2015年中国科学技术大学考研线性代数真题
2015考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )x(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得111120021222(1)2(1)220022012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++122n +=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=201sin cos 1lim 13x ab x bx xx kx →++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M====3=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d θθ==(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=011223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n=为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以12min n X X X θ={,,,}为θ的最大似然估计量.。
中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研试题及解答
中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研真题参考解答一. 1.假设在直线上的对称中心为 t +12,t +1,t +12 ,则这点与(1,0,1)的连线与直线的方向向量垂直,解得t =−13,最终可得答案为 −13,43,−13 .2.假设两个交点分别为(t,2t,−3t ),(2k +1,k −2,k +3),这两点与点(3,7,8)共线,于是(t −3,2t −7,−3t −8)//(2k −2,k −9,k −5),从此可解得t =−1517,k =−3729,从而可得交点坐标.3.二次型乘以二后对应的矩阵为 01110−31−30,特征多项式为(λ−3)(λ3+3λ−2),于是正惯性指数为2.4.容易算得第一个矩阵的特征多项式为λ2−2λ+4,它整除λ3+8,于是A 3=−8E,从而有A 9=−83E.后一空答案为(−10)n .5.设A =(a ij )3×3,去看看分量满足什么条件,最后就可得维数为3.如果先把题中矩阵搞成Jordan 标准型再算可交换矩阵有可能简化一点点计算.6.在原矩阵后面添加矩阵diag {I n ,I n ,I n },然后做行变换可得逆矩阵为:I n −A −C +AB I n −B I n.7.−8,4.二. 1.根据题设条件,我们可以通过只做初等列变换把矩阵A 变为(I m ,0),对应的矩阵语言是:存在n 阶可逆方阵P,使得AP =(I m ,0),于是取Q =P −1即可.2.A (1,x,x 2,x 3)=(1,x,x 2,x 3) 0000010000200003 ,于是A 的极小多项式为λ(λ−1)(λ−2)(λ−3).3.先算下向量组的秩,然后任取那么多个向量看看是否线性无关.4.可以先算出A 的特征多项式为(λ−1)(λ−3)(λ+1)2,然后算特征向量并正交单位化,把这些向量写在一起得所求.5.按先算特征值再算特征向量的方法把A 对角化:A 17−11 = 17−11 15001,于是p nq n=1817−1115n011−711p0q0,整理得p n=1815n+7p0+7−75n(1−p0),于是lim n→∞p n=78.算A n的时候利用特征多项式及带余除法应该更方便一点.。
中国科学技术大学2017年线性代数与解析几何考研试题及解答
2.
设直线
l:
1−x 3
=y+1=
3−z 2
在平面
x−y+z
=2
上的投影为
l1,
则
l1
的方程为
,l
绕 l1 旋转所得的曲面方程是 .
101
3. 矩阵 1 1 = −1 1
3 + a1b1 a1b2
,
行列式
det
a2b1
3 + a2b2
a1b3
a2b3
=
.
a3b1
a3b2 3 + a3b3
3 −2 1
2. (15分) 考虑二阶复方阵 M (C) 组成的复线性空间, 方阵 A = 7 2 以及线性变换 B : 37
M2(C) → M2(C) 满足 B(X) = AX − XA, 其中 X 为任意 2 阶方阵, 试证明: B 是可对角 化的线性变换.
3. (20分) 设 V 是由次数不超过 3 的实系数多项式组成的线性空间. 对于任意的 f (x), g(x) ∈
解得
a
=
3 5
.
2. 设 l 与平面的交点为 (1 − 3t, t − 1, 3 − 2t), 由交点在平面上得 1 − 3t − t + 1 + 3 − 2t = 2, 解得
t
=
1 2
,
于是交点为
−
1 2
,
−
1 2
,
2
. l1 的一个方向向量为 (−3, 1, −2) × (1, −1, 1) × (1, −1, 1) =
就马上得到结论. 至于上面例题的证明可以翻书查阅, 书上给了两种证明, 第二种证明与证 明惯性定理类似.
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
2015考研线代真题
2015考研线代真题2015年考研线代真题是考研数学科目中的一道经典题目，它涉及到线性代数的基本概念和运算方法。
线性代数作为数学的一个重要分支，对于理解和应用其他学科都具有重要意义。
在考研中，线性代数是一个必考的科目，因此掌握线性代数的基本知识和解题方法对于考生来说是非常重要的。
2015年考研线代真题的内容主要涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。
矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用，如物理、工程、经济等。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。
在解答这道题目时，首先需要计算矩阵的特征值。
特征值是矩阵的一个数值，它与矩阵的性质和运算有着密切的关系。
计算特征值的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值。
特征方程是一个关于特征值的方程，通过求解特征方程可以得到矩阵的特征值。
在计算特征值时，我们需要注意特征值的重数，即一个特征值对应的特征向量的个数。
特征值和特征向量是一一对应的，它们之间存在着重要的关系。
在得到矩阵的特征值后，接下来需要计算特征向量。
特征向量是与矩阵的特征值相对应的向量，它可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。
计算特征向量的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过求解矩阵的特征方程得到特征值，然后再通过代入特征值求解特征向量。
特征向量是一个非零向量，它与矩阵的特征值之间存在着重要的关系。
特征向量可以用来描述矩阵的变换效果，它可以帮助我们理解和应用矩阵的性质和运算。
在解答这道题目时，我们需要注意特征值和特征向量的计算方法和步骤。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。
在计算特征值和特征向量时，我们需要注意特征值的重数和特征向量的非零性。
特征值和特征向量是一一对应的，它们之间存在着重要的关系。
特征值和特征向量的计算是线性代数中的一个重要内容，它对于理解和应用其他学科都具有重要意义。
中国科学技术大学数学科学学院2015(HUST版)
−
1
−
i) .
求 f 在 z0 = 1/2 处的 Taylor 级数的收敛半径.
1
3. 是否存在在开单位圆盘 U 内全纯的函数 f , 满足 | f (z)| = e|z|, ∀z ∈ U ?
面试问题
1. 什么是热传导方程? 写出它的解, 并在黑板上推算出来, 它的解有什么性质? 2. 柯西问题是什么? 3. 椭圆方程是什么? 4. 代数基本定理是什么? 在黑板上证明一下. 5. 有没有旁听量子力学的课? 6. 刘维尔定理是什么? 用刘维尔定理来证明代数基本定理. 另外一些同学的面试问题是求不定积分, 常微分方程等.
构的.
(
)
2. 设 V 为全体 2 阶对称复方阵构成的复线性空间, 设 A =
01 10
. 定义线性变换
A : V → V 使得 A(X) = AX + XA. 试求 A 的全部特征值以及相应的特征向量.
3. 考 虑 n 阶 对 称 方 阵 A, 其 元 素 由 整 数 组 成. 设 A 满 足 条 件 zAz′ > 0, 其 中 z = (z1, z2, · · · , zn) 为任意由 n 元非负整数组成的非零行向量, z′ 表示其转置. 试证明:
线性代数 (三选二)
1. 考虑实数域上的有限维线性空间 V, 以及 V 的两个线性子空间 U 和 W 满足 U ∩ W = 0.
任取 U 的补空间 U′, 即 V = U ⊕ U′. 定义投影映射 p : V → U′, p(v) = u′, 其中
v = u + u′ 使得 u ∈ U, u′ ∈ U′. 证明: 映射 p 是线性映射, 且线性空间 p(W) 与 W 是同
(1) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元非负实数组成的行向量; (2) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元 (非零) 正实数组成的行向量.
2015年考研数学二真题及答案解析
阶单位矩阵，则行列式 | B| =
【答案】 21
【解析】 A 的特征值为 2,-2,1, 则 B 的特征值对应为 3,7,1
所以 | B| =21
【考点】线性代数—行列式—行列式计算
线性代数—矩阵—矩阵的特征值
三、解答题：
小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15) 设函数
,若 与 在
二、填空题： (
) 小题，每小题 4 分，共 24 分。
(9) 设
则
【答案】 48 【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得 =
,
综上所述，本题正确答案是 48。
【考点】高等数学 - 一元函数微分学 - 复合函数求导
(10) 函数 【答案】
在
处的 n 阶导数
【解析】
解法 1 用求函数乘积的 阶导数的莱布尼茨公式 在此处键入公式。
时是等价无穷小，
求
的值。
【解析】利用泰勒公式
当
时，
，则
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式
(16) 设 A>0， D是由曲线段
及直线
所
围成的平面区域， 【解析】
分别表示 D绕 轴与绕 轴旋转所成旋转体的体积。若
由 A>0 可得
，求 A 的值
= =
又
可得 A=
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用
D 的极坐标表示为
，
，
因此
与直线
围成的平面区域，作极坐
综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7) 设矩阵 A=
2015年考研数学(一)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()f x ''的图形如图所示，则曲线()y f x =的拐点的个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211e ()e 23x x y x =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程e x y ay by c '''++=的一个特解，则 ( )(A) 3,2, 1.a b c =-==- (B) 3,2, 1.a b c ===- (C) 3,2, 1.a b c =-== (D) 3,2, 1.a b c === 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，21e 2x、1e 3x -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32e x y y y c '''-+=，再将特解e xy x =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1nn a∞=∑条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的 ( )(A) 收敛点，收敛点. (B) 收敛点，发散点.(C) 发散点，收敛点. (D) 发散点，发散点. 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1n n a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r r θθθθθ⎰⎰(B)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r r θθθ⎰(C)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r θθθθθ⎰⎰(D)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r θθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以π3π4(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r θθθ=⎰⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵22111112,.14a d a d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b =若集合{}12,,Ω=则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )x(A) a ,d .∉Ω∉Ω (B) a ,d .∉Ω∈Ω (C) a ,d .∈Ω∉Ω (D) a ,d .∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】()()()()()221111111112011114001212,a d a d ,ad a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A b由()()r r 3,,=<A A b 故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232.y y y -+ (B) 2221232.y y y +- (C) 2221232.y y y -- (D) 2221232.y y y ++【答案】(A)【解析】由=x Py ，故()T T T 2221232f y y y .===+-x Ax y P AP y且T 200010001.⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦P AP由已知可得:100001010⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Q P PC,故有()T T T 200010001,⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q AQ C P AP C所以()T T T 2221232f y y y .===-+x Ax y Q AQ y .选（A ）(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()().P AB P A P B ≤ (B) ()()().P AB P A P B ≥ (C) ()()().2P A P B P AB ≤ (D) ()()().2P A P B P AB ≥【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D) 【解析】()()()()()()()()()()222222223221225E X X Y E X XY X E X E XY E X D X E X E X E Y E X .⎡⎤+-=+-=+-⎣⎦=++⋅-=++⨯-⨯=选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)π2π2sin ()d ________.1cos x x x x-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】ππ222π02sin πd 2d 1cos 4x x x x x .x -⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰ (11)若函数(,)=z z x y 由方程e cos 2x xyz x x +++=确定，则(0,1)d ________.z =【答案】d x -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令e cos 2z F(x,y,z )xyz x x =+++-，则1sin e z x y z F (x,y,z )yz x,F xz,F (x,y,z )xy.'''=+-==+又当0,1x y ==时1ze =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而()d d x,y zx.=-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则()23d d d x y z x y z __________.Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得123d d d 6d d d 6d d d zD (x y z )x y z z x y z z z x y,ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 ()()11232001123d d d 6d d d 61d 32d 24(x y z )x y z z x y z z z z z z z z .ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13)n 阶行列式2002122___________.0022012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得()()111122122120021202212122002212222222222222n n n n n n n n n n D D D (D )D .+------+-==+--=+-=++=++=+++=-(14)设二维随机变量()x,y 服从正态分布()10;110N ,,,，则{}0P XY Y ______.-<= 【答案】12【解析】由题设知，()()1101X ~N ,,Y ~N ,，而且X ,Y 相互独立，从而{}(){}{}{}{}{}{}{}01010010010101111122222P XY Y P X Y P X ,Y P X ,Y P X P Y P X P Y .-<=-<=-><+-<>=><+<>=⨯+⨯= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数()()()3ln 1sin f x x a x bx x,g x kx ,=+++=若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：由等价无穷小的定义得()()()()()302333330234330ln 1sin 1lim236lim 1236lim x x x x a x bx xkx x x x x a x o x bx x o x kx a a b a x b x x x o x .kx→→→+++=⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭=则1110,0,11,,.2323a a ab a b k k +=-==⇒=-=-=- 法二：由等价无穷小的定义得()()320ln 1sin 1lim1sin cos 1lim 3x x x a x bx xkx ab x bx x x kx→→+++=++++=洛必法达则 因为分子的极限为0，则1a =-，继续使用洛必达法则得()212cos sin 1lim16x b x bx x x ,kx→--+-+=分子的极限为0，12b =-，再次使用洛必达法则得 ()322sin sin cos 111lim1633x b x b x bx xx k .kk →----+=-=⇒=- 故111,,.23a b k =-=-=- (16)(本题满分10分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】()84f x x=-. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数()f x,y x y xy =++，曲线C ：223x y xy ++=，求()f x,y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为()f x,y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()11x y f x,y y,f x,y x ''=+=+，故(){}11f x,y y,x =++grad此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-，得方程组()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩， 解得()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----.()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M====3=. (18)(本题满分 10 分)()I 设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明()()()()()();u x v x u x v x u x v x '''⎡⎤=+⎣⎦()II 设函数12()()()n u x ,u x ,,u x 可导，12()()()n f (x )u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.【解析】()I()()()()()()()()()()()()()()()()()()000lim limlim lim h h h h u(x h )v(x h )u x v x u x v x hu x h v x h u x h v x u x h v x u x v x hv x h v x u x h u x u x h v x h h→→→→++-'⎡⎤=⎣⎦++-+++-=+-+-=++()()()()u x v x u x v x .''=+()II 由题意得()[]()()()()()()()()()12121212()()()n n n n f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x .''='''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为z z x,⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()00A，终点为()00B ,，计算曲线积分()()()2222d d d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.π【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:.22θ→-)()()π22π2π222π2π220cos sin 2sin cos 1sin sin d sin cos 1sin sin d sin d I .θθθθθθθθθθθθθθθθ--⎡⎤=-++++⎣⎦=+++==⎰⎰(20) (本题满11分)设向量组123,,ααα内3R 的一个基，()11322313=2+2=2=++1k ,,k .βααβαβαα()I 证明向量组123,,βββ为3R 的一个基;()II 当k 为何值时，存在非0向量ξ在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】【解析】()I 证明：()()()()123132131232+22+121020201,,k ,,k ,,,kk =+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦βββαααααααα2012102024021201.kk kk ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基.()II 由题意知112233112233k k k k k k ,,=++=++≠0ξβββαααξ整理得()()()()()()()()()()111222333113122231331132231301232+22++1+2+i k k k ,k ,i ,,k k k k k k k k k k -+-+-=≠=⇒-+-+-=⇒++=000βαβαβαααααααααααααα有非零解.则13213+2+0k ,,k ,=ααααα即1010100020k .kk=⇒= 则11223121300k k k k ,k k ,++=⇒=+=0ααα故111310k k ,k .=-≠ξαα(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 相似于矩阵12000031b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B =. ()I 求,a b 的值；()II 求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】()I ()()tr tr 311~a b ,⇒=⇒+=++A B A B0231201330012031b,a --=⇒--=-A B 则有14235a b ,a ,a b ,b .-=-=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ ()II 思路一：由()I 知023133.124-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A由于矩阵A 相似于矩阵B ，所以()()215,λλλλ-=-=--E A E B故A 的特征值为1231, 5.λλλ===当121λλ==时，由方程组()-=0E A x ，得线性无关的特征向量T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ当35λ=时，由方程组(5)-=0E A x ，得线性无关的特征向量T 3(1,1,1).=--ξ令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P APP 为所求可逆矩阵.思路二：023100123133010123124001123---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=+--=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E C,[]12311231123.1231---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)-=0E C x 的基础解系为T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ 5λ=时(4)-=0E C x 的基础解系为T 3(1,1,1).=--ξA 的特征值1:1,1,5.A C λλ=+令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P APP 为所求可逆矩阵.(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln2000x ,x ,f x ,x .-⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则()3132ln2d 8x p P X x .+∞-=>==⎰从而Y 的概率分布为{}()()2221117112388n n n P Y n C p p p n ,n ,,---⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以()()()()11221618E Y E M N E M E N .p p p =+=+=+===法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记()()212111n n S x n n x,x ∞-==⋅--<<∑，则()()()()()()()()()()()()()2113222122132222223132221121112111n n n n n n n n n n nn n n S x n n xn x x ,x xS x n n xx n n x xS x ,x x S x n n x xn n xx S x .x ∞∞∞--===∞∞--==∞∞-=='''⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=⋅-=⋅-==-=⋅-=⋅-==-∑∑∑∑∑∑∑ 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而()7168E Y S .⎛⎫==⎪⎝⎭(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：()1110,x ,f x,,θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)()()111;d d 12E X xf x x x x ,θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰ 令()E X X =，即12X θ+=，解得21X ,θ=-为θ的矩估计量，其中11ni i X X n ==∑. (II) 依题得似然函数()()111;10nni i i ,x ,L f x ,.θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他 当1i x θ≤≤时，()11111nni L ,θθθ=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∏则()()ln ln 1L n θθ=--.从而()()dln d 1L nL θθθθ=⇒-关于θ单调增加，所以{}12min n X ,X ,,X θ=为θ的最大似然估计量.。