2013年数学(理科)(三)参考答案与评分标准
2013年上海高考数学理科试卷(带详解)
【试题解析】因为ABCD A1B1C1D1为长方体，AB C1D1
, AB C1D1，
故ABC1D1为平行四边形， 故BC1
AD1（步骤1），显然B
不在平面D1AC上，于是直线BC1
平行于平面D1AC（步骤2）；直线BC1到平面D1AC的距离即为点
B到平面
D1AC的距离设
为h考虑三棱锥ABCD
.
【难易程度】容易
【参考答案】1
5
2
【试题解析】联立方程组得
(
1)
1
1
5（步骤1），
2
又⋯0，故所求为1 5．（步骤
2）
2
8．盒子中装有编号为
1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个
球的编号之积为偶数的概率是
___________（结果用最简分数表示）.
【测量目标】古典概型，随机事件的的概率
不便宜，故选B．
17．在数列
{ an}中，an
2n
1，若一个
7
行
12
列的矩阵的第
i行第j
列的元素
ai, j
aiaj
aiaj
，（i
1,2,
,7; j
1,2,
,12
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数
为
（
）
A 18
B 28
C 48
D 63
【测量目标】指数函数模型.
【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数
y)
2sin( x
y) cos( x y)
，sin 2x sin 2 y
，故
2
3
2013年山东高考数学理科试题评分细则20131215
绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页，满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
注意事项：1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P(A)*P(B) 第Ⅰ卷 （共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、复数z 满足i i z (5)2)(3(=--为虚数单位），则z 的共轭复数-z 为（ ） （A ）2+i （B ）2-i （C ）5+i （D ）5-i 【解析】i i iz +=++=+-=532325，所以i z -=5，故选D. 2、已知集合}2,1,0{=A ，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9【解析】{}2,1,0,2,1},|{--=∈∈-=A y A x y x B ，所以有5个元素，故选C. 3、已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则)1(-f =（ ） （A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【解析】()()211-=-=-f f ，故选A 。
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷参考答案及评分标准
2013年福州市高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分．1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.A8.C9.D 10.D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分．11．1 12．3 13．②③④ 14．81 15．122三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）依题意得()sin 33f x x x ππ=+………………………………………1分2sin()33x ππ=+ …………………………………………………………………3分所以函数()f x 的值域为[2,2]-．………………………………………………………5分 （Ⅱ）方法一 由（Ⅰ）知，()2sin()33f x x ππ=+(1)2sin 33f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3f π=-=………………………………6分从而 (3),3,3)M N .………………………………………………7分∴2,OM ON ====4,MN ==……………………………………………9分根据余弦定理得222cos 02OM ON MN MON OM ON +-∠===. ∴90MON ∠= ，…………………………………………………………………10分 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=…………13分 方法二 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分则(1(3,OM ON == . ………………………………………………8分13(0OM ON ⋅=⨯= .……………………………………………10分所以90MON ∠=， OM ON ⊥ 即 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=……………13分 方法三 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分 直线OM的方程为y =0y -=. …………… …………………8分点N 到直线OM的距离为d ==分又因为2,OM =，………………………………………………………………11分 所以△MON的面积为11222S OM d =⋅=⨯⨯=分 17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分．解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人． X 的所有可能取值为0,1,2．……………………………………………………1分 所以25212C 5(0)C 33P X ===，1175212C C 35(1)C 66P X ===，27212C 217(2)C 6622P X ====．…4分 故X 的分布列为分∴53577()0123366226E X =⨯+⨯+⨯=． ……6分 （Ⅱ…………7分 2K 的观测值212(6411) 5.1827557k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>3.841，……………………………9分 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分 （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………13分 18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）如图，连接ED ，∵⊥EA 底面ABCD 且EA FD //，∴⊥FD 底面ABCD ,∴AD FD ⊥,∵D CD FD AD DC =⋂⊥，,∴⊥AD 面FDC , ----------------1分∴32221213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-FDC FCD E S AD V , --------2分E ABCD V -=13EA ⋅ ABCD S 1822233=⨯⨯⨯= , -------------3分 ∴多面体EABCDF 的体积310=+=--ABCD E FCD E V V V 多面体．--------------5分 （Ⅱ）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (0,0,0),E (0,0,2),B (2,0,0),C (2,2,0),F (0,2,1),所以)1,2,0(,),2,0,2(),222(-=-=-=EF EB ，，EC ------7分设平面ECF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF n n 得：⎩⎨⎧=-=-+,02,0222z y z y x 取y =1,得平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)=n ------9分设直线EB 与平面ECF 所成角为θ， 所以sin |cos ,|EB θ= n ||||||EB EB ⋅=⋅ nn ==----11分 （Ⅲ）取线段CD 的中点Q ；连接KQ ，直线KQ 即为所求． ---------------12分图上有正确的作图痕迹………………………………13分19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）设曲线C 上任意一点P 的坐标为),(y x ． 依题意22ab a x y a x y k k PB PA -=-⋅+=⋅，且a x ±≠，………………３分 整理得12222=+b y a x ．所以，曲线C 的方程为：12222=+by a x ，a x ±≠．………5分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,12222h kx y b y a x 得0)(2)(22222222=-+++b h a hkx a x k a b ，()422222222222244()0,a h k b a k a h b b a k h ∴∆=-+-<+<即，……7分 由已知条件可知)0,-(khM ，),0(h N ，所以 ab b a k a k b b a k a b k k a b h k h MN 2||2222222222222222222++≥+++=+++>+=， 从而22)(||b a MN +>， 即b a MN +>||． ………………13分20．（本小题满分14分）本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：2)2(211)(+-+='x a x x f 22)2)(1()24()24(++-+-+=x x a x a x ． （Ⅰ）当0=a 时，0)0(=f ，切线的斜率1)0(='=f k ，所以切线方程为x y =，即0=-y x ． ……3分（Ⅱ）当0>a 时，因为0>x ，所以只要考查)24()24()(2a x a x x g -+-+=的符号． 由0)24(4)24(2≤---=∆a a ，得20≤<a ，当20≤<a 时，0)(>x g ，从而0)(>'x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 当2>a 时，由0)(=x g 解得a a a x 222-+-=． ……6分当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：函数)(x f 在区间)22,0(2a a a -+-单调递减，在区间),22(2+∞-+-a a a 上单调递增． ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2=a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 所以0)0(22)1ln()(=>+-+=f x x x x f ， 即)1ln(22x x x +<+对任意),0(+∞∈x 成立． ……11分 取kx 1=，n k ,,3,2,1 =， 得121ln(1)12k k k<++，即k k k ln )1ln(122-+<+，n k ,,3,2,1 =．……13分 将上述n 个不等式求和,得到:∑∑==-+<+n k nk k k k 11]ln )1[ln(122，即不等式1ln 1215131+<++++n n 对任意*N ∈n 成立． ……14分21．（1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．解：（Ⅰ）依题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2213T ，所以42213det ==T ， 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-432141211T ． ----------3分 （Ⅱ）由βα=T ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2165432141211βαT ． ----------7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．解：（Ⅰ）由θθρsin 8cos 6+=，得θρθρρsin 8cos 62+=，所以圆C 的直角坐标方程为08622=--+y x y x ，即2225)4()3(=-+-y x ．………………………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 54,cos 53y x （θ为参数）. 所以)4sin(257πθ++=+y x ， ………………………5分 因此当ππθk 24+=，Z ∈k 时，y x +取得最大值为257+，且当y x +取得最大值时点P 的直角坐标为)2254,2253(++．……………7分（3）选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分． 解：（Ⅰ）依题意，当1=x 时不等式成立，所以3|1|3≤-+m ，解得1=m ， 经检验，1=m 符合题意． ---------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知132222=++c b a ．根据柯西不等式， 得6])3()2()[321()32(2222222=++++≤++c b a c b a ，-----------------5分 所以6326≤++≤-c b a ， 当且仅当66===c b a 时，取得最大值6，66-===c b a 时，取得最小值6-， 因此c b a 32++的取值范围是]6,6[-． --------------------7分。
2013年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．22．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）3．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）B4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，5．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）BT=时取得最大值，得到+．由此即可得到本题的答案．时取得最大值，x==﹣==x=+，可得+=﹣6．（5分）（2013•四川）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）B±，化成一般式得：，可得=1又∵双曲线的方程为b=±±x．d=7．（5分）（2013•四川）函数的图象大致是（）B8．（5分）（2013•四川）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，，所以从，种排法，，9．（5分）（2013•四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔B=10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究是一个增函数，可得出＞时，此函数是一个增函数，=0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•四川）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是10（用数字作答）．x的项的系数是=1012．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．依题意，+，而=2，从而可得答案．+==2+=2+λ，13．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．，，=，，=故答案为：14．（5分）（2013•四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15．（5分）（2013•四川）设P1，P2，…P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2013•四川）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．=17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．，，（Ⅱ）由正弦定理，，所以，B=在方向上的投影：．18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．=；===的概率为的概率为，输出的；输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出====，，0 2 3=19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．AP=，====，可得=的余弦值等于20．（13分）（2013•四川）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．的坐标表示出：（．=2e==…的方程为，设点）=…①中，得（＞=，＞＜（﹣，[，（﹣，（21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．时，∵，即时，∵，即．处的切线重合的充要条件是得．∵函数在。
2013年考研数学三真题答案解析(pdf)
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）当x →0 时，用o (x ) 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）23()()x o x o x ⋅=（B ）23()()()o x o x o x ⋅=（C ）222()()()o x o x o x +=（D ）22()()()o x o x o x +=【答案】D【解析】2()()()o x o x o x +=，故D 错误。
（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】C【解析】由题意可知()f x 的间断点为0,1±。
又ln x 0x 0x 0x 011ln lim ()lim lim lim 1(1)ln (1)ln (1)ln x x x x e x xf x x x x x x x x x x ++++→→→→--====+++ln()x 0x 0x 0x 0()11ln()lim ()lim lim lim 1(1)ln()(1)ln()(1)ln()x x x x e x x f x x x x x x x x x x -+++-→→→→----====+-+-+-ln x 1x 1x 1x 111ln 1lim ()lim lim lim (1)ln (1)ln (1)ln 2x x x x e x x f x x x x x x x x x x →→→→--====+++ln()x 1x 1x 1x 1()11ln()lim ()lim lim lim (1)ln()(1)ln()(1)ln()x x x x e x x f x x x x x x x x x x -→-→-→-→-----===∞+-+-+-故()f x 的可去间断点有2个。
2013年全国高考理科数学试题及答案详解
绝密*启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯= （8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A-(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2013年三模试题参考答案与评分标准(理)
2012学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．i 2±； 2． 5； 3。
}1,0{； 4。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k （Z ∈k ）； 5。
2； 6．π4或π8； 7。
1； 8。
]4,26[-； 9。
相交； 10。
2；11．)0(g ，)2(f ，)3(f ； 12。
12； 13。
x y 2±=； 14。
4。
二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．A ； 16。
C ； 17。
B ； 18。
D 。
三．解答题（本大题满分74分，注：评分标准中解答题的得分按各步给出，非递进累计分） 19．（1）以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．……（1分） 则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,1,0(D ， …………………………（1分） 设a PA =，则),0,0(a P ，因为M 是PC 中点，所以⎪⎭⎫⎝⎛2,21,21a M ，……（1分） 所以⎪⎭⎫⎝⎛=2,21,21a ，)0,1,1(-=，),0,1(a -=．…………（1分） 因为⊥AM 平面PBD ，所以BD AM ⊥，BP AM ⊥，所以02212=+-a ，解得1=a ．………………………………（1分） 所以1=PA ，四棱锥ABCD P -的体积为31． ……………（1分）（2）⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,21，)0,1,0(=，设平面AMD 的一个法向量为),,(z y x n = ，则⎩⎨⎧==++,0,0y z y x 1-=x ，可得)1,0,1(-=n， ……………………（3分） 又)1,1,1(--=CP ，设CP 与n的夹角为θ，则36322||||co s =⋅=⋅=CP AM θ． ……………………（2分） 所以，直线PC 与平面AMD 所成角的大小为36arcsin． ………………（1分）20．（1）由题意，32=A ，设函数x A y ωsin =在R 上的周期为T ，则34=T， 又ωπ2=T ，所以6πω=， ………………（2分）所以x y 6sin32π=，当4=x 时，3=y ，故)3,4(M ，…………（2分）因为)0,8(P ，所以53)84(||22=+-=MP ．…………（1分）即MP 的长为5千米． …………………………（1分）（2）在△MNP 中，32π=∠MNP ，θ=∠PMN ，则30πθ<<，…………（1分） 由正弦定理得，⎪⎭⎫ ⎝⎛-==θπθπ3sin ||sin ||32sin ||MN NP MP ， 所以θsin 3310||=NP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπ3sin 3310||MN ， …………（2分） 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+θθθθπcos 23sin 213310sin 33103sin 3310||||NP MN⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 3310πθ， ………………（3分） 因为30πθ<<，所以当6πθ=时，折线段赛道MNP 最长． …………（2分）21．（1）设等比数列}{n a 的公比为q ，等差数列}{n b 的公差为d 。
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2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学（理科）参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. A2. D3. A4. C5. C6. C7. A8. B9. C 10. D 11. C 12. B3. A 提示21()cos 2cos 32cos 1cos 2,3f x a b x x x x =⋅=⋅-⋅=-= 故选择A.5. C 提示：如图，画出可行域为ABO ∆的内部（包括边界），其中A(1,2). 令2m x y =+，可见当12x y =⎧⎨=⎩时，m 取到最大值是4，于是z 的最大值是2log (44)3+=，故选C.6.C 提示：由于要求201614121+⋅⋅⋅+++的和，且当1i =时，12s =，当2i =时，4121+=S ，依次类推，一共有10项，因而i >10，故选C. 7. A 提示：'()'xxy e e --==-，所以切线斜率为e -，切线方程为(1)y e e x -=-+，即y ex =-，所以P 为真.极值点要求导数等于零的点左右单调性相反，所以命题q 为假.所以“p 或q ”为真，选A.Oxy A (1,2)B8. B 提示：()3sin cos =2sin 6f x x x x πωωω=++（）,依题意，||αβ-的最小值为14周期，故1232.443ππωω⋅==，所以 因此选择B.9. C 提示：依题意2269,3,3;3 2.33m m m e m e ==±====-=时，时，故选择C. 10. D 提示：（方法一）41452()80C C =，而410210C =，故选D. （方法二）情形①在五个红球中取出四个，不在黑球中取，共有40515C C ⋅=种; 情形②在五个红球中取出三个，在黑球中取出一个，共有315220C C ⋅=种; 情形③在五个红球中取出二个，在黑球中取出二个，共有225330C C ⋅=种; 情形④在五个红球中取出一个，在黑球中取出三个，共有135420C C ⋅=种;情形⑤在红球中不取，在五个黑球中取出四个，共有04555C C ⋅=种；从而共有80种情况.而事件的基本空间中情况的个数为410210C =，于是选D.11.C 提示：当截面是以AB 为直径的圆时面积最小，正三棱锥O ABC-中，侧棱为2，高为1，可得底面边长为3，故239()24S ππ==，选C.12. B 提示：由题得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-≤≤--=.23＞1＜,231,2)(22x x x x x x x f 或由函数c x f y -=)(的零点恰有两个，即方程c x f =)(恰有两根，也就是函数)(x f y =的图象与函数c y =的图象有两个交点.如图所示,满足条件的c 为]⎪⎭⎫ ⎝⎛----∞43,12,( ，故选Ｂ.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.2425 14.23 15. 22y x -=1316.199319942013124005214005b b b b b b ++++++= 。
13.2425提示：5350,.sin(),,44445444cos(),cos 2sin(2)sin 2()4524242sin()cos().4425ππππππαπααπαπππααααππαα<<∴<+<+=-∴<+<∴+=-∴=+=+=++= 又14.23 提示：由三视图知，几何体为底面是边长为2，高为3的四棱锥，所以体积为1123232332V =⨯⨯⨯⨯=.15. 22y x -=13提示：抛物线x y 82= 的焦点F(20)，，准线为 x -2=，∴ 双曲线焦点1F(20)F (20)-，和，即c 2=．设P m n （，），由抛物线的定义得PF 5m 2==+，∴m 3=．代入抛物线方程得26±P （3，），221|F |(32)(260)7P =++-=由双曲线的定义得1PF PF 752a -=-=，∴ 1=a ，222413b c a =-=-=， b 3= ∴双曲线方程为1322=-y x .16.199319942013124005214005b b b b b b ++++++=提示:根据等比性质可知2119931994199520132003a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,200340054005321a a a a a =⋅⋅⋅⋅ , 所以根据等差数列中，有199319942013124005214005b b b b b b ++++++= .三、解答题：本大题共70分.17.（1）由)N (21++∈+=n S a n n ，得+-∈+=N (21n S a n n ，2n ≥），…2分 两式相减得：1n n n a a a +-=， 即++∈=N (21n a a n n ，2n ≥）…4分 ∵{}n a 是等比数列，所以212a a =，又212,a a =+ 则1122a a +=，∴12a =， ∴2n n a =. …6分FEDACBSyz x FEDACBS（2）由（1）知112n n a ++=，2n n a =,∴()2211111log log 11n n n b a a n n n n +===-⋅++， …………8分11111111223111n nT n n n n =-+-++-=-=+++ . ……………………………12分18. （1）证明：取线段SB 中点F ，取SC 中点E ，连接DE ，EF ，AF ，所以//EF BC 且12EF BC =， 由已知//AD BC 且12AD BC =，所以//EF AD ，且EF AD =，所以//AF DE ，且AF DE =， 因为SA AB =，所以AF SB ⊥， 又SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SA BC ⊥，又AB BC ⊥，且A AB SA = ，所以⊥BC 面SAB ，因为⊂AF 面SAB ，所以,AF BC SB BC B ⊥= ，所以AF ⊥平面SBC ，因为//AF DE ，DE ⊥平面SBC ，DE ⊂平面SDC ，所以平面SBC ⊥平面SDC . …………6分（2）如图所示建立空间直角坐标系10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,1,0C - ，()1,0,0B - ， ()0,0,1S ，()1,0,1SB =--，令(),,n x y z =为平面SCD 的一个法向量，则有 102102y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，令1z = ，则()1,2,1n = 设直线SB 与平面SDC 所成角为θ， 33sin =⋅=nSB n SB θ，所以3arcsin 3θ=. …………12分19.(1)依题2100405A =⨯=,31001520B =⨯=,4021005C ==,5110020D ==.-------2分 (2) ①所以由公式r )4)(4(42412241241y y x x yx yx i i i i ii --⋅-=∑∑∑===65131313.85950190-==-=-⨯.----------------4分 由130.9420.95013.8r =≈<. 可见没有95%把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系. -----------------------6分 ②令两天该商场销售该品牌电视机的台数为ξ,则依题200X ξ=. 而ξ的值可能为2,3,4,5,6,7,8.由题224(2)5525P ξ==⨯=，12228(3)5525P C ξ==⨯⨯=.2122237(4)()552025P C ξ==+⨯⨯=，112221234(5)52052025P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯=，1222131(6)()5202016P C ξ==⨯⨯+=，12313(7)2020200P C ξ==⨯⨯=，211(8)()20400P ξ===.从而ξ的分布列为:ξ2 3 4 5 6 7 8P425 825 725 425 116 3200 1400------------------------------------10分于是48137()238252540010E ξ=⨯+⨯++⨯= . 这样X 数学期望()(200)200()740E X E E ξξ===(元).-------------------------------12分20.（1）解：由已知 2221,223,.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩…………2分解得2a =，3b =．故所求椭圆方程为22143x y +=． …………4分 （2）证明：由（1）知()12,0A -，)0,2(2A ，()21,0F ．设()()000,2P x y x≠±，则22003412x y +=．于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =++，令4x =，得0062M yy x =+. 所以(M 4,0062y x +)，同理(N 4,0022y x -)． …………………………6分 所以2F M = (3,0062y x +)，2F N = (3,0022y x -).所以 22F M F N ⋅= (3,0062y x +)⋅(3,0022y x -)000062922y y x x =+⨯+-20201294y x =+- ()2020312394x x -=+-=990-= ，所以 22F M F N ⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上． ………………… 8分 设MN 的中点为E ，则(4,E 00204(1)4y x x --)． …………9分 又2F E = (3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =-所以22F E F P ⋅= (3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+- ()()()()()20020123131313104x x x x x x --=-+=---=-．所以 22F E F P ⊥． …………11分 因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥，故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点． …………12分21.2221(1)(1)12()++22[(1)]2(1)a x a x f x x a x x a x -+---'=⋅=++++ 222(1)(1)2(1)(1)x a x a a x x --+-==++，(1)x >- ………………………………2分 ()f x ∴在2(1,1)a --上为减函数，在2(1,)a -+∞为增函数，()f x ∴在1-a 2x =处取得极小值. ………………………………4分（1）依题: 22140,aa ⎧<-<⎪⎨⎪>⎩,2253a <<. ………………………………6分 （2）依题: 2110,aa ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩,1a ≥. ………………………………8分（3）由（2）知：当1a =时，11()ln,21x xf x x +-=++在[1,)+∞上为增函数， ∴当1x >时，有()(1)0f x f >=，即11ln ,(1)21x xx x +->->+， 取11(2)1x n x n --=≥+， …………10分则111n x n +=>-，121x n n +=-，即有：1ln ,(2)1n n n n >≥-∴111134ln 2ln ln lnln 234231nn n n ++++<++++=- . …………12分 （方法二）由于13231ln ln ln 2ln ln ln1221221n n n nn n n n n --=⋅⋅=++++----从而只需证明()1ln21n n n n>≥-. ………………………………………10分 考查函数()()11ln ln 11x g x x x x x x-=-=+-≥, 而()22111'x g x x x x-=-=，所以()g x 在()1,+∞是增函数，在()0,1上是减函数，所以()()min 10g x g ==，所以()0g x ≥.令1-=n n x ，()1ln21n n n n>≥-，所以命题得证. ……………………………12分 22. (1)证明：连接BO 并延长交圆O 于G ，连接GCDBC DAC ∠=∠ ，又 AD 平分BAC ∠，BD 平分EBC ∠,EBC BAC ∴∠=∠.又 BGC BAC ∠=∠，EBC BGC ∴∠=∠,90GBC BGC ∠+∠= ,∴90GBC EBC ∠+∠= ,∴OB BE ⊥. ……………5分 ∴BE 是圆O 的切线.（2）由（1）可知△BDE ∽△ABE ，BE BDAE AB=,BE AB BD AE ⋅=⋅∴， 6=AE ，4AB =，3BD =，92BE ∴=. ……8分由切割线定理得：2BE DE AE =⋅ 278DE ∴=. ……………10分 23. 由223sin 10ρρθ--=，得222310x y y +--=，即()2234x y +-=. …………3分将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得212t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋23332t ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭＝4，即2680t t -+=， 40∆=>，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以121268t t t t +=⎧⎨=⎩, …………6分12t 2,t 4.==解得（1）1232t t +=，∴33,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴点M 的极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. ………………8分 （2）又直线l 过点，故由上式及参数t 的几何意义得PA PB +=12t t +＝126t t +=. .........10分24.(1) (1)0f x +≥ ，1x x m ∴+-≤.当m ＜1时，11≥-+x x ，∴不等式m x x ≤-+1的解集为φ，不符题意. 当1≥m 时，①当0＜x 时，得21m x -≥，0＜21x m≤-∴. ②当10≤≤x 时，得m x x ≤-+1，即m ≤1恒成立.③当1＞x 时，得21+≤m x ，21＜1+≤∴m x .综上m x x ≤-+1的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121m x m x.由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021m m，1=∴m . ……………………………5分 (2) 222x a ax +≥ ,222y b by +≥ ,222z c cz +≥ ,()2222222a b c x y z ax by cz ∴+++++≥++,由(1)知2222221,x y z a b c ++=++=()22ax by cz ∴++≤, 1.ax by cz ∴++≤ …………………………10分。