能态密度公式的来源
固体物理：能态密度和费米面
电子组态：1s22s22p63s1
分析：由1s22s22p6组态能级扩展的五个能带正好被十个
电子所填满（即满带），剩下一个3s带，只被一个3s电子 填充到一半（即半满带）。这时若将钠晶体置于一外电场 中，这个3s带中的电子将在外电场作用下，获得加速，跃 入能量较高的空的能态位置上去。从而在布里渊区中建立 一个沿电场方向不对称的电子占据态分布，导致沿外场方 向出现电流。
例二
第四章 能带理论
例二、若已知
E(k )
2 2
k
2 x
m1
k
2 y
m2
k
2 z
m3
解：等能面方程：Ek E,即
，求g(E)。
k
2 x
k
2 y
k
2 z
1
2m1E 2m2 E 2m3E
2
2
2
令a 2
2m1E 2
,b2
2m2 E 2
,c2
2m3E 2
,则
等
能
面
方
程
可
化
为k
2 x
a2
k
2 y
b2
k
2 z
R (k )
E0
6J1;
X点[
k
a
,0,0
]是一个鞍点——布区侧面中心。
E X (k ) E0 2J1;
东北师范大学物理学院
能带理论基本概念
二、费米面
第四章 能带理论
设固体中含有N个电子，它们的基态是按泡利原理由
低由到电高子填，充则能其量能尽量可表能示低为的：NE个k电子态2k，2 若把电子看成自 2m
能带理论基本概念
4-7能态密度和费米面解析
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E 态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
EC
EB EA
N(E)
自由电子情况 近自由电子情况
12
例二
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3 解：等能面方程：E k E ,即
，求g(E)。
2 2 ky k z2 kx 1 2m1 E 2m 2 E 2m3 E 2 2 2 2m1 E 2 2m 2 E 2 2m3 E 令a 2 ,b ,c ,则 2 2 2 2 2 ky k z2 kx 等 能 面 方 程 可 化 为2 2 2 1 a b c
晶体中电子状态的基本认识
（1）晶体中电子状态由能带描述；
（2）一般情况下，原子能级与能带有一一对应的关系；
（3）能带宽度决定于波函数的重叠程度；
（4）禁带宽度决定于周期势场变化的剧烈程度；
（5）晶体中电子波函数是布洛赫函数，它反映晶体电子 共有化运动和围绕原子核运动两者兼有的特征；
1
§4-7能态密度和费米面
ds
dk
2V Z V等 能 面E和E E之 间 3 2 2V dsdk 3 2
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
4
Ⅱ.关于ΔE
一、能态密度函数
由 k E 的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：
一维和二维能态密度推导
一维和二维能态密度推导
能态密度是指单位体积（或单位面积）内能量的状态数密度。
在固体物理学中，我们通常将能态密度表示为D(E)，其中E是某个能级的能量。
如果我们考虑一个能量范围从E到E+dE之间的能级，则体积V内所有这样的能级的数量是D(E)dE。
因此，D(E)是描述V内存在的态密度的函数。
在一维情况下，一个自由电子的动量只有一个分量k，因此能量可以写成E(k)=（h^2/2m）k^2，其中h是普朗克常数，m是电子的质量。
因为只有一个自由度，所以态密度可以计算为：
D(E)=（dk/ dE）=（1/（dhk/dE））
由于E(k)与k^2成正比，因此能量空间中的态密度是一个常数。
在此近似下，我们可以将D(E)写成：
D(E)=(1/（dhk/dE）)=（1/（dh/d(E^(1/2)))）=（1/（dv/dE））其中v表示速度。
这个式子说明了运动在一维中的自由电子的能态密度是能量的常数。
在二维情况下，电子具有两个分量kx和ky，能量可以写成
E(k)=（h^2/2m）(kx^2+ky^2)。
因此，态密度可以写成：
D(E)=（d^2k/ dE^2）=（1/（dh^2k/dE^2））
通过导数的计算，我们可以得到：
D(E)=(m/πh^2)（d^2E/dkxdky）
这个式子说明了运动在二维中的电子的能态密度是能量的函数。
能量密度计算公式
能量密度计算公式
能量密度是指单位体积内所含有的能量，通常用J/m³表示。
能量密度计算公式可以根据不同情况而有所不同，下面以几种常见情况为例进行介绍。
1. 电场能量密度
电场能量密度是指电场中单位体积内所含有的能量。
对于电场能量密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * ε * E²
其中，ε代表电场介质的介电常数，E代表电场强度。
2. 磁场能量密度
磁场能量密度是指磁场中单位体积内所含有的能量。
对于磁场能量密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * μ * H²
其中，μ代表磁场介质的磁导率，H代表磁场强度。
3. 光能量密度
光能量密度是指光波中单位体积内所含有的能量。
对于光能量密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * ε₀ * c * E²
其中，ε₀代表真空中的介电常数，c代表光速，E代表电场强度。
4. 动能密度
动能密度是指物体运动所具有的能量。
对于动能密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * ρ * v²
其中，ρ代表物体的密度，v代表物体的速度。
以上是几种常见情况下能量密度的计算公式。
通过这些公式，我们可以计算出不同场景下单位体积内所含有的能量。
能量密度的计算对于各个领域的研究和实践都具有重要意义，同时也有助于我们更好地理解和应用能量这一重要概念。
费米面上的能态密度
费米面上的能态密度物理学家费米（EnricoFermi）的名字被用在关于粒子物理的许多领域中。
最著名的是他在原子核理论上的发现，他发现原子核中存在被称为“费米”的粒子，这些粒子在粒子物理学中起到了重要的作用。
费米还发现了另一个重要的概念，即费米面上的能态密度（Fermi surface density of states）。
这个概念对于帮助我们理解半导体、超导体和金属表面的性质非常有用。
费米面上的能态密度是指在金属表面上，费米粒子被收缩到空间量子中，形成的能态的密度，它代表了金属表面的电子的能态的密度。
费米面上的能态密度包括了金属表面电子的表示、电子结构、电子-核结构间的相互作用、电子激发状态和结构变化等，这些都能左右金属表面电子的性质。
费米面上的能态密度与金属表面电子的性质有关，它可以用来测量金属表面电子的能态密度，以及金属表面电子在外力作用下的性质变化。
当电子能态的密度大于一定的数值时，说明金属表面电子的能态发生了变化，造成了金属表面的性质发生变化。
这就为我们研究半导体、超导体和金属表面的性质提供了一个重要的参考。
费米面上的能态密度的量化通常是通过量子力学理论来实现的。
它通过量子力学方法，可以计算金属表面电子在某一能量水平上的能态密度，可以把所有金属表面电子的能态都统一放到能态密度图上，从而可以准确计算出金属表面电子的能态密度。
费米面上的能态密度可以用来估算金属表面电子性质的变化，从而更有效地研究半导体、超导体和金属表面的性质。
费米面上的能态密度的研究也可以为我们研究半导体、超导体等新型材料的构造提供重要的参考意见。
费米面上的能态密度也可以用来探索金属表面电子在外力作用下的性质变化，例如金属表面电子在温度变化、磁场作用、压力等情况下的能态变化，这些都可以从费米面上的能态密度中研究出来，从而更好地了解金属表面电子的性质变化。
综上所述，费米面上的能态密度越来越受到研究者的关注，不仅可以用来研究半导体、超导体和金属表面的性质，而且也可以用来探索金属表面电子在外力作用下的性质变化，为我们研究粒子物理提供了重要的参考依据。
固体物理 59等能面 能态密度
k空间单位面积中的波矢的大小
费密能量
二维正方格子的费密波矢和费密能级
5.9.2 能态密度
• 单位能量间距的两等能面间所包含的量子 态数目称为能态密度 • 能带底附近的能量总可化成
布洛赫电子在能带底的能态密度
对带项附近的能量总可化成
布洛赫电子在能带顶的能态密度
5．9 等能面 能态密度
5.9.1 等能面
• k空间内，电子的能量等于定值的曲面称为 等能面．对于自由电子，能量 为所以其等能面为一个个同心球面．在绝 对零度时，电子将能量区间 占满， 称为费密能。
• 对应能量 的等能面称为费密面．kF称为 费密半径．也就是说，在绝对零度时，电 子占满半径为kF的一个球．
费米面上的能态密度
费米面上的能态密度费米面上的能态密度是一个重要的物理概念，它是1926年由美国物理学家爱因斯坦提出的。
它代表了系统里具有恒定能量的粒子的最大密度。
这一概念可以用于研究物理、化学和其他复杂的科学系统，也可以用于理解空间、时间和质量的联系。
费米面上的能态密度的最初定义是，它是指一个平面上一点的能量，该能量能在其上容纳的粒子的最大数量。
水平的，它可以被认为是一个物理限制，它限制了物质体系里的粒子的数量及其能量分布模式。
例如，费米面上的能态密度可以用来解释为什么动能会在费米面上截断，以及加热等运动会使粒子的能量间隔发生变化等现象。
费米面上的能态密度的重要性不容小觑，它为众多科学系统的研究提供了令人满意的解释。
举例来说，它已经被用于研究量子力学模型、热力学体系、摩擦系统等。
此外，它也被广泛应用于物理学领域，如空气动力学、流体力学、激光物理学、电磁学等，从而为现代技术打下坚实基础。
费米面上的能态密度还可以用于探测温度及能量之间的关系。
研究表明，费米面上的能态密度与温度之间存在一种恒定的关系，即费米能态密度的大小越高，温度越高。
由此可以间接测量温度，在某些情况下可以代替温度计。
同时，费米面上的能态密度还可以用于探测质量和时间之间的关系，这是研究物质空间结构和动态行为的基础。
此外，费米面上的能态密度在研究粒子物理学中也发挥着重要的作用。
它可以帮助人们更好地理解粒子的行为及其物理性质，为物质的宏观结构和小观性质的研究提供依据。
费米面上的能态密度还可以为研究粒子的相互作用提供参考，从而有助于弄清他们的行为特征。
总之，费米面上的能态密度是一个重要的物理概念，它在众多科学领域均发挥着重要作用，无论是探测温度、能量、质量、时间或研究粒子物理学，它都提供了有价值的参考。
此外，费米面上的能态密度也为现代技术打下了坚实的基础，它使科学研究成为可能，并且有助于人类更好地理解自然界的物质世界。
固体物理 04-07能态密度和费密面
费米速度 vFpF/m
西
南
科 技
费米温度 TF EF /kB
大
学
Solid State Physics
固 体
费米能量的估算
物
理 —— 自由电子球半径
V N
1 n
43rs3
—— 电子密度
n
—— 费米半径
3
4 rs3
rs
(3
4 n
1
)3
kF
2(3n)1/3 8
西
kF
1 .9 2 rs
vF
pF m
南
—— 费米速度
N2(2V)3 43kF3
球的半径
kF
2( 3)1/3(N)1/3 8 V
n N 电子密度 V
西
南 科 技 大
kF
2(3n)1/3 8
学
Solid State Physics
固
体 物
费米波矢 费米动量 费米速度 费米温度
理
费米能量 EF 2kF 2/2m
费米球半径 kF 2mEF / 费米动量 p Fk F
V
Z (2)3 dSdk
西
南 应用关系
科
技
大 学
dk kE E
Solid State Physics
固
体
物 理
Z
V
(2)3
dSdk
dk kE E
Z(2V)3
dS kE
E
dk E kE
能态密度
N(E)(2V)3
dS kE
西 南
考虑到电子的自旋，能态密度
科 技 大 学
N(E)2(2V)3
—— 晶体中8N个电子全部填充成键态的4个能带形成 满带
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X射线光谱学
X-Ray Photoemission Spectroscopy，XPS
1924年诺贝尔物理学奖授予瑞典乌普沙拉大学的卡尔·西格班 (Karl Manne Georg Siegbahn,1886-1978),以表彰他在X射线光 谱学领域的发现与研究。
1914年开始，西格班从对电磁学的研究转向X射线光谱学。为此， 他在隆德大学创建了著名的光谱学实验室。1921年，他设计了研 究光谱用的真空分光镜。他先把要分析鉴定的材料涂在X射线管 的阳极板上做为靶标，再用阴极发出的电子去冲击阳极板，使其 受激发，发出标识X射线。然后，用他所发明的分光镜来观察X 射线光谱，并用摄谱仪摄下光谱照片。利用这种方法，他测量、 分析并确定了92种元素的原 子所发射的标识X射线。这些元素的 X射线标识谱间的相对简易性和紧密相似性使他确信这些辐射起 源于原子内部而与外围电子结构所支配的复杂光谱线及化学性质 无关。他证明了巴克拉发现的K辐射与L辐射的确存在。另外，他 还发现了另一谱线系，即M系。西格班光谱仪的高度分辨率显示 了莫塞莱所发现的K谱线为双线。他在L系中发现了28条谱线， 在M系中发现了24条谱线。他的工作支持波尔等科学家关于原子 内电子按照壳层排列的观点。
kF
2 ( 3n )1/ 3 8
费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 费米球半径
费米能量 费米动量
费米速度
费米温度
自由电子球半径rs EF : 1.5 eV ~ 15 eV
—— 晶体中的电子 满带 —— 电子占据了一个能带中所有的状态 空带 —— 没有任何电子占据（填充）的能带 导带 —— 一个能带中所有的状态没有被电子占满
8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动
9 能带论的局限性
注意
老师说声子谱是个能带（玻色子）的时候 没有计算态密度
现在来补上
5 能带电子的态密度
别老盯着普遍定义，只需找一两个简单例子就可以理解
自由电子的能态密度：能快速演算1d, 2d, 3d 近自由电子的能态密度：讲故事，不理它 紧束缚模型的电子能态密度要仔细理解：1d, 2d, 3d 别忘了天上掉下来一个2
费米面 Fermi surface
这里我们并非在做 一个完整的理论，而是在拼凑！ Pauli不相容原理导致（记得电子波函数需要怎样怎样？） 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度
满带、空带、导带、价带、禁带
金属、半导体、绝缘体
能态密度与X射线光电子能谱 (XPS) 实验，两个XPS？
k 空间（箱规一化）
固体物理
Solid State Physics
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动
由E和E+E围成的体积为V，状态在k空间是均匀分布的
状态密度 V —— 动量标度下的能态密度
(2 )3
E~E+E之间的能态数目
Z
V
(2
)3
dSdk
两个等能面间垂直距离 dk
能态密度
N
(E)
V
(2
)3
dS kE
考虑到电子的自旋，能态密度
N (E)
2
V
(2 )3
dS kE
dS (sin2 kxa sin2 k ya sin2 kza)
带底
和
出现微商不连续的奇点 —— 等能面与布里渊区相交
X点k = (/a, 0, 0)的能量
1d 和 2d呢？
“Note-Density of states of tight banding type.nb” 不妨先画一下能谱形状 van Hove critical points
E s (k ) E 0 2 J 1(cos k xa cos k ya cos k za )
k = 0 附近
2
E(k)
Emin
2m*
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
—— 等能面为球面
—— 随着E的增大，等能面与 近自由电子的情况类似
能态密度
N
(E)
V
8 3aJ1
等能面
—— 半导体带隙宽度较小 ~ 1 eV
—— 绝缘体带隙宽度较宽 ~ 10 eV
金属
—— 电子除了填满一系列的能带形成满带，还部分填充 了其它能带形成导带
—— 电子填充的最高能级为费密能级，位于一个或几个能 带范围内
—— 在不同能带中形成一个占有电子与不占有电子区域 的分解面
—— 面的集合称为费密面
能态密度和费米面
1. 能态密度函数
—— 固体中电子的能量由一 些准连续的能级形成的 能带
—— 能量在E ~ E+E之间的 能态数目Z
如果二维三维问题想不清 楚，请想1维！
E
能态密度函数
N (E ) lim Z E0 E
在k空间，根据 E(k) = Constant 构成的面为等能面
等能面的变化 二维正方格子
第一布里渊区的等能面
—— 波矢接近布里渊区的A点， 能量受到周期性的微扰而 下降，等能面向边界凸现
—— 在A点到C点之间，等能面不再是完整的闭合面， 而是分割在各个顶点附近的曲面
能态密度的变化
N ( E ) lim Z E
—— 随着k接近布里渊区，等能面不断向边界凸现，两个等
即不满带，或说最下面的一个空带 价带 —— 导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带
禁带 —— 两个能带之间，不允许存在的能级宽度，或带隙
—— 单电子的能级由于周期性势场的影响而形成一系列的 准连续的能带，N个电子填充这些能带中最低的N个状态
半导体和绝缘体
—— 电子刚好填满最低的一系列能带，形成满带，导带中没 有电子
能面之间的体积不断增大，能态密度将显著增大
在A点到C点之间，等能面发生残缺，达到C点时，等能面缩 成一个点 —— 能态密度不断减小直到为零
第二布里渊区能态密度 —— 能量E越过第一布里渊区的A点，从B点开始能态密度 由零迅速增大
能带不重叠
能带重叠
3) 紧束缚模型的电子能态密度 简单立方格子的s带
？
公式的来源： • 求解热力学量时需要 • 晶格点阵等间距，k空间态密度为常数 • 如果是Fibonacci点阵呢？
计算统计物理量的需求
1) 自由电子的能态密度 电子的能量 k空间, 等能面是半径 在球面上
的球面
能态密度
2V
(2 )2
(
2
m
2
)
3
/
2
E
1d 和 2d呢？
2) 近自由电子的能态密度 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近
1d 和 2d呢？
1d 和 2d呢？
3d
2. 费米面(3d为例)
—— 固体中有N个自由电子，按照泡利原理它们基态是由N 个电子由低到高填充的N个量子态
自由电子的能级
1d, 2d ?
N个电子在k空间填充一个半径为kF的球，球内包含N个状态数
球的半径
kF
2 ( 3 )1 / 3 ( N )1 / 3 8 V