概率论
概率论全部
24.設正態總體X～N（μ,σ2）,σ2未知, ,S2是樣本平均值和樣本方差,給定顯著性水準α,檢驗假設Ho：σ2= ,H1：σ2≠ 應使用的檢驗用統計量是（A： ）。
11、設X～b（3，0.5），則P(X≥1)的值是（D:0.875）。
12、已知(X ,Y )的分佈律為
0
1
1
0
1/6
2
1/12
1/6
3
1/2
1/12
則X的邊緣分佈律為（C:
X
0
1
P
13、設連續型隨機變數X的分佈函數為F(x)= 則A的值為（C:0.5）。
14、設X的分佈律為
則E(X)=(C:0.8)
53．设X1，X2，…Xn是总体X的一个样本，g（X1，X2，…Xn）是X1，X2，…Xn的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数，则称g（X1，X2，…Xn）是一个统计量。
54．设A与 互为对立事件，则 。
55．若二维随机变量（X，Y）在平面区域D中的密度函数为 其中A为D的面积，则称（X，Y）在区域D上服从均匀分布。
19．设随机测得某化工产品得率的5个样本观察值为82，79，80，78，81，则样本平均值 80。
20．设总体X~N（μ，σ2），x1，x2，…，xn是来自总体X的样本，则σ2已知时，μ的1-a置信区间为 。
21．假设检验可能犯的两类错误是弃真错误和纳伪错误。
22．设总体X～N（μ，σ2），对假设 做假设检验时，所使用的统计量是 它所服从的分布是 。
X
0
1
P
0.2
0.8
15、已知X～b（n, 0.2）則E(X) =(D:0.2n)
概率论知识点
第一章随机事件及其概率§ 1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是，在相同的条件下重复观察时，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先不能断言将出现哪种结果•例如,投掷一枚五分硬币，可能国徽”向上,也可能伍分”向上；从含有5件次品的一批产品中任意取出3件，取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一•指在科学研究或工程技术中，对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察（包括试验、实验、测量和观测等）,事先不能精确地断定其结果，而且在相同条件下可以重复进行，这种试验就称为随机试验。
样本空间：概率论术语。
我们将随机试验E的一切可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为1。
样本空间的元素，即E的每一个结果，称为样本点。
随机事件：实际中，在进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E的样本空间I ■■的子集为E的随机事件，简称事件•在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.特别，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.样本空间门包含所有的样本点，它是门自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.空集？不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）：若事件A与事件B不可能同时发生，亦即A B =①，则称事件A与事件B是互斥（或互不相容）事件。
互逆事件：事件A与事件B满足条件A B =①，A B =1 ,则称A与B是互逆事件，也称A与B是对立事件，记作B （或A = B ）。
互不相容完备事件组：若事件组A,A2,…A满足条件A i A j二①，（i,i=t n ）,nA-、_:，则称事件组A, A2,…A n为互不相容完备事件组（或称A, A2,…A n为样本空i=1间门的一个划分）。
§ 1.2 随机事件的概率概率：随机事件出现的可能性的量度。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中的一门重要分支，用于研究随机事件的发生概率和规律性。
下面是概率论中的一些常用公式和定理，供参考：1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的情况数，n(S)表示样本空间中所有事件发生的情况数。
2.加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B发生的概率。
3.乘法定理：P(A∩B)=P(B，A)×P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4.互斥事件的概率：若事件A和事件B互斥（即不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B) 5.条件概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
6.贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=∑[P(A∩B_i)]其中，事件B_1,B_2,...,B_n互斥且构成样本空间，P(B_i)不为0，P(A∩B_i)表示事件A和事件B_i同时发生的概率。
8.期望值：E(X)=∑[x_i×P(X=x_i)]其中，X为随机变量，x_i为随机变量X的取值，P(X=x_i)为随机变量X取值为x_i的概率。
9.方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，X为随机变量。
10.协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) × (Y - E(Y))]其中，X和Y为两个随机变量。
11.独立事件的概率：若事件A和事件B独立，即P(A∩B)=P(A)×P(B)12.独立随机变量的期望值：E(XY)=E(X)×E(Y)其中，X和Y为独立随机变量。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是一门应用广泛的数学学科，它主要是研究不确定性、随机性的现象。
概率论的研究分为理论概率论和应用概率论两大部分。
应用概率论解决问题的解决办法，而理论概率论主要研究概率论本身和其它与之相关的数学。
本文将主要介绍概率论的基本概念和相关概念，以及概率统计中常用的公式和计算方法。
首先，概率论的基本概念是概率空间（Probability Space），即一个三元组（Ω，F，P），其中Ω是样本空间，F是一个满足数学定义的概率事件集，P是一个满足概率性质的概率度量。
概率空间的不同的选择，可以根据实际应用的需要来确定合理的概率空间。
其次，可以使用概率空间来描述不确定性的情况，即可以通过概率空间来表示不确定性的发生概率。
在概率论中，概率函数可以将概率空间中每个事件的发生概率确定下来，从而形成一个完整的概率模型。
此外，概率论中还有几个概念需要重点介绍：关联性，即两个事件之间存在依赖关系；随机变量，即将概率空间中每个样本点映射到实数空间中的函数。
概率分布，表示随机变量取某一值时发生的概率；期望，表示一组数据集中取某一值时发生的概率。
此外，概率统计中使用的公式也很重要，常见的有贝叶斯公式、估计量、样本量和样本均值的公式。
贝叶斯公式的形式为：P(A|B) = [P(B|A)P(A)]/P(B)，其中P(A|B)为A事件在B事件发生的条件下发生的概率； P(B|A)为B事件在A事件发生的条件下发生的概率；P(A)为A事件发生的概率；P(B)为B事件发生的概率。
估计量可以将概率密度函数中的几个参数估计出来，一般使用极大似然估计的方法。
此外，样本量公式的形式为：n = (zα/2σ)2/ε2，其中zα/2为α/2置信水平的z分布值；σ为总体标准差；ε为样本平均值的允许误差。
最后，样本均值的计算公式是：X =X/n，其中X为样本均值；ΣX为样本总和；n为样本总数。
总结一下，概率论是一门应用广泛的数学学科，其基本概念主要包括概率空间、概率函数及其它相关概念，以及概率统计中常用的公式和计算方法，在许多实际应用中，概率论都发挥着重要的作用。
概 率 论
概率论概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。
每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
基本起源概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最初概率论的起源与赌博问题有关。
16世纪，意大利的学者吉罗拉莫•卡尔达诺（Girolam oCardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。
17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷4次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家（相当于赌场）赢。
按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。
后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用2个骰子连续掷24次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。
当时人们普遍认为，2次出现6点的概率是一次出现6点的概率的1/6，因此6倍于前一种规则的次数，也既是24次赢或输的概率与以前是相等的。
然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。
有人对博弈中的一些问题发生争论，其中的一个问题是“赌金分配问题”，他们决定请教法国数学家帕斯卡（Pascal)和费马（Fermat）基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。
概率的三大公式
概率的三大公式一、加法定理加法定理是概率论中最基本的公式之一，用于计算两个事件同时发生的概率。
假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∪B)，其中∪表示并集。
加法定理的公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
举个例子来说明加法定理的应用。
假设有一个袋子里有红球和蓝球，红球的数量为3个，蓝球的数量为2个。
现在我们从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球或者蓝球的概率。
根据加法定理，我们可以计算出P(红球∪蓝球) = P(红球) + P(蓝球) - P(红球∩蓝球) = 3/5 + 2/5 - 0 = 1。
因此，抽到红球或者蓝球的概率为1。
二、乘法定理乘法定理是概率论中另一个重要的公式，用于计算两个事件同时发生的概率。
假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∩B)，其中∩表示交集。
乘法定理的公式如下：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
举个例子来说明乘法定理的应用。
假设有一个扑克牌的牌组，牌组中有52张牌。
现在我们从牌组中依次抽取两张牌，求第一张牌是红心的概率，且第二张牌是黑桃的概率。
根据乘法定理，我们可以计算出P(第一张牌是红心∩第二张牌是黑桃) = P(第一张牌是红心) × P(第二张牌是黑桃|第一张牌是红心) = 1/4 × 13/51 = 1/12。
因此，第一张牌是红心且第二张牌是黑桃的概率为1/12。
三、全概率公式全概率公式是概率论中用于计算复合事件概率的重要公式。
假设B1、B2、B3...是一组互不相容的事件，并且它们的并集构成了样本空间。
那么对于任意一个事件A，全概率公式的公式如下：P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + P(A|B3) × P(B3) + ...其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是一门研究随机现象的数学分支，它使用概率来描述和解释随机事件发生的规律性。
在实际应用中，我们常常需要使用一些基本概率公式来计算和分析各种随机现象。
以下是一些常见的概率论公式：1.概率的定义公式：P(A)=N(A)/N(S)其中P(A)表示事件A的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中发生的总次数。
2.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中P(A∪B)表示事件A和事件B至少发生一个的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)某P(B，A)其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
5.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bi)某P(Bi)其中P(A)表示事件A的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bi求和。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/ΣP(A，Bj)某P(Bj)其中P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bj)表示在事件Bj发生的条件下事件A发生的概率，Σ表示对所有可能的事件Bj求和。
7.期望值的公式：E(X)=ΣXi某P(Xi)其中E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示随机变量X的可能取值，P(Xi)表示随机变量X取值为Xi的概率，Σ表示对所有可能的取值Xi求和。
8.方差的公式：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X^2)表示随机变量X的二阶矩，[E(X)]^2表示随机变量X的期望值的平方。
概率论 概念
概率论概念一、什么是概率论概率论是一门研究随机现象的科学，主要探讨随机现象背后的数学规律和结构。
在概率论中，随机现象是指结果无法在事前确定的现象，它们的发生具有一定的不确定性。
而概率则是衡量随机事件发生可能性的数值表示。
二、概率论的发展简史概率论的发展始于17世纪，最初主要是用来解决赌博问题。
随着时间的推移，概率论的应用范围逐渐扩大，涉及到诸多领域，如统计学、经济学、生物学、物理学等。
在现代社会，概率论已经成为许多学科的重要基础。
三、概率论的基本概念1.样本空间与样本点：样本空间是指随机实验所有可能结果组成的集合，而样本点则是样本空间中的具体元素。
例如，在一次抛掷硬币的实验中，样本空间可以包含正面和反面两种结果，即{正面，反面}，而每个结果则是样本点。
2.事件：事件是由样本空间中某些样本点组成的集合。
事件可以包含一个或多个样本点。
例如，在抛掷硬币的实验中，事件可以包括{正面}和{反面}两个集合。
3.概率：概率是一个描述随机事件发生可能性的数值，通常用P来表示。
根据定义，一个事件的概率P(A)满足以下三个条件：0≤P(A)≤1；对于不可能事件，P(A)=0；对于必然事件，P(A)=1。
4.条件概率：条件概率是指在某个已知条件下，某个事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5.独立性：如果两个事件A和B相互独立，则一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生概率。
如果A和B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)。
6.随机变量：随机变量是用来描述随机实验结果的数学工具。
随机变量可以分为离散型和连续型两种类型。
离散型随机变量是在可数范围内取值的变量，而连续型随机变量则是取值范围无法列举完的变量。
7.分布函数：分布函数是用来描述随机变量取值概率的函数。
对于离散型随机变量，分布函数是所有可能取值的概率之和；对于连续型随机变量，分布函数则是一条连续曲线。
8.期望与方差：期望值是随机变量所有可能取值的加权平均值；方差则是描述随机变量取值分散程度的数值，方差越小说明随机变量的取值越集中。
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二、设随机变量 X 的概率密度 f (x)为 0 x1 x f ( x ) 2 x 1 x 2 0 其他 求 X 的分布函数 F (x)，并作出 f (x)与 F (x)的 图形。
三、某种型号的电子的寿命 X（以小时计）具有 以下的概率密度：
概率论
1000 x 1000 x2 f ( x) 其它 0 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独 立） 。任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？ 四、设 X～N（3,22） （1）求 P {2<X≤5}，P {－4<X≤10}，P{|X|>2}， （2）决定 C 使得 P {X > C }=P {X≤C}
概率论
四、小结
这一节，我们介绍了连续型随机变量 及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、 正态分布. 其中正态分布的应用极为广泛， 在本课程中我们一直要和它打交道. 后面第五章中，我们还将介绍为什么 这么多随机现象都近似服从正态分布 .
练习题
概率论
一、设随机变量 X 的分布函数为 0, x 1, FX ( x ) ln x ,1 x e , ， 1, x e . （2 求概率密度 f X (x). 求 1） {X<2}, P {0<X≤3}； ） （ P
概率论
故
x0 0, x2 0 x1 , 2 F ( x) x2 2 x 1, 1 x 2 2 1, x2
概率论 三、某种型号的电子的寿命 X（以小时计）具有 以下的概率密度：
1000 x 1000 x2 f ( x) 其它 0 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独 立） 。任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？
解： {寿命大于1500小时} { X 1500}
1000 1000 P{ X 1500} f ( x )dx 1500 2 dx 1500 2 x x 1500 3
概率论
Y 表示5只中寿命大于1500 小时的管子数
2 Y ~ b 5, 3
若X ~ N ( , 2 )，求P (a X b).
解：p( x ) 1 2
( x )2 2 2
概率论
e
P (a X b)
t
x
b
1 2
b
( x )2 2 2
a
e
dx
b
x t
a
1 e 2
2
X 3 ~ N 0,1 ） 2
概率论
概率论
一、设随机变量 X 的分布函数为 0, x 1, FX ( x ) ln x ,1 x e , ， 1, x e . 求 （1） {X<2}, P {0<X≤3}； P （2） 求概率密度 fX (x).
解：P{ X 2} F ( 2) P{ X 2} F ( 2) ln 2
P{0 X 3} F ( 3) F (0) 1
1 ,1 x e , f X ( x ) FX ( x ) x 0, 其它.
0
1
2 e 3
x
二、设随机变量 X 的概率密度 f (x)为 0 x1 x f ( x ) 2 x 1 x 2 0 其他 求 X 的分布函数 F (x)，并作出 f (x)与 F (x)的图形。
P{Y 2} 1 P{Y 2} 1 P{Y 0} P{Y 1}
232 243
四、设 X～N（3,2 （1）求 P {2<X≤5}，P {－4<X≤10}，P{|X|>2}， （2）决定 C 使得 P {X > C }=P {X≤C} 解： ) P{2 X 5} P{ 2 3 X 3 5 3 } (1 2 2 2 (1) 0.5 (1) 0.5 1 0.5328 4 3 X 3 10 3 } P{4 X 10} P{ 2 2 2 ( 3.5) 3.5 2( 3.5) 1 0.9996 2 3 X 3 2 3 } P{ X 2} 1 P{ 2 2 2 1 ( 0.5) 2.5 1 ( 2.5) 0.5 0.6977 ( 2) 由对称性得：C 3
t2 2
dt
(
) (
a
)
概率论
例 7 若R.V . X ~ N (1,4)，
求(1) P ( 2.1 X 3.4);
( 2) P ( X 3.42 ).
注：先标准化，再利用 对称性的性质 .
5
3
概率论
准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
~N(0,1)
[ 3 , 3 ] 区间内.
这在统计学上称作“3 准则” .
概率论
看一个应用正态分布的例子:
例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头 碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高 X～N(170,62),问车门高度应如何确定?
解 设车门高度为h cm,按设计要求
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
将上述结论推广到一般的正态分布,
X N ( , ) 时，
2
Y
X
P (| Y | ) 0.6826 P (| Y | 2 ) 0.9544
P (| Y | 3 ) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
概率论
解： 当 x 0 时, F ( x )
x
x
f ( t )dt 0
x
x2 当 0 x 1 时, F ( x ) f ( t )dt tdt 0 2 x 1 x 当 1 x 2 时, F ( x ) f ( t )dt tdt ( 2 t )dt 0 1 2 x 2 x 1 x x x x 0 1 x2 2 当 x 2 时, F ( x ) 1
1 （ 当x 时 ） ；
2) lim p( x ) 0, 曲线y p( x )以x轴为渐进线； x
3) 最 大 值
2 4) ( , p( ))是拐点；
5) 越大越平稳，越小越陡. 峭
概率论
正态分布
ห้องสมุดไป่ตู้
N ( , 2 ) 的图形特点
的陡峭程度.
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
(4) 非标准正态分布
概率论
若R.V . X ~ p( x )
1 2
( x )2 2 2
e
( x , , 为常数， 0)
则称R.V . X服从非标准正态分布，
记X ~ N ( , ).
2
y
概率论
o
x
p( x )的特征： 1)曲线y p( x )关于直线 对称； x
P(X≥ h)≤0.01
或
P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的h .
求满足 P(X< h ) 0.99 的最小的 h .
X～N(170,62),
概率论
所以 X 170 ~ N (0,1) . 因为 6 X 170 h 170 故 P(X< h)=P 6 6 h 170 6 查表得 (2.33)=0.9901>0.99 设计车门高度为 184厘米时，可使 h 170 因而 = 2.33, 男子与车门碰头 6 机会不超过0.01. 即 h=170+13.98 184