河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.1平面向量的实际背景及其基本概念限时训练 新人教A版必修4
高中数学学案1：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念【课标要求】1．了解向量的实际背景，从位移、力等物理背景中抽象出向量． 2．理解向量的概念，相等向量的概念及向量的几何表示． 3．掌握向量的概念及共线向量的概念． 【核心扫描】1．向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．(重点) 2．共线向量的概念．(难点)3．向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线的联系．(易混点)新知导学1．向量既有 ，又有 的量叫向量．温馨提示：本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． 2．向量的几何表示 (1)有向线段带有 的线段，叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (2)向量的几何表示法以A 为 ，以B 为 的有向线段记作AB →. 如果有向线段AB →表示一个向量，通常我们就说向量AB →. (3)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 温馨提示：向量可以用有向线段表示，但不能说向量是有向线段． 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度为 的向量叫做单位向量． (3)相等向量： 且 的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向 的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b .②规定：零向量与 平行．温馨提示：注意0与0的含义与书写的区别：前者表示实数零，后者表示零向量．互动探究探究点1 两个向量能比较大小吗？探究点2 向量与有向线段有什么区别？探究点3 向量AB →与向量BA →是相等向量吗？题型探究类型一 向量的概念 【例1】 给出下列命题： (1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； (2)向量的模一定是正数；(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (4)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________．[规律方法] 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 【活学活用1】 下列命题中，正确的是( )． A ．a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等 B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C ．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同 D ．共线的单位向量必是相等向量 类型二 向量的表示【例2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.[规律方法] 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．【活学活用2】 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．类型三 相等向量与共线向量【例3】 如图，四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形．(1)找出与向量AB →共线的向量；(2)找出与向量AB →相等的向量．[规律方法] 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．【活学活用3】 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？易错辨析 对零向量理解错误【示例】 下列说法中错误的是( )． A ．零向量是没有方向的 B ．零向量的长度为0 C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的[错解] B 或D[错因分析] 误认为零向量没有方向．另外，没有理解零向量的长度的意义． [正解] A[防范措施] 零向量是规定了模为0的向量，其方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量平行，但并不是没有方向.课堂达标1．下列各量中不是向量的是( ) A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2．下列说法正确的是( )A ．共线向量是在同一直线上的向量B ．平行向量方向相同C ．共线向量一定相等D ．平行向量一定是共线向量3．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________．4．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．5．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．课堂小结1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．参考答案新知导学1．向量 大小 方向 2．向量的几何表示(1)方向 (2)起点 终点 3．与向量有关的概念(1) 0 (2) 1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 任一向量互动探究探究点1 【提示】向量有方向、大小双重性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小．探究点2 【提示】 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．探究点3 【提示】不是．向量AB →与向量BA →的大小相等，但是方向相反，所以这两个向量不是相等向量.题型探究类型一 向量的概念 【例1】 (3)【解析】(1)错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． (2)错误.0的模|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上． 【活学活用1】 B【解析】若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量． 类型二 向量的表示【例2】 【解】(1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．【活学活用2】 【解】根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．类型三 相等向量与共线向量【例3】 【解】(1)依据图形可知DC →，ED →，EC →与AB →方向相同，BA →，CD →，DE →，CE →与AB →方向相反，所以与向量AB →共线的向量为BA →，CD →，DC →，ED →，DE →，EC →，CE →.(2)由四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形，知DC →，ED →与AB →长度相等且方向相同， 所以与向量AB →相等的向量为DC →和ED →.【活学活用3】 【解】(1)与AO →相等的向量为：OC →、BF →、ED →. (2)与AO →共线的向量为：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等．课堂达标1．D【解析】由向量的定义和题中物理量的含义知，浮力、风速及位移均有大小和方向，而密度只有大小而没有方向，故选D. 2．D【解析】考查平行向量与共线向量的关系，平行向量就是共线向量． 3．0【解析】0与任意向量平行，故a ＝0. 4．①②③【解析】正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确． 5．【解】(1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。
2.1平面向量的实际背景及基本概念(第一课时)教案 (1)
2.1平面向量的实际背景及基本概念（第一课时）龙宝中学李连代教学目标：知识与技能：了解向量的物理背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
过程与方法：经历类比方法的学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生感受向量的概念，方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣。
重点：理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念、会表示向量。
难点：向量的相关概念，平行向量学法指导：探究式和类比式学习教学设计：章头图解释重庆实施畅通重庆以来，万州的高速的得到突飞猛进的发展，这是渝宜高速路上的一张图片，加入你开着一辆小车行驶在这条路上，看到路标，你想到了什么？T:这就是本章所研究的——平面向量，平面向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，就像图中的高速路一样，是解决几何问题的高速路，本章主要研究5个方面的内容，下面我们听着音乐带着问题进入今天的课堂。
展示课题——2.1平面向量的实际背景及基本概念学案（第一课时）一、向量概念的形成1、让学生感受引入概念的必要性引子：新华网东京3月30日电：日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能落入日本境内的朝鲜发射物。
不考虑其他因素，导弹击中拦截目标取决于导弹运行的路程还是位移？意图：向量概念不是凭空产生的．用这一简单、直观例子中的“位移不仅有大小，而且有方向”，让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容．S:位移T;路程和位移的区别？（根据物理知识学生容易回答）T：问题1：你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？意图：激活学生的已有相关经验．（学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量．）概念抽象需要典型丰富的实例．让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备．T：由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向．类似于从一支笔、一本书、一棵树……中抽象出只有大小的数量1，数学中对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量——向量（板书概念）．二、向量的表示问题: 数学中，定义概念后，通常要用符号来表示它．怎样把你所举例子中的向量表示出来呢？（例如：由同学们举的例子中发现，力是向量，请同学们画出一个竖直向上，大小为20N的力怎样表示？）意图：让学生先尝试向量的表示方法，自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量．（让学生在黑板上画．学生画了用带有箭头的线段表示力，开始时没有对带箭头的线段加注起点、终点的字母，也没有给出大小，教师引导学生不断完善，最终形成了用带箭头的线段表示向量．有的学生还标出了单位长，以比较两个向量的大小．）T：看来大家都认为用带箭头的线段表示向量比较好．在初中，常用AB，CD，a，b，c等表示线段．现在，我们能否用AB，CD，a，b，c表示向量？S:学生自然想到字母上面加箭头表示向量T: 展示课件加深对向量的几何表示和代数表示，强调有向线段的三要素：起点、大小、方向。
高中数学 第2章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案(含解析)高一数学教案
2.1 平面向量的实际背景及基本概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB→|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB →，CD →.思考：(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．3．向量的有关概念123n )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [①②③不是向量，④⑤是向量．]3．已知|AB →|＝1，|AC →|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC →|＝ ．3 [三角形ABC 是以B 为直角的直角三角形，所以|BC →|＝22－12＝ 3.]4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相等的向量是 (填序号)． (1)AD →与BC →；(2)OB →与OD →；(3)AC →与BD →；(4)AO →与OC →.(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD →＝BC →，OB →≠OD →， AC →≠BD →，AO →＝OC →.]向量的有关概念 【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a |＝|b |，若a 与b 的方向相同，则a ＝b ；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．思路点拨：解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b .(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．2．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．1．给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若单位向量的起点相同，则终点相同．③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ．③ [①错误．若b ＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD→必须在同一直线上．]向量的表示及应用写出 个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： ①OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°；②AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东；③BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.(1)12 [可以写出12个向量，分别是：AB →，AC →，AD →，BC →，BD →，CD →，BA →，CA →，DA →，CB →，DB →，DC →.](2)[解] ①由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．②由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．③由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC→如图所示．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →的模．[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)，所以|AD →|＝55米.相等向量和共线向量 1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．若AB →∥CD →，则从直线AB 与直线CD 的关系和AB →与CD →的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况(1)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →同向；(2)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →反向；(3)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →同向；(4)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →反向．【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．思路点拨：根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．[解] (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.1．本例条件不变，写出与向量BC →相等的向量．[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与BC →相等的向量有AO →，OD →，FE →.2．本例条件不变，写出与向量BC →长度相等的共线向量．[解] 与BC →长度相等的共线向量有：CB →，OD →，DO →，AO →，OA →，FE →，EF →.3．在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长如何？[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，∴△FOA 为等边三角形，所以边长AF ＝|a |＝1.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．1．向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，注意向量与数量的区别与联系．2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.1．在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤D [由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.]2．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是 ．④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]4．如图所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．[解] 由题图可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.。
河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.1平面向量的实
河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.1平面向量的实际背景及其基本概念导学案新人教A版必修4学习目标1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；理解向量的模、零向量与单位向量的概念；3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.教学重点向量、零向量、单位向量、平行向量的概念.教学难点向量及相关概念的理解，零向量、单位向量、平行向量的判断.学习过程一、课前准备（预习教材P74-P76）复习引入：有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有没有，这类量我们称之为数量. 而力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有又有的量；那这样的量叫什么呢？二、新课导学※探索新知探究一：向量的概念：数学中，我们把这种既有，又有的量叫做向量.问题1：数量和向量的异同点有哪些？探究二：向量的表示法问题2：向量有几种表示方法？（1）人们常用来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.（2）以A 为起点，B 为终点的有向线段记作 ，线段AB 的长度称为模，记作AB u u u r .有向线段包含三个要素： .（3）有向线段也可用字母如a r ， ，L 表示.探究三：几个特殊的向量零向量：长度为 的向量；单位向量：长度等于 的向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量. 若向量a r ，b r 平行，记作：//a b r r .因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.※ 典型例题例1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：⑴3OA =u u u r ，点A 在点O 的正北方向；⑵22OB =u u u r ，点B 在点O 南偏东60o 方向.例2、教材P75例1学法指导：请将教材上的空白处填好。
先用刻度尺量出图上距离，再算出实际距离。
高中数学《第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.3...》123PPT课件 一等奖名师
－2b)，则 λ 的值等于
()
1 A.2
1 B.3
C．1
D．2
uuur uuur (2)已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断 AB与CD
是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
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[解析] (1)：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝ 2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得 2(1＋2λ) －4(2－2λ)＝0，解得 λ＝12.
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三、课堂评估
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1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面
内A所．有e向1＝量(0的,0)基，底e2的＝是(1，( －B2))
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝
2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( C
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
结束
学习目标：
1.熟练掌握平面向量共线的定义。 2.灵活应用平面向量共线的条件。 3.掌握求线段定比分点坐标的方法。
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一、提要检测
结束
1.平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a、b(b≠0)共线
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
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高中数学四 2.1平面向量的实际背景及基本概念(讲)
人教版必修四2。
1平面向量的实际背景及基本概念(讲）教材分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量,关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。
因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。
之后，又将向量与坐标联系起来,把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标)的代数运算联系起来,这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分五大节。
第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中,主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等。
教学目标：1、了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2、通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量。
河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.2.1向量的加法运算及其几何意义导学案 新人教A版必修4
河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.2.1向量的加法运算及其几何意义导学案 新人教A 版必修4 学习目标1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及其几何意义。
2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。
教学重点 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点 三角形不等式 学习过程 一、课前准备（预习教材P80—P84）1、复习：向量的定义以及有关概念。
2、引入：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起. 二、新课导学※ 探索新知问题1：在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？1、向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）： 已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作==,AB a BC b ，则向量__________叫做a 与b 的和，记作___________，即+a b =_______=________。
这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
O A B aaa b b b2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O两个向量a，b（→==,OA a OB b）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是a与b的和。
这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。
问题2：想想两个法则有没有共同的地方？※典型例题例1、已知向量a、b，求作向量a b+.思考：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？小结1：在三角形法则中“首尾相接”，是第二个向量的与第一个向量的重合.小结2：（1）两相向量的和仍是；（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向，且|a+b| |a|+|b|；（3）当a与b同向时，则a+b、a、b，且|a+b| |a|+|b|，当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b| |a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b| |b|-|a|.例2、一架飞机向北飞行400km ，然后改变方向向东飞行300km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.例3、教材P83例2.三、小结反思※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、化简++=++=+++=++=__________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA ++=+++=++=__________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA 2、若C 是线段A B 的中点，则+AC BC =（ ）A 、AB B 、BAC 、OD 、0 3、已知△ABC 中，D 是BC 的中点，则++32AB BC CA =（ ）A 、ADB 、3ABC 、OD 、2AD4、已知正方形ABCD 的边长为1，===,, AB a AC c BC b ，则++||a b c 为（ ）A ．0B ．3C ．2D ．225、在矩形ABCD ，==||4,||2AB BC ，则向量++AB AD AC 的长度等于（ ）A ．25B ．45C ．12D ．6课后作业1、已知|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围？2、若E ，F ，M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EF →＝NM →.。
河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义导学案 新人教A版必修4
河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义导学案新人教A版必修41. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.一、课前准备（预习教材P103—P105）复习：如右图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中 是F与s的夹角.二、新课导学※探索新知探究：平面向量数量积的含义问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？与均为非零向量：2、平面向量数量积的性质：设a b①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝_______ _， 特别地，a ⋅a =______或a =___________。
③a b ⋅≤___________ _④cos =θ_______ ____ ⑤.b a ⋅的几何意义：_____________ ________。
问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？ 3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。
①a b ⋅＝___________；②()a b λ⋅＝___________；③()a+b c ⋅＝___________。
问题4：我们知道，对任意,a b R ∈，恒有()2222a b a ab b +=++，()()22a b a b a b +-=-对任意向量,a b ，是否也有下面类似的结论？ ⑴()=+2 ； ⑵()()=-⋅+ . ※ 典型例题例1、已知6a =，8b =，且a 与b 的夹角120=θ，求a b ⋅.变式1：若6a =，8b =，且//a b ，则a b ⋅是多少？变式4：若6a =4=，且()()7232-=-⋅+b a b a ，求与的夹角。
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河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.1平面向量的实际
背景及其基本概念限时训练 新人教A 版必修4
1．下列量不是向量的是( )．
A ．力
B ．速度
C ．质量
D ．加速度
2．下列说法错误的是( )．
A ．向量A
B →与BA →
的长度相等
B ．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C ．只有零向量的模等于0
D ．零向量没有方向
3．设O 为坐标原点，且|OM →
|＝1，则动点M 的集合是( )．
A ．一条线段
B ．一个圆面
C ．一个圆
D ．一个圆弧
4．下列命题：
(1)若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；
(2)若向量AB →是单位向量，则向量BA →
也是单位向量；
(3)以坐标平面上的定点A 为起点，所有单位向量的终点P 的集合是以A 为圆心的单位圆． 其中正确的个数为( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．下列命题不正确的是( )．
A ．零向量没有方向
B ．零向量只与零向量相等
C ．零向量的模为0
D ．零向量与任何向量共线
6．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________．
7．如图所示，四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．
(1)与向量ED →
相等的向量有________；
(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．
8．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．
10．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →
，N ，M 是AD ，BC 上的点，且DN ＝MB.
求证：CN →＝MA →
.
11．已知直线l ：y ＝x －22，点A ⎝
⎛⎭⎪⎫0，－22，B(x ，y)是直线l 上的两点． (1)若AB →
为零向量，求x ，y 的值；
(2)若AB →
为单位向量，求x ，y 的值．。