沪科版八年级数学下册复习讲义

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一元二次方程
一、知识结构：
一元二次方程
解与解法 根的判 别 韦达 定理
二、考点精析
考点一、概念 (1) 定义： ①只．含．有．一．个．未．知．数． ，并且 ②未．知．数．的．最．高．次．数．是 ．2．， 这样的 ③整．式．方．程．就是一元二次方程。
(2) 一般表达式： ax 2 bx c 0( a 0)
例 1、已知 2 y 2 y 3的值为 2，则 4 y 2 2 y 1 的值为
。
考点三、解法
⑴方法： ①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点： 降次
类型一、直接开方法： x 2 m m 0 , x m
※※对于 x
a2
m ， ax
2
m
bx n 2 等形式均适用直接开方法
典型例题：
例 1、解方程： 1 2x2 8 0; 2 25 16x2 =0; 3 1 x 2 9 0;
值是负的，应把负号留在根号外．
4.
公式 a2 |a|
与 a( a 0)
( a)2
a(a 0) 的区别与联系
a(a 0)
（1） a2 表示求一个数的平方的算术根， a 的范围是一切实
数．
（2） ( a) 2 表示一个数的算术平方根的平方， a 的范围是非
负数．
（3） a2 和 ( a)2 的运算结果都是非负的．
⑶难点 ：如何理解 “未知数的最高次数是 2”：
①该项系数不为“ 0”；
②未知数指数为“ 2”；
③若存在某项指数为待定系数， 或系数也有待定， 则需建立方程
或不等式加以讨论。
典型例题：
例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（
）
A、 3 x 1 2
2x 1
B、1 2 x
1 2
0 C 、 ax 2
【知识要点】
第十六章
二次根式
知识点一：二次根式的概念
二次根式的定义： 形如
的式子叫二次根式， 其中 叫被开
方数，只有当 是一个非负数时， 【典型例题】 题型一：二次根式的判定
才有意义．
【例 1】下列各式 1） 1, 2) 5,3)
5
， x2 2, 4) 4,5) ( 1 )2 ,6) 1 a ,7) a 2 2a 1
3
其中是二次根式的是（填序号） ．
题型二：二次根式有意义
【例 2】若式子 1 有意义，则 x 的取值范围是
．
x3
题型三：二次根式定义的运用
【例 3】若 x 5 5 x 2009，则
解题思路：式子 a （ a≥0）， x 5 0 x 5， 2009，则 2014 , 5x 0
题型四：二次根式的整数与小数部分
2、同类二次根式（可合并根式） ：
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这
几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例 7】在根式 1)
a2
b2 ;2)
x ;3)
x2
xy;4) 27abc ，最简二次根式是 （
）
5
A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1)
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以
把任意一个非负数或非 负代数式写成完全平方 的形式：
a ( a) 2 ( a 0)
3.
a2 | a| a(a 0)
a(a 0)
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平
方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的
3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
【典型习题】
1、 2 ab5 ( 3 a 3b ) 3 b
b
2
a
2、 ) (2+4) －3)
【例 15】 1 ．已知：
，求
知识点八：根式比较大小
的值．
【知识要点】 1、根式变形法 当 a 0,b 0 时， ①如果 a b ，则 a b ；②
围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令
ax2 bx c =0，求两根， 再写成 ax2 bx c =a( x x1)( x x2 ) . ②分解结果是否
把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去
.
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值；
⑵解二元二次方程组。
典型例题： 例 1、 已知 x 2 3x 2 0 ，求代数式 的值。 x 1 3 x 2 1
bb
注意 ：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常 从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范 围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【典型例题】 【例 11】化简
(1)
(3) 5 2 15
9 16
(2) 16 81
【例 12 】 计算（ 1 ）
（ 2）
（ 3）
（4）
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减 【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式 （即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通 常是先化成最简二次根式， 再把同类二次根式合并． 但在化简二 次根式时， 二次根式的被开方数应不含分母， 不含能开得尽的因 数． 【典型例题】
【例 13】计算
2a
典型例题：
例 1、选择适当方法解下列方程： ⑴ 3 1 x 2 6. ⑵ x 3 x 6 8. ⑶ x 2 4 x 1 0
例 2、在实数范围内分解因式：
（ 1） x2 2 2x 3 ；（ 2） 4x2 8x 1. ⑶ 2x2 4xy 5y2
说明：①对于二次三项式 ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范
（ 公式 a2 a a(a 0) 的应用） a( a 0)
【例 6】已知 x 2 , 则化简 x 2 4 x 4 的结果是
A、 x 2
B、 x 2
C、 x 2
D、 2 x
知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】
1、最简二次根式：
（ 1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整 式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
两个因式积的算术平方根。
a · b ＝ ab ．（a≥0， b≥ 0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术
平方根除以除式的算术平方根
a = a （ a≥0，b>0）
bb
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两 个数的商的算术平方根。
a = a （ a≥0，b>0）
（1） 2
21
（ 2） 5 3
53
小结： 一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；
②
（ 3） 3 3
32 23
与
；
③
与
；
④
与
．
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式
的算术平方根的积。
ab = a · b （a≥0， b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这
例 2、 已知 x、 y 为实数，求代数式 x2 y2 2x 4y 7的最小值。
例 3、 已知 x 2 y2 4x 6y 13 0，x、ｙ为实数，求 x y 的值。
例 4、 分解因式： 4x2 12x 3
类型四、公式法
⑴条件： a 0, 且 b2 4ac 0
⑵公式： x
, b
2
b 4ac
a 0, 且 b 2 4ac 0
例 2、若 9 x
2
1
16 x
2 2 ，则 x 的值为
。
类型二、因式分解法 : x x1 x x2 0 x x1,或 x x2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“
0”，
※ 方 程 形 式 ： 如 ax m 2 bx n 2 ， x a x b x a x c ，
x2 2ax a 2 0
a b与 a b ， a b 与 a b 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如
a b与a b，
a b与 a b ， a x b y与 a x b y 分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、 分母化成最简二次根
式；
②将分子、 分母都乘以分母的有理
化因式，使分母中不含根式；
x1
例 2、如果 x 2 x 1 0，那么代数式 x 3 2x 2 7 的值。 说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再
降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——
化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题 .
考点四、根的判别式 b 2 4ac
根的判别式的作用：
①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
递性进行比较。
7、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：① a b 0 a b ；②
ab 0 a b
8、 求商比较法
a
1 ab
9、它运用如下性质：当 a>0，b>0 时，则：① b
；②
a 1
b
ab
【典型例题】
【例 16】 比较 3 5 与 5 3 的大小。（用两种方法解答）
【例 17】比较 2 与 1 的大小。
4)
解题思路：掌握最简二次根式的条件。
知识点四：二次根式计算——分母有理化