的表示
ψ ( x , t ) = ∫ c ( p , t )ψ p ( x )d p
* n
n
a1(t), a2 (t),⋅ ⋅ ⋅, an (t),⋅ ⋅ ⋅
表象中的表示. 是 ψ ( x , t ) 在Q表象中的表示 表象中的表示
1、定义 、 用力学量算符Q的本征函数展 波函数 ψ ( x, t ) 用力学量算符 的本征函数展 所得到的全部展开系数组： 开，所得到的全部展开系数组： a1 (t ), a2 (t ),⋅ ⋅ ⋅, an (t ),⋅ ⋅ ⋅ 表象中的表示。 称为量子态 ψ ( x, t ) 在Q表象中的表示。 表象中的表示 2、矩阵表示 、 量子态 ψ ( x, t ) 表象中的表示： 在Q表象中的表示： 表象中的表示
+
四、态矢量和希尔伯特空间 形式不同。 一个态在不同的表象中其波函数 形式不同。 如动量为 p 的自由粒子波函数在坐标表象中 表示为 ψ ( x, t ) ；在动量表象中表示为 c( p, t ) 。
r 在三维空间中的一个任意矢量 A 。 r r r v 在直角坐标系中： 在直角坐标系中： A = Ax i + A y j + Az k
∑ a (t )a (t ) + ∫ a (t )a (t )dq = 1
* n n * q q n
an (t ) 是在 ψ ( x, t ) 态中测量力学量 所得结果 态中测量力学量Q所得结果
2
aq (t ) dq 是 ψ ( x, t ) 态中测量力学量 ， 态中测量力学量Q， 所得的概率。 在 q → q + dq 所得的概率。
第四章 态和力学量的表象 r 一个矢量 A 在直角坐标系中可用 ( Ax , Ay , Az )
三个分量表示， 三个分量表示，在球坐标系中用 ( Ar , Aθ , Aϕ ) 三个 分量表示。在不同的坐标系中用不同的分量表示。 分量表示。在不同的坐标系中用不同的分量表示。 量子态是态矢量空间中的一个矢量， 量子态是态矢量空间中的一个矢量，矢量可 以选用不同的基底来表示，不同的基底也就是表 以选用不同的基底来表示， 象理论中的不同的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为 表象。以前所采用的表象是坐标表象。 表象。以前所采用的表象是坐标表象。这一章我 们讨论其他表象， 们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克符 号。
r r r i , j , k 分别直角坐标系中 x, y, z 方向上的单位矢量
称为基矢量 Ax , A y , Az 分别是三个方向上的分量。 分别是三个方向上的分量。
r r r r 在球坐标系中： 在球坐标系中： A = Ar er + Aθ eθ + Aϕ eφ
r r r er , eθ , eϕ
a1 (t ), a2 (t ),⋅ ⋅ ⋅, an (t ),⋅ ⋅ ⋅
可用一列矩阵表示： 可用一列矩阵表示：
a1 a 2 Ψ = M a n M
矩阵
Ψ 的共轭为
Ψ = a (t ) a (t ) ⋅ ⋅ ⋅ a (t ) ⋅ ⋅ ⋅
* 1 * 2 * n +
* * = ∑ am (t )an (t )δ nm = ∑ an (t )an (t ) nm n
* an (t )an (t ) = 1 ∑ n
∫ ψ ( x, t )
2
dx = 1
∫ ψ ( x, t )
2
dx = 1
* an (t )an (t ) = 1 ∑ n
a1 (t ) a (t ) 2 * * * * an (t )an (t ) = (a1 (t) a2 (t ) ⋅ ⋅ ⋅ an (t ) ⋅ ⋅ ⋅ ) M = 1 ∑ n an (t ) M
例：分别在坐标表象、动量表象和能量表象中一维 分别在坐标表象、 无限深阱中基态粒子的波函数的表示。 无限深阱中基态粒子的波函数的表示。
2 π 已知波函数： 已知波函数： ψ 1 ( x) = sin x , (0 ≤ x ≤ a) a a
在坐标表象中： 解： 在坐标表象中：
2
ψ ( x, t ) dx = ∫∫∫ c( p′, t )*ψ * ′ ( x)c( p, t )ψ p ( x)dp′dpdx p ∫ 1 i * = ∫∫∫ c( p′, t ) c( p, t ) exp[ h ( p − p′) x]dp′dpdx 2πh i 1 * = ∫ ∫ c( p′, t ) c( p, t )dp′dp ∫ exp[ ( p − p′) x]dx 2πh h
ˆ Qu n ( x) = Qnu n ( x)
ˆ Quq ( x) = quq ( x)
本征值： 本征值：Q1 , Q2, ⋅ ⋅⋅, Qk ,⋅ ⋅ ⋅, q ( q 是连续谱) 是连续谱 归一化本征函数： u1 ( x), u 2 ( x),⋅ ⋅ ⋅, u k ( x),⋅ ⋅ ⋅, u q ( x) 归一化本征函数： 用力学量算符Q的本征函数展开 波函数 ψ ( x, t ) 用力学量算符 的本征函数展开
r 例1: 求动量为 p′ 的自由粒子波函数在动量表象中的表示 r 解： 动量为 p′的自由粒子在坐标表象中的波函数 的自由粒子在坐标表象中 坐标表象中的波函数 r 1 i r r ψ (r , t ) = exp( p′ ⋅ r − E p′t ) 3/ 2 h (2πh )
c( p, t ) 是动量表象中的波函数。 是动量表象中的波函数。
简记为： 简记为：
Ψ+Ψ = 1
Q表象 实际上就是以 算符的本征函数为基底的表象 表象,实际上就是以 算符的本征函数为基底的表象. 表象 实际上就是以Q算符的本征函数为基底的表象
三、推广到既有分立谱也有连续谱 算符的本征值是既有分立谱也有连续谱,即 若Q算符的本征值是既有分立谱也有连续谱 即 算符的本征值是既有分立谱也有连续谱
二、波函数 ψ ( x, t ) 在力学量Q表象的表示 分立谱) 在力学量 表象的表示(分立谱 表象的表示 分立谱 已知力学量Q的本征值： 已知力学量 的本征值： Q1 , Q2 ,⋅ ⋅ ⋅, Qn ,⋅ ⋅ ⋅ 的本征值 对应的本征函数： 对应的本征函数：
u1 , u2 ,⋅ ⋅ ⋅, un ,⋅ ⋅ ⋅
2
dp = 1
ψ ( x, t ) dx 是粒子在态 ψ ( x, t ) 中测量粒子位置
2
范围中概率； 在 x → x + dx 范围中概率； 2 c( p, t ) dp 是粒子在态 ψ ( x, t )中测量粒子动量 范围中的概率。 在 p → p + dp 范围中的概率。 ψ ( x, t ) 已知，c( p, t ) 则能确定，表明二者是 已知， 则能确定， 描述同一个状态。 描述同一个状态。 是坐标表象中波函数。 ψ ( x, t )是坐标表象中波函数。
展开式中系数： 展开式中系数：
c ( p , t ) = ∫ ψ ( x , t )ψ ( x )d x 若态 ψ ( x, t ) 是归一化函数